深圳宝安区水田实验学校必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(含答案解析)

一、选择题

1．“不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）

A ．12m >

B ．01m <<

C ．14

m >

D ．1m

2．已知命题p ：x R ?∈，2230ax x ++>是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．13

a < B ．103

a <≤ C ．13a >

D ．13

a ≤

3．已知集合{

}

2

20A x x x =-->，则

A =R

A ．{}

12x x -<< B ．{}

12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-?

D ．}{}{|1|2x x x x ≤-?≥

4．"tan 1"α=是""4

π

α=的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

5．已知下列命题：

①“2,56x R x x ?∈+>”的否定是“2,56x R x x ?∈+≤”；

②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ?∧?”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①② C ．①③ D ．②④

6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”

的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．已知集合{}

2

2

(,)1A x y x y =+=，{}

(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为

（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

8．已知集合{}{}

2

|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥ 则()R P Q ?=

A ．[2,3]

B ．（ -2,3 ]

C ．[1,2）

D ．(,2][1,)-∞-?+∞

9．设等比数列{}n a 中，10a >，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）.

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分必要条件

D ．既非充分又非必要条件 10．命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为

A ．对任意x ∈R ,都有20x <

B ．不存在x ∈R ,都有20x <

C ．存在0x ?R ,使得2

00x <

D ．存在0x ∈R ,使得2

00x <

11．已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，则“230a b -≤”是“()f x 在R 上只有一个零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

12．已知a ，b R ∈，“1a b +<”是“1

1a b a b ?+

”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．设U =R ，集合2{|320}A x x x =++=， ()2

{|10}B x x m x m =+++=，若

U

A B

，则m =__________．

14．若命题“0x R ?∈，2

0020x x a --=”为假命题，则实数a 的取值范围是______. 15．设:5x α≤-或1x ≥，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围_______________. 16．已知下列命题：

①命题“213x R x x ?∈+>，”的否定是“213x R x x ?∈+<，”；

②已知,p q 为两个命题，若p q ∨“”为假命题，则()()“

”p q ?

?

∧为真命题；

③“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；

④“若0,xy =则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.

其中 真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号） 17．已知集合{}{}2

2,1,A B a

==，若{}0,1,2A

B =,则实数a =________.

18．若命题“(0,)x ?∈+∞，不等式4

a x x

<+恒成立”为真，则实数a 的取值范围是__________． 19．已知命题，则

为_______．

20．定义全集

的子集

的特征函数为

，这里

表示

在全集

中的补集，那么对于集合，下列所有正确说法的序号是 ．

（1）

（2）()1()U A A f x f x =- （3）()()()A B A B f x f x f x ?=+ （4）()()()A B A B f x f x f x ?=?

三、解答题

21．设非空集合{}{}{}

2

|2,|23,,|,A x x a B y y x x A C y y x x A =-≤≤==+∈==∈，

全集U =R . （1）若1a =，求

(

)R

C B ；

（2）若B C B ?=，求a 的取值范围.

22．已知命题:342,:()(2)0p x q x a x a ->---<． （1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；

（2）若q 是p ?

的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

23．已知函数4

32

1x x A x -+????

=>??????

，{}321B x m x m =-≤≤+. （1）当2m =时，求A 和

(

)R

A B ?；

（2）若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 24．设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2

（2）已知C ＝{x |a

B ，求实数a 的取值构成的集合． 25．已知集合{}

30A x x a =->，{

}

2

60B x x x =-->． （Ⅰ）当3a =时，求A B ，A B ；

（Ⅱ）若(

)R

A B ?

≠?，求实数a 的取值范围．

26．（1）已知直线:3420l x y+=-，求与直线l 平行且到直线l 距离为2的直线方程；

（2）若关于x 的不等式2

(1)0x a x a -++<的解集是[0,1)的子集，求实数a 的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】

因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，

所以“不等式2

+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2

>0140m m ???=-

，解得1

2m >. A 选项是充要条件，不成立；

B 选项中，1

2

m >不可推导出01m <<，B 不成立； C 选项中，12m >

可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14

m >是1

2m >的必要不充分条件，正确；

D 选项中，1m 可推导1>2m ，且1

>2m 不可推导1m ，故>1m 是12

m >的充分不必要条件，D 不正确. 故选：C. 【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；

（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．

2．C

解析：C 【分析】

由题意可得2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠即可求解. 【详解】

若命题p ：x R ?∈，2230ax x ++>是真命题， 则2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立， 当0a =时，230x +>可得：3

2

x >-不满足对于x ∈R 恒成立，所以0a =不符合题意；

当0a ≠时，需满足04430

a a >???=-?

