【半导体培训资料】最适合初学者看的能带理论
半导体物理：3.2 能带
二、能带中电子的排布
晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
问：原子形成晶体时，电子如何排布呢？
1.孤立原子的一个能级形成晶体分裂成由 N条能级组成的能 带
能带的宽度 E～eV N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV
表示了不同的共有化运动状态。
k的取值和范围
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
1、N
2、N
个原胞，
3
由周期性边界条件
k (r ) k (r N1a1 )
k
(r )
k
(r
N
2a2
)
k (r ) k (r N 3a3 )
k (r N1a1) k (r )
k
(r
N 1a1
)
意义。当波矢增加一个倒格矢
K
h
，平面波ei
(
k
K
h
)r
也满足上式。
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
k
(r
)
a(k
K h )ei(k Kh )r
eikr
a(k Kh )eiKhr
h
h
设uk
(r )
a(k Kh )eiKhr
h
k
(r )
eikr
uk
(r )
(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一 布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。
(c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带
(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。
例：克朗尼格-朋奈模型
半导体能带理论(精)
一. 前言光子晶体也许现在的你对光子晶体这个名字并不熟悉，然而正如20世纪初人们对硅这种半导体材料的懵懂一样，也许在21世纪末的时候，你将对这个名词耳熟能详。
因为，到时从你的书桌上摆着的高速个人电脑（上百甚至上千G Hz 的运算速度），到快速而便捷的网络设施，甚至直至你家中能够根据室内实际温度自动开关调节的空调系统，都可能要得益于这种前途光明的新型材料的伟大功劳。
光子晶体是一个很前沿的话题，同时它也是一个很深奥的物理概念。
要想把光子晶体解释清楚，并不是一件容易的事。
但是要想了解它，可以先从它产生的背景说起。
我们现在都知道，半导体在我们的生活中充当了重要的角色。
利用它的一些区别于导体和绝缘体的特殊的性质，人们制造出了许多的现代固体电子与光电子器件。
收音机、电视、计算机、电话、手机等等无一不再应用着半导体制成的芯片、发光二极管（LED）等等元件。
而给我们带来这么多便利的半导体材料大多是一些晶体。
二.晶体知识.晶体和半导体中所谓的晶体，是指内部原子有序排列，形成一种周期性的重复结构，而往往就是这些重复性的结构存在，才决定了半导体的特殊性质。
晶体又分单晶和多晶：单晶——在一块材料中，原子全部作有规则的周期排列，由于内部的有序性和规则性，其外形往往是某种规则的立体结构。
多晶——只在很小范围内原子作有规则的排列，形成小晶粒，而晶粒之间有无规则排列的晶粒界[j ,HSOv) 隔开。
我们熟悉的硅、锗等晶体就属于单晶。
半导体分类：半导体可分为本征半导体、P型半导体、N型半导体。
本征半导体：硅和锗都是半导体，而纯硅和锗晶体称本征半导体。
硅和锗为4价元素，其晶体结构稳定。
P型半导体：P型半导体是在4价的本征半导体中混入了3价原子，譬如极小量（一千万之一）的铟合成的晶体。
由于3价原子进入4价原子中，因此这晶体结构中就产生了少一电子的部分。
由于少一电子，所以带正电。
P型的“P”正是取“Positve（正）”一词的第一个字母。
【半导体培训资料】第四章-能带理论-(Band-Theory)
以后的讨论, 如不特别指明, 均为RBZ图像.
参见：P207, 图4-32, 4-33
24
晶体中能带函数具有如下对称性：
En k En k , En k En k , En k En k Gn .
N
2
V
2
3
4
3
kF2
kF
3 2n 1/3 .
Fermi 球的表面称为 Fermi 面, Fermi 面的能量
称为Fermi 能 (级). Fermi 能对应的动量和速度分称
.
三个 p 轨道简并, 生成的能带是交叠的.
