高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步单元测试
立体几何测试题
一、 选择题：
1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是
A 、A
B α⊂ B 、AB α⊄
C 、由线段AB 的长短而定
D 、以上都不对
2．下面表述正确的是
A ．空间任意三点确定一个平面
B ．分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面
C ．直线上的两点和直线外的一点确定一个平面
D ．不共线的四点确定一个平面
3．两条异面直线是指
A ．在空间内不相交的两条直线
B ．分别位于两个不同平面内的两条直线
C ．某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D ．不同在任一平面内的两条直线
4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是
A 、11AC AD ⊥
B 、11D
C AB ⊥ C 、1AC 与
DC 成45 角 D 、11AC 与1B C 成60
角 5．下列命题中正确命题的个数是
①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；
②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；
③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；
④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．不确定
7．直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是
A ．a α⊥
B ．//a α
C ．a α⊆
D ．a α⊆或//a α
8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为
A ．7
B ．6
C ．5
D ．3
9．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
10．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．无法确定
11．若,m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为
①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭； ②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭
； ③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭； ④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12.已知两个平面垂直，下列命题G
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
二 填空题 13．设MN αβ--是直二面角，A MN ∈，AB α⊂，AC β⊂，45BAN CAN ∠=∠=
，
则BAC ∠= 。
14．在Rt ABC ∆
中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所形成的 几何体的体积为 。
15．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了
16、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一
定是 .
17.已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为
三、解答题
18.(1)底面是菱形的直四棱柱中，对角线长为9和15，高为5，求其侧面积？
（2）过球半径中点作垂直于这条半径的截面，若截面面积为48π，求球的表面积与体积
19．如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
（8分）求证：（1）平面CDE ⊥平面ABD
（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
20.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2，2AC BC ==
，90ACB ∠= ，
⑴求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1C ； ⑵求点B 到平面AB 1C 的距离。
21.已知正方体1111ABCD A BC D -，
O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；
(2)平面11D AB //平面1BDC
D 1O D B A C 1B 1A 1C。
北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤ B ．12sin sin 1θθ+≥ C ．122πθθ+≤ D ．122πθθ+≥2．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行；②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直；③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面；④一定存在过AB 且与α垂直的平面β.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，AB//α；D ．直线OA 与平面α17.5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（ ）A ．394πB ．414πC ．12πD ．434π 6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ）A ．[322，5]B ．[5，22]C ．[324，6]D ．[6，22] 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ） A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为53 B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105 D ．直线1AC 与平面BDM 相交8．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263- 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1410．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A ．该四面体外接球的体积为48πB ．该四面体内切球的体积为23π C ．该四面体外接球的表面积为323πD ．该四面体内切球的表面积为2π11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．212．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥二、填空题13．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =+m n α，其中m ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．14．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====，平面11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.15．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD -的外接球的表面积为____．16．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且||23,||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是_____17．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________． 18．如图，已知正四面体P ABC -的棱长为2，动点M 在四面体侧面PAC 上运动，并且总保持MB PA ⊥，则动点M 的轨迹的长度为__________.19．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.20．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3B C A C ==,则ABC ∆中AB 边上的中线的长度为_______ .三、解答题21．已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，22AD =，2CD =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）设平面PAB ⋂平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）若E 是PA 的中点，求四面体PBEC 的体积.22．如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．23．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积.24．如图，在三棱锥M 中，M 为BC 的中点，3PA PB PC AB AC =====，26BC =.（1）求二面角P BC A --的大小；（2）求异面直线AM 与PB 所成角的余弦值.25．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm 3.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积. 26．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项.【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 2．C解析：C【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．【详解】对于A ，若直线AB 与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB 平行，错误；对于B ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ，使得CD CM ⊥，所以CD AB ⊥，而在平面α内，与直线CD 平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，若直线AB 与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，正确；对于C ，若直线AB 与平面α相交，设AB M α=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M 的直线与直线AB 异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，正确； 对于D ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，若直线AB 与平面α垂直，则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确．故真命题的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．3．C解析：C【分析】由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可.【详解】由题意：底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，面PAD 面ABCD AD =，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，∵PM ∥AD ，AD ∥BC ，PM ＝AD ，AD ＝BC ．∴ PBCM 是平行四边形，∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．设PA ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===， ∴三角形ACM 是等边三角形．所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．故选：C.【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 4．C解析：C【分析】利用已知条件确定OA 是定值，即得A 选项正确；作模型的简图，即得B 正确；依题意点B 在平面α内，不可能AB//α，得C 错误；设AB a ，结合题意知AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，计算此时正弦值，即得D 正确.【详解】因为点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，所22OA OB AB =+，又因为OB ，AB 为定值，所以OA 也是定值，所以点A 在某个定球面上运动，故A 正确；作出简图如下，OB l ⊥，所以2πδθ+=，故B 正确；因为B α∈，所以不可能有AB//α，故C 不正确；设AB a ，则4OB a =，2217OA AB OB a =+=，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，此时直线OA 与平面α所成角的正弦值为171717a =，故D 正确. 故选:C.【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象，以实际问题为背景构建立体几何关系，再运用立体几何知识突破难点.5．B解析：B【分析】可证F 为AB 的中点，设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的球心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，利用解三角形的方法可求DFC △的外接圆的半径，从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.