线性代数 矩阵秩的性质(补充)
线性代数：矩阵秩的求法
6/44
定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
12/44
定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
13/44
x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
14/44
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
线性代数 矩阵的秩
小结. 求m × n 矩阵A 的秩r(A), 可用以下方法: 1. 对于比较简单的矩阵, 直接用秩的定义 直接用秩的定义. .
∼
1 0 0 0
0 1 0 4
0 1 0 −1 0 0 5 0
2. 用有限次初等变换, 用有限次初等变换, 将矩阵A变为它的等价 标准形 , 则 r = r( A ) . O O 3. 用有限次行初等变换, 用有限次行初等变换,将矩阵A变为梯矩阵, 则 r(A)等于该梯矩阵的非零行的行数 等于该梯矩阵的非零行的行数. （方法2 与方法3 相比, 方法3 较为简单.）
例1 求下列矩阵的秩: 求下列矩阵的秩:
(1) A = 2 2
1 1
2 4 8 (2) B = 1 2 1
(3) C = 2
1 2 4 1 4 8 2 3 6 2 0
.
解 (1)因为
1 1 a = 1 ≠ 0 而 det A = 1 1 = 0 A= 11 , 2 2 2 2 故 r ( A) = 1
又B 并无3阶子式, 阶子式,故 r (B) =2.
8 2 2 0
故, 矩阵C 的秩不小于2.
= −3 ≠ 0
另外, 因为矩阵 C 不存在高于3阶的子式, 可知r (C) ≤ 3. 又因矩阵C 的第1, 2行元是对应成比例的, 行元是对应成比例的, 故C 的任一 3阶 子式皆等于零. 子式皆等于零.因此
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 B= 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 (2) 每个台阶只有一行， 每个台阶只有一行，台阶 A = 0 数即是非零行的行数， ，阶梯 数即是非零行的行数 0 线的竖线后面的第一个元素
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
秩知识点总结
秩知识点总结本文将就秩知识点进行总结，从不同角度来解释秩的概念、性质、应用及其相关定理。
秩是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的研究中有着重要的作用。
秩的概念和性质是线性代数的基础知识，对于理解线性代数的其他内容具有重要意义。
一、秩的定义1.1 矩阵的行秩和列秩在矩阵的行空间中，秩的定义是行空间的维数。
同样，在矩阵的列空间中，秩的定义是列空间的维数。
行秩和列秩都是矩阵的秩。
矩阵的秩是行秩和列秩中的较小者。
1.2 符号表示矩阵A的秩记作r(A)。
在文中，通常会简单地称呼为矩阵A的秩。
1.3 矩阵A的秩等于行秩和列秩行空间和列空间是等价的。
因此，矩阵A的行秩和列秩是相等的，即秩。
这个定理是线性代数中的重要定理。
二、秩的性质2.1 零矩阵的秩为0对于任意大小的零矩阵，其秩都是0。
这是秩的一个重要性质。
2.2 矩阵的秩不会超过其行数和列数中的较小者对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)不会大于m和n中的较小者。
2.3 等价矩阵的秩相等对于等价矩阵A和B，它们的秩是相等的。
2.4 矩阵的秩与矩阵的变换无关对于一个矩阵A，将其进行线性变换后得到的新矩阵B，矩阵A和B的秩是相等的。
秩只与原矩阵A有关，与其变换无关。
2.5 矩阵的秩与初等行变换有关通过初等行变换，矩阵的行秩是它所对应的行阶梯形矩阵的行秩。
这个性质对于计算矩阵的秩非常重要。
三、秩的应用3.1 矩阵的秩与方程组的解的个数有关当矩阵A的秩与矩阵的增广形式的秩相等时，方程组有唯一解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组有无穷解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组无解。
3.2 矩阵的秩与矩阵的逆的存在性有关当矩阵A是一个n×n的方阵，并且其秩等于n时，矩阵A存在逆矩阵。
3.3 矩阵的秩与矩阵的特征值有关关于特征值和特征向量的理论可以用秩来进一步分析特征值和特征向量的性质。
3.4 矩阵的秩与矩阵的奇异性有关当矩阵A的秩小于n时，矩阵A被称为奇异矩阵。
线性代数 矩阵的秩
所以R(A)=3. 对于B，显然
2 6 10
325 0 1 4 0 002
, 而所有的四阶子式全为零.
所以R(B)=3.