3a >，

所以实数a 的取值范围是1

3

a >， 故选：C 【点睛】

关键点点睛：对于2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，需讨论0a =和0a ≠，当0a ≠时，结合二次函数图象即可得等价条件.

3．B

解析：B 【解析】

分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x <->或， 所以{}

|12A x x x =<->或，

所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

4．B

解析：B 【解析】 由"tan 1"α=，得

，而""4

π

α=

得"tan 1"α=，所以"tan 1"α=是

""4

π

α=

的必要非充分条件. 故选B

5．B

解析：B 【分析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】

“2,56x R x x ?∈+>”的否定是“2,56x R x x ?∈+≤”，正确；

已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ?∧?”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；

“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】

本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．

6．B

解析：B 【解析】

当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．

7．B

解析：B

【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆

2

2

1x y +=与直线y x =相交于两点??，? ??

，则A B 中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

8．B

解析：B 【解析】

有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ， 则(

)R

P Q ?

= ( -2,3 ] .

本题选择B 选项.

9．C

解析：C 【分析】

根据等比数列的通项公式和单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 【详解】

在等比数列{}n a 中，可得1

1n n a a q -=，

若10,1a q >>，可得11

111()(1)0n n n n n a a a q q a q q --+-=-=->，即1n n a a +>，

所以数列{}n a 为递增数列，故充分性是成立的； 反之：若等比数列{}n a 为递增数列，即1

11(1)0n n n a a a q

q -+-=->，

若10a >，则1

(1)0n q q -->，可得1q >，故必要性是成立的，

所以“1q >”是“{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及数列的单调性的判定方法及应用，其中解答中熟记数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.

10．D

解析：D 【解析】

命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为:存在0x R ∈,使得2

00x <,选D.

11．A

解析：A 【分析】

求出()f x '，由230a b -≤知()0f x '≥恒成立，即函数()f x 在R 上单调递增，只有一个零点，然后可举例说明在230a b ->，即()f x 有两个极值点时，()f x 也可能只有一个零点，由此可得结论． 【详解】

因为3

2

()f x x ax bx c =+++，2

()32f x x ax b '=++，若230a b -≤， 则24120a b ?=-≤，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞， 所以()f x 在R 上只有一个零点，即充分性成立．

令32a =

，0b =，1c =-，则323()12

f x x x =+-，2

()333(1)f x x x x x '=+=+， 则()f x 在(,1)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又1

(1)02

f -=-<，

3

(1)02

f =>，则()f x 在R 上只有一个零点，但不满足“230a b -≤”，即必要性不成立，

所以“230a b -≤”是“()f x 在R 上只有一个零点”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断、函数的零点的概念．注意区别A 是B 的充分不必要条件（A B ?且B A ?/）与A 的充分不必要条件是B （B A ?且A B ?/）两者的不同．

12．C

解析：C 【分析】

由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】

由题意，a ，b R ∈，1a b +<，

可得1a b a b +≤+<且1a b a b -≤+<，所以充分性是成立的；

反之11a b a b ?+

综上可得：a ，b R ∈，1a b +<是11a b a b ?+

成立的充要条件．

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

二、填空题

13．1或2【详解】解方程可得因为所以当m=1时满足题意；当即m=2时满足题意故m=1或2

解析：1或2 【详解】

{|21}A x x x ==-=-或，

解方程()2

10x m x m +++=可得1x x m =-=-或

因为

U

A B ，所以B A ?，

当1m -=-即m =1时，满足题意；

当2m -=-，即m =2时，满足题意，故m =1或2.

14．；【分析】根据命题为假得到恒成立计算得到答案【详解】命题为假命题故恒成立故故答案为：【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数意在考查学生的推断能力

解析：1a <-； 【分析】

根据命题为假得到220x x a -->恒成立，计算得到答案. 【详解】

命题“0x R ?∈，2

0020x x a --=”为假命题，故220x x a -->恒成立.

440a ?=+<，故1a <-. 故答案为：1a <-. 【点睛】

本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力.