【详解】设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的圆心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，因为平面11//A ABB 平面11D DCC ，平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =， 平面1CD E ⋂平面111D DCC D C =，故1//EF D C ， 而11//A B D C ，故1//EF A B ，故F 为AB 的中点，所以DF CF ===，故3cos 5DFC ∠==，因为DFC ∠为三角形的内角，故4sin 5DFC ∠=，故DFC △的外接圆的半径为1254245⨯=，1OO ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，故11//OO DD ，在平面1GDO O 中，111,OG DD O D DD ⊥⊥，故1//OG O D ， 故四边形1GDO O 为平行四边形，故1//OO GD ，1OO GD =， 所以四面体1CDFD=故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164ππ⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.6．A解析：A 【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上． 在Rt △AA 1M 中，AM ===同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.7．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】 设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan 2AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =，22BD =，5DM =，不满足勾股定理，不是直角三角形C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.8．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =2241625DE DF AD AE ==++=2222EF BE BF =+= 在DFE △中，22210cos 21022522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 3310DF r DEF ===∠，则球心到DEF 2223R r -=，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.9．C解析：C 【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可. 【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】 识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.10．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD ,42AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得1222OE BF AB ===,所以222(22)2,3R R =+∴= 所以外接球的体积为34(23)3233ππ⨯=，所以选项A 错误； 所以外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=，所以选项C 错误； 由题得22(42)(22)210AC AD ==+= 所以△ACD △24026-=，设内切球的半径为r ，则1111111(422242222446)24423222232r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 所以22r， 所以内切球的体积为3422)323ππ⨯=（，所以选项B 错误； 所以内切球的表面积为224()22ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .11．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.12．D解析：D 【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂， 而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误． 故选：D ．【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．二、填空题13．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长 解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径． 【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ，所以21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=．设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ， 则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6． 6 【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．14．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====可得111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112A C B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得122,2CO C O '==，O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O B O C '''==,面//ABC 面111A B C , 所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得6O O '=，由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得6O D '=，所以球心恰好为点O ，所以球的半径为22，所以该三棱台外接球的表面积为24(22)32ππ=. 故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题 解析：12π【分析】根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积. 【详解】等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA CB ==，D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===， ,CD AD CD BD ∴⊥⊥，22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥， ,,DC DA DB ∴两两垂直，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.故答案为：12π.【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出,,DC DA DB 两两垂直.16．【分析】由题意可得AB 的轨迹得到当ACBC 与轴l 共面时∠ACB 取到最大值和最小值求得sin ∠ACB 的范围代入三角形面积公式得答案【详解】∵ACBC 与平面α所成的角分别为且|AC|＝2|BC|＝2则A 解析：[3,3]【分析】由题意可得A ，B 的轨迹，得到当AC 、BC 与轴l 共面时，∠ACB 取到最大值和最小值，求得sin ∠ACB 的范围，代入三角形面积公式得答案． 【详解】∵AC ，BC 与平面α所成的角分别为512π，4π，且|AC |＝3|BC |＝2， 则A ，B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC ，BC 与轴l 在同一平面内时，∠ACB 取到最大值和最小值， 于是，有63ACB ππ≤∠≤，∴sin6π≤sin ∠ACB ≤sin 3π，即12≤sin ∠ACB ≤3而ABC 的面积S ＝12|AC |⋅|BC |⋅sin ∠ACB ＝3∠ACB ． ∴33S ≤≤．故答案为：[3,3] 【点睛】关键点睛：根据题意得到A ，B 的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键.17．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想 解析：163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO ==， 设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得23R =21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【分析】取PA的中点E连接EBEC推出PA⊥平面BCE故点M的轨迹为线段CE解出即可【详解】取PA的中点E连接EBEC因为几何体是正四面体P﹣ABC所以BE⊥PAEC⊥PAEB∩EC＝E∴PA⊥平面解析：3【分析】取PA的中点E，连接EB，EC，推出PA⊥平面BCE，故点M的轨迹为线段CE，解出即可．【详解】取PA的中点E，连接EB，EC，因为几何体是正四面体P﹣ABC，所以BE⊥PA，EC⊥PA，EB∩EC＝E，∴PA⊥平面BCE，且动点M在正四面体侧面PAC上运动，总保持MB PA⊥，∴点M的轨迹为线段CE，正四面体P﹣ABC的棱长为2，在等边三角形PAC中求得CE＝323⨯=.故答案为：3【点睛】本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题．19．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故 解析：163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =， 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=. 故答案为：163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.20．【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形且两条直线边长为长接下来利用勾股定理即可求出AB 的长然后利用直角三角形的性质进行解答即可【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得为直角三角形且两条直 解析：732【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形，且两条直线边长为长3,8AC BC ==，接下来利用勾股定理即可求出AB 的长，然后利用直角三角形的性质进行解答即可. 【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得ABC ∆为直角三角形，且两条直角边的长3,8AC BC ==， 由勾股定理可得73AB =故三角形AB 边上的中线长为732， 故答案是732. 【点睛】本题是一道关于平面几何图形的直观图的题目，解答本题的关键是熟练掌握斜二测画法的相关知识.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）823. 【分析】（1）先证//CD 平面PAB ，然后由线面平行性质定理可得结论；（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换PBEC C PBE D PBE V V V --==，然后由体积公式计算， 【详解】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，所以//CD 平面PAB .因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD m =， 所以//CD m .（2）解：1114222PBE PBA S S PA AB ==⨯⨯⨯=△△， ∵//CD 平面PAB ，所以,C D 两点到平面PAB 的距离相等.由条件易得DA ⊥平面PAB 且22AD =∴1182422333PBEC C PBE D PBE PBE V V V S DA --===⋅=⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整．22．（1）见详解；（2）见详解；（3）107 【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP ⊥平面PBC ，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC . (3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积. 【详解】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP .又MD 平面APC ，AP ⊂平面APC ， 所以MD 平面APC .（2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MDAP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC . 又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝， 所以BC ⊥平面APC . (3)因为AP ⊥平面PBC ，MDAP ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高. 因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形， 所以310,53PB MB MD ==== 由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得221PC ＝ 于是1114221221222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝112215310733D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=△＝＝＝【点睛】关键点睛：三棱锥的体积直接求不便时，常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.23．（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）可由PD BD ⊥，PA BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，故BD AD ⊥，再由BD BC ⊥和PD BC ⊥可得BC ⊥平面PBD ，从而面PBC ⊥面PBD （2）可利用1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===，进行转化求体积. 【详解】解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 又PA BD ⊥，PAPD P =，平面PD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥.在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，所以BD BC ⊥.由PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 而BDPD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD .（2）由（1）可知，BD AD ⊥，而45DAB ∠=，则ADB △为等腰直角三角形，又4AB =，所以22PD BD AD ===，连接AC ，由点,M N 分别是,PA PC 的中点，所以PMN PAC 且12MN AC =， 所以14PMNPAC SS =，则1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===， 在平行四边形ABCD 中，1222242ABCABDSS==⨯=， PD 为三棱锥P ABC -的高，所以1182422333P ABC ABCV SPD -=⨯=⨯⨯=， 所以三棱锥P MBN -的体积为1224P MBN P ABC V V --==。
