线性代数 矩阵的秩
线性代数：矩阵秩的求法
6/44
定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
12/44
定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
13/44
x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
14/44
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
线性代数 矩阵的秩与逆矩阵
BP1 P2
Ps = X
AP1 P2
Ps = E
3. AXC = B, A, C可逆。 解法I : X = A BC
解法II : AX = BC
−1
−1
−1
−1
XC = A B
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 .已知 A, 且 AB = A − B , 求 B .
−1 ⇒ B = ( A + E ) A ⇒ AB + B = A ⇒ ( A + E ) B = A
⎛1 − 1 − 1 ⎜ → ⎜0 −1 − 2 ⎜0 0 −1 ⎝
⎛1 0 0 ⎜ → ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝ 2
1 0 0⎞ ⎟ 3 1 0⎟ 4 2 1⎟ ⎠
1 ⎞ ⎟ 5 3 2⎟ − 4 − 2 − 1⎟ ⎠ 1
∴A
−1
=
1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 3 2⎟ ⎜ 5 ⎜ − 4 − 2 − 1⎟ ⎝ ⎠
⎛2 ⎛1 − 1 ⎞ 3 . C = ⎜ 2.B = ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠
− 2⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎠
⎛2 1 ⎛ 1 1⎞ −1 2. B = ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 3 ⎝ − 2 1⎠ ⎝
− 1⎞ −1 1 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ = C 3 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 2 2 − 1⎠ ⎝ ⎠
？？ ⎛ 1 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 的逆怎样求？ ？ A = ⎜− 3 2 1 ⎟
⎜ 2 ⎝ 0 1 ⎟ ⎠
逆阵的性质
1 (i ) A可逆 ⇒ A = ; A (ii ) A可逆 ⇒ A−1可逆, ( A−1 ) −1 = A;
−1
(iii ) AB = E (or BA = E ) ⇒ B = A ;
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
线性代数(第二版)第七节矩阵的秩
例 １ 求矩阵 A 的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5
4 7 1 解 在 A 中，容易看出２阶子式
12 1 0,
23 而 A 的三阶子式只有一个 ｜Ａ｜
单击这里计算 | A | 0, 因 此 r ( A) 2.
0 0 1 3
0
0
0
5
1 3 1 0 0 1 0 2 4 0 1 0
0 0
0 0
0 0
3 0
3 0
0 0
.
的第竖台方
第 一 个 非 零 元
,
一 个 元 素 为 非 也 零 就 元 是 非
)
(
线 每 段 竖 线 的 长 度 为 后 一
,
阶 数 即 是 非 零 行 的 阶 行 梯 数
;
的 元 素 全 为 每 零 个 台 阶 只
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
B3
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
其特点是：阶梯线以下 的元素全是０，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 .
行最简形矩阵
其特点是：非零行的第 一个非零元为１，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为０.
m n 矩阵
A的
k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
利用这个概念，可以给出矩阵
的秩的定义.
定义 1.16 如果数域 F 上的 m n 矩阵
a11
A
a21
线性代数：矩阵的秩
例4
3 2 0
设
A
3
2
3
5 0 6 1, 求矩阵 A的
2 0 1 5 3
1
6
4 1
4
秩．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
11/44
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
7/44
若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为B，则 R( A) R(B).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) R( A).
定理1 若 A ~ B,则 RA RB.
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
5/44
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
15/44
例
设A
1 2 2 3
解
~ A
rr32
22rr11
r4 3r1
1 0
0 0
2 4 1 3
1 2 0 3
线性代数 矩阵的秩
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 0 0 0 0 0 0
求矩阵 A的列向量组的一个最大 无关组。
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
知R( A) 3，
故列向量组的最大无关 组含3个向量.
而三个非零行的非零首元在1、、三列， 24 故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组的一个最大无关组.
1 2 3 4
初等行变换
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
R( A) 2, R( B ) 3.
例5 已知两个2×4矩阵
2 0 1 3 1 A T 3 2 1 1 2
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例4 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b )的秩.
说明
（1）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
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小结. 求m × n 矩阵A 的秩r(A), 可用以下方法: 1. 对于比较简单的矩阵, 直接用秩的定义 直接用秩的定义. .
