【方案】矩阵的秩及其应用.doc
有关矩阵的秩及其应用
r (AB)≤min {r (A), r (B)}
定理 3 设 A 是 m×n 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则
r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (PAQ) 推论 设 A 是是 m×n 矩阵，则 r (A) = r，当且仅当存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，
r
A− O
C
AB B
− −
CD D
=
r(
A
−
C
)
+
r(B
−
D)
。
定理 6 （Frobenius 不等式）
设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，C 是 s×t 矩阵。则
r (ABC)≥r (AB) + r (BC) – r (B)
证明：由分块矩阵的乘法得
AB B
ABC O
证明：由定理 1 得
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ k
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 + A3 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + r( A3 + A4 + " + Ak ) "" ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + " + r( Ak ) =k 定理 2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩。即：设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，则
a1
A2
=
a2
关于矩阵的秩的一些理论及应用
b1 b2 b
c1 c2 c
d1 d2 d
则有如下结论
（1）直线和平面相交 r ( A ) （2）直线和平面平行 r ( A ) （3）直线在平面上
r ( A) 3
2, r ( A ) 3
r ( A ) r ( A ) 2
够顺利完成，要特别感谢我的导师高学亮老师， 感谢各位系里老师的关心和帮助。
最后向所有关心和帮助过我的人表示我最真心的
感谢。
k 1 a1 k 2 a 2 ... k n a n 0
是否存在非
零解，又相当于判断其对应的系数矩阵 A 的秩是小于还
线性相关
R A n来自线性无关R A n
2 矩阵的秩在解方程组问题时的应用 齐次方程组解的判定
齐次方程组有非零解的充要条件是他的系数 矩阵的秩小于 n 非齐次线性方程组有解的充要条件是 若
1
, a 2 , a 3 , ..., a n
。
可以看出线性空间的维数和他的一组基所含向量的个数
是相等的，这样就把解决维数问题简化到了讨论向量的 个数，也就是讨论向量组的秩。
小结
矩阵的秩是高等代数中很重要的一个内容， 矩阵秩的应用也是非常广泛的，并且解决问题时
也简单明了，比如在判断向量组线性相关性的时
候，把复杂的表示问题，等价成求矩阵的秩，一 眼就能看出我们想要的结果。矩阵的秩还在一些
几何问题上得到巧妙的应用，将复杂的图形问题
变成了代数问题，只简单的求出方程组的解就可 以判断直线平面的位置关系。
致谢
大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢 所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他
们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能
矩阵的秩及应用
ｃ，Ｃ为 ｓ×ｍ矩阵，则 ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）一ｎ＜ｒ ａｉｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）），
６）矩阵 Ａ的所有特征值均不为零 。
特另０的若 Ｉ Ａ Ｉ≠０，贝０ ｒ（ｃ）＝ｒ（Ｂ）；若 ＡＢ＝０，贝０
有 了这些等价条件，在解决一些具体 问题的时
ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ。
候是十分）一ｒ（Ｂ）。 ２．２ 一般 矩 阵的 情形
定理 ２（线性方程组有解 判别定理 ）：线性方
７）若 ＡＸ＝Ｏ与 ＢＸ＝Ｏ同解 ，则 ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）。
程组 ＡＸ＝Ｂ有解的充分必要条件是它的系数矩 阵 Ａ
８）ｒ（Ａ）＝ｒ（ＡＡ ）＝ｒ（ＡＴＡ）－ｒ（Ａ ），其 中 Ａ为 ｎ×ｎ 与增广矩阵 有相同的秩 。
矩阵，Ａ 为 Ａ的转置。 ９）ｒ（Ａ“）＝ｒ（Ａ ），ｍ≥ｎ，Ａ是 ｎ阶方阵。 １０）ｒ（ＡＢ）≤ｍｉｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）），ｒ（ＡＢ）≥ｒ（Ａ）＋
ｒ（Ｂ）一ｎ，这里 Ａ、Ｂ分别是 ｍ×ｎ和 ｎ×ｓ矩阵
１１）ｒ（ＡＢＣ）≥ｒ（ＡＢ）＋ｒ（ＢＣ）一ｒ（Ｂ）。
ｌ２）若 Ｇ为列满秩矩阵 （ｒ（Ｇ）等于 Ｇ的列数 ）， Ｈ为行满秩矩阵，则 ｒ（ＧＨ）＝ｒ（ＡＨ）＝ｒ（Ａ）。 ２ 矩 阵 的秩 与行 列式
定义 １：齐次线性方程组 ＡＸ＝Ｏ（ ） 的一组解 Ｔ１ ，Ｔ１ ．．Ｔ１ 称为 （ ）的一个基础解系，如果
３）设 Ａ为 ｍ×ｎ矩阵，ｒ（Ａ）＝ｒ，则 Ａ的任意 Ｓ
定理 ２：矩阵 Ａ的秩是 ｒ的充分必要条件是矩
行组成 的矩 阵 Ｂ，有 ｒ（Ｂ）≥ｒ＋ｓ－ｎ。
阵 Ａ中有一个 ｒ级子式不为零， 同时所有的 ｒ＋ｌ
４）设 Ｍ＝ｌ Ｌ Ａ Ｏ ｌ，则 ｒ（Ｍ）＝ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）； Ｏ Ｂ＿Ｊ
矩阵的秩在线性代数中的应用
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
是否可逆.
