3.4《基本不等式》(1)教案
《基本不等式(第1课时)》教学设计新
教师学科教案[20-20学年度第一学期]任教学科：______________任教年级：______________任教老师：______________XX市实验学校课题：基本不等式（第1课时）学校：北京市顺义牛栏山第一中学学科：数学姓名：***一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系•认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况,符合学生的认知规律.学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的"最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题.同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容.教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程.有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一.《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……"、“还应注重提高学生的数学思维能力”.本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识.二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A版《数学（必修5）》第三章3.4基本不等式：J^≤土^的第1课时.“基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型.基本不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化.这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量.这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
“基本不等式”(第一课时)教案
基本不等式教学设计（第一课时）阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。
2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。
探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号． （在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2； （2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。
3.4 基本不等式(教案)
3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。
难点：基本不等式成立的条件及应用。
教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。
基本不等式教学设计
就本节地位与作用而言，“基本不等式”是在学生学习了“不等式性质”的基础上对不等式的进一步研究与拓展，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、和归纳，是培养学生数学核心素养的良好载体。
就本节教材编写而言,教材一开始以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景，意图让学生从中抽象出基本不等式，并在此基础上分别从代数和几何的角度引导学生认识基本不等式，并设计了两个实际问题，让学生感受基本不等式的应用价值。
本节课是基本不等式的第一课时，主要应为基本不等式的形成与证明，并为下课时的应用奠定基础。
问题一：你还记得利用“赵爽弦图”证明勾股定理的过程吗？问题二：你能在弦图中找出面积间的不等关系吗？
归纳：对于两直角边a、
探究四：抽象归纳、几何证明
D 篱笆最短，最短的篱笆是多少？
总结：和定积最大，积定和最小
探究六：反思总结、形成方法
问题：我们本节课学习了哪些知识与方法？预设结论：
1、重要不等式
基本不等式。
基本不等式教学设计(王世艳)
黑龙江省七台河市第二中学王世艳教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学内容解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。
在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。
二、教学目标设置1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
三、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
四、教学策略分析在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。
在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点五、教学过程：（一）情景引入下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。
探究一：观察上面的会标。
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时 基本
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成 立．( )
(2)若 a≠0，则 a＋4a≥2 a·4a＝4.(
)
(3)若 a＞0，b＞0，则 ab≤a＋2 b2.(
)
解析：(1)错误．任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，
解析：①因为 x∈(0，π)，所以 sin x∈(0，1]， 所以①成立；②只有在 lg a＞0，lg b＞0，
即 a＞1，b＞1 时才成立；
③x＋4x＝x＋4x≥2 答案：①③
x·|4x|＝4 成立．
5．如果 a＞0，b＞0，则ba＋ab的最小值是 2；如果 ab ＞0，则ba＋ab的范围是________．
故1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝ 2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥ 5＋4＝9，当且仅当 a＝b＝12时取等号．
(2)因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b≥2 ab，
当且仅当 a＝b＝12时，等号成立．则 ab≤a＋2 b2＝14，
则 a2b2≤116，而 a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝[(a＋b)2－2ab]2
－
2a2b2
≥
[(a
＋
b)2
－
2ab]2
－
2×
1 16
＝
(1
－
2ab)2
－
1 8
≥
1－2×142当 a＝b＝12时取等号．
类型 2 利用基本不等式求最值 [典例 2] (1)若 x＞0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值． 解：(1)因为 x＞0，由基本不等式得 f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12.
3.4《基本不等式》优质课教案
3.4《基本不等式》教案赵晓雪1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
２、教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
３、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
二、教法说明本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。
通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。
让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、教学设计◆运用2002年国际数学家大会会标引入◆运用分析法证明基本不等式◆不等式的几何解释◆基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
（展示风车）正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角形，它们的面积之和是S ’=＿从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当（重点强调）a=b 时，等号成立（合情推理）问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） Ａ ＢＣ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22a +b 222a b ab+≥222a b ab+≥设计意图（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。
3.4《基本不等式》教学设计