思考题：p 带的带宽是多少？
10
讨论
1. 对于最简单的情况, 一个原子能级对应一个能带. 原 2. 子的不同能级在固体中产生一系列的能带. 越低的能
带越窄, 越高的能带越宽. 这时原子能级和能带有简 单的对应关系, 相应的能带可称为 ns 带、np 带、nd 带等. p、d 态都是简并的, 对应的能带是相互交叠的
. 2. 形成晶体的过程中, 不同原子态之间也有可能相互混 合, 从而导致原子能级和能带之间不存在上述简单的对 应关系.
11
可以忽略不同原子态之间的相互作用的条件是微 扰作用远小于原子能级之间的能量差. 通常可以用能 带宽度反映微扰作用的大小. 对于内层电子, 能带宽度 较小, 能级和能带之间有简单的对应关系. 外层电子的 能带较宽, 能级和能带之间通常不存在简单的对应关 系, 可以认为主要是由几个能级相近的原子态相互组 合形成能带. 例如, 可以只计入同一主量子数中的 s 态 和 p 态之间的相互作用, 而略去其他主量子数原子态 的影响. 先对各原子态求Bloch和, 然后再组合四个 Bloch和得到能带电子波函数 (sp带).
能带理论基础1
在本章中将进一步分析和研究晶体中电子的运动规律。 在本章中讨论电子的运动规律时，与上一章的最大区别就 是：讨论中已经具体地考虑了晶格上的原子对电子运动状态的 影响。 把晶体中电子系统的哈密顿量可写为：
ˆ H Le
2 1 2 i V ( ri Rn ) 2m i 80 i n
Bloch (1905-1983)
1952因核磁共振方面的研究获诺奖
能带论虽比自由电子论有所严格，但仍是一近似理论。
一、布洛赫定理的内容：
布洛赫定理：
方程为：
当势场 V ( r )具有晶格周期性时电子的波函数满足薛定谔
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
固体物理中这个最重要的定理是由一个青年人首先提出的， 1928年 23岁的 Bloch 在他的博士论文“论晶格中的量子力学” 中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年Wilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从 而奠定了半导体物理的理论基础，在其后的几十年里能带论在 众多一流科学家的努力中得到完善。
（2）平移对称操作算符的本征值与本征函数：
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本 征值，引入周期性边界条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2 和N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N＝N1N2N3 。 周期性边界条件： r r N a 而
固体能带结构的两种理解:
(1)自由电子图像 + 周期势场的微扰 (近自由电子近似) (2) 原子能级图像 + 晶体场展宽
自由电子 近自由电子近似
(紧束缚近似) Two atoms Six atoms Solid of N atoms
能带理论——精选推荐
能带理论锗、硅和砷化镓GaAs等⼀些重要的半导体材料，都是典型的共价晶体。
在共价晶体中，每个原⼦最外层的电⼦和邻近原⼦形成共价键，整个晶体就是通过这些共价键把原⼦联系起来。
对于半导体，所有价电⼦所处的能带是所谓价带，⽐价带能量更⾼的能带是导带。
在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见能带理论)，受到光电注⼊或热激发后，价带中的部分电⼦会越过禁带(forbidden band/band gap)进⼊能量较⾼的空带，空带中存在电⼦后即成为导电的能带——导带。
导带：满带是指晶体中最低能带的各个能级都被电⼦填满，这样的能带称为满带。
当满带中的电⼦从它原来占据的能级转移到同⼀能带中其它能级时，因受泡利不相容原理的限制，必有另⼀个电⼦作相反转移，总效果与没有电⼦转移⼀样。
即外电场不能改变电⼦在满带中的分布，所以满带中的电⼦不能起导电作⽤。
直接带隙半导体材料就是导带最⼩值（导带底）和满带最⼤值在k空间中同⼀位置。
电⼦要跃迁到导带上产⽣导电的电⼦和空⽳（形成半满能带）只需要吸收能量。
间接带隙半导体材料导带最⼩值（导带底）和满带最⼤值在k空间中不同位置。
形成半满能带不只需要吸收能量，还要改变动量。
间接带隙半导体材料导带最⼩值（导带底）和满带最⼤值在k空间中不同位置。
电⼦在k状态时的动量是（h/2pi）k，k不同，动量就不同，从⼀个状态到另⼀个必须改变动量。
禁带：价带与导带之间的区域。
绝缘体，半导体，导体的能级关系。
热⼒学系统，可以证明处于热平衡状态下的电⼦系统有统⼀的费⽶能级。
