北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除知识点总结及练习(含答案)
) = x m + n +3 ,②m 为正奇数时,一定有等式 (−4)m = −4 m 成立,
m m
③等式 ( −2) = 2 ,无论 m 为何值时都不成立
2 3 6 3 2 6 2 3 6 ④三个等式: ( − a ) = a , ( − a ) = a ,[ −( − a )] = a 都不成立(
2 n 2
n −1
=__________.
1 ( )100 × (−3)100 2 2004 2003 =_________, {−[ −( −1) ] } =_____. 6. 3
7.若 x = 2, y = 3 ,则 ( xy ) =_______, ( x y ) =_____ ___.
n n n 2 3 n
3
⋅ c5 ⋅ c9 =
=
⋅an ⋅ a p =
⋅q = ⋅b2 =
2
2 m −1
n +1
（ 8） n ⋅ n
2 p +1
⋅ n p −1 =
3．计算： （ 1） − b
3 3 （ 2） ( − a ) ⋅ a =
（ 3） ( − y )
⋅ (− y )3 =
（4） ( − a)
3
⋅ ( − a) 4 =
整式的乘除知识点总结及练习 同底数幂的乘法 知识点汇总
知识点 1、同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂。如 等等。 提示：同底数幂中的底数可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，但 同底数幂。 知识点 2、同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （m,n 是正整数） 。 和 不是 与 ， 与 ， 与 ， 与
7 ( p + q )3 ⋅ ( p + q) =_________, ( 2.
5
2
) n = 4 n a 2 nb 3 n .
3. ( a )
3 (
)Leabharlann ⋅ a 2 = a14 .
2 3 2 2 2 4. (3a ) + ( a ) ⋅ a =__________.
5. ( x y ) ⋅ ( xy )
4
m
4
3 4 3 4 ( （4）根据乘方的意义， a ＝________， a ＝________，因此 a ⋅ a ＝
)
( )+ ( )
2．计算： （ 1） a
4
⋅ a6 =
2
（ 2） b ⋅ b =
5
（ 3） m ⋅ m （ 5） a （ 7） q
m
⋅ m3 =
（4） c ⋅ c （6） t ⋅ t
幂的乘方与积的乘方， 幂的乘方与积的乘方，同底数幂的的除法
知识点： 幂的乘方的性质 积的乘方的性质 同底数幂的除法性质 （一） 、填空题 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方， 等于把积里的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
1 (− ab 2 c) 2 2 n 3 3 1. =________, ( a ) ⋅ a =_________.
这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。 同底数幂的乘法练习题 1．填空： （1） a 叫做 a 的 m 次幂，其中 a 叫幂的________，m 叫幂的________； （2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为 c，指数为 3，这个数为________； （3） ( −2) 表示________， − 2 表示________；
（ 5） − 3
4
⋅ 32 =
2n
（6） ( −5)
7
⋅ (−5)6 =
4
（ 7） ( − q )
3
⋅ (−q )3 =
（8） ( − m)
⋅ ( − m) 2 = ⋅ (−2)5 = ⋅ (−a 3 ) =
（ 9） − 2 = （11） − b
9
（10） ( −2)
4
⋅ ( − b) 6 =
（12） ( − a)
（2）下列式子正确的是（ ） ．
4 A． 3 = 3 × 4 4 4 B． ( −3) = 3 4 4 C． − 3 = 3 4 3 D． 3 = 4
（3）下列计算正确的是（ ） ．
4 4 A． a ⋅ a = a 4 4 8 B． a + a = a 4
C． a + a = 2a
4 4
D． a
4
⋅ a 4 = a16
3
⋅ a 4 = a12 ；
（7） ( −4) = 4 ；
3 3 2 3 （ 9） n + n = n ．
2 3 6 （ 8） 7 × 7 × 7 = 7 ；
5．选择题： （ 1） a A． 2a
2m+2
可以写成（ ） ． B． a
2m
m +1
+ a2
C． a
2m
⋅ a2
2 m +1 D． a ⋅ a
A.b>c>a
6
B.a>b>c
2
C.c>a>b )
D.a<b<c
16.计算 0.25 × ( −32) 等于(
1 A.- 4
1 B. 4
D.关系不确定 )
18
8 2 3 3 2 11.计算 ( − p) ⋅ ( − p ) ⋅ [( − p ) ] 的结果是( 20 A.- p
B. p ( )
20
18 C.- p
D. p
12. 4 × 4 =
x y
A. 16
xy
B. 4
xy
C. 16 )
x+ y
D. 2
2( x + y )
13.下列命题中,正确的有( ① (x
4 3 n 8.若 128 × 8 = 2 ,则 n=__________.
（二） 、选择题 9.若 a 为有理数,则 ( a ) 的值为( A.有理数 B.正数
3 2
) D.正数或 零
C.零或负数 )
3 3 10.若 ( ab ) < 0 ,则 a 与 b 的关系是(
A.异号
B.同号
C.都 不为零
3
4．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
3 2 5 （ 1） 2 × 3 = 6 ； 3 3 6 （ 2） a + a = a ； 2 2 （4） m ⋅ m = m ；
（ 3） y × y = 2 y ；
n n
2n
2 2 4 （ 5） ( − a ) ⋅ ( − a ) = a ；
（ 6） a
)
A.1 个
B.2 个
1 2
C.3 个
D.4 个 )
14.已知│x│=1,│y│=
20 3 3 2 ,则 ( x ) − x y 的值等于(
3 5 A.- 4 或- 4
3 5 B. 4 或 4
3 C. 4
5 D.- 4
)
55 44 33 15. 已知 a = 2 , b = 3 , c = 4 ,则 a、b、c 的大小关系是(
北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.1～1.3 计算综合专项训练（word版含答案）
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1.1～1.3计算综合专项训练1．计算：（1）a2•a3（2）（﹣a2）3（3）a10÷a9（4）（﹣bc）4÷（﹣bc）22．计算：（1）x2•x5﹣x3•x4；（2）m3•m3+m•m5；（3）a•a3•a2+a2•a4；（4）x2•x4+x3•x2•x．3．计算：（1）x3•x3；（2）m2•m3；（3）a3+a3；（4）x2•x2•x2；（5）102•10•105；（6）y3•y2•y4．4．计算：（1）（﹣x）3•x2•（﹣x）4；（2）﹣（﹣a）2•（﹣a）7•（﹣a）4（3）（﹣b）4•（﹣b）2﹣（﹣b）5•（﹣b）；（4）（﹣x）7•（﹣x）2﹣（﹣x）4•x5．5．计算：（1）a3•a2•a （2）．6．计算：（﹣x）•（﹣x）2•（﹣x）3+（﹣x）•（﹣x）5．7．计算：（a﹣b）3•（b﹣a）3+[2（a﹣b）2]3．8．计算：y3•（﹣y）•（﹣y）5•（﹣y）2．9．计算：（1）（﹣8）2011•（﹣0.125）2012；（2）（a﹣b）5（b﹣a）3．10．计算：a3•a•a5+a4•a2•a3．11．计算；（1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2；（2）[（x2）3]2﹣3（x2•x3•x）2；（3）（﹣2a n b3n）2+（a2b6）n；（4）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3．12．计算：（1）59×0.28；（2）×（3）22×42×5613．计算：（1）（﹣8）12×83 （2）210×410 （3）（m4）2+m5•m3（4）﹣[（2a﹣b）4]2 （5）（3xy2）2 （6）（a﹣b）5（b﹣a）3（1）﹣12008×|﹣．（2）．15．计算：（1）（）﹣1+（﹣2）3×（π﹣2）0；（2）（﹣a2）3﹣a2•a4+（﹣2a4）2÷a2．16．计算：（1）（y2）3÷y6•y （2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）217．计算：﹣（）2×9﹣2×（﹣）÷+4×（﹣0.5）2（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y219．计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]．20．计算：（1）（﹣2ab）•（﹣3ab）3（2）5x2•（3x3）2（4）（﹣0.16）•（﹣10b2）3（4）（2×10n）（×10n）21．计算：（）100×（1）100×（0.5×3）2019×（﹣2×）2020．22．