∼
1 0 0 0
0 1 0 4
0 1 0 −1 0 0 5 0
2. 用有限次初等变换, 用有限次初等变换, 将矩阵A变为它的等价 标准形 , 则 r = r( A ) . O O 3. 用有限次行初等变换, 用有限次行初等变换,将矩阵A变为梯矩阵, 则 r(A)等于该梯矩阵的非零行的行数 等于该梯矩阵的非零行的行数. （方法2 与方法3 相比, 方法3 较为简单.）
例1 求下列矩阵的秩: 求下列矩阵的秩:
(1) A = 2 2
1 1
2 4 8 (2) B = 1 2 1
(3) C = 2
1 2 4 1 4 8 2 3 6 2 0
.
解 (1)因为
1 1 a = 1 ≠ 0 而 det A = 1 1 = 0 A= 11 , 2 2 2 2 故 r ( A) = 1
又B 并无3阶子式, 阶子式,故 r (B) =2.
8 2 2 0
故, 矩阵C 的秩不小于2.
= −3 ≠ 0
另外, 因为矩阵 C 不存在高于3阶的子式, 可知r (C) ≤ 3. 又因矩阵C 的第1, 2行元是对应成比例的, 行元是对应成比例的, 故C 的任一 3阶 子式皆等于零. 子式皆等于零.因此
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 B= 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 (2) 每个台阶只有一行， 每个台阶只有一行，台阶 A = 0 数即是非零行的行数， ，阶梯 数即是非零行的行数 0 线的竖线后面的第一个元素
为非零元， 为非零元，即非零行的第一 个非零元． 个非零元．
1 2 0 0
−2 −1 0 0
1 1 5 0
4 0 −3 0
（阶梯矩阵B有4个非零行， 个非零行，必有一个4阶子式不为 零，故 r ( B ) = 4. )
（阶梯矩阵A有3个非零行， 个非零行，必有
一个3阶子式不为零， 阶子式不为零，故 r( A) = 3.)
Ir O O O
Hale Waihona Puke 其中 r = r(A).例 用行初等变换法, 行初等变换法,将其化为梯矩阵. 将其化为梯矩阵.
1 0 并求矩阵 A= 1 2 3 −1 1 4 解 1 0 A= 1 2 3 −1 1 4 0 1 0 −1 0 4 5 1 0 1 0 −1 5 0 0 0 0 1 0 −1 的秩。 的秩。 0 4 5 1 1 0 0 1 2 0 −2 ∼ 0 0 −1 0 1 0 4 5 0
行初等变换而化为梯矩阵 初等变换而化为梯矩阵. 而化为梯矩阵.
则 r ( A) = r (即为单位阵 I r 的阶数) 的阶数).
证明
定理1 定理1和定理2 和定理2可以简洁地表述为:等价矩阵的秩 相等; 任一矩阵必有与之等价的梯矩阵.
证明 这样 也可以更明确地说, 也可以更明确地说,任一 m × n矩阵A的等 价标准形, 价标准形,指的是一特定的m × n矩阵,其分块形式为
r ( A) ≤ min( m,n ) r ( A) = r( AT )
det A≠0.
(4(4-1) (4(4-2)
(4) 若 A是n 阶矩阵, 矩阵, 则 r(A)≤n , 且 r(A)=n 当且仅当
将行列式不为零的矩阵 将行列式不为零的矩阵(即非退化阵)称为满秩 称为满秩[矩]阵， 并称退化阵为降秩 并称退化阵为降秩[矩]阵.
2
定理1 任一m × n 矩阵A 经过有限次行初等 变换后秩不变. . 变换后秩不变 证明 (证明思路： 证明思路：因为不为零的子式经过行初等变换后仍然不 为零， 为零，为零的子式经过行初等变换后仍然为零. 所以矩阵 的秩不变） 的秩不变） 推论1 任一m × n 矩阵A 经有限次列初等变换 后秩不变. 秩不变.
第一节 矩阵的秩
第4章 矩阵的秩和 线性代数方程组的解
概念
计算
4.1.1 概念
定义1 对m × n 矩阵A, 称其一切非退化方子
矩阵的最高阶数 k 为A 的秩(rank), 记作r (A)=k, 并规定 r (O) = 0 . 若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行 列式或者简称为 列式或者简称为子式 或者简称为子式， 子式，则定义１ 则定义１可以说成r (A)是A 的一切的非零子式的最高阶数 的一切的非零子式的最高阶数. 切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k , 则A 至少有一个取非零值的 至少有一个取非零值的k 阶子式， 阶子式，而所有k + 1阶子 式(如果存在的话 如果存在的话) 存在的话)的值都为零. 的值都为零.