6
印象: 1. 一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。
2. 行阶梯形矩阵按定义求其秩,非常方便,其秩为非零行的行数. 例2中的两矩阵A与B的秩相等, 且由例1知, 矩阵A与B等价. 由行列式的计算性质进一步有： 【定理2.4】 若矩阵A与B 等价,则R(A )=R(B ).
1
1 50
, 所以R(B)=2 .
05
3
结论：
1) n阶方阶A的秩 R(A) = n A 0 n方阵A可逆 2) n阶方阶A的秩 R(A) < n A 0 n方阵A不可逆
可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩 小于矩阵的阶数，因此，可逆矩阵又称满秩矩阵 不可逆矩阵又称降秩矩阵 行满秩矩阵 A的秩等于矩阵A的行数， 列满秩矩阵：A的秩等于矩阵A的列数，
2）若R(A)=r ，则A中至少有一个r阶子式非零，而所有阶 数大于r的子式全为零.
2
1 1 1 1
如矩阵: A 2 2 2 2
3 3 3 3
所有二、三阶子式为零，A中又有非零元素，
故R(A)=1；
又如：
1 2 1 0 0 B 0 0 5 3 6
0 0 0 0 0
由于B中所有三阶子式均为零,而二阶子式
第二章 矩阵
§6 矩阵的秩
矩阵的秩及其求法 矩阵的秩的性质
1
三、矩阵的秩
1.子矩阵和子式
定义2.10: 将矩阵 而成的矩阵
A
称
为
aij
矩
的某些行或某些列划去，余下的元素按原来的顺序排列 阵mAn 的子(矩)阵.矩阵A可以看做自身的一个子 （矩）
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
矩阵秩的性质及矩阵秩与矩阵运算之间的联系
于是这个 r 阶子式的列向量组线性无关.从而它的延伸组，即 A 的第������1 , ⋯ , ������������ 列线性 无关.由于 A 的列秩为 r，因此 A 的第������1 , ⋯ , ������������ 列构成 A 的列向量组的一个极大无关组. 类似地可证明 A 的行向量的极大无关组的结论. █ 【定理8】 非零矩阵 A 不等于 0 的子式的最高阶数称为 A 的行列式秩，A 的行列式 秩与 A 的秩相等 证明 设������ × ������的矩阵的秩为 r，则 A 的行向量组的秩为 r，有 r 个行向量线性无关，设为 αi1 ，αi2 ，…，αir . 取此 r 个向量组成的������ × ������子矩阵������1 ， 则rank A1 = r.于是������1 列向量组秩也为 r.同理 组成������1 的 r 级子矩阵������2 ，则������2 的列向量组线性无关.故 ������2 ≠ 0.而即是矩阵������1 的一个 r 阶子式 ������2 = ������ ������1 ������1 ������2 ������2 ⋯ ������������ ⋯ ������������
所以 A 存在一个 r 阶不等于 0 的子式. 另一方面，当������ < ������������������ ������, ������ 时，任取 A 的一个 k 阶子式i（������ ≤ ������ ≤ ������������������ ������, ������ ) ������ ������ ⋯ ������������ ������ = ������ 1 2 ������1 ������2 ⋯ ������������ 设 A 的列向量组为������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ ， 其一个极大无关组为������������1 , ������������2 , ⋯ , ������������������ .则 A 的列 向量组������������ 1 , ������������ 2 , ⋯ , ������������ ������ 可由其线性表出.因������ > ������，故������������ 1 , ������������ 2 , ⋯ , ������������ ������ 相性相关. ∵子式 M 恰在此列向量组上 ∴M 的列向量组即其缩短组. 所以由������������ 1 , ������������ 2 , ⋯ , ������������ ������ 相性相关可得 M 列向量组也线性相关.因此������ = 0
线性代数-矩阵的秩
ri krj
r1 ri , r2 rj , r1 kr2 , r1 ri , r2 rj
第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)≤R(B) ．
证明（续）：分两种情形讨论： (1) D 中不包含 r1 中的元素
这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥ r ． (2) D 中包含 r1 中的元素
1 2 3
A
2
3
5
4 7 1
2 1 0 3 2
B
0
3
1 2
5
0 0 0 4 3
0
0
0
0
0
12
解：在 A 中，2 阶子式
0．
23
A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ．
例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中
解：因为
R(A)
=
n，
所以
A
的行最简形矩阵为
En O
，
mn
设
m
阶可逆矩阵
P
，满足
PA
En O
mn
．
于是
PC
PAB
En O
B
B
O
因为 R(C)
= R(PC)，而 R(B)
B
R
O
，故R(B)
= R(C) ．
矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．