15．或【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可【详解】解：或若是的必要条件则或故或故答案为：或【点睛】本题考查了充分必要条件考查集合的包含关系属于基础题

解析：3m ≤-或2m ≥ 【分析】

根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可． 【详解】

解：:5x α-或1x ，:2321m x m β-+， 若α是β的必要条件， 则231m -或215m +-，

故2m 或3m -， 故答案为：2m 或3m -． 【点睛】

本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．

16．②【分析】①写出命题的否定即可判定正误；②由为假命题得到命题都是假命题由此可判断结论正确；③由时不成立反之成立由此可判断得到结论；④举例说明原命题是假命题得出它的逆否命题也为假命题【详解】对于①中命

解析：② 【分析】

①写出命题“213x R x x ?∈+>，”的否定，即可判定正误；

②由p q ∨“”为假命题，得到命题,p q 都是假命题，由此可判断结论正确；

③由2a >时，5a >不成立，反之成立，由此可判断得到结论； ④举例说明原命题是假命题，得出它的逆否命题也为假命题． 【详解】

对于①中，命题“213x R x x ?∈+>，”的否定为“213x R x x ?∈+≤，”，所以不正确；

对于②中，命题,p q 满足p q ∨“”为假命题，得到命题,p q 都是假命题，所以,p q ??都

是真命题，所以()()“

”p q ?

?

∧为真命题，所以是正确的；

对于③中，当2a >时，则5a >不一定成立，当5a >时，则2a >成立，所以2a >是

5a >成立的必要不充分条件，所以不正确；

对于④中，“若0,xy =则0x =且0y =”是假命题，如3,0x y ==时，

所以它的逆否命题也是假命题，所以是错误的； 故真命题的序号是②． 【点睛】

本题主要考查了命题的否定，复合命题的真假判定，充分与必要条件的判断问题，同时考查了四种命题之间的关系的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力．

17．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的

解析：0. 【解析】

分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得

20a =，从而求得结果.

详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ?，则A 或B 必然含有元素0， 又由{}{}2

2,1,A B a

==，则有2

0a

=，即0a =，故答案是0.

点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.

18．【解析】由基本不等式可知故 解析：a 4<

【解析】

由基本不等式可知44

24x x x x

+

≥?=，故4a <. 19．【解析】试题分析：根据全称命题的定义得为故答案为考点：全称命题的否定

解析：00,sin 1x R x ?∈>

【解析】

试题分析：根据全称命题的定义得

为00,sin 1x R x ?∈>，故答案为

00,sin 1x R x ?∈>．

考点：全称命题的否定．

20．（1）（2）（4）【详解】试题分析：（1）∵A ?B 分类讨论：①当则此时②当且即此时③当且即时此时综合有故（1）正确；（2）故（2）正确；故（3）不正确；故（4）正确；考点：集合的交并补运算

解析：（1）（2）（4） 【详解】

试题分析：（1）∵A ?B ，分类讨论： ①当，则，此时，

②当，且，即,此时

，

③当

，且

，即

时，

，

，此时

，

综合有，故（1）正确；

（2）

，故（2）正确；

1,()(

)()0,()

A B A B U x A B

f x f x f x x C A B ?∈??=≠+?∈??，故（3）不正确；

，故（4）正确； 考点：集合的交并补运算

三、解答题

21．（1）[1,0)(4,5]-；（2）1

[,3]2

a ∈

【分析】

根据已知中集合A ，B ，C ，U ，结合集合的交集，交集，补集运算定义，可得答案. 【详解】

解：（1）若1a =，则集合{}|21A x x =-≤≤，

{|23,}[1,5]B y y x x A ==+∈=-， {}

2|,[0,4]C y y x x A ==∈=，

()[1,0)(4,5]R C B ∴=-；

（2）当(2,0]a ∈-时，则2

[1,23],[,4]B a C a =-+=，

若B C B ?=，则234a +≥，此时不存在满足条件的a 值； 当(0,2]a ∈时，则[1,23],[0,4]B a C =-+=， 若B C B ?=，则234a +≥，解得：1

[,2]2

a ∈；

当(2,)a ∈+∞时，则2

[1,23],[0,]B a C a =-+=， 若B C B ?=，则223a a +≥，解得：(2,3]a ∈； 综上所述，1[,3]2

a ∈. 【点睛】

本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于中档题目. 22．（1）()2,3；（2）20,3?? ???

. 【分析】

（1）首先根据题意分别解得p 真和q 真时x 的范围，再根据p q ∧为真命题解不等式组即可.

（2）首先解出p ?和q ，再根据q 是p ?

的必要不充分条件解不等式组即可.

