线性代数：矩阵秩的求法
2.5 矩阵的秩及其求法
求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ， 解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
13
1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
19
若求A 若求 的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。 显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
24
例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
7
矩阵秩的求法 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法 定义 。 、子式判别法(定义 定义)。
求矩阵的秩的步骤
矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。
在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。
矩阵秩的性质；
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。
2.初等变换不改变矩阵的秩。
3.矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。
4.如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5.当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。
6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1
阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
矩阵中秩的计算
矩阵中秩的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是由m行n列元素排成的矩形阵列。
在实际问题中，经常会遇到需要对矩阵进行分析和计算的情况。
矩阵的秩是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特点。
矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数，也可以理解为矩阵中非零的行列式数量。
计算矩阵的秩是一项复杂而重要的工作，它涉及到矩阵的行变换和列变换等操作。
在计算矩阵的秩时，我们可以采用多种方法，如高斯消元法、矩阵的行列式等。
我们来看一种常用的计算矩阵秩的方法，即高斯消元法。
高斯消元法是一种基本的线性代数运算方法，在计算矩阵的秩时非常有效。
其基本思想是通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式，然后统计非零行的个数即为矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 将矩阵化为增广矩阵形式，也就是矩阵的最右边添加一个单位矩阵。
2. 从左上角开始，通过一系列的行变换操作将矩阵化为行阶梯形式。
3. 统计非零行的个数，即为矩阵的秩。
通过高斯消元法，我们可以比较容易地计算矩阵的秩。
但需要注意的是，由于矩阵的秩是矩阵自带的性质，所以在进行行变换过程中需要保持同构性，即不能改变矩阵的秩。
另一种常用的方法是通过求解矩阵的行列式来计算矩阵的秩。
矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵中所有元素的线性组合。
矩阵的秩等于行列式非零的最大子式的阶数。
这种方法的优点是简单直观，适用于小规模矩阵的计算。
通过计算矩阵的秩，我们可以得到很多关于矩阵的信息。
矩阵的秩可以反映矩阵的线性无关性，即矩阵中非零行列向量的独立性。
当矩阵的秩小于其行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的行列向量；当矩阵的秩等于其行数或列数时，说明矩阵是满秩的，行列向量线性无关。
矩阵的秩还可以反映矩阵的奇异性。
一个矩阵是奇异的，当且仅当其秩小于其阶数。
奇异矩阵的行列式为0，没有逆矩阵。
通过计算矩阵的秩可以判断矩阵是否奇异。
矩阵的秩还与方程组的解有密切关系。
求矩阵的秩的三种方法
求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。
矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。
在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。
本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。
方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。
对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。
我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。
2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。
矩阵的秩等于它的列空间的维度。
我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。
具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。
3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。
阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。
可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。
矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。
总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。
对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。
但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。
还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。
矩阵的秩小结
矩阵的秩小结
矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和解决一些实际问题。
本文将对矩阵的秩进行总结，包括定义、计算方法以及应用。
矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，或者说矩阵中不可被其他行线性表示的行的个数。
换句话说，矩阵的秩是指矩阵所包含的最大线性无关行的个数。
矩阵的秩可以通过多种方式进行计算，其中常见的有高斯消元法。
高斯消元法通过进行初等行变换将矩阵转化为行最简形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
另一种常见的方法是使用特征值和特征向量来计算矩阵的秩。
具体而言，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
矩阵的秩在实际应用中有很多重要的作用。
首先，矩阵的秩可以帮助我们判断一个线性方程组是否有解以及解的唯一性。
如果线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，那么该线性方程组有解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么线性方程组无解。
其次，矩阵的秩可以用于判断矩阵是否可逆。
如果矩阵的秩等于其阶数，那么矩阵是可逆的；如果矩阵的秩小于其阶数，那么矩阵不可逆。
此外，矩阵的秩还可以用于判断线性相关性。
如果矩阵的秩小于列数，那么矩阵的列向量线性相关；如果矩阵的秩等于列数，那么矩阵的列向量线性无关。
总结起来，矩阵的秩是一个重要的概念，在线性代数中具有广泛的应用。
我们可以通过高斯消元法或者特征值和特征向量来
计算矩阵的秩。
矩阵的秩可以帮助我们判断线性方程组的解的情况、矩阵是否可逆以及向量的线性相关性。
矩阵的秩在线性代数中的应用
1
6 2
0 0 0
1 0 0
0 1 3
0 4 12
1 13
1 0 2 1 0
0 0
1 0
0 1
0 4
1 1
0 0 0 0 0
因此r(A) 3 .
3.矩阵的秩在讨论方阵是否可逆中的作用
定理1： 设 A 为n阶方阵，若A 可逆，当且仅当r(A) n.
1 2 3 4
例:判断方阵
A
，我们有以下结论
正负惯性指数即二次型的标准形中系数为正负的个数
小结
矩阵的秩作为线性代数的重要工具，已经渗透到各章内容之中，它把线性代数各章节贯穿成为一个整体 ，而矩阵的秩贯穿于矩阵理论的始终，是矩阵的一个本质的属性，在判求方程组是否有解以及解的结构、判 定向量组的线性相关性、判断方阵是否可逆，用矩阵的秩来求伴随矩阵的秩、矩阵的秩在二次型问题中的应 用。文章利用矩阵的秩的相关定理及结论，总结了矩阵的秩在线性代数中的应用.
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
是否可逆.
解：
1 2 3 4 1 2 3 4
A
2 3
3 4
4 5
5 6
0 0
1 2
2 4
3 6
4 5 6 7 0 3 6 9
1 2 3 4
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3
0 0
不
2
2
这个阶梯形矩阵有 24 个非零行，故 r( A) 42.所以矩阵 A 是可逆的.
