(优选)线性代数矩阵的秩习题
矩阵的秩的习题、行列式与矩阵综合习题
23. A 为 m n 的矩阵， O 为零矩阵，证明：线性方程组 Ax 0 与 A Ax 0 同解.
T
24. 任意的列向量 ，有 A 0 ，证明： A 反对称.
T
6
A.3 B.. 2 C.1 D. 0
）
1 2 2 x ,三阶矩阵 B 0 ,且满足 AB 0 ,则( 8. 设 A 2 6 3 0 6
A. x 8, r ( B ) 1 C. x 8, r ( B ) 1 B. x 8, r ( B ) 2 D. x 8, r ( B ) 2
cos 20. 求 sin
sin cos ， cos sin
1
sin cos
n
21. A 为方阵， O 为零矩阵，证明： A O 当且仅当 A A O .
T
5
22. A 为对称矩阵，且 A O ，其中 O 为零矩阵，证明： A O .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1)
4
闫浩教你线性代数 2015 秋季学期（北京邮电大学）11 月 5 日用
a 1 a a
a a 1 a
... a ... a ... a 的秩为 n-1,求 a. ... 1
a b 3 13. 3 阶矩阵 A= 2 0 2 3 2 1
和 r(AB).
b 1 a 1 ， B= 1 1 0 ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b 0 2 1
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数试题库(矩阵)
1．对任意n阶方阵A,B总有（）A.AB=BAB.AB=BAC.(AB)T=ATBT答案：B D. (AB)2=A2B2AB==AB2．在下列矩阵中，可逆的是（）⎛000⎫⎪A. 010⎪001⎪⎝⎭⎛110⎫⎪C. 011⎪121⎪⎝⎭答案：D ⎛110⎫⎪B. 220⎪ 001⎪⎝⎭⎛100⎫⎪D. 111⎪ 101⎪⎝⎭-13．设A是3阶方阵，且A=-2,，则A=（）A.-2C. B.-D.2 1 21 2答案：B1⎫⎛11 ⎪1⎪的秩为2，则λ=（） 4．设矩阵A= 1223λ+1⎪⎝⎭A.2B.1C.0D.-1答案:B提示：显然第三行是第一行和第二行的和⎛101⎫⎪25．设A= 020⎪，矩阵X满足方程AX+E=A+X，求矩阵X. 101⎪⎝⎭⎛201⎫⎪答案：X= 030⎪102⎪⎝⎭解： AX+E=A+X⇒(A-E)X=A-E 22⎛101⎫⎛001⎫⎪⎪A= 020⎪⇒A-E= 010⎪101⎪ 100⎪⎝⎭⎝⎭显然A-E可逆，所以：(A-E)-1(A-E)X=X=(A-E)-1(A2-E) =(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E⎛201⎫⎪∴X= 030⎪102⎪⎝⎭6．求下列矩阵的秩⎛01-1-12⎫⎪02-2-20⎪ A= 0-1111⎪⎪1101-1⎝⎭答案：3⎛-1-4⎫⎛-10⎫-157．设矩阵P= ⎪,D= ⎪，矩阵A由矩阵方程PAP=D确定，试求A. ⎝11⎭⎝02⎭答案：⎛-511/3127/3⎫⎪⎝127/3-31/3⎭P-1AP=D⇒A=PDP-1⇒A5=PD5P-1⎛-1-4⎫⎛1/3-1/3⎫5⎛-10⎫-1P= ⇒P=⎪⎪,D= ⎪⎝11⎭⎝4/3-1/3⎭⎝032⎭所以：A5=PD5P-1= ⎛-1-4⎫⎛-10⎫⎛1/3-1/3⎫⎛-511/3127/3⎫⎪. ⎪⎪= ⎪110324/3-1/3127/3-31/3⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭*-1-18．设矩阵A可逆，证明(A)=AA 证明：因为AA=AA=AE，矩阵A可逆，所以A≠0 **⇒AA*=A*A=E AA又因为A-1=1*-1-1，所以：(A)=AA A9若A是( )，则A必为方阵.A. 分块矩阵C. 转置矩阵答案：B B. 可逆矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵10.设n阶方阵A，且A≠0，则(A*)-1= ( ). AA. A A*B. AD. A-1C. A A *A答案：A11若( )，则A B A. A=B B. 秩(A)=秩(B)C. A与B有相同的特征多项式D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同答案：B⎛1⎫⎪T12.设A= 2⎪，则AA=______.3⎪⎝⎭⎛123⎫⎪答案： 246⎪369⎪⎝⎭13.设m⨯n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=_____. 答案：0 14已知PAP=B，且B≠0，则答案：115.已知 -1AB______. ⎛20⎫⎛31⎫⎪X= ⎪，求矩阵X。
线性代数(第二版)第七节矩阵的秩
例 １ 求矩阵 A 的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5
4 7 1 解 在 A 中，容易看出２阶子式
12 1 0,
23 而 A 的三阶子式只有一个 ｜Ａ｜
单击这里计算 | A | 0, 因 此 r ( A) 2.
