矩阵的秩及其应用
【方案】矩阵的秩及其应用.doc
山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。
通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。
论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。
第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。
第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。
在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。
最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。
本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。
【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。
矩阵的秩的应用
矩阵的秩的应用
矩阵的秩是矩阵理论中一个非常重要的概念。
秩是指一个矩阵中的列向量或行向量线性无关的最大数量。
秩越高，矩阵越“大”，在许多领域中都有着广泛的应用。
在线性代数中，秩是一个关键的概念。
它用于判断矩阵的可逆性以及线性方程组的解的存在性和唯一性。
许多线性代数中的问题可以通过求解矩阵的秩来解决，比如线性变换的维数判断、向量空间的维数判断、矩阵的特征值与特征向量的求解等等。
在工程学中，矩阵的秩也有着重要的应用。
比如在控制系统中使用的观测器，其设计基于矩阵理论中的秩原理。
此外，秩还可以用于电路分析、机械结构分析等领域。
在图像处理中，矩阵的秩可以用于图像压缩和图像去噪。
在计算机科学中，矩阵的秩也被广泛应用。
在图像处理、数据压缩和计算机图形学等领域，矩阵的秩可以用于对图像的模式识别和降维分析，同时也可以用于对大数据处理中的矩阵压缩。
在统计学中，矩阵的秩也有着重要的意义。
矩阵中的秩可以用于解决高维数据的困难问题，比如在数据挖掘、分类、回归和聚类等领域。
此外，矩阵的秩还可以用于矩阵分解和线性规划等领域。
在量子力学研究中，矩阵的秩也有着应用。
量子力学的矩阵表示方式是一个非常重要的数学工具。
矩阵的秩可以用于求解量子费米子的对称性，进而对物质的内部结构和化学反应等方面进行研究。
总之，矩阵的秩是一个非常重要的数学概念，在许多领域中都有着广泛的应用。
无论是在线性代数、工程学、计算机科学、统计学还是量子力学研究中，矩阵的秩都发挥着至关重要的作用。
矩阵秩的不等式及其应用
矩阵秩的不等式及其应用矩阵秩的不等式及其应用矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域。
矩阵秩是矩阵理论中很重要的一个概念。
矩阵秩不仅仅是一个数值，还具有深刻的物理意义。
下面我们将探讨矩阵秩的不等式及其应用。
一、矩阵秩的定义矩阵是一个M行N列的矩形数组，其中包含M×N个实数元素。
矩阵秩是由它的行和列所组成的线性空间的维数。
一个矩阵的秩指矩阵的行、列向量组的维数中的最小值。
二、矩阵秩的不等式对于任何一个矩阵A，其行秩等于其列秩。
即rank(A)=rank(AT)。
我们可以利用这个性质得到以下的矩阵秩不等式：对于任何两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(A-B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))rank(AB) ≤ rank(A)这些不等式给我们提供了方便快捷的工具来计算矩阵秩。
三、矩阵秩的应用矩阵秩在各个领域都有广泛的应用。
在工程中，它可以用于建立模型和解法，广泛应用于控制工程、数字信号处理、材料科学等。
例如，在控制工程中，我们可以利用矩阵秩的不等式来确定控制系统的稳定性。
一个控制系统是稳定的，当且仅当系统矩阵的秩等于系统状态的维数。
如果系统的任何一个状态可以被表示为系统矩阵中的一个线性组合，那么系统就是不稳定的。
此外，在统计学中，我们也可以利用矩阵秩来确定数据的维度。
数据的维数等于其协方差矩阵的秩。
一个协方差矩阵有多少个非零特征值就代表数据有多少维。
总之，矩阵秩是一个非常重要的概念，可以帮助我们解决很多实际问题。