泡利不相容原理（Pauli’s exclusion principle）指在原⼦中不能容纳运动状态完全相同的电⼦。
⼜称泡利原理、不相容原理引。
⼀个原⼦中不可能有电⼦层、电⼦亚层、电⼦云伸展⽅向和⾃旋⽅向完全相同的两个电⼦。
经典的解释{费⽶能级是绝对零度时电⼦的最⾼能级.如果真的想了解⼀些,建议咬⽛看⼀看,我觉得我写的⽐较不好理解,物理本来就是这样.我就从最简单的⾃由电⼦⽓体模型来解释.⾃由粒⼦的波函数是平⾯波,波动⽅程是f(r)=(1/V^0.5)*Exp(i k*r)k是平⾯波波⽮,电⼦能量是E=(hk)^2/2m (这个h是除以2PI后的那个普朗克常数,原来表⽰此量的符号太不好找了)可以看出,电⼦对于取不同的k时,可以处在不同能量状态.下⾯引⼊k空间,尽量理解.⼀般⽤周期性边界条件,f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值kx=(2PI/L)Nxky=(2PI/L)Nykz=(2PI/L)NzNxNyNz是整数,因此把k看作空间⽮量,在k空间中,k只能取⼀个个分⽴的点.你可以想象以kxky kz3个⽅向建⽴坐标系,因为NxNyNz是整数,kxkykz只能取到⼀个个点.就⽐如Nx是整数,永远不会有kx=(2PI/L)*0.4处被取到.每个点代表⼀种k的取值,前⾯有说过,每个k都对应电⼦的不同能量状态,E=(hk)^2/2m ,这些能量状态也因为k的分⽴取值⽽只能分⽴出现,就是能级. 把电⼦放在k空间的各个点上,代表电⼦处在那个k 值的状态,也对应⼀个能量状态,即处在该能级上.因为泡利不相容原理,每个态上只可以放2个电⼦,(⾃旋相反)不会有第3个跟他们在同⼀个状态(k空间的各个点)上.现在有⼀个总共有N个电⼦的体系,各个电⼦都处于什么状态哪?粒⼦总是先占据能量⼩的能级,从kx=0ky=0kz=0开始(显然这时候能量最⼩,不过这个模型有点局限,你不必理了)kx=0ky=0kz=1.....kx=33 ky=34 kz=34.....反正越来越⼤,越来越往能量更⼤的⾼能级上添.最后第N个电⼦会处在最⾼能级上(能量最⼤),这个能级就是费⽶能级.注意:1 不在绝对零度的话,电⼦填充能级不是仅仅由泡利不相容原理决定,因此费⽶能级是绝对零度时,电⼦的最⾼能级.2 通常宏观体系的电⼦数N很⼤,电⼦填充能级时,在k空间的占据态,也就是可以处在的那N/2的点,会形成⼀个球形,称为费⽶球.这很好想象,粒⼦总是先占据能量⼩的能级,离(0 0 0)越近的能级(哪个点)先占据,最后被占据的点肯定不会有"⽀出去"的,⽽是程球形.这个球⾯叫费⽶⾯,有时也说费⽶⾯上的能级是费⽶能级.我前⾯说"第N个电⼦会处在最⾼能级上(能量最⼤),这个能级就是费⽶能级"是为了理解⽅便,实际上第N个电⼦,不见得⽐N-1的能级⾼了,简单的看kx=0ky=0kz=1和kx=0ky=1kz=0和kx=1ky=0kz=0不是能量⼀样吗?当离(0 0 0)很远后,这种k不同但能量⼀样或近似⼀样的点会更多,形成⼀个近似的球⾯--费⽶⾯.⼀般就认为费⽶⾯上的能级就是最⾼能级--费⽶能级.3 从费⽶分布函数⾓度解释也可以,费⽶分布函数给出了不在绝对0度的情况下各个能级被占据的⼏率,费⽶能级是本征态占据⼏率1/2的态对应能级在绝对0度的极限.你可以看黄昆先⽣的固体物理.4 你问这个问题,应该是⼤学⽣了吧.对于f(x y z)=f(x+L y z)=f(x y+L z)=f(x y z+L )确定k的取值,可以⾃⼰计算⼀下.波动⽅程只是为了得出能级概念,并不需要注意,解法可以去看量⼦⼒学.}⾮辐射复合的本质就是将电⼦和空⽳复合释放的能量转变为热能，但是通过实验还难以获得⾮辐射跃迁的详细信息，因此⼈们对它们的复合过程还不是太清楚。
半导体物理学中的能带理论分析
半导体物理学中的能带理论分析半导体是当前信息技术的基础材料之一。
要了解半导体的性质和行为，能带理论是一种重要的理论工具。
能带理论提供了一种解释半导体特性的框架，对于研究半导体材料的电子传导和光学行为至关重要。
一、能带理论的基本概念能带理论是半导体物理学的基石，通过描述半导体中电子的能量分布，给出了半导体能带结构和导电特性的解释。
在固体中，电子的能量与其空间分布状态是密切相关的。
根据量子力学理论，电子在晶格结构中的能量是量子化的，即只能取一些特定的能量值。
这些能量分布的区间被称为“能带”。
在固体半导体中，通常有两种能带存在，分别是导带和价带。
导带是指电子的载流带，当电子位于导带中时，可以自由移动。
价带是指填充电子的带，当电子位于价带中时，无法自由移动。
导带和价带之间的能量区域被称为“带隙”，带隙决定了半导体的导电特性。
二、带隙的大小与导电特性半导体的导电能力取决于其带隙的大小。
根据带隙划分，半导体可分为两类，一类是本征半导体，另一类是掺杂半导体。
本征半导体指的是单一元素组成的纯净晶体，如硅(Si)和锗(Ge)。
这类半导体具有较大的带隙，寡载流子，本质上是不导电的。
