安徽农业大学04-05第二学期线性代数试卷及答案
(完整word版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。
(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。
(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。
（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。
（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
线性代数参考答案(部分)
解：将行列式按第一列展开得
Dn = x (−1)1+1
x 0 0
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
L L L L L
+ y (−1) n +1
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
0 0 y
L L L L L
= x n + ( −1) n +1 y n
说明：请注意这种形式的行列式！ 2. 含参数行列式的计算
x
yபைடு நூலகம்
0
L
0
0
0 x y L 0 0 Dn = L L L L L L 0 y 0 0 0 0
3
L L
x 0
y x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
1+ a 1 1 1 a + 10 a + 10 a + 10 a + 10 2 2+a 2 2 2 2+a 2 2 解： D4 = = 3 3 3+ a 3 3 3 3+ a 3 4 4 4 4+a 4 4 4 4+a
= ( a + 10) 1 1 2 2+a 3 4
3
1 2 3+ a 4
1 2 3 4+a
−2 λ +1 −2
2 λ +3
1 1
−2 −2
2 −k λ +3
=
k −4
− k = (λ − 1) 0 λ + 1
= (λ − 1) 0 λ + 1
线性代数（A）试题及答案免费下载
线性代数（A）试题及答案免费下载（每小题3分，将答案的序号填在下面的表格里）1．若行列式01011212=-k k ，则k 的值为022332....D C B A 或或-- 2．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是B A B A A +=+.B A AB B =.111---=B A AB C )(.111---+=+B A B A D )(.3. 若行列式 1321321321=c c c b b b a a a ，则行列式321321321222a a a b b b c c c 的值是2211....D C B A --4. 设B A ,为3阶方阵，且221==B A ,，则 =-)(12A B T322816....D C B A5. 设矩阵=000010001A ，则它的秩=)(A R 3210....D C B A6. 设A ，B 是n 阶可逆矩阵，则分块矩阵00B A 的逆矩阵是 ???? ??--0011A B A .????--1100A B B .--0011B A C .???? ??--1100B A D .7. 下列说法正确的是A ．任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵B ．任何初等矩阵都是可逆矩阵C ．任何非零方阵的行列式都不为零D ．任何向量组的最大无关组都是唯一的 8．设A 是可逆矩阵，则矩阵方程B XA =的解为111---AB D BA C B A B BA A ....9. 下列说法不正确的是.A 相似矩阵有相同的特征值.B 任意1+n 个n 维向量必线性相关.C n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n A R <)( .D n 阶方阵可对角化的充要条件是它有n 个不同的特征值10．二次型2221212x x x x f +-=的矩阵是-1021.A--1111.B-000010021.C ????? ??--000011011.D1. 四阶行列式000403002001000的值为2. 若向量组=????? ??=????? ??=10031121321ααα,,k 线性相关，则k 的值为 3. 向量组=????? ??=????? ??-=211302111321ααα,,的秩为 4. 设A 为实对称矩阵，=3211p 与??--=k p 412分别是属于A 的不同特征值1λ与2λ的特征向量，则其中k 的值是5. 若43?矩阵A 的秩是3=)(A R ，则齐次线性方程组O AX =的基础解系所含向量的个数为6. 若3阶可逆矩阵A 的特征值分别为1，-1，2，则其逆矩阵1-A 的特征值为7. 设向量组321ααα,,线性无关，则向量组321211αααααα+++,,线性（填无关或相关）8. 若矩阵????? ??=x A 10100002与??-=10000002y B 相似，则y x ,分别为 9.矩阵=1200330000100021A 的逆矩阵为三、解答题（8分）设T XX A AB +=，其中----=????? ??-=111111111111B X , 求矩阵A四、解答题（8分）求向量组=13211α，??????? ??=21322α，-=22133α，=52404α，的秩及其一个极大无关组。
安徽农业大学线性代数第一章习题答案
第一章 行列式(参考答案)1. 计算下面排列的逆序数, 并讨论其奇偶性.（1）217986354 （2）321)1)(1( --n n n解 (1)排列的逆序数为544310010++++++++=τ.18=该排列是偶排列. (2)排列的逆序数为012)3()2()1(++++-+-+-= n n n τ.2)1(-=n n 易见当,4k n =14+k 时，题设排列是偶排列; 当,24+=k n 34+k 时，题设排列是奇排列.2. 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号.（1）651456423123a a a a a a （2）256651144332a a a a a a 解 )1(651456423123a a a a a a ,655642312314a a a a a a = 431265 的逆序数为τ102210+++++=,6=所以651456423123a a a a a a 前边应带正号.)2(256651144332a a a a a a 行标排列 341562 的逆序数为τ400200+++++=,6=列标排列 234165 的逆序数为τ103000+++++=,4= 所以256651144332a a a a a a 前边应带正号.3.