解：
1 2 3 4 1 2 3 4
A
2 3
3 4
4 5
5 6
0 0
1 2
1 2 3 4
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3
2 0
0
2
不
2 2 这个阶梯形矩阵有 4 个非零行，故 r(A) 4 .所以矩阵 A 是可逆的.
3x1 2x2 4x3 3x4 9x5 3
解：对增广矩阵 k1, k2, k3,ks 施行初等行变换
1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1
A 2 1 2 2 6 3 0 3 6 0 0 0
3 2 4 3 9 3 0 1 2 6 18 0
1 1 2 1 0 3 6 0
1
6 2
0 0 0
1 0 0
0 1 3
0 4 12
1 13
1 0 2 1 0
0 0
1 0
0 1
0 4
1 1
0 0 0 0 0
因此r(A) 3 .
3.矩阵的秩在讨论方阵是否可逆中的作用
定理1： 设 A 为n阶方阵，若A 可逆，当且仅当r(A) n.
1 2 3 4
例:判断方阵
A
2.矩阵秩的计算
介绍一种难度比较小的方法来求矩阵的秩，把任意一个矩 阵A变为阶梯型的矩阵.
c11
0
c12 c22
c1r c2 r
c1n
c2n
B 0
0
crr crn
0
0
0
0
0
0
0
0
其中，cii 0 ，i 1,2,3,,r ，r(B) r(C) .C 的左上角r 阶子式
矩阵的秩及其应用
矩阵的秩及其应用嘿，朋友！想象一下你走进了一个充满神秘数字和符号的奇妙世界，那里有一个叫矩阵的家伙，而矩阵还有一个很重要的属性，叫做秩。
这秩啊，就像是矩阵的“身份证号码”，能告诉我们很多关于它的秘密。
先来说说矩阵是啥吧。
比如说，你和你的小伙伴们一起参加一场团队游戏，每个人的得分记录下来，排成一个整齐的数字表格，这就有点像矩阵啦。
那矩阵的秩又是什么呢？咱们来打个比方。
把矩阵想象成一个班级，里面的数字就是同学们。
秩呢，就好比是这个班级里真正能“挑大梁”、发挥关键作用的同学的数量。
如果秩比较大，那就意味着这个班级里能干实事的同学多；要是秩比较小，可能就得好好想想办法，提升一下团队实力了。
在日常生活中，矩阵的秩也有大用处呢！比如说，建筑师在设计大楼的时候，各种结构的数据就可以组成矩阵。
通过分析矩阵的秩，就能知道这个设计是不是稳定可靠，能不能经受住风吹雨打。
这就好像是给大楼做了一次全面的“体检”，是不是很神奇？再想想，工程师们设计电路的时候，那些复杂的电流、电压等参数，也能组成矩阵。
矩阵的秩就能帮助他们判断电路是不是能正常工作，会不会出现短路或者其他故障。
这秩就像是电路世界里的“侦探”，能找出隐藏的问题。
还记得你为了减肥制定的运动计划吗？每天跑步的时间、做瑜伽的时长、跳绳的次数等等，这些也能组成一个矩阵。
而矩阵的秩能告诉你这个计划是不是合理，能不能有效地帮你甩掉赘肉。
我曾经有个朋友，他特别喜欢摄影。
每次拍照，他都会研究光线、角度、焦距等各种参数，这些参数组成的矩阵，通过分析秩，他就能知道怎么拍出更完美的照片。
这秩就像是他摄影路上的“引路人”，指引他走向艺术的高峰。
在学习数学的时候，矩阵的秩更是帮了大忙。
它能帮助我们判断方程组有没有解，有几个解。
这就像是在数学的迷宫里找到了一把万能钥匙，能打开各种难题的大门。
你说，这矩阵的秩是不是特别神奇？它就像一个隐藏在数字世界里的小精灵，虽然有时候不太容易被发现，但一旦被我们抓住，就能发挥出巨大的作用。
矩阵秩的研究与应用
矩阵秩的研究与应用.doc矩阵秩是线性代数中的重要概念，它描述了矩阵所代表的线性方程组中线性无关的方程个数，也可以理解为矩阵列向量的线性无关个数。
在实际应用中，矩阵秩有着广泛的应用，例如解线性方程组、求解线性变换的性质、压缩数据、识别图像等方面。
1. 解线性方程组线性方程组的求解是矩阵秩应用最为广泛的领域之一。
一个m×n的矩阵A表示一个有m个方程、n个未知数的线性方程组，如果这个矩阵的秩rank(A)等于n，则方程组有唯一解；如果rank(A)<n，方程组有无穷多解；如果rank(A)<m，方程组无解。
例如线性方程组2x + 3y + z = -1x - y + 2z = 73x - y + kz = 0其增广矩阵为$$\begin{bmatrix}2 &3 & 1 & -1 \\1 & -1 &2 & 7 \\3 & -1 & k & 0 \\\end{bmatrix}$$对其进行行变换，得到$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 7-k \\0 & 1 & 0 & -4 \\0 & 0 & 1 & 3k-3 \\\end{bmatrix}$$可以看出，当k≠1时，方程组有唯一解；当k=1时，方程组有无穷多解。
2. 求解线性变换的性质线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了一个向量空间中任意两个向量之间的关系。