计算：（1）﹣2﹣17﹣（﹣27）+（﹣10）；（2）﹣；（4）a2﹣2（a2﹣3ab）﹣ab；（4）a•a5+（﹣2a3）2+（﹣3a2）3；（5）解方程：3（2x﹣1）＝2x+3；（6）解方程：．答案提示1．解：（1）a2•a3＝a5；（2）（﹣a2）3＝﹣a6；（3）a10÷a9＝a（a≠0）；（4）（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2；2．解：（1）x2•x5﹣x3•x4＝x7﹣x7＝0；（2）m3•m3+m•m5＝m6+m6＝2m6；（3）a•a3•a2+a2•a4＝a1+3+2+a2+4＝a6+a6＝2a6；（4）x2•x4+x3•x2•x＝x6+x6＝2x6．3．解：（1）x3•x3＝x3+3＝x6；（2）m2•m3＝m2+3＝m5；（3）a3+a3＝2a3；（4）x2•x2•x2＝x2+2+2＝x6；（5）102•10•105＝102+1+5＝108；（6）y3•y2•y4＝y3+2+4＝y9．4．解：（1）（﹣x）3•x2•（﹣x）4＝﹣x3•x2•x4＝﹣x9；（2）﹣（﹣a）2•（﹣a）7•（﹣a）4＝﹣a2•（﹣a7）•a4＝a13；（3）（﹣b）4•（﹣b）2﹣（﹣b）5•（﹣b）＝b4•b2﹣（﹣b5）•（﹣b）＝b6﹣b6＝0；（4）（﹣x）7•（﹣x）2﹣（﹣x）4•x5＝（﹣x7）•x2﹣x4•x5＝﹣x9﹣x9＝﹣2x9．5．解：（1）原式＝a3+2+1＝a6；（2）原式＝（﹣）2008×（）2008×（﹣）＝﹣．6．解：原式＝﹣x•x2•（﹣x3）﹣x•（﹣x5）＝x6+x6＝2x6．7．解：原式＝﹣（a﹣b）6+8（a﹣b）6＝7（a﹣b）68．解：原式＝y3•（﹣y）•（﹣y）5•y2＝y3•（﹣y）•（﹣y5）•y2＝y3•y•y5•y2＝y3+1+5+2＝y11．9．解：（1）原式＝（﹣8）2011•（﹣）2011•（﹣），＝[﹣8×（﹣）]2011×（﹣），＝1×（﹣），＝﹣；（2）原式＝（a﹣b）5•[﹣（a﹣b）]3＝﹣（a﹣b）8．10．解：a3•a•a5+a4•a2•a3＝a9+a9＝2a9．11．解：（1）原式＝x6+x6﹣2x6＝0；（2）原式＝（x6）2﹣3（x6）2＝x12﹣3x12＝﹣2x12；（3）原式＝4a2n b6n+a2n b6n＝5a2n b6n；（4）原式＝9x6﹣（﹣x6）+4x2﹣（﹣x3）＝9x6+x6+4x2+x3＝10x6+x3+4x2．12．解：（1）59×0.28＝（5×0.2）8×5＝1×5＝5；（2）（﹣）9×（）9＝[（﹣）×]9＝（﹣1）9＝﹣1；（3）22×42×56＝22×52×42×54＝（2×5）2×42×252＝102×（4×25）2＝102×1002＝102×104＝106．13．解：（1）（﹣8）12×83＝812×83＝815；（2）210×410＝210×（22）10＝210×220＝230；（3）（m4）2+m5•m3＝m8+m8＝2m8；（4）﹣[（2a﹣b）4]2＝﹣（2a﹣b）8；（5）（3xy2）2＝9x2y4；（6）（a﹣b）5（b﹣a）3＝﹣（a﹣b）5（a﹣b）3＝﹣（a﹣b）8．14．解：（1）原式＝﹣1×+1﹣＝﹣+＝0；（2）原式＝224×（）8﹣（）100×（）100×＝（2×）24﹣（×）100×＝1﹣＝﹣．15．解：（1）原式＝3+（﹣8）×1＝﹣5；（2）原式＝﹣a6﹣a6+4a6＝2a6．16．解：（1）（y2）3÷y6•y＝y6÷y6•y＝y；（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4．17．解：＝×××+4×＝+1＝118．解：（1）原式＝﹣1+1﹣3＝﹣3；（2）原式＝﹣8x6y3﹣4x6y2+6x6y3+2x6y2＝﹣2x6y3﹣2x6y2．19．解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（n﹣m）2+3+4，＝（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1＝b6n•b12n÷b5n+5＝b6n+12n﹣5n﹣5＝b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2＝a6﹣a6+4a6＝4a6；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]＝﹣64a3m+3÷8a2m+1＝﹣8a m+220．解：（1）（﹣2ab）•（﹣3ab）3＝（﹣2ab）•（﹣27a3b3）＝54a4b4；（2）5x2•（3x3）2＝5x2•（9x6）＝45x8；（3）（﹣0.16）•（﹣1000b6）＝160b6；（4）（2×10n）（×10n）＝102n.21．解：原式＝×＝＝＝．22．解：（1）﹣2﹣17﹣（﹣27）+（﹣10）＝﹣19+27﹣10＝﹣2；﹣（2）＝＝；（3）a2﹣2（a2﹣3ab）﹣ab＝a2﹣2a2+6ab﹣ab＝﹣a2+5ab；（4）a•a5+（﹣2a3）2+（﹣3a2）3＝a6+4a6﹣27a6＝﹣22a6；（5）解方程：3（2x﹣1）＝2x+3去括号，得6x﹣3＝2x+3移项，得6x﹣2x＝3+3合并同类项，得4x＝6系数化为1，得；（6）解方程：去分母，得2（x+3）＝4﹣（2x﹣1）去括号，得2x+6＝4﹣2x+1移项，得2x+2x＝4+1﹣6合并同类项，得4x＝﹣1系数化为1，得．。
新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题
第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。
北师大新版七年级下册《第1章 整式的乘除》2含解析版答案
北师大新版七年级下册《第1章整式的乘除》一、选择题1．（3分）下列等式不成立的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a5÷a2＝a3C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2D．（a+b）2＝（﹣a+b）22．（3分）如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．30 B．±30 C．15 D．±153．（3分）若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．204．（3分）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b25．（3分）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（）A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣86．（3分）若x2﹣x﹣m＝（x﹣m）（x+1）且x≠0，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（3分）若3x＝18，3y＝6，则3x﹣y＝（）A．6 B．3 C．9 D．128．（3分）下列各式中为完全平方式的是（）A．x2+2xy+4y2B．x2﹣2xy﹣y2C．﹣9x2+6xy﹣y2D．x2+4x+169．（3分）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．403210．（3分）利用平方差公式计算（2x﹣5）（﹣2x﹣5）的结果是（）A．4x2﹣5 B．4x2﹣25 C．25﹣4x2D．4x2+2511．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a、b的值分别为（）A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝﹣6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 12．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（题型注释）13．（3分）已知x m＝3，y n＝2，求（x2m y n）﹣1的值．14．（3分）若a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，则a＝，b＝．15．（3分）（﹣5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b216．（3分）99×101＝（）×（）＝．17．（3分）若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为．18．（3分）若a+b＝6，ab＝4，则（a﹣b）2＝．19．（3分）若a2+b2＝5，ab＝2，则（a+b）2＝．20．（3分）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，若＝6，则x＝．三、计算题21．化简求值．（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a＝3，b＝﹣．22．（16分）计算（1）a3b2c÷a2b（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3（3）（﹣4x﹣3y）2（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）四、解答题23．若a2b+ab2＝30，ab＝6，求下列代数式的值：（1）a2+b2；（2）a﹣b．24．先化简，再求值：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a、b满足2a﹣8b﹣5＝0．25．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．