然而，如果在本征半导体中引入杂质，即进行掺杂，可以通过控制杂质的类型和浓度来调整半导体的导电性能。
通过掺杂，产生了两种不同类型的载流子：电子和空穴。
电子由带隙中的价带精确地跃迁到导带，而空穴则是由价带中的空穴移动而成的。
三、载流子的输运规律能带理论不仅可以解释带隙和导电性能，还可以描述在外部场下载流子的输运规律。
在半导体中，载流子的运动受到杂质和晶格的散射作用的影响。
散射是指当载流子与杂质或晶格振动相互作用时，产生偏转或改变方向的过程。
对于本征半导体来说，电子和空穴的输运机制主要受到晶格散射的影响。
而在掺杂半导体中，掺杂杂质起到了主导作用。
通过研究散射机制，可以了解载流子在半导体中的输运规律，进一步优化半导体器件的性能。
结论半导体物理学中的能带理论是理解半导体材料特性的关键。
半导体材料发光的能带理论PPT课件
hv=Eg-Ex 在间接带隙半导体中：
hv==Eg-Ex-Ep Ep为声子能量
三、纳米氧化锆发光原理
3.1 纳米氧化锆的光学特性
纳米氧化锆的光学特性就是通过光致发光分析其激发发射光谱，主要针对其光 致发光光谱的测试与讨论。
空带：原来孤立原子的电子未能形成满壳层，过渡到能带后，电子也不能填满
能带中的所有状态，这样的能带叫空带。
研究方 价带：最高的满带。
导带：最低的空带。
案 禁带：价带和导带之间的区域。
研究成 果
二、半导体材料发光理论
2.1 半导体发光分类
（1）限于发光中心内部的电子跃迁：发光中心可以从晶体内的其他杂质或从 晶格间接获得能量，也可直接受到载流子的碰撞，使发光中心电离或使电子从 基态跃迁到激发态。 （2）导带电子同价带空穴的复合：当晶体内部形成空位时，电子可由杂质中
能量守恒、准动量守恒的条件。
二、半导体材料发光理论
能量守恒：hv=跃迁前后电子能量差±Ep 准动量守恒：hk-hk'±hq=光子动量
“-”代表吸收声子，“+”代表发射声子
由于声子能量相对于光子能量较小，因此Ep可以忽略，
得到：hv=跃迁前后电子研能究量差方
研究成
案 同样忽略光子动量得到：k'-k=±q
量守恒
案 果 hk-hk'=光子动量
因为一般半导体中吸收光子动量远小于能带中电子动量，所以光子动量可忽略
不计，上式变为
hk=hk' → k=k'
即在跃迁过程中，波矢可视为不变，跃迁前状态与跃迁后状态位于同一垂直线
最适合初学者看的能带理论PPT文档40页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动 Nhomakorabea——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
最适合初学者看的能带理论
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有关能带被占据情况的几个名词：
1．满带（排满电子） 2．价带（能带中一部分能级排满电子）
亦称导带 3．空带（未排电子） 亦称导带 4．禁带（不能排电子）
8
§8.2（补充） 布洛赫定理 k空间
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l+1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
7
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,则布洛赫波函数
足如下条件
k ( x)
k ( x) k ( x Na)
(3)
此式称为周期性边界条件。
采用周期性边界条件以后，具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：
应满
13
a
a
图 2 周期性边界条件示意图
周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。 由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。
。
ky
2
2
L
2
3
L
2
2
L
3
L
2
2
1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3
123
L
1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。 原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
3
二. 能带 (energy band)
晶体中的电子能级 有什么特点？
量子力学计算表明，晶体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于 原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变 成了N条靠得很近的能级,称为能带。