新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADDA 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．902．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且,,PA PB PC 的长分别为,,a b c ，又2()162a b c +=，侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．40πC ．20πD ．18π3．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．264．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB ∠为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ）A ．,γβγα≤≤B ．,βαβγ≤≤C ．,βαγα≤≤D ．,αβγβ≤≤ 5．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．无论点F 在上1BC 怎么移动，都有11A FB D ⊥B ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且12A E EF = C ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60°D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°6．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,//,//l m αβαβ，则//l mC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 7．如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM平面ADE ；②D E BM ⊥；③平面//BDM 平面AFN ；④AM ⊥平面BDE ．以上四个命题中，真命题的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 8．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．29．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．410．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ）A ．1θθ≥B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤ 11．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）A 10B 5C ．22D ．312．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C 3D ．12二、填空题13．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB所成角的大小为______.14．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．15．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；16．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________. 17．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为83；②该八面体的外接球的表面积为8π； ③E 到平面ADF 的距离为3；④EC 与BF 所成角为60°.其中正确的说法为__________.（填序号）18．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,3,60AB CD AB AD CD AB ABC ⊥==∠=°，将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_________________．19．三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，给出如下命题：①ACB △是直角三角形；②此球的表面积等于11π；③AC ⊥平面PBC ；④三棱锥A PBC -的体积为3. 其中正确命题的序号为______.（写出所有正确结论的序号）20．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，1,2AB BC ==，45ABC ∠=︒，AE PC ⊥垂足为E ．（Ⅰ）求证：平面AEB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角B AE D --的大小为150︒，求侧棱PA 的长．22．已知下列几何体三视图如图.（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体外接球的体积.23．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）证明：//GH 平面ABCD ；（2）求H 到平面AEC 的距离．24．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，AD DC =，试证明：（1）1//AB 平面1BC D ；（2）11AB BC ⊥. 25．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值.26．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果.【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===，所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=.故选：C.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2．A解析：A【分析】将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和2()a b c +=a b =，进而得到c =，带入体积公式求得2,a b c ===，根据公式24S R π=求出外接球的表面积.【详解】解：211166()643V abc ab ab a b ab ==⋅⋅=+，当且仅当a b =时取等号， 因为侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，则PC c ==，21623V a a ∴=⨯=，2,a b c ∴===所以2222410R a b c =++=，故外接球的表面积为10π.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．A解析：A【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12AC ，易知当1A、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值， 因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M = 因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥，则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题. 4．A解析：A【分析】由AB AP =，PD BD =，可得ABD △≌APD △，从而得DAB DAP α∠=∠=，而直线PA 与平面ABC 所成角为γ，由最小角定理可得γα≤，再由P ABC B PAC V V --=，PACABCSS≤，进而可比较,βγ的大小【详解】解：因为AB AP =，PD BD =，所以ABD △≌APD △， 所以DAB DAP α∠=∠=，因为直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以由最小角定理可得γα≤， 因为AB AC ⊥，所以12ABCS AB AC =⋅, 因为1sin 2PACS AC AP PAC =⋅∠，AB AP =， 所以PACABCSS≤，令点P 到平面ABC 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ， 因为P ABC B PAC V V --=，1211,33P ABC ABCB PAC PACV S d V Sd --=⋅=⋅所以12d d ≤，因为直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以21sin ,sin d d AB PAβγ== 因为AB AP =， 所以sin sin βγ≥ 因为,(0,]2πβγ∈所以βγ≥， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与平面所成的角，考查推理能力，解题的关键是利用了等体积法转换，属于中档题5．C解析：C 【分析】A.通过证明线面垂直，证得线线垂直；B.利用相似三角形，求1A EEF的值；C.首先构造直线1A F 与平面1BDC 所成角，再通过数形结合分析最大角，以及最大角的余弦值，判选项；D.将异面直线所成角转化为相交直线所成角，求解判断. 【详解】A.AC BD ⊥，1AC BB ⊥，AC ∴⊥平面1BB D ，1AC B D ∴⊥，11//AC AC ，111B D AC ∴⊥，同理11B D BC ⊥，1111AC BC C ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A F ⊂平面11A BC ，11B D A F ∴⊥，故A 正确；B.连结1A D ，1BC 交1BC 于点F ，11//A B DC ,且11A B DC =，∴四边形11A DCB 是平行四边形，所以11//A D B C ，∴11A DEFB E，得1112AE A DEF B F==，故B 正确；C.1AO ⊥平面1BDC ，1111A B AC A D ==，∴点O1BDC 是等边三角形的中心，11A BC 是等边三角形，111A BC BDC ≅ 当点F 是1BC 的中点时，11A F BC ⊥，此时1A F 是点1A 和1BC 上的点连线的最短距离，设直线1A F 与平面1BDC 所成角为θ，此时11sin AO A F θ=最大，所以此时θ最大，所以111cos 32OF A F θ==<,最大角大于60，故C 不正确；D.11//A B CD ，CD ∴与1A F 所成的角，转化为11BA F ∠的大小，11B A F ∠的最小角是11B A 与平面11A BC 所成的角，即11B A F ∠，此时1111123tan FB B A F A B ∠==>，所以11B A F ∠的最小角大于30，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何的综合应用，包含线线，线面角，垂直关系，首先会作图，关键选项是C 和D ，C 选项的关键是1AO ⊥平面1BDC ，点O 1BDC 是等边三角形的中心，D 选项的关键是知道先与平面中线所成角中，其中线面角是其中的最小角.6．D解析：D 【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面； 在B 中，l 与m 不一定平行，有可能相交； 在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】由直线m 、n ，和平面α、β，知： 对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,//,//l m αβαβ，l 与m 不一定平行，有可能相交，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误；对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．7．A解析：A 【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，得出BM ∥平面ADNE ，判断①正确；由连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，判断②正确；由BD ∥FN ，得出BD ∥平面AFN ，同理BM ∥平面AFN ，证明平面BDM ∥平面AFN ，判断③正确；由MC BD ⊥，ED ⊥AM ，根据线面垂直的判定，判断④正确．【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，如图1所示； 对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ， ∴BM ∥平面ADNE ，①正确；对于②，如图2所示，连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，所以D E BM ⊥，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ，∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ，∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确； 对于④，如图3所示，连接AC ，则BD AC ⊥，又MC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MC BD ⊥，又AC MC C ，所以BD ⊥平面ACM ，所以BD ⊥AM ，同理得ED ⊥AM ，ED BD D =，所以AM ⊥平面BDE ，∴④正确．