(优选)线性代数矩阵的秩习题
(优选)线性代数矩阵的秩习题
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
（精选）线性代数矩阵习题
（精选）线性代数矩阵习题习题课一.单项选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵,λ为A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵的特征根之一为( )A.n A ||1-λB. ||1A -λC. ||A λD. n A ||λ2.设λ为非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值为( )A.34B.43C.21D.413.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( )A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件 4.设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ) A. B E A E -=-λλB. A 与B 有相同的特征值与特征向量C. A 与B 都相似于一对角矩阵D. 对任意常数t ,有A tE -与B tE -相似二.填空题1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为51,41,31,21,则行列式=--||1E B 2.设n 阶方阵A 伴随矩阵为*A ,且,0||≠A 若A 有特征值λ,则E A +2*)(的特征值为3.矩阵=1111111111111111A 的非零特征值为 4.n 阶矩阵A 的元素全是1,则A 的n 个特征值为三、计算题1.设=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 2.设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3;矩阵A 的属于特征值1,2,的特征向量分别为,)1,2,1(,)1,1,1(21T T --=--=αα（1）求A 的属于特征值3的特征向量; （2）求矩阵A .3.设T)1,1,1(-=ξ为---=2135112b a A 的一特征向量. (1)求b a ,及特征值ξ; (2) A 可否对角化?4.设三阶矩阵 A 满足),3,2,1(==i i A i i αα其中,)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(321TT T --=-==ααα 试求矩阵A .5.设矩阵,3241223----=k k A 问k 为何值时,存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵.答案一.单项选择题 1、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则ξλξ**A A A =,即ξλξ*||A A =, 从而ξλξ|)|(1*A A -=.注:一般地,我们有:若λ为A 的一个特征根,则 (1)T A 的特征根为λ;(2)k A 的特征根为kλ; (3)aA 的特征根为λa ;(4)若A 可逆,则1-A 的特征根为λ1; (5)若0≠λ,则*A 的特征根为||1A -λ; (6)kE A +的特征根为k +λ.2、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则,,2222ξλξξλξa aA A ==(a 为实数), 所以, 12)31(-A 的一个特征值为12)231(-?=43. 3、解: B. 4、解: D. 二.填空题 1、解: 24.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量), A 可逆, 则ξλξ1 1--=A ,ξλξ)1()(11-=---E A ,即 E A--1的特征值为1-λ-1, 从而=--||1E A (2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面, A 与B 相似,所以,存在可逆矩阵P 使得 B AP P =-1 , 即P A P B111---=,P E A P EP P P A P E B )(111111-=-=-------,所以E B--1与E A --1相似,相似矩阵有相同的行列式,因此, =--||1E B 24.2、解:.1||22+λA若A 的特征值为λ,则*A 的特征值为λ||A ,2*)(A 的特征值为22||λA ,所以, E A +2*)(的特征值为.1||22+λA3、解: 4.计算特征行列式λλλλλλλλλ01010010001)4(1111111111111111||-=----------------=-A E 0)4(3=-=λλ .所以,非零特征值为4.4、解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)。
矩阵的秩的习题、行列式与矩阵综合习题
23. A 为 m n 的矩阵， O 为零矩阵，证明：线性方程组 Ax 0 与 A Ax 0 同解.
T
24. 任意的列向量 ，有 A 0 ，证明： A 反对称.
T
6
A.3 B.. 2 C.1 D. 0
）
1 2 2 x ,三阶矩阵 B 0 ,且满足 AB 0 ,则( 8. 设 A 2 6 3 0 6
A. x 8, r ( B ) 1 C. x 8, r ( B ) 1 B. x 8, r ( B ) 2 D. x 8, r ( B ) 2
cos 20. 求 sin
sin cos ， cos sin
1
sin cos
n
21. A 为方阵， O 为零矩阵，证明： A O 当且仅当 A A O .
T
5
22. A 为对称矩阵，且 A O ，其中 O 为零矩阵，证明： A O .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1)
4
闫浩教你线性代数 2015 秋季学期（北京邮电大学）11 月 5 日用
a 1 a a
a a 1 a
... a ... a ... a 的秩为 n-1,求 a. ... 1
a b 3 13. 3 阶矩阵 A= 2 0 2 3 2 1
和 r(AB).