0 0 1 3
0
0
0
5
1 3 1 0 0 1 0 2 4 0 1 0
0 0
0 0
0 0
3 0
3 0
0 0
.
的第竖台方
第 一 个 非 零 元
,
一 个 元 素 为 非 也 零 就 元 是 非
)
(
线 每 段 竖 线 的 长 度 为 后 一
,
阶 数 即 是 非 零 行 的 阶 行 梯 数
;
的 元 素 全 为 每 零 个 台 阶 只
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
B3
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
其特点是：阶梯线以下 的元素全是０，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 .
行最简形矩阵
其特点是：非零行的第 一个非零元为１，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为０.
m n 矩阵
A的
k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
利用这个概念，可以给出矩阵
的秩的定义.
定义 1.16 如果数域 F 上的 m n 矩阵
a11
A
a21
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
上海交大线性代数习题答案
上海交大线性代数习题答案上海交大线性代数习题答案线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生必修的一门课程。
而上海交通大学作为中国著名的高等学府，其线性代数课程更是备受关注。
在学习过程中，习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
因此，本文将为大家提供上海交大线性代数习题的答案。
1. 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个基本概念，它描述了矩阵的行（列）向量组的线性无关程度。
在上海交大线性代数课程中，关于矩阵的秩的习题是必不可少的。
例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其秩。
这时，我们可以使用高斯消元法或者矩阵的行列式等方法来解决。
具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
2. 线性方程组的解线性方程组是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。
在解线性方程组的过程中，我们需要运用矩阵的运算和求解方法。
例如，题目可能会给出一个线性方程组，要求求解其解集。
我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来解决。
同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，也是上海交大线性代数课程中的重要内容。
在求解特征值和特征向量的过程中，我们需要使用矩阵的特征方程等方法。
例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其特征值和特征向量。
我们可以通过求解矩阵的特征方程来得到特征值，然后通过代入特征值求解特征向量。
同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
4. 线性变换线性变换是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。
在解线性变换的问题中，我们需要理解线性变换的定义和性质，并运用矩阵的运算和求解方法。
例如，题目可能会给出一个线性变换的矩阵表示，要求求解其性质或者进行相关计算。
我们可以通过矩阵的运算和性质来解决这类问题。
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矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
0 0 1
000
r(A)3.
000
0 0
0 0
是等于0的2阶子式
1 0 0 是等于0的3阶子式. 010
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ ❖定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B).
2阶子式
行阶梯形矩阵 其所有4阶子
1 2
2 310源自式全为零. 以3个非零行的首 非零元为对角元的3阶子式
A的3阶子式只有一个|A| 经计 算可知|A|0 因此r(A)2.
2 1 3 0 3 2
提示 对于行阶梯形矩阵 它的
秩就等于非零行的行数.
00 4 是一个上三角行列式 它显然 =24不等于0 因此r(B)3.
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
F Er O O O mn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1 k m,1 k n)
位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所 处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s
若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t.
(2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}.
r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。
(3) r(A)r(AT)，
a11 a12 L a1n
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n 当|A|0时 r(A)n.
A
a21 L
a22 L
L L
a2n
L
可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am2 L amn
不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵.
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
即初等变换不改变矩阵的秩 .
根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3.
的一个最高阶非零子式 其中
为求A的最高阶非零子式
A 2331
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
4031 .
又因A0的子式
3 25 3 2 6 0
2 05
所以这个子式是A的最高阶非 零子式.
例5 即AB与B等价
例6
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法 (1)定义法
寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2)初等变换法
把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
解 因为
A
3 3
21
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
01 43
~ 行变换
1 0
6 4
行阶梯形矩00 阵00
4 3 0 0
1 1 4 0
41 08
考虑由A的 1、2、4 列构成的
矩阵
3
A0
3 2 1
2 2
0 6
65 51
.~
1 0 0 0
6 4 0 0
1
1
4
0
可见r(A0 )＝3,
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1
1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
F Er O O O mn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
（优选）线性代数矩阵的秩习题
矩阵的秩
➢ 秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念． ➢ 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在
1879年首先提出的． ➢ 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存
在性、向量组的线性相关性等问题 的重要工具．
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法
一、矩阵的秩的概念
1 1 x
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
2 0 2 5
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.