故选：A ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面，面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性．8．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112=221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.9．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC-，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．A解析：A 【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，排除B ，C ．当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ．由此能求出结果． 【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，413DE CE ==-2DC =， ∴1cos 3233θ==⨯⨯，22333AO CO CE ===，∴12333cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥， 又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒，∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：将三棱锥看成特殊的正四面体，采用排除法，充分理解线线角、线面角以及面面的概念是解题的关键.11．C解析：C 【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC =+=；②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+因为2210，因此，小虫爬行的最短路程为22 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =，以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ， 在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos452AC CD ==AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==ABD ∴为等边三角形，则2BD ， 四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， ABAD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角， 在ABE △中，2AB =，2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 2AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅ 因此，异面直线AB 与CD 2故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．60°【分析】根据AB ∥CD 得到异面直线与所成角即为∠VCD 由△VCD 为等边三角形即可求解【详解】如图示因为是正方形所以AB ∥CD 所以异面直线与所成角即为∠VCD 又各条棱长均为2所以△VCD 为等边三解析：60° 【分析】根据AB ∥CD ,得到异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD ,由△ VCD 为等边三角形，即可求解. 【详解】如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形， 所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60° 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．14．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CD S AB S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.15．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22 【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==， 所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =，30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED'平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力..16．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 310【分析】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ， 因为112AE A A =，所以11//EO AC 且111=2EO AC ， 所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角， 设1AB =，则12AA =， 所以2211115=12222EO AC =+=，112BE =+= 因为111A B C △是等边三角形，112AE A A =，所以21113122B O ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因为1BB ⊥平面111A B C ，11B O ⊂平面111A B C ，所以 1BB ⊥11B O ，所以2221111319422BO BB B O ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 在1BEO 中，2221111519231044cos 25222BE EO BO BEO BE EO +-+-∠===⨯⨯⨯， 因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AC 与BE 310， 故答案为：31020【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．②④【分析】①求出该八面体的体积即可判断；②可得球心为正方形ABCD 对角线交点即可得出半径求出表面积；③取AD 的中点G 连接EGFGEF 过E 作求出即可；④可得为所成角【详解】①八面体的体积为；②八面体解析：②④ 【分析】①求出该八面体的体积即可判断；②可得球心为正方形ABCD 对角线交点，即可得出半径求出表面积；③取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，EF ，过E 作EH FG ⊥，求出EH 即可；④可得DEC ∠为所成角. 【详解】①八面体的体积为21822(22)33⨯⨯⨯=； ②八面体的外接球球心为正方形ABCD 对角线交点，易得外接球半径为2，表面积为8π；③取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，EF ，易得3EG FG ==AD ⊥平面EGF ， 过E 作EH FG ⊥，交FG 的延长线于H ，又EH AD ⊥，AD FG G ⋂=，故EH ⊥平面ADF ， 解得26EH =，所以E 到平面ADF 的距离为63； ④因为//ED BF ，所以EC 与BF 所成角为60︒. 故答案为：②④. 【点睛】解本题的关键是正确理解正八面体的性质，根据线面垂直关系得到点到平面的垂线段.18．【分析】此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周得到的是圆台然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算【详解】将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周得到的是圆台其中圆台的上底半径为r ＝CD ＝2下底半径为R ＝AB ＝ 解析：23π【分析】此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算． 【详解】将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，其中圆台的上底半径为r ＝CD ＝2，下底半径为R ＝AB ＝3，母线BC ＝2， ∴圆台的上底面积为πr 2＝4π，下底面积为πR 2＝9π， 圆台的侧面积为（πr +πR ）•BC ＝π（2+3）×2＝10π， ∴圆台的表面积为4π+9π+10π＝23π， 故答案为23π． 【点睛】本题考查圆台表面积的计算，利用旋转体的定义确定该几何体是圆台是解决本题的关键．19．①③【分析】①先求出再得到最后判断①正确；②先判断三棱锥的外接球就是以为顶点以棱的长方体的外接球再求半径最后求出球的表面积判断②错误；③先证明最后证明平面判断③正确；④直接求出三棱锥的体积判断④错误解析：①③. 【分析】①先求出BC =，再得到222AB BC AC =+，最后判断①正确；②先判断三棱锥P ABC -的外接球就是以C 为顶点，以CA ，CB ，CP 棱的长方体的外接球，再求半径r ，最后求出球的表面积，判断②错误；③先证明AC PC ⊥，AC BC ⊥，⋂=PC CB C ,最后证明AC ⊥平面PBC ，判断③正确；④直接求出三棱锥A PBC -的体积，判断④错误. 【详解】解：①在ACB △，因为1AC =，2AB =，且60BAC ∠=︒，所以2222cos 3BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，则BC ， 所以222AB BC AC =+，所以ACB △是直角三角形，故①正确； ②由（1）可知AC BC ⊥，又因为PC ⊥底面ABC ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以C 为顶点，以CA ，CB ，CP 棱的长方体的外接球，则2r ==，则此球的表面积等于245S r ππ==，故②错误； ③因为PC ⊥底面ABC ，所以AC PC ⊥，由（1）可知AC BC ⊥，⋂=PC CB C ,所以AC ⊥平面PBC ，故③正确；④三棱锥A PBC -的体积113(13)132V =⨯⨯⨯⨯=，故④错误. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查判断三角形是直角三角形、求三棱锥的外接球的表面积、求三棱锥的体积、线面垂直的证明，是中档题.20．【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥再根据锥体的体积计算公式求解即可【详解】利用正方体法还原三视图如图所示根据三视图可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形高为2的三棱锥解析：43. 【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可. 【详解】利用正方体法还原三视图，如图所示，根据三视图，可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形，高为2的三棱锥S-ABC ，故其体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，锥体的体积公式，考查考生的观察分析能力与空间想象能力及运算能力，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ2【分析】（Ⅰ）推导出AB AC ⊥，CD AC ⊥，PA CD ⊥，从而CD ⊥平面PAC ，进而CD AE ⊥，AE PC ⊥，由此能证明平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱PA 的长． 【详解】 证明：（Ⅰ）1,45AB BC ABC =∠=︒，AB AC ∴⊥又//AB CD ，CD AC ∴⊥， PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又ACAP A =，,AC AP ⊂平面PAC ，CD平面PAC ，AE ⊂平面PAC ，CD AE ∴⊥，又AE PC ⊥，PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEB ，∴平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系．设AP t =，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)，(1,10)D -，(0P ，0，)t ，AB PC ⊥，AE PC ⊥，PC ∴⊥平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,)n PC t ==-在Rt PAC △中，PA t =，1AC PC =∴=又AE PC ⊥，AE =222(0,,)11t tE t t ++ 设平面ADE 的一个法向量为(,,)m x y z =由m AD m AE ⎧⊥⎨⊥⎩，得222··011t t y z t t x y ⎧+=⎪++⎨⎪-+=⎩，解得(1,1,)m t =- 二面角B AE D --的大小为150︒，∴22|||cos,||cos150|||||m n m n m n t 〈〉===︒+， 解得t =PA【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．（1）474；（2646.【分析】（1）先根据三视图还原直观图，为一个正四棱锥，然后求出侧面积和底面积，就得到表面积；（2）找到外接球的球心，计算出半径26r=.【详解】解：（1）由三视图知，该几何体是正四棱锥的直观图，如图. 底面为正方形，边长为2，其面积为224⨯=，四个侧面是全等的三角形，斜高为7，底面边长为2，其面积为47， ∴该几何体的表面积为474+.（2）72，可得高6SO =2OA =设正四棱锥的外接球的球心为O '，由对称性知O '在SO 上，设OO h '=，球的半径为r ，∴6h r =，∴222826r h OA r r =+=-+26r =则球的体积346463V r π==. 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；(④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法．23．（1）证明见解析；（26 【分析】（1）取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．证明四边形DGHM 是平行四边形，可得线面平行；。
新版高中数学北师大版必修2习题第一章立体几何初步检测含解析