对于一个n维向量空间V，由线性变换T所产生的变换矩阵A是一个n×n的矩阵，可以用矩阵乘法的形式计算。
矩阵A的秩可以用来判断T的性质。
例如，如果矩阵A的秩为n，则T是一个满秩线性变换，它将V映射为一个n维的向量空间，保留了V的所有维度；如果矩阵A的秩小于n，则T 是一个非满秩线性变换，它将V映射到低维向量空间中。
矩阵的秩及其应用本科学位
编号2016010109 研究类型理论研究分类号 013湖北师范大学文理学院学士学位论文论文题目：矩阵的秩及其应用作者姓名周国梁指导老师刘伟明所在院系文理学院专业名称数学与应用数学完成时间2016年4月25日学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：矩阵的秩及其应用外文题目：The rank of Matrix and its application学生姓名周国梁学生学号2012311010109院系专业文理学院数学与应用数学学生班级1201学生承诺我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。
如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。
学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。
指导教师（签名）：年月日矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石 435000)摘要：矩阵的秩是线性代数中的一个重要研究工具盒研究对象，以矩阵的秩作为主要的研究对象，分析了矩阵的秩再线性代数中的一部分常见应用与方法，对于学习和掌握线性代数有一定的帮助，进而加深对矩阵的秩的理解，能灵活运用解决相关问题；通过分析初等变换求矩阵的秩、利用初等变换求矩阵的秩与高斯消元法解线性方程组，向量组的线性表示，向量组的线性相关性的相通性原理，将初等变换求秩应用在以上方面，既解决了三个问题的求解判断，更将知识融会贯通，精密联系在一起，为以后相关知识的学习奠定基础。
关键词: 矩阵的秩；线性方程组；线性相关。
中图分类号:O13The rank of Matrix and its application周国梁（指导教师：刘伟明）（湖北师范大学数学与统计学院中国黄石 435000) Abstract：Matrix rank is an important research tool box of linear algebra research object, by matrix rank as the main research object, analyzes the rank of matrix and a part of the common application and the method of linear algebra for learning and mastering the linear algebra has certain help, to deepen the understanding of matrix rank, can apply to solve related problems;By analyzing the elementary transformation of matrix rank, using elementary transformation of matrix rank and gauss elimination method of solving linear equations linear representation of vector group, vector linear correlation principle of phase connectivity, the application of elementary transformation and rank in the above aspects, both the solution to solve the problem of the three judgments, more knowledge to achieve mastery through a comprehensive, precise, lay a foundation for later related knowledge of learning.Keywords: Matrix rank; System of linear equations; Linear correlation.目录1. 引言 (1)2. 秩的概念及其等价描述 (1)2.1 秩的概念 (1)2.2 矩阵秩的等价描述 (1)3. 秩在线性代数中的应用 (5)3.1 在求解线性方程组中的应用 (5)3.2 在特征值中的应用 (8)3.3 在判别线性相关中的应用 (8)3.4 在判断二次型的正定中的作用 (9)4 参考文献 (10)矩阵的秩及其应用周国梁（指导教师：刘伟明 ）（湖北师范大学数学与统计学院 中国 黄石 435000)1. 引言矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩即为研究问题的“试金石”。