矩阵秩的不等式为我们提供了更便捷的计算方式。
我们应该在学习中深入理解矩阵秩，并灵活运用其相关知识。
矩阵秩的求解方法及应用探索
矩阵秩的求解方法及应用探索
矩阵秩是描述矩阵中线性无关行（列）的数量，它是矩阵变换空间的
维数。
矩阵秩的求解方法：
1. 初等变换法：将矩阵按照行（列）块排列，用初等变换（换行，
换列，倍乘列，加减乘列）把矩阵变为 diagonal matrix ，然后统计主
对角线中非零元素的个数。
2. 分解法：将一个矩阵A分解为前向和后向的乘积，分别用Q和R
表示，即A=QR，其中Q为m×n的正交矩阵，R为上三角矩阵，则 r=min （m，n），因此A的秩也就是R的秩，即r．。
矩阵秩的应用：
1.线性方程组的解法：矩阵秩可以用来判断一个线性方程组是否有解，如果群中方程数大于未知数，而该矩阵的秩小于未知数数目，则该线性方
程组无解。
2.图像重建：矩阵秩可以用来重建图像，可以通过将图像表示成一个
矩阵的形式，然后求出矩阵的秩，并运用一定的程序将矩阵重建为原图像。
3.数据挖掘：矩阵秩可以用来分析一组数据中最具代表性的变量，可
以将一组变量分解成一个矩阵，然后求出矩阵的秩，进而挖掘出最具代表
性的几个变量。
关于矩阵的秩的一些理论及应用
b1 b2 b
c1 c2 c
d1 d2 d
则有如下结论
（1）直线和平面相交 r ( A ) （2）直线和平面平行 r ( A ) （3）直线在平面上
r ( A) 3
2, r ( A ) 3
r ( A ) r ( A ) 2
够顺利完成，要特别感谢我的导师高学亮老师， 感谢各位系里老师的关心和帮助。
最后向所有关心和帮助过我的人表示我最真心的
感谢。
k 1 a1 k 2 a 2 ... k n a n 0
是否存在非
零解，又相当于判断其对应的系数矩阵 A 的秩是小于还
线性相关
R A n来自线性无关R A n
2 矩阵的秩在解方程组问题时的应用 齐次方程组解的判定
齐次方程组有非零解的充要条件是他的系数 矩阵的秩小于 n 非齐次线性方程组有解的充要条件是 若
1
, a 2 , a 3 , ..., a n
。
可以看出线性空间的维数和他的一组基所含向量的个数
是相等的，这样就把解决维数问题简化到了讨论向量的 个数，也就是讨论向量组的秩。
小结
矩阵的秩是高等代数中很重要的一个内容， 矩阵秩的应用也是非常广泛的，并且解决问题时
也简单明了，比如在判断向量组线性相关性的时
候，把复杂的表示问题，等价成求矩阵的秩，一 眼就能看出我们想要的结果。矩阵的秩还在一些
几何问题上得到巧妙的应用，将复杂的图形问题
变成了代数问题，只简单的求出方程组的解就可 以判断直线平面的位置关系。
致谢
大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢 所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他
们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能
矩阵的秩在线性代数中的应用
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
是否可逆.
解：
1 2 3 4 1 2 3 4
A
2 3
3 4
4 5
5 6
0 0
1 2
1 2 3 4
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3
2 0
0
2
不
2 2 这个阶梯形矩阵有 4 个非零行，故 r(A) 4 .所以矩阵 A 是可逆的.
3x1 2x2 4x3 3x4 9x5 3
解：对增广矩阵 k1, k2, k3,ks 施行初等行变换
1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1
A 2 1 2 2 6 3 0 3 6 0 0 0
3 2 4 3 9 3 0 1 2 6 18 0
1 1 2 1 0 3 6 0
1
6 2
0 0 0
1 0 0
0 1 3
0 4 12
1 13
1 0 2 1 0
0 0
1 0
0 1
0 4
1 1
0 0 0 0 0
因此r(A) 3 .
3.矩阵的秩在讨论方阵是否可逆中的作用
定理1： 设 A 为n阶方阵，若A 可逆，当且仅当r(A) n.
1 2 3 4
例:判断方阵
A
2.矩阵秩的计算
介绍一种难度比较小的方法来求矩阵的秩，把任意一个矩 阵A变为阶梯型的矩阵.