第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形答案:A2.一长方体木料,沿图①所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD,那么图②所示的四个图形中是截面的是()图①图②解析:因为AB,MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,故AB,MN无公共点,又AB,MN在平面EFGH内,故AB∥MN,同理易知AN∥BM.又AB⊥CD,∴截面必为矩形.答案:A3.如图所示,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是()A.6B.3C.6D.12解析:△OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.答案:D4.若球的表面积为16π,则用与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为()A.4πB.πC.2πD.π解析:如图所示,由球的表面积为16π,可得球的半径R=2.设截面圆的半径为r,球心到截面的距离为h,则R2=h2+r2,∴r2=R2-h2=4-3=1.∴截面圆的面积为S=πr2=π.答案:D5.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2解析:由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2××3×4=138(cm2).故选D.答案:D6.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⫋α,n⫋β,则α∥βC.若m∥n,m∥α,则n∥αD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β解析:满足选项A,B条件的两个平面也可能相交;选项C中n也可能在平面α内;故选D.答案:D7.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为()A. m3B. m3C. m3D. m3解析:由三视图可知,原几何体如图所示,故V=3×13+×13=3+(m3).答案:C8.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,则下列命题中错误的是()A.如果直线a⫋α,那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线B.如果直线a⫋α,那么直线a不可能与平面β平行C.如果直线a⫋α,a⊥l,那么直线a⊥平面βD.平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线解析:A选项中直线a必定与平面β内无数条平行直线垂直,故正确;B选项中如果a⫋α,a∥l,则a∥β,故错误;由面面垂直的性质定理可知C选项正确;在平面α内,垂直于交线l的直线,都垂直于平面β,也就垂直于平面β内的所有直线,故D选项正确.答案:B9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于() A.AC B.BDC.A1DD.A1D1解析:由BD⊥AC,BD⊥AA1易知BD⊥平面A1ACC1,而CE⫋平面A1ACC1,则BD⊥CE.故选B.答案:B10.如图所示是无盖正方体纸盒的展开图,则线段AB,CD在原正方体中的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面D.相交成60°角线段AB,CD在原正方体中的位置如图所示,△ABC为等边三角形,所以AB,CD在原正方体中相交成60°角.答案:D11.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,则截面把圆锥母线分为两段的比是() A.1∶3 B.1∶(-1)C.1∶9D.∶2解析:如图所示,由题意可知,☉O1与☉O2面积之比为1∶3,∴半径O1A1与O2A之比为1∶,∴PA1∶PA=1∶,∴PA1∶AA1=1∶(-1).答案:B12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等解析:由正方体ABCD-A1B1C1D1得B1B⊥平面AC,∴AC⊥B1B,又AC⊥BD,BD∩B1B=B,∴AC⊥平面BDD1B1,BE⫋平面BDD1B1,∴AC⊥BE,故A正确.∵B1D1∥BD,B1D1⊈平面ABCD,BD⫋平面ABCD,∴B1D1∥平面ABCD,∴EF∥平面ABCD,故B正确.V A-BEF=AC×BB1×EF=.∴三棱锥A-BEF的体积为定值,故C正确.因线段B1D1上两个动点E,F,且EF=,当E,F移动时,点A到EF的距离与点B到EF的距离不相等,∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等,故D不正确.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=.解析:依题意,×a×a××a=16,解得a=4.答案:414.(2016四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=×2×1=,高为1,所以该几何体的体积为V=Sh=×1=.答案:15.(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.解析:设新的底面半径为r,根据题意得×π×52×4+π×22×8=πr2×4+πr2×8,即28r2=196,解得r=.答案:16.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=BD=2,且AC⊥BD,则四边形EFGH的面积为.如图所示,由题意易判断EH FG BD,所以EH=FG=1,同样有EF GH AC,EF=GH=1,又BD⊥AC,所以EF⊥EH,所以四边形EFGH 是边长为1的正方形,其面积S=12=1.答案:1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.作出圆台的轴截面如图所示.设O'A'=r,因为一底面周长是另一底面周长的3倍,所以OA=3r,SA'=r,SA=3r,OO'=2r.由轴截面的面积为(2r+6r)·2r=392,得r=7.故上底面半径为7,下底面半径为21,高为14,母线长为14.18.(12分)如图所示,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.(1)证明∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,∴BC⊥AC.由题意知,AA1⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,∴AA1⊥BC.∵AA1∩AC=A,AA1⫋平面A1AC,AC⫋平面A1AC,∴BC⊥平面A1AC.(2)解设AC=x(0<x<2),在Rt△ABC中,BC=--(0<x<2),故-S△ABC·AA1=·AC·BC·AA1=----.∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2,即x=时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值.19.(12分)(2016全国丙高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.(1)证明由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⫋平面PAB,MN⊈平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)解因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=-.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM=×S△BCM×.20.(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.分析在第(1)问中,由三视图可知,四面体ABCD中棱DA,DB,DC的位置关系以及这三条棱的长度,然后套用锥体体积公式可求得该四面体的体积;在第(2)问中,应先证四边形EFGH为平行四边形,这可由线面平行的性质定理证得,然后再证两相邻边垂直,这可由线面垂直的性质证得.(1)解由该四面体的三视图可知,四面体ABCD如图所示,且BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC.∴四面体的体积V=×2×2×1=.(2)证明∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.又AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.21.(12分)(2016全国乙高考)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)求证:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.因为PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB 的中点,所以D在CG上,故CD=CG.由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=×2×2×2=.22.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC=BC=AA1=a,∠ACB=90°,D是A1B1的中点.(1)求证:C1D⊥平面A1B1BA.(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.(1)证明∵AC=BC,∴△ABC和△A1B1C1均为等腰三角形,∵A1D=DB1,∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥底面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,又AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面A1B1BA.(2)解当点F与点B重合时,AB1⊥平面C1DF.证明如下:由(1)可得C1D⊥AB1,若要使AB1⊥平面C1DF,只要DF⊥AB1即可.∵∠ACB=∠A1C1B1=90°,且AA1=AC=BC=a,∴A1B1= a.∵△DEB1∽△AA1B1∽△DB1F,∴,∴B1F=a,即当点F与点B重合时,AB1⊥平面C1DF.高中数学。
北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是平面11ADD A 的中心，M 、N 、F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．12MN EF =，且MN 与EF 平行 B ．12MN EF ≠，且MN 与EF 平行 C ．12MN EF =，且MN 与EF 异面 D ．12MN EF ≠，且MN 与EF 异面 2．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A 5B ．2C 3D 23．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A 13B 3C 33 D ．1164．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．77B ．142C ．714D ．1475．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ） A ．33-B ．32-C ．33D ．326．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//,//l m αβαβ，则//l m C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263-8．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．29．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．410．平行六面体1111ABCD A BC D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =12．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ） A ．1θθ≥B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1A B 与侧面11BC CB 所成角的正弦值是______.14．如图，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，E 是棱AB的中点，设平面α经过直线1A E ，且α平面111,B BCC l α=⋂平面112C CDD l =，若α⊥平面11A ACC ，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为_______．15．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中AC B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.16．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =P ABC -的外接球的体积为_________.17．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且所有顶点都在球O 的表面上，侧面PAB ⊥底面ABCD ，23PA PB ==，120APB ∠=︒，4=AD ，则球O 的表面积为_______.18．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2；②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）19．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________.20．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3B C A C ==,则ABC ∆中AB 边上的中线的长度为_______ .三、解答题21．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：//GE 平面ACD ；（2）求证：平面ABD ⊥平面BCD .22．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAC ∠=，沿BD 将三角形BCD 向上折起到PBD 位置，E 为PA 中点，若F 为三角形ABD 内一点（包括边界），且//EF 平面PBD .（1）求点F 轨迹的长度；（2）若EF ⊥平面ABD ，求证：平面PBD ⊥平面ABD ，并求三棱锥P ABD -的体积. 23．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积； （2）求 B A D EF V ''-.24．在如图所示的几何体中，四边形BCED 为直角梯形，//DE CB ，BC EC ⊥，90AED ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面ACE .