矩阵秩的性质及应用
矩阵秩的性质及应用矩阵秩是矩阵理论中的一个重要概念，它代表的是矩阵中线性无关的向量或行列的最大数量，也可以理解为矩阵的非零行列的最大线性无关的数量。
矩阵秩有很多重要的性质和应用，下面将详细介绍。
一、性质：1. 对于任意的m x n矩阵A，其秩满足以下性质：（1）矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数中的较小者，即rank(A) ≤min(m, n)。
（2）如果矩阵A的秩等于行数或者等于列数，即rank(A) = min(m, n)，那么矩阵A被称为满秩矩阵。
（3）如果矩阵A的秩等于0，即rank(A) = 0，那么矩阵A被称为零矩阵。
（4）两个矩阵相似，它们的秩是相等的，即如果A和B相似，则rank(A) = rank(B)。
（5）对于矩阵A的任意非零子矩阵B，有rank(B) ≤rank(A)。
2. 矩阵的秩与其对应的行列式的性质有关：（1）如果一个n阶方阵A的行列式不等于0，即det(A) ≠0，则rank(A) = n，也就是说该矩阵是满秩矩阵。
（2）如果一个n阶方阵A的行列式等于0，即det(A) = 0，则rank(A) < n，也就是说该矩阵不是满秩矩阵。
二、应用：1. 线性方程组的解：考虑一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以将其表示为矩阵形式Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维列向量。
如果方程组能够有解，则有rank(A) = rank([A, b])，即矩阵A和增广矩阵[A, b]的秩相等。
通过计算矩阵A的秩，可以判断线性方程组是否有解，以及有多少个自由变量。
2. 线性映射的维数问题：考虑一个线性映射T：V →W，其中V和W分别是n维和m维向量空间。
根据线性映射的定义，如果对于V中的任意向量v，总能找到一个唯一的映射结果T(v)在W空间中，那么我们可以把V称为映射T的定义域，把W称为映射T 的值域。
根据线性映射的定义和性质，可知rank(A) = rank(T)，其中A是矩阵表示映射T的矩阵。
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山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
通过对矩阵的秩的探讨，能更好地理解矩阵的有关概念，同时对判别向量组之间的线性相关性，求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系有一定意义。
分析矩阵的秩在线性空间方面的应用，能准确快速地判断空间中直线的位置关系。
另外，在求解一些复杂行列式的值的过程中，将行列式问题转换成矩阵问题，大大简化了计算过程。
深刻地理解矩阵的秩将对今后线性代数方面的学习有很大的帮助。
二、矩阵的秩(一)矩阵的秩的定义介绍矩阵的秩，首先应该了解矩阵的k 阶子式，借助k 阶子式的定义，进一步来了解矩阵秩的概念。
下面对k 阶子式进行简单介绍：1.k 级子式[1]:在一个n 阶行列式D 中任意选取k 行和k 列（k n ≤）。
位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的序次构成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式。
例如 : 118339512104A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭矩阵A 的第一、三行，第二、三列相交处的元素所构成的二阶子式为183104D ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
当然，矩阵的k 阶子式并不是唯一的。
显然,m n ⨯矩阵A 共有k km nC C 个k 阶子式。
2. 矩阵的秩[1] :设()ij m nA a ⨯=有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()R A 或秩A 。
矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，同理，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组 的秩。
矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以一般就统称为矩阵的秩。
(二)矩阵的秩的一般性质及求法1.矩阵的秩的一些简单性质我们通常规定零矩阵的秩即为0。
(1).如()R A r =，则A 中最少有一个r 阶子式0r D ≠，其余1r +阶子式全部为0，且更高阶子式为0,此中r 是A 中非零的子式的最高阶数。