阶梯形矩阵： 阶梯形矩阵：
1 1 −2 1 0 2 −1 1 例如： A= 0 0 0 5 0 0 0 0 特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线， 可划出一条阶梯线， 线的下方全为零；
4 1 0 , B = 0 −3 0 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
证明
（证明思路： 证明思路：因为行列式经过转置值不变， 因为行列式经过转置值不变，因此， 因此，对 行成立的结论对列也成立.）
推论3 若已知任一个m × n矩阵A的等价标准形 分解 其中 N =
Ir O , O O
定理2
任一m × n矩阵 A必可通过有限次
A = PNQ
(2(2-21′)
例2 说明
0 0 A= 0 0
3 0 7 1 0 8 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0
为求r(A), 考虑以各行首个非零元为对角线元的 方子矩阵 方子矩阵
为梯矩阵, 为梯矩阵,并求出r(A) . 行是三个非零行,其非零首元分别 解 A的第1, 2, 3行是三个非零行, 是3, 8, 5,它们所在的 它们所在的列数 所在的列数分别为 列数分别为2, 3, 5; 而且全零 行之下已无非零行 行之下已无非零行. A 满足定义2的全部条件, 故 A 是个梯矩阵.
推论2 设A是任一 m × n 矩阵, 矩阵,而B 是m (或n) 阶 满秩矩阵 满秩矩阵, 矩阵,则必有
r ( BA) = r ( A) (或 r ( AB) = r ( A) ) 证明
(4(4-3)
（证明思路： 证明思路：因为任何一个满秩矩阵可以分解为有限个 初等矩阵的乘积， 初等矩阵的乘积，所以乘以一个满秩矩阵相当于对矩阵 做有限次初等变换， 做有限次初等变换，因此秩不变） 因此秩不变） 可以用一句话概括这个有用的推论: 可以用一句话概括这个有用的推论:“用满秩矩 阵去乘一个矩阵时不改变这个矩阵的秩. .” 阵去乘一个矩阵时不改变这个矩阵的秩
r (C ) = 2
1
从定义及上例的讨论过程可以看出: 从定义及上例的讨论过程可以看出: (1) 当且仅当A是零矩阵时, 是零矩阵时,r (A) = 0 . (2) 若A 存在一个非零 存在一个非零 k 阶子式， 阶子式，则必有r(A)≥k. (3) 若A 是 m × n 矩阵, 矩阵,则必有
4.1.2 计算 定义2 设A 是m×n 矩阵. 若对 k =1, 2, …, m-1, A 满 足以下两个条件: 足以下两个条件: 1.当第k 行是零 行是零( 即该行的元全为零) (即该行的元全为零 )时，第(k+1) 行必为零； 行必为零； 2.当第( 当第(k+1)行是非零行时， 行是非零行时，该行的首个非零元 所在的列号必大于第 所在的列号必大于第k 行首个非零元所在的列号, 行首个非零元所在的列号, 则矩阵A 称为梯矩阵 (echelon matrix).
Ir O
∼
1 0 0 0
0 1 4 0
∼
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 −1 5 4 0 0
1 0 0 因为 0 1 0 ≠0， 0 0 5
（或梯矩阵非零行数为3）
所以 r(A) =3。
3
( 3)
1 2 4 1 C = 2 4 8 2 3 6 2 0 首先 r (C) ≥2. 由于矩阵C 中有个零元 有个零元c34=0, 容易看出
2 4 8 (2) B = . 显然r (B) ≥1. 1 2 1 考察其2 2阶子式 阶子式, 考察其 ,此时虽有 2 4 2 8 但子式 = 0, = −6 ≠ 0. 1 2 1 1
3 0 1 0 8 2 0 0 5
这是个三阶三角阵, 这是个三阶三角阵,其行列式不等于零 其行列式不等于零. 不等于零.但是A 的任 一个四阶子式必含一个全零行 一个四阶子式必含一个全零行, 全零行,因此都等于零. 因此都等于零. 故
r ( A) = 3 = A 的非零行的数目. 的非零行的数目.