例：求线性方程组2x1 x2 2x3 2x4 6x5 2 的通解.
3x1 2x2 4x3 3x4 9x5 3
解：对增广矩阵 k1, k2, k3,ks 施行初等行变换
矩阵的秩相关公式
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和维数。
以下是一些与矩阵的秩相关的公式：
1. 矩阵的秩不超过其行数和列数中较小的一个：如果一个矩阵的大小为m×n（m 行n 列），则该矩阵的秩rank(A) 满足rank(A) ≤ min(m, n)。
2. 矩阵的零空间和列空间的维数之和等于列数：对于一个大小为m×n的矩阵A，其列空间的维数为rank(A)，而零空间（或核空间）的维数为n - rank(A)。
因此，rank(A) + (n - rank(A)) = n。
3. 矩阵的秩与它的转置矩阵的秩相等：对于任意矩阵A，有rank(A) = rank(A^T)，其中A^T 表示A 的转置矩阵。
4. 矩阵的秩与它的行最简形式（行阶梯形矩阵）的非零行数相等：行最简形式是指将矩阵变换成行阶梯形的形式，其中非零行的数量就是矩阵的秩。
这些公式是矩阵秩的一些基本性质，它们可以用于计算和推导矩阵的秩。
矩阵秩在线性代数和其他领域中具有广泛的应用，如解线性方程组、矩阵求逆、最小二乘法等。
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6/44
定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
12/44
定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
13/44
x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
14/44
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
1/44
回顾
3.秩的性质
新
(1) 设A是m n矩阵，则r( A) min{ m, n},
A是n阶方阵，则r( A) n
定义：若 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=n,则称 A 为满秩矩阵， 否则称为 降秩矩阵.
A为满秩矩阵的充要条件是 A 0，故满秩矩阵 就是可逆矩阵.
(2) r( AT ) r( A). (3) 阶梯阵的秩等于它的非零行数.
解 用初等变换把增广矩阵化为行最简形，
(Ab) 112
2 1 2
3 1 2
121
~r2 2r1
r3 r1
1 0 0
2 5 4
3 7 5
233
9/44
1 0 0
2 5 4
3 7 5
~ 233
r3
4 5
r2
(1)r2
1 0
0
2 5
0
3 7 3
5
2
3 3
5
~ ~ 5
3
r3
1 0 0
2 5 0
3 7 1
321
r1 3r3 r2 7r3
1 0 0
2 5 0
0 0 1
1501
~1
5
r2
1 0 0
1
r1 2r2
0 0
1 0
0 1
21
r(A)=r(Ab)=n
x1 1, x2 2, x3 1.
10/44
例
3
解线性方程组
x1 x2 x3 x4 2x1 2x2 x4
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
4/44
(A
b)
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2 bm
称为增广矩阵.
若增广矩阵为阶梯阵，则称它所对应的方程组 为 阶 梯 形 方 程 组.
定理 若线性方程组 Ax=b 的增广矩阵(Ab)经初等行变换 化为(Ud),则它与方程组 Ux=d 是同解的.
5/44
用初等行变换解线性方程组： 1)写出增广矩阵（A b); 2)用初等行变换将（A b）化为阶梯阵，
有解时化为最简形； 3)写出同解的最简形方程组, 得出原方程组的解。
2.3.2 齐次线性方程组
B 0
0
1
1
0
a3
0 0 0 1 1 a4
1 0 0 0 1 a5
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
~
0
0
1 1 0
a3
0 0 0 1 1 a4
5
0 0 0 0 0 ai
i1
x1 x2 a1
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
1 2
x1 x2 x3 2x4 1
~ 解 (Ab)
1 2 1
1 2 1
1 0 1
1 1 2
112
r2 2r1 r3 r1
~ 100
1 0 0
1 2 2
1 3 3
100 r3 r2 100
1 0 0
1 2 0
1 3 0
100
~1
2
r1
r2 r2
1 0
1 0
0 1
1 2
3 2
1 0
0 0 0 0 0
11/44
1
1
0
1 2
0
0
1
3 2
0 0 0 0
得同解方程组：
x1
x2 x3
1 2
x4
3 2
x4
1 0
1
0 r(A)=r(Ab)<n
0
即
x1
1
x2
1 2
x4
x2
x3
x2
3 2 x4
x4
x4
得
原
方
程
组
的
解 xx12
x30
3 7 7
2 3 6
~(1)r2
r3 r2
1 0 0
2 5 0
3 7 0
323
r(Ab)=r(A)+1
从最后一非零行可知 0x1 0x2 0x3 3 即0 3.
这是一个矛盾方程，所以原方程组无解。8/44
例 2 解线性方程组
x1 2x1
2x2 3x3 x2 x3
2 1
x1 2x2 2x3 1
4.基本未知量个数: r( A) r 自由未知量个数: n r
7/44
2.3.3 非齐次线性方程组
例 1 解线性方程组
x21
x1
2x2 3x3 x2 x3
2 1
3x1 x2 2x3 0
解
~ (Ab)
1 2 3
2 1 1
3 1 2
102
r2 r3
2r1 3r1
1 0 0
2 5 5
即： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩
阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3/44
2.3 线性方程组的解
2.3.1 概述
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
am1 x1
a22 x2
am2 x2
a2n xn amn xn
b2 bm
— m n方程组
2/44
2.2.2 矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理1 若 A ~ B,则 RA RB. 应明白其意义
表明初等变换不改变矩阵的秩.
用 初 等 变 换 求 矩 阵 的 秩：
1) A 初等行(列）变换 阶梯阵U ,
2)r( A) r(U ) U的非零行数。