北师大新版七年级下册《第1章整式的乘除》参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列等式不成立的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a5÷a2＝a3C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2D．（a+b）2＝（﹣a+b）2【分析】分别根据幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、（ab）2＝a2b2，故本选项错误；B、a5÷a2＝a3，故本选项错误；C、（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故本选项错误；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab≠（﹣a+b）2＝a2+b2﹣2ab故本选项正确．故选：D．2．（3分）如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．30 B．±30 C．15 D．±15【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx＝±2×3x×5＝±30x，故k ＝±30．【解答】解：∵（3x±5）2＝9x2±30x+25，∴在9x2+kx+25中，k＝±30．故选：B．3．（3分）若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20【分析】把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．【解答】解：x2+mx+36＝（x﹣2）（x﹣18）＝x2﹣20x+36，可得m＝﹣20，故选：A．4．（3分）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积．【解答】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．故选：C．5．（3分）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（）A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含x的一次项就是含x项的系数等于0，求解即可．【解答】解：∵（x+m）（x﹣8）＝x2﹣8x+mx﹣8m＝x2+（m﹣8）x﹣8m，又结果中不含x的一次项，∴m﹣8＝0，∴m＝8．故选：A．6．（3分）若x2﹣x﹣m＝（x﹣m）（x+1）且x≠0，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【解答】解：x2﹣x﹣m＝（x﹣m）（x+1）＝x2+（1﹣m）x﹣m，可得1﹣m＝﹣1，解得：m＝2．故选：D．7．（3分）若3x＝18，3y＝6，则3x﹣y＝（）A．6 B．3 C．9 D．12【分析】根据同底数幂除法法则进行计算即可．【解答】解：∵3x＝18，3y＝6，∴3x﹣y＝＝3．故选：B．8．（3分）下列各式中为完全平方式的是（）A．x2+2xy+4y2B．x2﹣2xy﹣y2C．﹣9x2+6xy﹣y2D．x2+4x+16【分析】完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个，根据以上内容逐个判断即可．【解答】解：A、x2+2xy+y2才是完全平方式，而x2+2xy+4y2不是完全平方式，故本选项错误；B、x2﹣2xy+y2才是完全平方式，而x2﹣2xy﹣y2不是完全平方式，故本选项错误；C、﹣9x2+6xy﹣y2＝﹣（3x﹣y）2，是完全平方式，故本选项正确；D、x2+4x+4才是完全平方式，而x2+4x+16不是完全平方式，故本选项错误；故选：C．9．（3分）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．4032【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：（m﹣n）2＝32，m2﹣2mn+n2＝32 ①，（m+n）2＝4000，m2+2mn+n2＝4000 ②，①+②得：2m2+2n2＝4032m2+n2＝2016．故选：C．10．（3分）利用平方差公式计算（2x﹣5）（﹣2x﹣5）的结果是（）A．4x2﹣5 B．4x2﹣25 C．25﹣4x2D．4x2+25【分析】利用平方差公式进行计算即可得解．【解答】解：（2x﹣5）（﹣2x﹣5），＝（﹣5）2﹣（2x）2，＝25﹣4x2．故选：C．11．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a、b的值分别为（）A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝﹣6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与b 的值即可．【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+ax+b，∴a＝1，b＝﹣6．故选：B．12．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5，故选：C．二、填空题（题型注释）13．（3分）已知x m＝3，y n＝2，求（x2m y n）﹣1的值．【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：x﹣2m＝（x m）﹣2＝3﹣2＝，y﹣n＝（y n）﹣1＝．（x2m y n）﹣1＝x﹣2m y﹣n＝×＝，故答案为：．14．（3分）若a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，则a＝ 2 ，b＝ 5 ．【分析】运用配方法把原式化为（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值．【解答】解：∵a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，解得a＝2，b＝5．15．（3分）（﹣5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2【分析】根据平方差公式的逆用找出这两个数写出即可．【解答】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，∴应填：﹣5a2﹣4b2．故选：C．16．（3分）99×101＝（100﹣1 ）×（100+1 ）＝9999 ．【分析】直接利用平方差公式进行计算得出答案．【解答】解：99×101＝（100﹣1）×（100+1）＝9999．故答案为：9999．17．（3分）若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 1 ．【分析】运用平方差公式，化简代入求值，【解答】解：因为a﹣b＝1，a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣2b＝a﹣b＝1，故答案为：1．18．（3分）若a+b＝6，ab＝4，则（a﹣b）2＝20 ．【分析】根据完全平方公式，对已知的算式和各选项分别整理，得出a2+b2＝28，然后再去括号即可得出答案．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝4，∴（a+b）2＝36，a2+b2+2ab＝36，∴a2+b2＝28，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝28﹣8＝20，故答案为：20．19．（3分）若a2+b2＝5，ab＝2，则（a+b）2＝9 ．【分析】根据完全平方公式直接代入解答即可．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴把a2+b2与ab代入，得（a+b）2＝5+2×2＝9．20．（3分）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，若＝6，则x＝±．【分析】根据新定义得到（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝6，然后整理得到x2＝2，再利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：根据题意得（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝6，整理得x2＝2，x＝±，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为±．三、计算题21．化简求值．（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a＝3，b＝﹣．【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣b2+a2+2ab+b2＝2a2+2ab，当a＝3，b＝﹣时，原式＝18﹣2＝16．22．