高一数学人教A版必修4课件：1.2.1 任意角的三角函数(一)

明目标、知重点
3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 相等 ，即： sin(α＋k·2π)＝ sin α ，cos(α＋k·2π)＝ cos α， tan(α＋k·2π)＝ tan α ，其中k∈Z.
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学
在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐 角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广 后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角 函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
＝ 23× 23＋12×12－1＝0.
明目标、知重点
反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数 化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三 角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化 正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3 求下列各式的值： (1)cos－233π＋tan 174π； 解 原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
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(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
cos θ>0 由tan θ<0， 得角 θ 为第四象限角.
∴角θ为第三或第四象限角.
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探究点四 诱导公式一
思考1 诱导公式一是什么？ 答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等.由此得到诱导公式一： sin(k·360°＋α)＝sin α，cos(k·360°＋α)＝cos α， tan(k·360°＋α)＝tan α，其中k∈Z， 或者：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α， tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
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思考2 诱导公式一的作用是什么？ 答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角 函数值.
例如：sin 420°＝sin 60°＝ 23；cos(－330°)＝cos 30°＝ 23； tan(－315°)＝tan 45°＝1.
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例3 求下列各式的值.
(1)cos 253π＋tan－154π； 解 原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
3 2
＝
3 2.
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呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y) 在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的 大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且 注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
明目标、知重点
思考3 在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么 特点，函数值是什么？ 答 (1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
(2)当α＝π2＋kπ (k∈Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横 坐标x都等于0，所以tan α＝yx无意义，除此情况外，对于确定的值α， 上述三个值都是唯一确定的实数.
解析 ∵cos α＝ 323＋y2＝35，
D.－43
∴ 32＋y2＝5，∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－43.
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3
4.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ 2 .
解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°
思考3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为 圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α 的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ y，
y cos α＝ x ，tan α＝ x .
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探究点二 任意角三角函数的概念
思考1 任意角三角函数是怎样定义的？ ①单位圆定义法： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么：y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ y； x 叫 做α的余弦，记作coys α，即cos α＝ x ；yx叫做α的正切，记作 tan α，即tan α＝ x (x≠0).
(2)sin 285°cos(－105°)； 解 ∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0， ∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0， ∴sin 285°·cos(－105°)>0.
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(3)sin 3·cos 4·tan－234π. 解 ∵π2<3<π，π<4<32π，
等于( A )
1 A.2
B.－12
C.－
3 2
3 D. 2
解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－ 3，
∴r＝2，∴cos α＝12.
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3.若点 P(3，y)是角 α 终边上的一点，且满足 y<0，cos α＝35，则
tan α 等于( D )
A.－34
3 B.4
4 C.3
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(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
解析
因为 sin θ＝
y ＝－2 42＋y2
5
5，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
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探究点三 三角函数值在各象限的符号
思考 上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？ 答 三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号， 取决于x，y的符号. (1)sin α＝yr(r>0)，因此sin α的符号与y的符号相同，当α的终边在 第一、二象限时，sin α>0；当α的终边在第三、四象限时， sin α<0.
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填要点·记疑点
1.任意角三角函数的定义 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的 正弦 ，记作 sin α ，即 sin α＝y ； ②x叫做α的 余弦，记作 cos α ，即 cos α＝x；
明目标、知重点
③yx叫做 α 的 正切 ，记作 tan α ，即tan α＝yx (x≠0).
∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4， ∴tan－234π>0， ∴sin 3·cos 4·tan－234π<0.
明目标、知重点
反思与感悟 准确确定三角函数值中角所在象限是基 础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问 题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、 四余弦”来记忆.
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知Байду номын сангаас点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知 a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B， cos A，tan A，tan B的值.
答 sin A＝cos B＝ac＝35； sin B＝cos A＝bc＝45； tan A＝ab＝34；tan B＝ba＝43.
明目标、知重点
反思与感悟 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需 要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、 纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时， 应分类讨论.
明目标、知重点
跟踪训练1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非 负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝－8 .
明目标、知重点
跟踪训练2 已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
解析
∵cos
θ·tan
θ<0，∴ctaons
θ<0 θ>0
或ctaons
θ>0 θ<0.
cos θ<0 由tan θ>0， 得角 θ 为第三象限角.
明目标、知重点