【详解】

（1）p 真：342x ->或342x -<-，即p 真：2x >或23

x <

. :(1)(3)0q x x --<，q 真：13x <<.

因为p q ∧为真命题，所以p ，q 都为真命题.

所以22313

x x x ?

>

（2）由（1）知2

:

23

p x ?≤≤，:2q a x a <<+.

因为q 是p ?的必要不充分条件，

所以2203322a a a ?

?

，a 的取值范围是2

(0,)3.

【点睛】

本题第一问考查逻辑连接词，第二问考查充分不必要条件，属于中档题. 23．（1）()()34-∞-+∞,,，[]1,4-；（2）2m <-或7m >.

【分析】

(1)由指数函数的单调性可得4

03

x x ->+，解分式方程即可得集合A ，从而可求出()R A B ?. (2)由题意知B A ，分B =?和B ≠?两种情况进行讨论，从而可求出实数m 的取值范围.

【详解】 （1）∵

43

2

1

x x -+>，∴

40

3

22

x x -+>，∴

4

03

x x ->+，解得3x <-或4x >， ∴()(),34,A =-∞-?+∞，又2m =，[]1,5B =-，[]3,4R

A =-

∴

(

)[]1,4R

A B ?=-.

（2）∵x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，∴B

A ，

（1）当B =?时，则321m m ->+，即4m <-. （2）当B ≠?时，32134m m m -≤+??

->?或321

213

m m m -≤+??

+<-?∴7m >或42m -≤<- 综上所述，2m <-或7m >. 【点睛】

结论点睛：

（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；

（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 24．（1）A ∩B ＝{x |3≤x <6}，(?R B )∪A ＝{x |x ≤2，或3≤x <6，或x ≥9}；（2） {a |2≤a ≤8} 【分析】

（1）根据集合A ={x |3≤x <6}，B ={x |2

B ，再利用并集的运算求解.

（2）由C ={x |a

B ，利用子集的定义，分

C =?和C ≠?两种情况求解. 【详解】

（1）因为集合A ={x |3≤x <6}，B ={x |2

因为全集为R ，集合A ={x |3≤x <6}，B ={x |2

所以{|2U B x x =≤或 }9x ≥ ，

所以

U

B ∪A {|2x x =≤或36x <≤ 或}9x ≥；

（2）由C ={x |a

当C ≠?时，则1

219a a a a <+??

≥??+≤?

，

解得28a ≤≤，

综上：实数a 取值构成的集合是[2,8] 【点睛】

本题主要考查集合的基本运算及基本关系应用，关键点是熟悉集合的性质，掌握集合的交并补基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

25．（Ⅰ）{}

3A B x x ?=>，{|2A B x x ?=<-或1}x >；（Ⅱ）(),9-∞. 【分析】

（Ⅰ）解不等式求得集合,A B ，再由交并集的定义求解； （Ⅱ）求出A 与B R

，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得a 的范围．

【详解】 由30x a ->得3a

x >

，所以3a A x x ??=>???

?

由260x x -->，得()()230x x +->，

解得2x <-或3x >，所以{}2B x x =<-或3}x >． （Ⅰ）当3a =时，{}

1A x x =>，

所以{}

3A B x x ?=>，{|2A B x x ?=<-或1}x > （Ⅱ）因为{|2B x x =<-或3}x >， 所以{}

23B x x =-≤≤R ． 又因为()R A B ?

≠?，所以

33

a

<，解得9a <． 所以实数a 的取值范围是(),9-∞． 【点睛】

本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．

26．（1）34120x y -+=或3480x y --=；（2）[]0,1 【分析】

（1）根据两直线平行，设所求直线为340x y c -+=，利用两平行线间的距离公式，求出

c 的值，从而得到答案；

（2）解一元二次不等式，然后按1a <，1a =，1a >进行分类讨论，得到答案. 【详解】

（1）设与直线:3420l x y+=-平行的直线方程为340x y c -+=，

2=，

解得12c =或8c =-，

所以所求直线方程为34120x y -+=或3480x y --=. （2）解关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<， 可化为()()10x x a --<， ①当1a <时候，解集为(),1a ， 要使(),1a 是[)0,1的子集，所以0a ≥， 所以得到[)0,1a ∈， ②当1a =时，解集为?，

满足解集是[)0,1的子集，符合题意， ③当1a >时，解集为()1,a ，

此时解集不是[)0,1的子集，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为[]0,1. 【点睛】

本题考查根据平行求直线方程，根据平行线间的距离求参数，根据集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.