c11
0
c12 c22
c1r c2 r
c1n
c2n
B 0
0
crr crn
0
0
0
0
0
0
0
0
其中，cii 0 ，i 1,2,3,,r ，r(B) r(C) .C 的左上角r 阶子式
浅谈矩阵的秩及其应用的开题报告
鞍山师范学院本科毕业生毕业论文开题报告题目：浅谈矩阵的秩及其应用系别：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学年级: 13级2班姓名：杨笑导师:张立新（一）选题意义1. 理论意义：高等代数作为数学专业基础课程之一,矩阵理论又是它主要的内容，其中矩阵的秩特别重要，它是反映矩阵固有性质的一个重要概念。
不管是数学专业还是非数学专业,掌握矩阵的秩的定义以及简单性质，有助于我们解决一些基本的矩阵的秩的相关问题。
通过本篇论文,可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解，及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。
2。
现实意义:矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始末，是矩阵的一个重要的本质属性，在解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，以及在解析几何中,判断空间两直线位置关系等领域都有广泛的应用。
（二）论文综述1、国内外研究现状及分析：矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.最初，矩阵概念的产生是作用于解线性方程组,英国数学家凯莱在矩阵论的研究中作出了巨大贡献，定义了矩阵的秩、初等因子、矩阵初等变换等概念,并且讨论了矩阵初等变换的一些重要性质，同时，弗罗伯纽斯的贡献也不是不可磨灭的，在凯莱的基础上，引进了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支—-矩阵论。
矩阵的应用也是相当广泛的，不仅仅是在数学领域,在物理、力学、科技等方面也发挥了不可忽视的作用,目前，虽然很多数学家在矩阵的秩的研究中做出了很多贡献,但是，矩阵的秩作为矩阵的一个重要性质，在高等代数、几何空间、数学分析等方面都有密切关系，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用。
在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。
矩阵的秩及其应用
矩阵的秩及其应用嘿，朋友！想象一下你走进了一个充满神秘数字和符号的奇妙世界，那里有一个叫矩阵的家伙，而矩阵还有一个很重要的属性，叫做秩。
这秩啊，就像是矩阵的“身份证号码”，能告诉我们很多关于它的秘密。
先来说说矩阵是啥吧。
比如说，你和你的小伙伴们一起参加一场团队游戏，每个人的得分记录下来，排成一个整齐的数字表格，这就有点像矩阵啦。
那矩阵的秩又是什么呢？咱们来打个比方。
把矩阵想象成一个班级，里面的数字就是同学们。
秩呢，就好比是这个班级里真正能“挑大梁”、发挥关键作用的同学的数量。
如果秩比较大，那就意味着这个班级里能干实事的同学多；要是秩比较小，可能就得好好想想办法，提升一下团队实力了。
在日常生活中，矩阵的秩也有大用处呢！比如说，建筑师在设计大楼的时候，各种结构的数据就可以组成矩阵。
通过分析矩阵的秩，就能知道这个设计是不是稳定可靠，能不能经受住风吹雨打。
这就好像是给大楼做了一次全面的“体检”，是不是很神奇？再想想，工程师们设计电路的时候，那些复杂的电流、电压等参数，也能组成矩阵。
矩阵的秩就能帮助他们判断电路是不是能正常工作，会不会出现短路或者其他故障。
这秩就像是电路世界里的“侦探”，能找出隐藏的问题。
还记得你为了减肥制定的运动计划吗？每天跑步的时间、做瑜伽的时长、跳绳的次数等等，这些也能组成一个矩阵。
而矩阵的秩能告诉你这个计划是不是合理，能不能有效地帮你甩掉赘肉。
我曾经有个朋友，他特别喜欢摄影。
每次拍照，他都会研究光线、角度、焦距等各种参数，这些参数组成的矩阵，通过分析秩，他就能知道怎么拍出更完美的照片。
这秩就像是他摄影路上的“引路人”，指引他走向艺术的高峰。
在学习数学的时候，矩阵的秩更是帮了大忙。
它能帮助我们判断方程组有没有解，有几个解。
这就像是在数学的迷宫里找到了一把万能钥匙，能打开各种难题的大门。
你说，这矩阵的秩是不是特别神奇？它就像一个隐藏在数字世界里的小精灵，虽然有时候不太容易被发现，但一旦被我们抓住，就能发挥出巨大的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。
首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。
对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。
关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。
它是矩阵 的一个重要性质。
在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。
1．矩阵的秩及其求法1.1矩阵的秩的定义定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。
定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。
定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。
零矩阵的秩规定为零。
注：由定义可以看出(1)若A 为n m ⨯矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。
方法1 按定义例1.2.1 求矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--41311221222832的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式1312122832--=0，43112122232-=0，41312212283--=0，4111222282-=0 所以()2r A =方法2 初等变换法引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。
例1.2.1求矩阵23822122121314A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有A →13142122122382⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→131406440966⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→131406440000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=B ，在矩阵B 中易知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式1306≠0. 所以()2r B =, 可得()2r A =。
即矩阵的秩为22矩阵的秩的应用2．1矩阵的秩在解线性方程组中的应用解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩。
消元法多用于方程组比较简单时。
当方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势。
引理 2.1.1[1] 如果齐次线性方程组111122121122221122...0...0...............0n n n ns s sn n b x b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n s s sn b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行秩r n <，那么它有非零解。