（2）若P ，Q 分别是AE ，CD 的中点，证明：//PQ 平面ABC .25．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积. 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AMC ；（2）若PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，3BAD π∠=，求点B 到平面AMC 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，利用正方体性质可求得2MN =3EF =知12MN EF ≠，再利用三角形中位线性质知1//MN B C ，从而//MN ED ，又EF 与ED 相交，可知MN 与EF 异面，即可选出答案.【详解】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则22112MN MC C N =+=作E 点在平面ABCD 的投影点G ，即EG ⊥平面ABCD ，连接,EG GF ，在直角EGF △中，1EG =，222GF AG AF =+=，则2222123EF EG GF =+=+=，所以12MN EF ≠，故排除A 、C 连接DE ，由E 是平面11ADD A 的中心，得112DE A D =又M N 、分别是11B C 、1CC 的中点，所以1//MN B C 又11//A D B C ，所以//MN ED ， 又EF ED E ⋂=，所以MN 与EF 异面 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===133xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=， 设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===， O 是底面中心，则1333xOE CE ==，则25323x x-=，解得3x =， 则1AO =，底面边长为23， 则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.3．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，3DE DF ==∴在等腰三角形DEF中，113 24cos3EFFEDDE∠===．所以异面直线AB与DE所成角的余弦值为36．故选：B．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．4．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，在ABC中，72cos4214ABC∠==14sin4ABC∴∠=，由正弦定理可得28sinACrABC==∠，即4r=，则22543OD=-=，1111421427377332O ABC ABCV S OD-∴=⨯⨯=⨯⨯=故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.5．C解析：C 【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FGEF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角， 因为12AB AA ==，所以14FA G π∠=，因为11A F =，所以122FG A F ==， 在直角三角形EFG 中，2216122EG EF FG =+=+=，所以cosFG EGFEG ∠==2326=.所以二面角11B A B E--的余弦值为3.故选：C【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键.6．D解析：D【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，l与m不一定平行，有可能相交；在C中，m⊥β或m∥β或m与β相交；在D中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m∥α．【详解】由直线m、n，和平面α、β，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若//,//,//l mαβαβ，l与m不一定平行，有可能相交，故B错误；对于C，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m∥β或m与β相交，故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．7．A解析：A【分析】先求出'A FDE-外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =，2241625DE DF AD AE ==+=+=2222EF BE BF =+ 在DFE △中，22210cos 21022522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 3310DF r DEF ===∠，则球心到DEF 2223R r -，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.8．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112=221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.9．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC-，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．C解析：C 【分析】将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1AO ⊥平面11AB D ， 所以2222221111111111,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+， 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11AO ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.11．A解析：A 【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】d =，所以33941632d d V π⎛⎫==⎪⎝⎭，所以278π=， 所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.12．A解析：A 【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，排除B ，C ．当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ．由此能求出结果． 【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，413DE CE ==-2DC =， ∴1cos 3233θ==⨯⨯，22333AO CO CE ===，∴12333cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥， 又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒，∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：将三棱锥看成特殊的正四面体，采用排除法，充分理解线线角、线面角以及面面的概念是解题的关键.二、填空题13．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的 10 【分析】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11BC CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，进而可得答案. 【详解】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，11BB A D ∴⊥，又11111A B AC ==，111A D B C ∴⊥， 又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ，1A D ∴⊥平面11BC CB ，1A B ∴在平面11BC CB 上的射影为DB ，故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+=111Rt B AC 中，111212122B C A D === 1Rt A BD ∴中，1112102sin 105A D A BD AB ∠===， 10【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.14．【分析】取的中点连接证明平面平面平面即平面然后分别取的中点证明平面平面可得可得异面直线与所成的角即与所成的角由余弦定理可得答案【详解】由直四棱柱的所有棱长均相等所以是菱形连接且所以因为平面平面所以且 解析：910【分析】取AD 的中点F ，连接1A F ，证明平面1A EF ⊥平面11A ACC ，平面1A EF 即平面α，然后分别取1111BC DC 、的中点M N 、，证明平面1//A EF 平面MNC ，可得//CM 1l ，//CN 2l ，可得异面直线1l 与2l 所成的角即CM 与CN 所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】由直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，所以ABCD 是菱形，连接AC BD 、，1111AC B D 、，且ACBD O =，11111AC B D O ⋂=，所以BD AC ⊥，1111B D AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，且1AA AC A =，所以BD ⊥平面11A ACC ，取AD 的中点F ，连接1A F ，连接EF 交AC 与G ，所以//EF BD ，且G 是AO 的中点，所以EF ⊥平面11A ACC ，所以平面1A EF ⊥平面11AACC ， 又1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1A EF 即平面α， 分别取1111BC DC 、的中点M N 、，连接MN 交11AC 与H 点，H 即为11O C 的中点， 所以1A H GC =，且1//A H GC ，所以四边形1AHCG 是平行四边形，所以1//AG HC ， 1AG ⊄平面CMN ，CH ⊂平面CMN ，所以//A G 平面CMN ， 又因为11//////EF BD B D MN ，EF ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， 所以//MN 平面CMN ，又1AG EF G =，所以平面1//A EF 平面MNC ，且平面11B C CB ⋂平面MNC MC =， 平面11D C CD平面MNC NC =，所以//CM 1l ，//CN 2l ，所以异面直线1l 与2l 所成的角即CM 与CN 所成的角，设2AB =， 则直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均为2，由3BAD π∠=，所以112BD AB B D ===，11112MN D B ==，且CM CN ====，由余弦定理得222551922510CM CN MN MCN CM CN +-+-∠===⨯⨯.故答案为：910.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，关键点是作出平面α及找出异面直线所成的角，考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力.15．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可． 【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯=故答案为：82【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．16．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平 解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积． 【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥． 设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=． 故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．17．【分析】首先利用垂直关系和底面和侧面外接圆的圆心作出四棱锥外接球的球心再计算外接球的半径以及球的表面积【详解】连结交于点取中点连结并延长于点点是外接圆的圆心侧面底面侧面底面平面过点作平面侧面所以点是 解析：64π【分析】首先利用垂直关系和底面ABCD 和侧面ABCD 外接圆的圆心，作出四棱锥P ABCD -外接球的球心，再计算外接球的半径，以及球O 的表面积. 【详解】连结,AC BD ，交于点M ，取AB 中点N 连结AN ，MN ，并延长于点E ，点E 是PAB △外接圆的圆心，侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，MN AB ⊥MN ∴⊥平面PAB ，过点M 作MO ⊥平面ABCD ，//EO MN ，EO ∴⊥侧面PAB ，所以点O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心，可知四边形MNEO 是矩形，右图，23PA PB ==，120APB ∠=，2cos306AB PB ∴==， 点E 是PAB △外接圆的圆心，sin303PN PB ∴==，PBE △是等边三角形，23PE =， 2333NE ∴=-=，3MO ∴=，2211641322MC AC ==+=， 223134R OC MO MC ∴==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==故答案为：64π 【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.18．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直线与所成的角求出其正切可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平面可判断②错；根据等体积法由体积公式求出可判断③正确；根据面面垂直的解析：①③④ 【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，求出其正切，可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE ⊥平面ABD ，可判断②错；根据等体积法，由体积公式求出B ACE V -，可判断③正确；根据面面垂直的判定定理，可判断④正确. 