（16分）计算（1）a3b2c÷a2b（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3（3）（﹣4x﹣3y）2（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）【分析】（1）根据单项式除以单项式法则进行计算即可；（2）先算乘方，再算乘法即可；（3）根据完全平方公式进行计算即可；（4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后根据完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（1）a3b2c÷a2b＝abc；（2）（﹣x3）2•（﹣x2）3＝x6•（﹣x6）＝﹣x12；（3）（﹣4x﹣3y）2＝16x2+24xy+9y2；（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣4y2+12y﹣9．四、解答题23．若a2b+ab2＝30，ab＝6，求下列代数式的值：（1）a2+b2；（2）a﹣b．【分析】（1）已知等式左右两边相除，利用多项式除以单项式法则计算求出a+b的值，两边平方后利用完全平方公式化简，将ab的值代入计算即可求出所求式子的值；（2）将原式平方，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算，开方即可求出值．【解答】解：（1）由a2b+ab2＝30，ab＝6，得（a2b+ab2）÷ab＝ab（a+b）÷ab＝30÷6＝5，即a+b＝5，∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣2×6＝13；（2）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣2×6＝1，∴a﹣b＝±1．24．先化简，再求值：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a、b满足2a﹣8b﹣5＝0．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后算除法，代入求出即可．【解答】解：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a）＝[ab﹣3b2﹣3a2﹣2ab+6a2﹣9ab﹣2ab+3b2]÷（﹣3a）＝（3a2﹣12ab）÷（﹣3a）＝﹣a+4b，∵2a﹣8b﹣5＝0，∴2a﹣8b＝5，∴﹣a+4b ＝﹣，∴原式＝﹣．25．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y＝3，（x+2）（y+2）＝12，∴xy+2x+2y+4＝12，∴xy+2（x+y）＝8，∴xy+2×3＝8，∴xy＝2；（2）∵x+y＝3，xy＝2，∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝32+2＝11．11/ 11。
北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除知识点总结及练习题
☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】第一章 整式的乘除一、 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法规 : a ma n a m n ( m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法规,在应用法规运算时,要注意以下几点 :①法规使用的前提条件是：幂的底数相同并且是相乘时，底数 a 可以是一个详尽的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是 1 时，不要误认为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不但底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法规可推行为a m a n a pa m n p （此中 m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用： a m na m a n （m 、n 均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1. 幂的乘方法规：(a m )namn( m,n 都是正数 ) 是幂的乘法法规为基础推导出来的, 但二者不可以混淆 .2.( a m ) n (a n )m a mn (m, n 都为正数 ) .3. 底数有负号时 , 运算时要注意 , 底数是 a 与 (-a) 时不是同底，但可以利用乘方法规化成同底，如将（ -a ） 3 化成 -a 3一般地 ,( a)nn 当 为偶数时),a (na n当 为奇数时 ).( n 4 ．底数有时形式不一样，但可以化成相同。
5 ．要注意差别（ ab ） n 与（ a+b ）n 意义是不一样的，不要误认为（ a+b ） n =a n +b n （a 、b 均不为零）。
6 ．积的乘方法规：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab) na nb n （ n为正整数）。
7 ．幂的乘方与积乘方法规均可逆向运用。
三 . 同底数幂的除法1. 同底数幂的除法法规 : 同底数幂相除 , 底数不变 , 指数相减 , 即 ama n a m n (a ≠0,m 、 n 都是正数 ,且 m>n).2. 在应用时需要注意以下几点 :①法规使用的前提条件是“同底数幂相除”并且 0 不可以做除数 , 因此法规中 a ≠0.②任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1, 即a1( a 0) , 如 100 1 ,=1), 则 0无心义 .③任何不等于 0 的数的 -p 次幂 (p 是正整数 ), 等于这个数的 p 的次幂的倒数 , 即ap1( a ≠0,p 是正整数 ), 而 0-1 ,0 -3 都是a p1 无心义的 ; 当 a>0 时,a -p 的值必定是正的 ; 当 a<0 时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如(-2)-21,(2)348④运算要注意运算序次 .四 . 整式的乘法1.单项式乘法法规 : 单项式相乘 , 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
新北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》单元复习题含答案解析 (37)
一、选择题（共10题）1. 在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b （a >b ）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为 S 1，图 2 中阴影部分的面积为 S 2，当 AD −AB =2 时，S 2−S 1 的值为 ( )A ． 2aB ． 2bC ． 2a −2bD ． −2b2. 已知 (2x +m )2=4x 2+nx +9，则 n 的值为 ( ) A ． ±6 B ． ±12 C ． ±18 D ． ±363. 设 a =999999，b =119990，则 a ，b 的大小关系是 ( ) A ． a =b B ． a >b C ． a <bD ．以上三种都不对4. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如 8=32−12，16=52−32，则 8，16 均为“和谐数”），在不超过 220 的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ( ) A ． 3014 B ． 3024 C ． 3034 D ． 30445. 任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n =s ×t （s ，t 是正整数，且 s ≤t ），如果 p ×q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p ×q 是 n 的最佳分解，并规定：F (n )=pq ．例如 18 可以分解成 1×18，2×9，3×6 这三种，这时就有 F (18)=36=12，给出下列关于 F (n ) 的说法：① F (2)=12，② F (48)=13；③ F (n 2+n )=n n+1；④若 n 是一个完全平方数，则 F (n )=1，其中正确说法的个数是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 16. 计算：[6(a −b )6+3(a −b )2]÷3(a −b )2 的值是 ( ) A ． 2(a −b )3+1 B ． 2(a −b )3 C ． 2(a −b )4+1D ． 2(a −b )47. 为了书写简便，18 世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．例如：∑k n k=1=1+2+3+⋯+(n −1)+n ，∑(x +k )n k=5=(x +5)+(x +6)+(x +7)+⋯+(x +n )．已知：∑[(x +k )(x −nk=3k +1)]=4x 2+4x +m ，则 m 的值为 ( ) A ． 40B ． −68C ． −40D ． −1048. 如图所示的是用 4 个全等的小长方形与 1 个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为 144，小正方形的面积为 4，若分别用 x ，y (x >y ) 表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是 ( )A ． x 2+y 2=100B ． x −y =2C ． x +y =12D ． xy =359. 