用定义计算行列式000000021nn a a a D =解 ∏=-=ni i n a D 1)1(τ其中.2)1(21)2)(1(-=--n n n n n τ的逆序数排列 所以∏=--=ni i n n n a D 12)1()1(4. 设,312323123215)(xxx x xx x f -=求)(x f 中3x 与4x 的系数.解 在)(x f 的4阶行列式中,位于不同行不同列的4个元素乘积含4x 的项只有1项 4144322311)1324(15)3(5)1()1(x x x x x a a a a =-⋅⋅⋅-=-τ而含3x 的项有2项3244312312)2314(3)3(1)1()1(x x x x a a a a -=-⋅⋅⋅-=-τ3641322314)4321(33)1()1(x x x x a a a a =⋅⋅⋅-=-τ故)(x f 中4x 的系数为15, 3x 的系数为0.5. 求2150321263-=D解.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D6. 求ab b b b b a b bb b a D n=解 n D ab b b b a bb b b n a111])1([-+=ba b a b b b b n a ---+=000001])1([.)]()1([1---+=n b a b n a7. 求1222111yx x z z y y x z x z yz y xD +++=解 .0111121111121=+=y xzy x z x z y z y x x zyy x z x z y z y xD8. 求21003210032100324=D解 按第一行和第二行展开4D =2132)1(21322121+++-⨯2031)1(31023121+++-⨯+2030)1(32033221+++-⨯+0121+-=.11-=9. 求n D n001030100211111=解 !.11000030000201111122n j nj D n j nj n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑==10. 按列展开计算行列式053204140013202527102135----=D . 解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-== 66027013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=11. 设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A = 0011202250111111---011222511---= = .42052001202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M= 311501121)1(0010313150111251---=----.0311501501=-----12. 设0000321323132231211312nnnn nn n a a a a a a a a a a a a D ------=，证明当n 为奇数时，0=n D . 证 利用行列式性质,有D T D =0000)1(321323132231211312n nnn nn n a a a a a a a a a a a a -------=,)1(D n -= 当n 为奇数时有,D D -=即.0=D13. 用Cramer 法则求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++4535225323221321x x x x x x x .解 530021532=D =,2052253022530021002=⨯⨯==5340255321=D =,2052)2(534025002-=⨯⨯-=-5400515222=D =540051580-=,605458540580051=--=-- 4305212323=D =43521810--=.204381430810521-=---=---由Cramer 法则, .1,3,1332211-====-==DD x D Dx D D x14. 判定齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=---=-++=+++0320230320324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 是否仅有零解.解 系数行列式75111740411032111132211313213211------=------=D.0153510273004110321136002730041103211≠-=---=-----=故齐次线性方程组仅有零解.15. 问λ为何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ,（1）仅有零解？ （2）有非零解？解 D =λλλ----111132421=λλλλ--+--101112431 )3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ+------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ),3)(2(λλλ--=齐次线性方程组有非零解，则,0=D 所以,0=λ 2=λ或3=λ时齐次线性方程组有非零解.。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安徽农业大学2004―2005学年第二学期
《线性代数》试卷（A 卷）
考试形式: 闭卷笔试，2小时
一、填空题：（共5小题，每小题3分，共15分）
1．已知矩阵1330,,23_________.2112A B A AB B ⎛⎫⎛⎫
==+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
则
2．设A 是n 阶方阵，且||A a =，则2A -= . 3．方阵A 满足2A A I 0+-=，则1(A I)-+= .
4. 1α若=（1，3），(2=α2，4），3α=（5，6），则线性321,,ααα__________ .（填相关或无关）
5. 二次型222
123112132233(,,)22444f x x x x x x x x x x x x =+-+++ 对应的矩
阵为 .