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
10
布洛赫定理：
满足（1）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式
k ( x) eik xuk ( x)
式中 uk也( 是x)以a为周期的周期函数，即
uk ( x布洛赫函数。
即周期性边界条件使 k 只能取分立值：
k n 2 n 2
Na L
(n 0,1,2,)
(3)
15
k n 2 n 2
Na L
k 是代表电子状态的角波数, n 是代表电子状态的量子数。
(n 0,1,2,)
对于三维情形, 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。
它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
4
能带的宽度记作 E ，数量级为 E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽， E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽， E越大。 3. 两个能带有可能重叠。
5
E
2P 2S
1S
0
a
离子间距
能带重叠示意图
6
三 . 能带中电子的排布 晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
第 八 章 晶体的能带结构
前言
物理学前言之一
材料的性质
大规模集成电路
半导体激光器
超导
人工微结构
从STM得到的硅晶体
表面的原子结构图 1
§8.1 晶体的能带 一. 电子共有化
晶体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。 电子受到周期性势场的作用。
a
按量子力学须解定态薛定格方程。
2
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
14
证明如下:
由周期性边界条件 按照布洛赫定理：
k ( x) k ( x Na)
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
eik(
u x Na ) k
(
x
Na )
e i kNae i kxuk ( x)
ei kNa k ( x)
所以
ei kNa 1
kNa 2n (n 0,1,2,)
一个 对k应电子的一个状态。
16
三. 空k间
我们以
kx、 ky、为三kz个直角坐标轴，建立一个假想的空间。这个空间
称为波矢空间、
空间，或动量空间*。
在一个k状k空态间点中来，表电示子，的这每个个点状的态坐可标以是用
2
kx L nx
(nx 0,1,2,)
ky
2
L
ny
(ny 0,1,2,)
kz
(2)
*
注*：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅《固体物理学》黄昆原著 韩汝琦改编 （1988）P154
11
布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
波函数为：一个自由电子波函数
与一个具有
晶体结构周期性的函数 的乘积。
uk ( x)
eik x
它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
9
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数
必须k (满x足) 定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
电只子有的在波函数等u才k于完(常全x数)变时为，自在由周电期子场的中波运函动数的。
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
12
二 . 周期性边界条件
实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。
在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件：
2
L
nz
(nz 0,1,2,)
注：
由 所于以德布洛空意间关也系称为动量空，间即。P
h
，
P k
k 17
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
k 上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。
因此， 空k间中每个状态点所占的体积为
。
k 图 3 表示二维 空间每个点所占的面积是