若一个正方形的面积为 (a +1)(a +2)+14，则该正方形的边长为 ( )A ． a −2B ． a +32C ． a +2D ． a +5210. 如图 1，把一个长为 2m ，宽为 2n (m >n ) 的长方形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小长方形，最后按图 2 那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是 ( )A ． 2mB ． (m +n )2C ． (m −n )2D ． m 2−n 2二、填空题（共7题）11. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形 ⋯，按这样的方法拼成的第 (n +1) 个正方形比第 n 个正方形多 个小正方形．12.若代数式x2+2x−7可以表示为(x−2)2+a(x−2)+1的形式，则a=．13.用平方差公式计算：10002499×501+1=10002( +1)( −1)+1=10002( )2−1+1=．14.若x+1x =√8，则x−1x=．15.计算：(12+13+⋯+12019)(1+12+13+⋯+12018)−(1+12+13+⋯+12019)(12+13+⋯+12018)=．16.当m+n=1时，代数式(3mm2−mn +1m−n)⋅(m2−n2)的值为．17.已知x+y=1，xy=−2，则式子(1−x)(1−y)的值为．三、解答题（共8题）18.阅读理解题阅读材料：两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是；将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）．比如47×43，它们的乘积的前两位是4×(4+1)=20，它们乘积的后两位是7×3=21．所以47×43=2021；再如62×68，它们乘积的前两位是6×(6+1)=42，它们乘积的后两位是2×8=16，∴62×68=4216．又如21×29，2×(2+1)=6，不足两位，就将6写在百位；1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29=609．该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+(10−b)．两数相乘可得：(10a+b)[10a+(10−b)]=100a2+10a(10−b)+10ab+b(10−b)=100a2+100a+b(10−b)=100a(a+1)+b(10−b).（注：其中a(a+1)表示计算结果的前两位，b(10−b)表示计算结果的后两位．）问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如44×73，77×28，55×64等．(1) 探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤．(2) 设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为．设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为．（a，b表示1∼9的正整数）(3) 请针对问题（1），（2）的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．如：100a(a+1)+b(10−b)的运算式．19.两个多项式x2+x+2与ax+b的乘积中不出现常数项，且二次项系数为1，求a，b的值．20.数学的趣味无处不在，在学习数学的过程中，小明发现了有规律的等式：(x2−1)÷(x−1)=x+1；(x3−1)÷(x−1)=+x2+x+1；(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1；(x5−1)÷(x−1)=x4+x3+x2+x+1；……(1) 从计算过程中找出规律，可知：① (x8−1)÷(x−1)=；② =x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1．(2) 计算：2n+2n−1+⋯+x3+x2+x+1（结果用含的式子表示）(3) 对于算式：2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)(364+1)+1①计算出算式的值（结果用乘方表示）；②直接写出结果的个位数字是几？21.探索题：(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1．(1) 观察以上各式并猜想：① (x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=；② (x−1)(x n+x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1)=．(2) 请利用上面的结论计算：① (−2)50+(−2)49+(−2)48+⋯+(−2)+1；②若x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1=0，求x2016的值．22.解答下列问题．(1) 按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值：(a−b)2a2−2ab+b2 a=4,b=24a=−1,b=316a=−2,b=−5(2) 比较表中两代数式计算结果，请写出你发现(a−b)2与a2−2ab+b2有什么关系？(3) 利用你发现的结论，求20172−4034×2015+20152．23.先化简，再求值：(x+3)(x−3)−2x(x+3)+(x−1)2，其中x=−12．24.阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数a2−2a+2的最小值吗？小明作出了如下的回答：在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来．a2−2a+2=a2−2⋅a⋅1+12+1=(a−1)2+1，∵完全平方式是非负的，∴它一定大于等于0，余下的1为常数，∴有a2−2a+2=(a−1)2+1≥1．∴a2−2a+2的最小值是1，当且仅当a−1=0即a−1时取得最小值．其中，我们将代数式a2−2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题：(1) 记S=(x+3)2+4，求S的最小值，并说明x取何值时S最小．(2) 已知a2+b2+6a−8b+25=0，求a，b的值．(3) 记T=a2+2ab+3b2+4b+5，求T的最小值，并说明a，b取何值时T最小．25.观察下列等式：(a−b)(a+b)=a2−b2，(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3，(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4，⋯利用你的发现的规律解决下列问题：(1) (a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=（直接填空）．(2) (a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+ab n−2+b n−1)=（直接填空）．(3) 利用（2）中的结论求62019+62018+⋯+62+6+1的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a) =(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a),S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a),∴S2−S1=AB(AD−a)(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a) =(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b.【知识点】多项式乘多项式2. 【答案】B【解析】因为(2x+m)2=4x2+4mx+m2=4x2+nx+9，所以4m=n，m2=9，所以m=±3，n=±12，故选B．【知识点】完全平方公式3. 【答案】A【解析】a÷b=999999÷119990=999999×990119=99999×119=1；∵a÷b=1；∴a=b．【知识点】同底数幂的除法4. 【答案】B【解析】由(2n+1)2−(2n−1)2=8n≤220，解得n≤27.5，则在不超过220的正整数中，所有“和谐数”之和为：32−12+52−32+⋯+552−532=552−12=3025−1=3024．故选：B．【知识点】平方差公式5. 【答案】B【解析】∵2=1×2，∴1×2是2的最佳分解，∴F(2)=12，即①正确；∵48=1×48，48=2×24，48=3×16，48=4×12，48=6×8，∴6×8是48的最佳分解，∴F(48)=68=23，即②错误；∵n2+n=n(n+1)，∴F(n2+n)=nn+1，即③正确；若n是一个完全平方数，则设n=a×a（a是正整数），∴F(n)=aa=1，即④正确；综上所述，①③④正确，共三个．【知识点】单项式乘多项式6. 【答案】C【知识点】多项式除以单项式7. 【答案】B【知识点】多项式乘多项式8. 【答案】A【解析】由题意可得(x+y)2=144，(x−y)2=4，∴x+y=12，x−y=2，故BC错误；∴x=7，y=5，∴xy=35，故D错误；∴x2+y2=84≠100，故A正确．