(2).初等矩阵均满秩，任何矩阵乘满秩方阵，秩均不变的。
(3).n n ⨯矩阵的行列式为零的充分必要条件是，矩阵A 的秩小于n 。
(4).由行列式的性质知，()()TR A R A =。
(5).()()()}{,,0min ,R A m R A n R A m n <<<<。
(6).如果n n A ⨯，且0A ≠，则()R A n =。
反之，如()R A n =，则0A ≠所以有，方阵A 可逆的充分必要条件是()R A n =。
此时称矩阵A 是满秩的。
(7).A 可逆时，()()R AB R B =；B 可逆时，()()R AB R A =。
2.具体矩阵的秩的求法(1).根据矩阵的秩的定义,求矩阵的非零阶子式的最高的阶数,即为矩阵的秩。
(2).应用等价矩阵有相同秩的结论,利用矩阵的初等变换，先将一般矩阵简化成阶梯形，那么矩阵的秩即为阶梯矩阵中非零的行数，在初等变换中，可以只进行初等行变换，也可以初等行变换或初等列变换混用来对它进行化简。
例一：对如下的矩阵求它的秩012114210A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求法一：由于01211420210A ==≠-，而A 的最高阶数是三阶，所以()3R A =。
求法二：1012114114012210002A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对它进行初等变换以后, 最后的阶梯矩阵中，非零行数为3，所以该矩阵秩为3,即()3R A =。
注：以上的两种求矩阵秩的方法中，两者各有千秋，运用初等变换的方法求矩阵的秩，一般适用于超过三阶的矩阵，比较快速方便。
因为对于高阶子式来说，其k 级子式的个数较多，计算比较冗长且难度较大。
而对于低阶的矩阵，求k 级子式更直接易理解。
（三）、求抽象矩阵的秩遇到抽象矩阵求秩，用上面的两种方法是不能解决问题的，所以，求抽象矩阵的秩，除了以上介绍矩阵的秩的相关性质外，还需补充一些有关矩阵的秩的有关结果。
结论一：设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，则A 可以表示成r 个秩是1的矩阵的和。
例二 : 证明0()()0A r r A r B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
证明 设(),()R A r R B s ==,那么肯定有可逆的矩阵11,P Q 与可逆的矩阵22,P Q ，使得11121211122212000000rs E E P ABQ P AQ Q P P BQ Q P ----⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简,A B 为等价标准形,故一定有可逆矩阵112200,00P Q P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使成立111122220000000000000000000000r r E P Q P AQ A P Q P BQ B E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，因为左乘及右乘和原来矩阵的秩仍然相等，最终有00000000()()00000000r r E A r r r s r A r B B E ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==+=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭。
结论二：设A 是n 阶方阵（2n ≥），则有当()R A n =，时，*()R A n =当()1R A n =-时，*()1R A =当()1R A n ≤-时，*()0R A =例题三：已知A 是3阶非奇异矩阵,那么**(())r A =?解:从结论二得*****3,()3(())1,()20,()2r A r A r A r A ⎧=⎪==⎨⎪<⎩,又从题知A 为3阶不可逆矩阵,所以()2r A ≤,所以*()1r A =或0,故**(())0r A =结论三[3]：,A B 为n 阶方阵且0AB =时，()()r A r B n +≤。
例四：已知123244812Q t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 为3阶非零矩阵,且还有0PQ =成立,则 ( )A. 6t =时,P 的秩必为1B. 6t =时，P 的秩必为2C. 6t ≠时,P 的秩必为1D. 6t ≠时, P 的秩必为2解：因为0P ≠，所以秩()1r P ≥，又由题知道0PQ =，所以()()3r P r Q +≤。
当6t =时，()1,r Q =故可以得1()2r P ≤≤，当6t ≠时，()2r Q =，又可以得1()321r P ≤≤-=，即肯定有()1r P =。