例2.1.1 求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解12345123451234512345202075550320x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪+---=⎪⎨+--+=⎪⎪--+-=⎩ 解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得121111211112112211110533105331175550966606900312110552205140------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于1112033100900014---≠，可知()45rank B =<.方程组的基础解系含有一个线性无关的解向量，题目所给方程组的同解方程组为123452345232342205330 690540x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪--+=⎪⎨-+=⎪⎪-++=⎩ ，可以令22x =可推出 12131,1,,23124η'=（，），η是原方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解可以表示为x k η=（k 为任意常数）引理 2.1.2[2]判别线性方程组11112211211222221122.....................n n n n s s sn n sb x b x b xc b x b x b x c b x b x b x c +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）有解的条件是111212122212n n s s sn b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 与增广矩阵11121121222212n n s s sn s b b b c b b b c B b b b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。
这说明当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1方程组无解。
例2.1.1.1 解方程组12312312312322355723314x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩解 用上述引理，将增广矩阵化为阶梯形。
2112115711571001131501916019160102115702412001200122331401132800000000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以很显然可得123122x x x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩例2.1.1.2 解方程组123412341234221245224x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+++=⎨⎪---+=-⎩解 对B 进行初等行变换。
B =121211212112121120122411500333001110011112214003330000000000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以可知()()2A r B ==r 所以方程组有解。
得出同解方程组12434221x x x x x ++=⎧⎨-=⎩，取24x x ==0，则132,1x x ==。
方程组的一个解是2010λ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，原式对应的齐次方程组1242234442x x x x x x x x x =--⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩的通解为1221100101k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
所以由以上可以求得方程组的通解为()1212212100,011010x k k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意实数 2.2：矩阵的秩在求特征值中的应用。
矩阵的秩与特征值之间也有非常密切的联系，下面就讨论一下当矩阵为1时 特殊情形时，特征值的取值情况。
引理2.2.1设()ij A a =是3阶矩阵，则A 的特征多项式32112233a )E A a a s A λλλλ-=-+++-（,其中111322231112313332332122a a a a a a s a a a a a a =++，特别地，若秩()1r A =，知道特征多项式322()()ii ii E A a a λλλλλ-=-=-∑∑，则矩阵A 的特征值是31231,0ii i a λλλ====∑。
例2.2.1 求行列式的值 x z z z z z x z zz z z x z z z z z x z zzzzx解 用上述引理的相关理论知识来解答，x z zzz z x z z z z z xz z z z z x z z z zz x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =（）+00000000000000000000x zx z x z x z x z -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦（=B ）.()1r A =,因此在A 中，12,0n nz λλλ====，在B 中，1n x z λλ===-。
所以矩阵的特征值为12,n nz x z x z λλλ'''=+-===-，由以上可以求得行列式x z z z z z x z z z z z x z z z z z x z z z zz x=112()()n n nz x z x z λλλ-'''=+--=1[(1)]()n n z x x z --+-2.3：矩阵的秩在多项式中的一点应用。
在高等代数中矩阵理论的学习在多项式理论之后，为了使同学们能够把前后知识 连贯起来，融会贯通，下面给出矩阵的秩在多项式中的一点运用。
引理2.3.1[7]设(),()[]f x g x p X ∈,且它们的次数都1≥，令1110()n n n n g x c x c x c x c --=++++和1110()m m m m h x d x d x d x d --=++++，且n ≥m,则()|()h x g x 的充要条件是线性方程组()T h x C x A =有唯一解，其中1010()10(1)(1)00m m mm h x mm n m n d d d d d d C d d d ----+⨯+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =110(,,)T n n c c c c -.令H =Th x C A （）,111011000m m m m m m nn n mn m d d d d d d J d d d c c c c c -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.即()()1r H r J n m ==-+ 例2.3.1 已知43222u x x bx x dx =+++-（），22v x x x =--（），当b ，d 为何值时，v x （）能整除u x （）。
解 u x （）能被v x （）整除的充要条件是矩阵112000112012200112122v x C B bd b d --⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎢⎥-⎣⎦（）的秩，13r B n m =-+=（）。