3.4基本不等式（第一课时）教学目标1．引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤ 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 教学过程：一．知识回顾，助力新知初中的时候我们学习过完全平方公式，我们知道0)(2222≥-=-+b a ab b a当且仅当b a =时取等号二．创设情境，导入新课对于任意实数a,b, 是什么关系呢？何时取等号？ 学生探究，可以用具体数代入.ab b a 22 2 与 +教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论，则ab b a 222≥+．当且仅当b a =时取等号三、师生互助，探究新知如果用,去替换a 2+b 2≥2ab 中的a , b,能得到什么结论? a , b 必须要满足什么条件?基本不等式:2b a ab +≤（a>0,b>0当且仅当b a =时，等号成立）深化认识：称ab 为b a ,的几何平均数；称2b a +为b a ,的算术平均数 基本不等式2b a ab +≤又可叙述为： 代数意义:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 探究：几何解释：如图，AB 是圆O 的直径，点C a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,根据射影定理可得：ab BC AC CD =⋅=由于Rt COD ∆中直角边<CD 斜边OD ，（几何画板展示）于是有2ba ab +<当且仅当点C 与圆心O 重合时，即b a =时等号成立．故而再次证明：当0,0>>b a 时，2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）b ∈ R b a , a A B综上,我们得到：2ba ab +≤注意：（1）范围：（2）当且仅当______时取等号（3）公式变形：例：若a >0, b >0, ab =16, 则a +b ≥当且仅当a =b =___时，等号成立.若a >0, b >0, a +b =18, 则ab ≤当且仅当a =b =___时，等号成立.（通过例题的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）四．例题分析，运用新知小组讨论，代表展示例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，进一步强化利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）例2.求)0(1≠+=x xx y 的值域． 变式1. 若2>x ，求21-+x x 的最小值． 在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示)0(1≠+=x x x y 的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．5．课堂小结，巩固新知（1）基本不等式注意：①公式条件： a >0, b >0②公式 “=”的成立条件： a=b .2.不等式的简单应用：主要在于求最值.两个结论: (1)两个正数积为定值，和有最小值.(2)两个正数和为定值，积有最大值.6.课后练习，强化新知2.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？最小值是多少？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？最大值是多少？7． 布置作业，课后延拓基本作业：课本P100习题A 组1、2题思考题（1）已知x >1, 求 x + x 11- 的最小值.（2）已知0<x <1, 求x (1-x )的最大值（3）.已知 x >0, y >0, x y +52=1, 求x+y 的最小值 x x+x11.x >0,当取什么值时，的值最小？最小值是多少？。
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普安县第五届中小学优质课评选授课教案
【课题】3．4 基本不等式（1）
【执教人】吴应艳
【上课时间】2013、12、
【教学方法】探究学习、学案导学
【教学手段】投影仪、彩笔
【课型】新授课
【总课时数】1课时
【教学内容分析】
本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。
本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。
【学生学习情况分析】
授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。
因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。
【教学目标】
知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。
能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力
情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。
【教学重点与难点】
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明
过程，并能说明基本不等式的意义
难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式 一、教学过程 (一)情景设置
【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
现将图中的“风车”抽象成下图，
这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力）
（22
a b +，22a b +、2ab ）
问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不
等关系？
（根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等
式， > (a ≠b)） 图一
2
2
b
a +a
b 2
问题3：什么时候这两部分面积相等呢？（让学生直接回答，老师黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力。
）
（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）所以得不等式：222a b ab +≥这个不等式对任意实数都成立吗？ (二)新课讲授
1、重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，
当且仅当a b =时，等号成立。
问题4：你能给出它的证明吗？
证明一:2
22)(2b a ab b a -=-+
0)(2>-≠b a ，
b a 时当 ， 0)(2=-=b a ，b a 时当 ，所以 222a b ab +≥
思路二:要证222a b ab +≥，我们只要证2220a b ab +-≥是否可以？对任意的实数,a b 式子一定成立吗？用分析法.
问题5：如果用a ,b 去替换上述结论中的a ,b ，则a ,b 需要满足什么条件？替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？
代换方法：让学生尝试，其他同学要观察展示，思考正误，主动质疑和补充，积极评价，大胆发表自己见解，提出独到想法，促进课堂互动生成。
注意步骤归纳，师板书或多媒体展示
特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,也可写
(0,0)2
a b
a b +≤>>这就是我们本节课研究的不等式：基本不等式（板书课题）
2、基本不等式：特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得
2()0
a b -所以≥
ab b a 2≥+,也可写成(0,0)2
a b
ab a b +≤
>> 3、代数意义：在数学中，我们把2
b
a + 叫做正数a ，
b 的算术平均数，
ab
叫做正数a ，b 的几何平均数；从数列角度看，两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项。
问题6：你能利用不等式的性质给出证明吗？
证明:(证法二)要证(0,0)2
a b
ab a b +≥>> 只要证ab b a 2≥+ ① 要证①，只要证 02≥-+ab b a
②
要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a =b 时, ③中的等号成立
问题7：观察图二,你能用这个图得出基本不等式(0,0)2
a b
ab a b +≥>>的几何解释吗？（学生讨论，教师总结）
教师通过已展示出的几何图形分析：设,AC a BC b ==
你能用,a b 表示线段CD 、OD 吗？CD ab =，OD=______ CD 与圆的半径有何关系？
基本不等式的几何意义：半径长不小于弦长的一半;在直角三角形中，直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高线。
教师解释等号成立的几何图形。
D
C A
B
E
O
图二
2
+a b
问题8:基本不等式与重要不等式有何异同点？
不同点：条件不同；相同点：当且仅当a b =时，等号成立。
(三)备用练习
1.0x >时，当x 取何值，1
x x
+的值最小？最小值是多少？ (2)设a >0,b >0,若 3 是3与3的等比中项,则 + 的最小值为多少？
(五)课堂小结：
请同学们回顾一下基本不等式的探究过程并归纳一下两个不等式的联系和区别
这节课我们通过问题背景，抽象出了不等式 (a 、b ∈R)，
然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式。
(六)课后作业：
课本P100习题3.4A 组 第1,2题
222a b ab +≥。