【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：由题意，3AB a =，BE a =，∴2AE a =；∴22AD AE DE a =-=，222AC CD AD a ∴+，∵//BC DE ，∴ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角， 在Rt ABC 中, tan 2ACABC BC∠==①正确； 连结BD ，CE ，则CE BD ⊥，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， ∴CE AD ⊥，又BDAD D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB 平面ABD ，∴CE AB ⊥.故②错误．三棱锥B ACE -的体积2311113326B ACE A BCE BCEV V S AD a a a --===⨯⨯=⋅⨯. 故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴BC AD ⊥，又BC CD ⊥，CD AD D =，CD ⊂平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴ABC ⊥平面ADC .故④正确. 故答案为：①③④． 【点睛】 思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明.19．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的 解析：4π【分析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD ，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =， 所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==， 故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.20．【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形且两条直线边长为长接下来利用勾股定理即可求出AB 的长然后利用直角三角形的性质进行解答即可【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得为直角三角形且两条直 解析：73 【分析】首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形，且两条直线边长为长3,8AC BC ==，接下来利用勾股定理即可求出AB 的长，然后利用直角三角形的性质进行解答即可. 【详解】把直观图还原成平面图形如图所示：得ABC ∆为直角三角形，且两条直角边的长3,8AC BC ==， 由勾股定理可得73AB = 故三角形AB 73故答案是73. 【点睛】本题是一道关于平面几何图形的直观图的题目，解答本题的关键是熟练掌握斜二测画法的相关知识.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先依题意得到G 为ABD △的重心，即得到21BG BE GM EC ==，证得//GE MC ，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先在ABD △中，证得AO BD ⊥，求得1AO =，在BCD △中，求得3OC =，结合勾股定理证得AO OC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD ，即证平面ABD ⊥平面BCD . 【详解】证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =， ∴G 为ABD △的重心∴21BG GM =， 又21BE EC =∴BG BEGM EC=∴//GE MC ， ∵GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴//GE 平面ACD ；（2）在ABD △中，O 为BD 中点，2BD =，2AB AD == ∴AO BD ⊥∴221AO AB BO -=，在BCD △中，2BC CD BD ===，O 为BD 中点，连接OC ，则3OC = 又2CA =，∴222OA OC CA +=，∴AO OC ⊥ 由AO OC ⊥，AO BD ⊥，OC BD O =，,OC BD ⊂平面BCD ，得AO ⊥平面BCD ， 又AO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD . 【点睛】 思路点睛：证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，或者利用面面平行的性质证得；证明线面垂直时，运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得线线垂直，或者运用面面垂直的性质定理证得线面垂直．22．（1）3；（2）证明见解析，三棱锥P ABD -的体积为3. 【分析】（1）取AB 、AD 中点为M 、N ，连接MN ，证明出平面//PBD 平面EMN ，可得出点F 的轨迹为线段MN ，求出BD 的长，可求得线段MN 的长，即可得解； （2）连接AF 延长交BD 于点O ，利用面面平行的性质定理可得出//EF PO ，可得出PO ⊥平面ABD ，利用面面垂直的判定定理可证得平面PBD ⊥平面ABD ，可得出三棱锥P ABD -的高为PO ，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图，取AB 、AD 中点为M 、N ，连接MN ，则点F 在线段MN 上，证明如下：连接EM 、EN ，因为E 为PA 中点，M 为AB 中点，所以//EM PB ，EM ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，//EM ∴平面PBD ，同理可证//EN 平面PBD ，又EMEN E =，所以平面//PBD 平面EMN ，EF ⊂平面EMN ，所以//EF 平面PBD ，所以点F 的轨迹为线段MN ，因为60BAC ∠=，所以120BAD ∠=，2sin 23BD AB BAC ∴=∠= 所以132MN BD ==F 3 （2）连接AF 延长交BD 于点O ，因为平面//PBD 平面EMN ， 且平面APO平面EMN EF =，平面APO平面PBD PO =，所以//EF PO ，因为EF ⊥平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD ， 又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD ，可得PO 为三棱锥P ABD -的高，且cos 1PO AO AB BAC ==∠=，1113231332P ABD ABD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．23．（1）200π（2）80 【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形， 所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=， 即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=， 直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=， 设三棱柱的外接球半径为R ， 则225552R =+=24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==， 在长方体中AA '⊥平面BEF ，所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由DE EC ⊥，AE DE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面ACE ，再由//DE CB ，利用面面垂直的判定定理证明.（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ ，由三角形中位线可得.//OQ DE ，//OP AC ，再利用线面平行和面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）在直角梯形BCED 中，BC EC ⊥，//DE CB ， 则DE EC ⊥.因为90AED ∠=︒，所以AE DE ⊥. 因为AE EC E ⋂=， 所以DE ⊥平面ACE ， 所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACE .（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ .因为O ，P 分别为CE ，AE 的中点， 所以//OP AC ,又OP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//OP 平面ABC ，同理//OQ 平面ABC ，。
高中数学 第一章 立体几何初步章末综合测评(含解析)北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
章末综合测评(一) 立体几何初步(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理错误的是( ) A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒lαB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．lα，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，lα⇒A ∈αC [若直线l ∩α＝A ，显然有l α，A ∈l ，但A ∈α，故C 错．]2．下列说法中，正确的是( )A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行C [A 中，可能有无数个平面；B 中，两条直线还可能平行、相交；D 中，两个平面可能相交．]3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C.32 D.34A [由题图可知，原△ABC 的高为AO ＝3， ∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12×2×3＝3，故选A.]4．下列四个命题判断正确的是( ) A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α B ．若a ∥α，bα，则a ∥bC ．若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线D ．若a ∥α，a ∥b ，b α，则b ∥αD [A 中b 可能在α内；B 中a 与b 可能异面；C 中a 可能与α内的直线异面；D 正确．] 5．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )A.22π3 B.2π3 C.2π3D.3π A [因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.] 6．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于()A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1 B [CE平面ACC 1A 1，而BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CE .]7．正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是() A.12 B.32 C.63 D.62C [连接BD 1，则BD 1∥EF ，∠BD 1A 是异面直线AD 1与EF 所成的角．∵AB ⊥AD 1，∴cos∠BD 1A ＝AD 1BD 1＝63.] 8．如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12A [由三视图得几何体为四棱锥， 如图记作S ABCD ，其中SA ⊥平面ABCD ，SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形， ∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A.]9．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若α∥β，lα，则l ∥β；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中正确的说法个数是( ) A ．3B ．2 C ．1D ．0B [垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．]10．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316 B.916 C.38 D.932A [如图所示，设球的半径为R ，由题意知OO ′＝R2，OF ＝R ，∴r ＝32R .∴S 截面＝πr 2＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2＝3π4R 2.又S 球＝4πR 2，∴S 截面S 球＝3π4R24πR 2＝316.] 11．如图，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°D [由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；连接AC (图略)，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因为BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．]12．在四面体ABCD 中，下列条件不能得出AB ⊥CD 的是( ) A ．AB ⊥BC 且AB ⊥BD B ．AD ⊥BC 且AC ⊥BD C ．AC ＝AD 且BC ＝BDD ．AC ⊥BC 且AD ⊥BDD [A 项，∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ， ∵CD平面BCD ，∴AB ⊥CD .B 项，设A 在平面BCD 内的射影为O ，则AO ⊥平面BCD ，∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ， ∴O 为△BCD 的垂心， 连接BO ，则BO ⊥CD . 又AO ⊥CD ，AO ∩BO ＝O ， ∴CD ⊥平面ABO ， ∵AB平面ABO ，∴AB ⊥CD .C 项，取CD 中点G ，连接BG ，AG .∵AC ＝AD 且BC ＝BD ， ∴CD ⊥BG ，CD ⊥AG ，∵BG ∩AG ＝G ，∴CD ⊥平面ABG ， ∵AB平面ABG ，∴AB ⊥CD ，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为________ cm 2. 