对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用

对矩阵的秩的有关理解及其在线性代数中的应用摘 要：本文叙述了矩阵秩的几个等价定义，并且给出了几个相关秩的解法.通过例子来验证和探讨了矩阵秩在线性代数中的应用，这些知识对我们理解矩阵的本质,灵活运用矩阵的秩去分析相关问题有一定的意义和作用.关键词：矩阵的秩；秩的解法；秩的应用 On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremelyin the Application of Linear AlgebraAbstract : This article describes several equivalent definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related problems. Key words : rank of matrix; rank method; the application of rank0 前言矩阵的理论是线性代数的理论基础。

而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本的理论概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，他在初等变换下是一个不变量.它是反应矩阵固有特性的一个重要概念.矩阵作为线性代数的重要工具，已渗透到各章内容之中,并成为行列式、线性代数方程组、线性空间、欧氏空间和二次型的纽带,它把线性代数各章节贯串成为一个整体.而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，是矩阵一个重要的、本质的属性,在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用. 1 矩阵秩的概念首先给出矩阵秩的几个等价定义定义1 设s ，矩阵中不为0子式的最高阶数，即A 有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式（如果存在的话）全为0，称r 为矩阵A 的秩。

记做()R A r =.从本质上说，矩阵的秩就是矩阵中不等于0的姿势的最高阶数。

这个不为0的子式的最高阶数r 反映了矩阵A 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2 矩阵()ij n n A a ⨯=,行（列）向量组的极大无关组的个数称为该矩阵的秩.定义3 矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩；矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩.定理1 任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变既A 初等变换B 时，()()r A r B =，由于求矩阵的秩与求行向量组的秩都是用矩阵的初等行变换来实现的，矩阵的行秩等于矩阵的秩是显然的，由矩阵的秩的定义，可得定理2 对于对于任意一个矩阵A ，A 的秩，A 的行秩和A 的列秩三者都相等. 因此，也可以用矩阵的行秩或列秩作为矩阵秩的定义.例题1 用消元法求下列向量组组的极大线性无关组和秩：()()()()3101722169414320121146431，，，，，，，，，，，，，，＝，，，，，２-=--=--=αααα解 作初等变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631092114047116 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550092114080755110 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----200012550092114080755110 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----2000125500921140805510 → ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--20002400010101390005510 所以4321αααα，，，的秩为3，而且可以知道432ααα，，是极大线性无关组. 2 矩阵的秩的求法(1)定义法,利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数;(2)初等变换法,对矩阵实施初等行变换,将其变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩;(3)标准形法,求矩阵的标准形,1的个数即为矩阵的秩.例题2 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A 的秩解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1281216011791201134041461→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1281216011791201134041461 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------84000840001134041461 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----00000840001134041461所以3)(=A r3 矩阵秩的作用和意义3.1 秩与线性方程组的解定理2 设n 元线性方程组b AX =，其中A 和A ~分别为n m ⨯阶系数矩()1+⨯n m 阶增广矩阵，则有：（1） 方程组b AX =无解当且仅当)~()(A r A r <（2） 方程组b AX =有唯一解当且仅当n A r A r ==)~()(（3） 方程组b AX =有无穷多解当且仅当n A r A r <=)~()(例题3 讨论下列各方程组的解的情况⎩⎨⎧-=+=+23122121x x x x ⎩⎨⎧=--=++0463232121x x x x ⎩⎨⎧-=-+-=+6463232121x x x x()a ()b ()c以上三个不同的线性方程组的增广矩阵分别为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211321b A ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=034623b A ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=634623b A对上述3个矩阵进行行的初等变换后分别得到下列三个矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111001 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000321 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100321这时易读出上述矩阵的秩和对应的系数矩阵的秩，我们应用定理来分析和总结上述三个方程组的解如下表：事实上，用初等变换把矩阵化为阶梯形，其阶梯形矩阵中非零行的个数的秩就是矩阵的秩.齐次线性方程组，如果用0=X 代入齐方程组0=AX 中，可看出任何齐次方程组都至少有一个解，即0=X .那么齐次方程组0=AX 还有其他解吗？定理3 设A 为n m ⨯阶矩阵，如果一个齐次线性方程组0=AX 有唯一解当且仅当()n A r =,如果m n >(未知量的个数大于方程的个数)，那么方程组有无穷多个解.3.2 秩与向量组的相关性定义 一组向量s a a a ,,,21 ()1≥S 是线性无关的，如果没有不全为零的数s k k k ,,,21 使02211=+++s s a k a k a k ，否则称这组向量是线性相关的.向量组的秩既该向量组极大线性无关组所含向量的个数，而向量组本身所含向量的个数与秩相等，则该向量组线性无关，所含向量个数大于秩，则该向量组线性相关，用求向量组秩的方法判断向量组是否线性相关是判断相关性的常用方法。

推论 一组列向量s a a a ,,,21 线性无关当且仅当矩阵{}s a a a A ,,,21 =的秩()s a r =.例题4 判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12111a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11122a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11103a 的线性相关性 解 列向量321,,a a a 写成矩阵的形式，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111112111021A 对矩阵A 进行行的初等变换，使之变成阶梯形矩阵，既⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111112111021A → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----130130130021 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000003110021 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000031103201 由此可以看出，矩阵A 的秩为()32<=A R ,因此向量组321,,a a a 是线性相关的. 用初等变换把一个线性方程组化成阶梯型，最后留下来的方程的个数与变幻的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.3.3 矩阵的秩在讨论方阵的问题中的作用对于一个方阵n n R A ⨯∈,如何判断它是否可逆,除了根据它的行列式是否为零,还可以根据方阵秩的大小来判断。

方阵A 可逆的充要条件是()n A r =,我们又知道方阵A 可逆的充要条件是0≠A ,这与秩为非零子式的最高阶数是吻合的.由初等变换不改变矩阵的秩可得：定理4 A 是一个n s ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()AQ r PA r A r ==例题5 设A,B 均为n 阶方阵，则下列选项正确的是（）A 若A 与B 均可逆，则B A +可逆B 若A 与B 均不可逆，则B A +必不可逆C 若B A ⨯可逆，则B A ,均可逆D 若B A ⨯不可逆，则B A ,均不可逆解析 首先回顾教材中的定理：设A,B 是数域P 上的两个n n ⨯矩阵，那么|AB|=|A||B|,既矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.由于B A ⨯可逆，所以()n B A r =⨯，即0≠⨯B A ，因此 0≠A 且0≠B ，所以B A ,均可逆，正确答案为C .3.4 矩阵的秩在二次型问题中的作用二次型的秩定义为其矩阵的秩,任意二次型总可以经非退化线性变换X=CY 化为标准形,而且,还可以经过不同的非退化线性变换化为不同的标准形,但这些标准形中所含平方项的个数是相同的,所含平方项的个数就等于二次型的秩。

对于正定二次型,其对称矩阵的顺序主子式全为正数,特征值也全为正数,二次型的正惯性指数等于n 。

此时,对称矩阵的行列式大于零,显然有r(A)=n 。

反之,若r(A)=n,不能推出二次型为正定二次型,这是因为可能有负特征值出现.定义 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 如果都有0),,,(21≥n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的。

例题6 证明：二次型),,,(21n x x x f 是半正定的充要条件是它的正惯性指数与秩相等.证 必要性：采用反证法.若正惯性指数≠p 秩r ，则r p <.即()2212222121,,,r p p n y y y y y x x x f ---+++=+ 若令1,0121=======+r p p y y y y y则可得非零解()n x x x ,,,21 使()0,,,21<n x x x f 。