【知识点】完全平方公式9. 【答案】B【解析】(a+1)(a+2)+14=a2+3a+94=(a+32)2，故正方形的边长为：a+32．【知识点】完全平方公式10. 【答案】C【知识点】完全平方公式二、填空题（共7题）11. 【答案】2n+3【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4=22，第2个正方形需要9个小正方形，9=32，第3个正方形需要16个小正方形，16=42，⋯，∴第n+1个正方形有(n+1+1)2个小正方形，第n个正方形有(n+1)2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多(n+2)2−(n+1)2=2n+3个小正方形．【知识点】用代数式表示规律、完全平方公式12. 【答案】6【解析】(x−2)2+a(x−2)+1 =x2−4x+4+ax−2a+1 =x2+(a−4)x+5−2a,∵代数式x2+2x−7可以表示为(x−2)2+a(x−2)+1的形式，∴5−2a=−7，解得a=6．【知识点】完全平方公式13. 【答案】500；500；500；4【知识点】平方差公式14. 【答案】±2【知识点】完全平方公式15. 【答案】12019【解析】设12+13+⋯+12019=a，12+13+⋯+12018=b，则(1 2+13+⋯+12019)(1+12+13+⋯+12018)−(1+12+13+⋯+12019)(12+13+⋯+12018)=a⋅(1+b)−(1+a)⋅b =a+ab−b−ab=a−b.代入12+13+⋯+12019=a，12+13+⋯+12018=b，则原式=12+13+⋯+12019−(12+13+⋯+12018)=12019.【知识点】单项式乘多项式16. 【答案】4【知识点】分式的混合运算17. 【答案】−2【知识点】多项式乘多项式、简单的代数式求值三、解答题（共8题）18. 【答案】(1) ∵4×7+4=32，4×3=12，∴44×73=3212．(2) 10a+a；10b+(10−b)(3) 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字也是a，则该数可表示为10a+a，设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10−b)（a，b表示1到9的整数）．两数相乘可得：(10a+a)[10b+(10−b)]=100ab+10a(10−b)+10ab+a(10−b)=100ab+100a+a(10−b)=100a(b+1)+a(10−b).【解析】(2) 十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a，另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10−b)．【知识点】多项式乘多项式、有理数的乘法、简单列代数式19. 【答案】(x2+x+2)(ax+b)ax3+bx2+ax2+bx+2ax+2bax3+(b+a)x2+(b+2a)x+2b2b=0b=0b+a=1a=1∴a=1，b=0．【知识点】多项式乘多项式20. 【答案】(1) x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；(x n−1)÷(x−1)．(2) 由（1）知，(x n−1)÷(x−1)=x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1，所以(x n+1−1)÷(x−1)=x n+x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1，当x=2时，(2n+1−1)÷(2−1)=2n+2n−1+2n−2+⋯+x3+x2+x+1=2n+1−1，所以原式=2n+1−1．(3) ①2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)(364+1)+1=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)(364+1)+1 =3128−1+1=3128;② ∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729个位数字是按3，9，7，1循环的；∴128÷4=32，即3128个位数字是第32组末位数，为1．故答案为：x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；(x n−1)÷(x−1)．【解析】(1) ① (x8−1)÷(x−1)=x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1；② (x n−1)÷(x−1)=x n−1+x n−2+⋯+x3+x2+x+1．【知识点】用代数式表示规律、平方差公式21. 【答案】(1) ① x7−1；② x n+1−1(2) ①(−2)50+(−2)49+(−2)48+⋯+(−2)+1=[(−2)51−1]÷(−2−1)=251+13.②因为x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1=0，所以(x−1)(x1007+x1006+⋯+x3+x2+x+1)=x1008−1=0，所以x1008=1，所以x2016=(x1008)2=12=1．【知识点】多项式乘多项式22. 【答案】(1) 填表如下：(a−b)2a2−2ab+b2 a=4,b=244a=−1,b=31616a=−2,b=−599(2) 由表格可知，(a−b)2=a2−2ab+b2．(3) 由（2）中的等式可知：20172−4034×2015+20152=20172−2×2017×2015+20152=(2017−2015)2= 4.【知识点】简单的代数式求值、用代数式表示规律、完全平方公式23. 【答案】(x+3)(x−3)−2x(x+3)+(x−1)2 =x2−9−2x2−6x+x2−2x+1=−8x−8.当 x =−12 时，原式=−8×(−12)−8=4−8=−4.【知识点】平方差公式、完全平方公式24. 【答案】(1) ∵(x +3)2≥0，∴(x +3)2+4≥4，即：S ≥4，∴S 最小=4，∴x +3=0⇒x =−3，故当 x =−3 时，S 最小=4．(2) a 2+b 2+6a −8b +25=0，a 2+6a +32−32+b 2−8b +42−42+25=0，(a 2+6a +32)+(b 2−8b +42)−32−42+25=0，(a +3)2+(b −4)2=0，又 ∵(a +3)2≥0，(b −4)2≥0，要使 (a +3)2+(b −4)2=0，∴(a +3)2 与 (b −4)2 同时为 0，∴{a +3=0,b −4=0⇒{a =−3,b =4.(3) T =a 2+2ab +3b 2+4b 2+5=a 2+2ab +b 2+2b 2+4b +2×22−2×22+5=(a +b )2+2(b 2+4b +22)−2×22+5=(a +b )2+2(b +2)2−3.∵(a +b )2≥0，2(b +2)2≥0，∴T =(a +b )2+2(b +2)2−3≥−3，∴T 最小=−3，此时 a +b =0 且 b +2=0⇒a =2，b =−2，故当 a =2，b =−2 时，T 最小=−3．【知识点】有理数的乘方、完全平方公式25. 【答案】(1) a 5−b 5(2) a n −b n(3) 由(a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n−b n，得：62019+62018+⋯+62+6+1，可转化为(6−1)(62019+62018+⋯+62+6+1)=62020−1，∴62019+62018+⋯+62+61+1=(62020−1)×15(62020−1).=15【解析】(1) 由规律可得原式(a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5−b5．(2) 由规律可得原式(a−b)(a n−1+a n−2b+a n−3b2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n−b n．【知识点】多项式乘多项式。
北师版七年级数学下册第一章整式的乘除基础知识复习总结
北师版七年级数学下册第一章整式的乘除基础知识复习总结一、整式的乘法公式：1、同底数幂的乘法，底数，指数。
即：nm nmaaa（m ,n 都是正整数）。
填空：（1）6533（2）12m mbb 2、幂的乘方，底数，指数。
即：mnnm aa（m ,n 都是正整数）。
填空：（1）232＝（2）55b（3）312n x3、积的乘方等于。
即：nn nb a ab（n 是正整数）填空：（1）23x（2）32b（3）421xy＝4、整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
如：xyzxy 3122。
)4()2(232xy y x ＝（2）单项式与多项式相乘，b a ab ab 22324＝（3）多项式与多项式相乘，yx y x 22方程)4)(1()3(2xx x x ）（的解为（4）平方差公式：22b a b a b a 。
计算：xx 8585（2x －5）（2x +5）－2x （2x －3）＝用平方差公式进行计算：（1）103×97 ；（2）118×122（5）完全平方公式：2222b ab aba ，2222b ab aba 。
计算：（1）242x（2）22amn（3）利用完全平方公式计算：(1) 1022; (2) 1972变形应用：22()()a b a b ；22()()a b a b ；222()a b a b =2()a b 。