b 1 a 1 ， B= 1 1 0 ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b 0 2 1
利用秩的性质解题练习题
利用秩的性质解题练习题秩（Rank）是线性代数中的一个重要概念，它可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将通过一系列练习题来演示如何利用秩的性质来解题。
1. 练习题1已知矩阵A为一个3×3的方阵，其秩为2。
现有线性方程组Ax=b，其中b为3维向量。
请问是否存在唯一解？若存在解，求出解的表达式。
解题思路：根据秩的定义，我们知道秩等于矩阵中非零行的最大数目。
由于A的秩为2，说明A的两行（或两列）线性无关。
因此，方程组Ax=b必然存在解。
设解为x=(x1, x2, x3)，则Ax=b可以表示为:a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 = b1a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 = b2a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 = b3我们可以将A的两行取出来组成一个新的矩阵B，将b的两个元素取出来组成一个新的向量C，即：B = [a11 a12 a13;a21 a22 a23]C = [b1;b2]由于B的秩为2，所以存在唯一解。
解可以通过求解Bx=C得到：x = inv(B) * C2. 练习题2已知矩阵A为一个4×4的方阵，其秩为3。
现有线性方程组Ax=b，其中b为4维向量。
请问是否存在解？若存在解，求出解的表达式。
解题思路：同样根据秩的定义，我们知道秩等于矩阵中非零行的最大数目。
由于A的秩为3，说明A的三行（或三列）线性无关。
因此，方程组Ax=b必然存在解。
设解为x=(x1, x2, x3, x4)，则Ax=b可以表示为:a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 + a14*x4 = b1a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + a24*x4 = b2a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + a34*x4 = b3a41*x1 + a42*x2 + a43*x3 + a44*x4 = b4通过观察我们可以发现，方程组的个数多于未知数的个数，所以我们可以得出结论：该线性方程组有无穷多组解。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
矩阵的秩练习题
矩阵的秩练习题一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，若r(A)=2，则A的行向量组（）。
A. 线性相关B. 线性无关C. 可以构成空间D. 不能确定2. 若矩阵A的秩为r，则A的行秩和列秩（）。
A. 相等B. 不相等C. 大于rD. 小于r3. 设矩阵A为m×n矩阵，若r(A)=m，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性相关C. A为满秩矩阵D. A为可逆矩阵4. 设矩阵A为n阶方阵，若r(A)=n，则A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 对角线元素全为0D. 对角线元素全为1二、填空题1. 设矩阵A为4×5矩阵，若r(A)=3，则矩阵A的列向量组中线性无关的向量个数为______。
2. 若矩阵A为3×4矩阵，r(A)=2，则矩阵A的行向量组中线性相关的向量个数为______。
3. 设矩阵A为5阶方阵，若r(A)=4，则矩阵A的秩的补为______。
4. 若矩阵A为2×3矩阵，且r(A)=2，则矩阵A的列空间维数为______。
三、计算题1. 已知矩阵A如下，求矩阵A的秩：A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8& 9 \end{bmatrix}\)2. 设矩阵B如下，求矩阵B的秩：B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0& 1 \end{bmatrix}\)3. 已知矩阵C如下，求矩阵C的秩：C = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}\)4. 设矩阵D如下，求矩阵D的秩：D = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)四、应用题1. 设矩阵E为3×4矩阵，r(E)=3，证明E的列向量组线性无关。
线性代数B-2.5矩阵的秩+习题s
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
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=xn +(1)n+1 yn
0 ... x y n2
根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3.
的一个最高阶非零子式 其中
为求A的最高阶非零子式
A 2331
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
4031 .
解 因为
A
3 3
21
2 2
2 05
所以这个子式是A的最高阶非 零子式.
例5 即AB与B等价
例6
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法
(1)定义法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数;
(2)初等变换法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
P67:31
练习题 P67:31,32
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n 当|A|0时 r(A)n.
A
a21
a22
a2n
可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am2
amn
不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵.
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
解答：可能有 .
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s
若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t.
(2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}.
r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。
(3) r(A)r(AT)，
a11 a12
a1n
位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所 处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1
1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
2阶子式
行阶梯形矩阵 其所有4阶子
1 2
2 3
1
0
式全为零. 以3个非零行的首 非零元为对角元的3阶子式
A的3阶子式只有一个|A| 经计 算可知|A|0 因此r(A)2.
2 1 3 0 3 2
提示 对于行阶梯形矩阵 它的
秩就等于非零行的行数.
00 4 是一个上三角行列式 它显然 =24不等于0 因此r(B)3.
（优选）线性代数矩阵的秩习题
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
F Er O O O mn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
2 0 2 5
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵Er O O O mn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1 k m,1 k n)
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
y 0 ... 0 x n-1
=xn +y (1)12 y (1)n-11 ... ... ... ... ... ... ... ...
例如
A100
0 1 0
0 0 1
000
r(A)3.
000
0 0
0 0
是等于0的2阶子式
1 0 0 是等于0的3阶子式. 010
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ ❖定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B).
即初等变换不改变矩阵的秩 .
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
01 43
~ 行变换
1 0
6 4
行阶梯形矩00 阵00
4 3 0 0
1 1 4 0
41 08
考虑由A的 1、2、4 列构成的
矩阵
3
A0
3 2 1
2 2
0 6
65 51
.~
1 0 0 0
6 4 0 0
1
1
4
0
可见r(A0 )＝3,
又因A0的子式
3 25 3 2 6 0
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)