二、选择题：（共5小题，每小题3分，共15分）
1．若A ，B ，C 是同阶方阵，且A 可逆，则下面命题正确的是（ ） （A ）若0=AB ， 则0=B （B ）若CB AB =，则C A = （C ）若BC BA =，则C A = （D
）若0=BC ， 则0=C 2．若A 经过初等行变换为B ，则（ ）． （A ）A 的行向量组与B 的行向量组等价 （
B ）A 的列向量组与B 的列向量组等价 （
C ）A 的行向量组与B 的列向量组等价 （
D ）A 的列向量组与B 的行向量组等价
3. 设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++=--1
11321
321321x x x x x x x x x λλλ，有唯一解，则λ的值应为（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）异于0和1±的实数 4．设向量组α,β,γ线性无关， α,β,δ线性相关，则
(A) α必可由β,γ,δ线性表示；(B) β必不可由α,γ,δ线性表示； (C) δ必可由α,β,γ线性表示；(D) δ必不可由α,β,γ线性表示。
5．若A 是n 阶正交且正定的矩阵，则A =（）
(A) 1 （B ）-1 （C ） ±1 （D ）0
三、计算题（共54分）
1．求D=
９
８７６８７６５５４２４
３２１3. (8分)
2．已知111A 011001-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，且2A AB I -=，求矩阵B ．(10分)
3．求向量组1α=(1,1,2,3),2α=(1,-1,1,1),3α=(1,3,3,5),4α=(4,-2,5,6)的秩和一个极大线性无关组．(10分
4．λ取何值时，线性解方程组12
412341
3421320x x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪
-++=⎨⎪-+=⎩,
(1) 无解；(2) 有解，并求其通解．(16分)
5．已知3阶方阵A 的特征值为1,-1,2，求235A A B -=的特征值及相似对角阵．(10分)
四、证明题（共16分）
1． 设A ，B 都是n 阶对称矩阵，证明AB=BA 当且仅当AB 为对称矩阵．(8分)
2.已知),,,(21n n m A ααα =⨯，且方程组0=⨯x A n m 有形如T n x x x ),,,0(2 =的非零解,证明向量组n αα,,2 线性相关．(8分)
安徽农业大学2004―2005学年第二学期 《线性代数》试卷（A 卷）参考答案
一、填空题：（共5小题，每小题3分，共15分）
1．112610-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 2．(2)n
a -. 3． A . 4. 相关 . 5. 111142124-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭
. 二、选择题：（共5小题，每小题3分，共15分） 1． A ；2． A ；3. D ；4． C ；5．A
三、计算题（共54分）
1234
0123 (504)
8
12
0510150
................................................8d ---=
------=1、解：分
分
2、解：由2A AB I -=得A(A B)I -=，而A 可逆，所以
1A B A --=1B A A -⇒=-。
………………………………4分
用初等变换法或伴随矩阵法可求得1112A 011001--⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，………8分
所以023B 002000-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。
……………………………………………10分
3、解：11
1
41114111
41132022602
26~~
2135011300
003156022600
00A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪------ ⎪ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
1234(,,,)2R αααα∴=
……………………………………7分 极大无关组为 12,αα或13,αα或14,αα或23,αα或24,αα或34,αα.…10分
4、解：21011321101011B λ-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
1110111101~32110~01213101101211λλ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭
~111010121
300002λ--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
………………………………………6分 (1) 2λ≠时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解.……………9分 (2) 2λ=时,()2()R A R B ==,方程组有解.………………12分
11101
101
1~01213
~01
2130000000000B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭ 1
34
234
3344223x x x x x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩
通解为1212112213
,,100010x k k k k R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……………………16分
5、解：设)0(≠=αλααA ，则αλα22=A ，αλα33=A ，……3分
αλλαα)5()5(2323-=-=A A B ，………………………………5分
令=λ-1,1,2得B 的特征值为：-6.-4.-12。
………………7分
所以B 相似于 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=Λ1246．……………………10分
四、证明题（共16分）
1、证：充分性：因为A 、B 为对称矩阵，AB 也为对称矩阵，
即,,()A A B B AB AB '''===
而(),AB B A AB BA '''==所以……………………………………4分 必要性：因为A 、B 为对称矩阵，AB=BA 即,,()A A B B AB B A BA AB '''''=====
所以AB 为对称矩阵．……………………………………………8分 2、证：因为T n x x x ),,,0(2 =是方程组0=⨯x A n m 的解，所以 022=++n n x x αα ，…………………………………………4分 而0≠x ，因此n x x ,,2 不全为零，
所以向量组n αα,,2 线性相关。
………………………………8分。