已知:a+b =5,ab =-6,求下列各式的值(1)(a+b )2(2)a 2+b2（3）若条件换成a-b =5,ab =-6,你能求出a 2+b 2的值吗?二、整式的除法公式：1、同底数幂相除，底数，指数。
即：nm nmaaa （n m n m a ＞都是正整数，且,,0），0a，pa（是正整数p a ,0）填空：（1）47aa（2）36xx2、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
word版北师大版七年级教学下册数学第一章节整式乘除附答案
word整理版七年级数学下册——第一章整式的乘除（复习）单项式整式多项式整同底数幂的乘法幂的乘方式积的乘方的幂运算同底数幂的除法零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完整平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1.以下运算正确的选项是（）A .a4a5a9 B.a3a3a33a3C. 2a43a56a9D.a34a7 2012320122 .5（）135A.1B.1 C.0D.19973 .设5a3b25a3b2A，则A=（）A.30abB.60abC.15abD.12ab4 .已知x y 5,xy3,则x2y2（）A.25.B2519、195 .已知x a3,x b5,则x3a2b（）、27B 、9C、3D、52215506 ..如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四a b种表示该长方形面积的多项式：m学习参照资料nword整理版①(2a+b)(m+n); ②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b); ④2am+2an+bm+bn，你以为此中正确的有A 、①②B、③④C、①②③D、①②③④（）7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A 、–3B、3C、0D、18．已知.(a+b)=9，ab=－12，则a2+b的值等于（）A 、84、78C、12D、64）9．计算（a－b）（a+b）（a+b）（a－b）的结果是（A．a8+2a4 b4+b8B．a8－2a4b4+b8．a8+b8D．a8－b81 0.已知P m 1,Qm28m（m为随意实数），则P、Q的大小关系为1515（）A、P Q B 、P Q、PQ D、不可以确立二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）1 1.设4x2mx121是一个完整平方式，则m=_______。
北师大版七年级下册数学一章整式的运算知识点归纳附一章测试卷及参考答案
北师大版七年级下册数学一章整式的运算知识点归纳附一章测试卷及参考答案@考点归纳1. 单项式一、整式2. 多项式1. 同底数幂的乘法2. 幂的乘方3. 积的乘方二、幂运算 4. 同底数幂的除法5. 零指数幂6. 负指数幂1. 整式的加减（1）.单项式与单项式相乘（2）.单项式与多项式相乘2. 整式的乘法（3）.多项式与多项式相乘三、整式运算（4）.平方差公式（5）.完全平方公式（1）.单项式除以单项式3.整式的除法（2）.多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或-1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
新北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》单元练习题含答案解析 (52)
一、选择题（共10题）1. 若 a ，b 是实数，则 2(a 2+b 2)(a +b )2 的值必是 ( ) A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数2. 下列计算正确的是 ( ) A ． (−2a )3=−8a 3 B ． a 2⋅a 2=2a 4 C ． (a 3)2=a 5D ． a 3÷a 3=a3. 下列运算正确的是 ( ) A ． a 3⋅a 2=a 5 B ． 2a 2+a 2=2a 3 C ． (a 3)2=a 5 D ． (3a )3=3a 34. 计算 (−2)1000⋅(12)999⋅22+22+22+⋯+22⏟64个的结果为 ( )A ． −29B ． 2129C ． 29D ． −21295. 任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n =s ×t （s ，t 是正整数，且 s ≤t ），如果 p ×q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p ×q 是 n 的最佳分解，并规定：F (n )=pq ．例如 18 可以分解成 1×18，2×9，3×6 这三种，这时就有 F (18)=36=12，给出下列关于 F (n ) 的说法：① F (2)=12，② F (48)=13；③ F (n 2+n )=n n+1；④若 n 是一个完全平方数，则 F (n )=1，其中正确说法的个数是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 16. 为了书写简便，18 世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．例如：∑k n k=1=1+2+3+⋯+(n −1)+n ，∑(x +k )n k=5=(x +5)+(x +6)+(x +7)+⋯+(x +n )．已知：∑[(x +k )(x −n k=3k +1)]=4x 2+4x +m ，则 m 的值为 ( ) A ． 40 B ． −68 C ． −40 D ． −1047. 下列计算正确的是 ( ) A ． a 3+a 3=a 6 B ． (a 3)2=a 6 C ． a 6÷a 2=a 3 D ． (ab )3=ab 38. 下列有四个结论，其中正确的是 ( ) ①若 (x −1)x+1=1，则 x 只能是 2；②若 (x −1)(x 2+ax +1) 的运算结果中不含 x 2 项，则 a =1；③若 a +b =10，ab =2，则 a −b =2； ④若 4x =a ，8y =b ，则 22x−3y 可表示为 ab ．A ．①②③④B ．②③④C ．①③④D ．②④9. 计算 (−110a 2y)3⋅(10a 2y 2) 的结果是 ( ) A ． −1100a 8y 5 B ． −a 4y 5C ．1100a 8y 5D ． −310a 8y 510. 若 x +1x =3，求x 2x 4+x 2+1的值是 ( )A ． 18B ．110C ． 12D ． 14二、填空题（共7题） 11. 填空．（1）已知 x +y =5，xy =3，则 x 2+y 2 的值为 ． （2）已知 x −y =5，x 2+y 2=51，则 (x +y )2 的值为 ．（3）已知 x +y +z =1，x 2+y 2−3z 2+4z =7，则 xy −z (x +y ) 的值为 ．12. 已知 x 2+2x +2y +y 2+2=0，则 x 2018+y 2019= ．13. 计算：(−23)−2= ；(−2)−3= ；(π−227)0= ．14. 已知 x 2−y 2=2019，且 x =673−y ，则 x −y = ．15. 计算：（1）(a +1)(a +2)= ； （2）(x −3)(x +1)= ．16. 若 (x +2)(x +3)=7，则代数式 2−10x −2x 2 的值为 ．17. 若 (x −1)(x 2+5ax −a ) 的乘积中不含 x 2 项，则 a 的值为 ．三、解答题（共8题） 18. 阅读理解题阅读材料：两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是；将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）．比如47×43，它们的乘积的前两位是4×(4+1)=20，它们乘积的后两位是7×3=21．所以47×43=2021；再如62×68，它们乘积的前两位是6×(6+1)=42，它们乘积的后两位是2×8=16，∴62×68=4216．又如21×29，2×(2+1)=6，不足两位，就将6写在百位；1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29=609．该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+(10−b)．两数相乘可得：(10a+b)[10a+(10−b)]=100a2+10a(10−b)+10ab+b(10−b)=100a2+100a+b(10−b)=100a(a+1)+b(10−b).（注：其中a(a+1)表示计算结果的前两位，b(10−b)表示计算结果的后两位．）问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如44×73，77×28，55×64等．(1) 探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤．(2) 设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为．设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为．（a，b表示1∼9的正整数）(3) 请针对问题（1），（2）的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．如：100a(a+1)+b(10−b)的运算式．19.(2a−b)5÷(b−2a)3．20.计算：(1) 59.8×60.2．(2) 99×101×10001．(3) 1022．(4) 5402−543×537．21.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图①，然后拼成一个平行四边形，如图②，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流下．22.设n，n+1，n+2，n+3为四个连续的自然数．小明说，只要已知其中两个较大数的乘积与两个较小数的乘积的差，我就能很快得出这四个连续自然数．你能说出其中的奥秘吗？23.如图，长为60cm，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y(cm)．(1) 从图可知，每个小长方形较长的一边长是cm（用含y的代数式表示）.(2) 分别用含x，y的代数式表示阴影A，B的面积，并计算阴影A，B的面积差.(3) 当y=10时，阴影A与阴影B的面积差会随着x的变化而变化吗？请你作出判断，并说明理由.24.阅读题．材料一：若一个整数m能表示成a2−b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，3=22−12，9=32−02，12=42−22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M=x2+ 2xy=(x+y)2−y2，（x，y是整数），所以M也是”完美数”．材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F(n)=pq．例如18=1×18=2×9=3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F(18)=36=12．请解答下列问题：(1) 8（填写“是”或“不是”）一个完美数，F(8)=．(2) 如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是“完美数”．(3) 若一个两位数n的十位数和个位数分别为x，y（1≤x≤9），n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F(n)的最大值．25.如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，依图中标注的数据（a>b），求图中空白部分的面积．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】∵a2≥0，b2≥0，(a+b)2≥0，∴2(a2+b2)(a+b)2的值必是非负数．【知识点】完全平方公式、多项式乘多项式2. 【答案】A【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方3. 【答案】A【知识点】积的乘方4. 【答案】C【解析】原式=(2)1000×12999×(22×64)=2×(22×26)=29．【知识点】同底数幂的乘法、有理数的乘方5. 【答案】B【解析】∵2=1×2，∴1×2是2的最佳分解，∴F(2)=12，即①正确；∵48=1×48，48=2×24，48=3×16，48=4×12，48=6×8，∴6×8是48的最佳分解，∴F(48)=68=23，即②错误；∵n2+n=n(n+1)，∴F(n2+n)=nn+1，即③正确；若n是一个完全平方数，则设n=a×a（a是正整数），∴F(n)=aa=1，即④正确；综上所述，①③④正确，共三个．【知识点】单项式乘多项式6. 【答案】B【知识点】多项式乘多项式7. 【答案】B【解析】a3+a3=2a3，因此选项A不正确；(a3)2=a3×2=a6，因此选项B正确；a6÷a2=a6−2=m4，因此选项C不正确；(ab)3=a3b3，因此选项D不正确．【知识点】同底数幂的除法8. 【答案】D【解析】①若(x−1)x+1=1，则x可以为−1，此时(−2)0=1，故①错误，从而排除选项A和C；由于选项B和D均含有②④，故只需考查③．∵(a−b)2=(a+b)2−4ab=102−4×2=92，∴a−b=±√92，故③错误．【知识点】同底数幂的除法、多项式乘多项式9. 【答案】A【知识点】单项式乘单项式10. 【答案】A【解析】∵x+1x=3，∴(x+1x )2=9，即x2+1x2=9−2=7，∴x4+x2+1x2=x2+1+1x2=7+1=8，∴x2x4+x2+1=18．【知识点】完全平方公式二、填空题（共7题）11. 【答案】19；77；−3【解析】（1）x2+y2=(x+y)2−2xy=25−6=19．（2）(x+y)2=x2+y2+2xy=x2+y2+[(x2+y2)−(x−y)2]=2(x2+y2)−(x−y)2=2×51−25=77.（3）∵x+y+z=1，∴x+y=1−z，(x+y)2=(1−z)2，x2+2xy+y2=1−2z+z2，x2+y2−z2+2z=1−2xy．∴ x2+y2−3z2+4z=(x2+y2−z2+2z)−2z2+2z=(1−2xy)−2z2+2z=1−2xy+2z(1−z)=1−2xy+2z(x+y).又∵x2+y2−3z2+4z=7，∴1−2xy+2z(x+y)=7，2xy−2z(x+y)=−6，xy−z(x+y)=−3．【知识点】简单的代数式求值、完全平方公式12. 【答案】0【解析】∵x2+2x+2y+y2+2=0，∴(x2+2x+1)+(y2+2y+1)=0，∴(x+1)2+(y+1)2=0，∴x+1=0，y+1=0，解得：x=−1，y=−1，∴x2018+y2019=(−1)2018+(−1)2019=1+(−1)=0.【知识点】完全平方公式13. 【答案】94；−18；1【知识点】负指数幂运算14. 【答案】3【解析】∵x2−y2=2019，∴(x+y)(x−y)=2019，∵x=673−y，∴x+y=673，∴x−y=2019673=3．故答案为：3.【知识点】平方差公式15. 【答案】a2+3a+2；x2−2x−3【知识点】单项式乘多项式16. 【答案】0【知识点】多项式乘多项式17. 【答案】0.2【解析】原式=x3+5ax2−ax−x2−5ax+a =x3+(5a−1)x2−6ax+a.∵乘积中不含x2项，∴5a−1=0，解得：a=0.2．【知识点】多项式乘多项式三、解答题（共8题）18. 【答案】(1) ∵4×7+4=32，4×3=12，∴44×73=3212．(2) 10a+a；10b+(10−b)(3) 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字也是a，则该数可表示为10a+a，设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10−b)（a，b表示1到9的整数）．两数相乘可得：(10a+a)[10b+(10−b)]=100ab+10a(10−b)+10ab+a(10−b)=100ab+100a+a(10−b)=100a(b+1)+a(10−b).【解析】(2) 十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a，另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+(10−b)．【知识点】多项式乘多项式、有理数的乘法、简单列代数式19. 【答案】−(2a−b)2．【知识点】同底数幂的除法20. 【答案】(1)59.8×60.2=(60−0.2)×(60+0.2) =602−0.22=3600−0.04(2)99×101×10001=(100−1)×(100+1)×10001 =9999×10001=(10000−1)(10000+1)=100002−1=99999999.(3) 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.(4)5402−543×537=5402−(540+3)×(540−3) =5402−(5402−9)=9.【知识点】平方差公式、完全平方公式21. 【答案】题图①中的阴影部分（四个等腰梯形）的面积为a2−b2，题图②中的阴影部分（平行四边形）的面积为(a+b)(a−b)，由此可验证：(a+b)(a−b)=a2−b2．【知识点】平方差公式22. 【答案】(n+3)(n+2)−n(n+1)=4n+6．若知道它们的差为x，则n=x−64．【知识点】多项式乘多项式23. 【答案】(1) 60−3y(2) 阴影A的面积：(x−2y)(60−3y)=6y2+60x−3xy−120y；阴影B的面积：3y(x+3y−60)=3xy+9y2−180y．阴影A的面积与阴影B的面积差A−B=−3y2+60y−6xy+60x．(3) 当y=10时，A−B=300，故阴影A，B的面积差不会改变．【知识点】多项式乘多项式、简单的代数式求值、简单列代数式24. 【答案】(1) 是；12(2) 设m=a2−b2，n=c2−d2，其中a，b，c，d均为整数，则mn=(a2−b2)(c2−d2)=a2c2−a2d2−b2c2+b2d2=(ac+bd)2−(ad+bc)2.∵a，b，c，d均为整数，∴ac+bd与ad+bc也是整数，即mn是“完美数”．(3) ∵两个一位数相加能被8整除，∴x+y=8或16，∴n=79或97或88或71或17或26或62或35或53或44，∵n为“完美数”，∴n=79或97或88或71或17或35或53或44，其中F(79)=179，F(97)=197，F(88)=811，F(71)=171，F(17)=117，F(35)=57，F(53)=153，F(44)=411，∴F(n)的最大值为811．【解析】(1) ∵8=32−12，∴8是完美数，F(8)=24=12．【知识点】有理数的乘方、多项式乘多项式、整除25. 【答案】a2−2ac−b2+c2．【知识点】多项式乘多项式11。