16π [圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2(cm)，∴S 侧＝2π×2×4＝16π(cm 2)．]14．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于M ，则MN 与AD 的位置关系是________．垂直 [由平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ， 知MN ⊥平面ABCD . ∴MN ⊥AD .]15．已知一个圆台的下底面半径为r ，高为h ，当圆台的上底面半径r ′变化时，圆台体积的变化X 围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2h ，πr 2h [V 圆台＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h,0＜r ′＜r . 当上底面面积为0时，圆台变为圆锥，V 圆锥＝13πr 2h ；当上、下底面面积相等时，圆台变为圆柱，V 圆柱＝πr 2h .所以圆台体积的变化X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2h ，πr 2h .]16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ，则异面直线AB 与CD 所成的角等于________．60° [如图所示，分别取BC ，AC 的中点G 、F ， 连接EG ，GF ，EF ， 则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的角． 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三角形，∴∠EGF ＝60°.]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图所示，四棱锥V ABCD 的底面为边长等于2 cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积．[解] 连接AC ，BD 相交于点O ，连接VO ， ∵AB ＝BC ＝2 cm ， 在正方形ABCD 中， 求得CO ＝ 2 cm ， 又在直角三角形VOC 中， 求得VO ＝14 cm ，∴V V ABCD ＝13S ABCD ·VO ＝13×4×14＝4314(cm 3)．故这个正四棱锥的体积为4314 cm 3.18．(本小题满分12分)如图所示，P 是▱ABCD 所在平面外一点，E ，F 分别在PA ，BD 上，且PE ∶EA ＝BF ∶FD .求证：EF ∥平面PBC .[证明] 连接AF 延长交BC 于G ，连接PG . 在▱ABCD 中， 易证△BFG ∽△DFA ， ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA， ∴EF ∥PG . 而EF平面PBC ，PG平面PBC ，∴EF ∥平面PBC .19．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． [解] (1)交线围成的正方形EHGF ，如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 20．(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .[证明] 由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1， 又BM平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BM .又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，所以C 1M ＝CM ＝1. 在Rt△B 1C 1M 中，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2， 同理BM ＝BC 2＋CM 2＝2，又B 1B ＝2， 所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M . 又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1M ， 因为BM平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面A 1B 1M .21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)是否存在点E 使得二面角A DE P 为直二面角？并说明理由． [解] (1)证明：∵PA ⊥底面ABC ，BC 底面ABC ，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角ADEP的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角．22．(本小题满分12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′ABCE的体积；(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE平面ABCE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.∵平面D ′AE ⊥平面ABCE ， 且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，D ′F 平面D ′AE ，∴D ′F ⊥平面ABCE ，∴V D ′ABCE ＝13S 四边形ABCE ·D ′F ＝13×12×(1＋2)×1×22＝24.(3)如图所示，连接AC 交BE 于Q ，假设在D ′E 上存在点P ，使得D ′B ∥平面PAC ，连接PQ .∵D ′B平面D ′BE ，平面D ′BE ∩平面PAC ＝PQ ，∴D ′B ∥PQ ， ∴在△EBD ′中，EP PD ′＝EQQB. ∵在梯形ABCE 中，EQ QB ＝EC AB ＝12，∴EP PD ′＝EQ QB ＝12，即EP ＝13ED ′， ∴在棱ED ′上存在一点P ，且EP ＝13ED ′时，使得D ′B ∥平面PAC .。
最新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(答案解析)
一、选择题1．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．902．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥3．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m4．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ） A ．34B ．6 C ．5 D ．225．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）A ．32B ．3C ．102D ．26．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．27．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．77B ．142C ．714D ．1478．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE10．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．411．在正方体1111ABCD A BC D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43球的体积为（ ） A ．43πB 6πC ．323πD ．86π12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．14．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是___________．15．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．16．已知三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，3AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________．17．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．18．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________.19．祖恒是我国南北朝时代的伟大科学家，他总结了刘徽的有关工作，提出来体积计算的原理“幂势既同，则积不容异”，称为祖恒原理，意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处 的截面面积始终相等，则它们的体积相等，利用这个原理求半球O 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________________20．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______三、解答题21．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ； （2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ； （3）求二面角E BD C --的大小.22．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒且AC a =，侧棱12AA =，D ，E 分别是1CC ，11A B 的中点．（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积（用字母a 表示）； （2）若点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G ， ①求直线EB 与平面ABD 所成角的余弦值； ②求点1A 到平面ABD 的距离24．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积．25．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：//AB EF ；（2）若CF AE ⊥，AB AE ⊥，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF .26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则11112AD AB B D ==， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =， 所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．2．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角，122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 3．C解析：C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算． 【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．4．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，2215232h ED BD ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，1161233d =⨯⨯，故636d ==. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法： （1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离；（3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则an d n⋅=.5．C解析：C 【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD 3∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13,22BM AM ==同理，在直角三角形CBD 中，13,22DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()122CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中，22227310()222AC CM AM ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.6．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.7．A解析：A 【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积. 【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ， 在ABC 中，72cos 4214ABC ∠==14sin ABC ∴∠= 由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠，即4r =，则22543OD =-=，11114214273773324O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.8．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直； 对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥，A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，ACB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥，同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥，CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥，AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AAC'， A C '⊂平面AAC'，A C BD '∴⊥， M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．9．C解析：C 【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN 与平面BCF 的关系，利用面面平行的性质可以判定MN 与平面ADE 的关系，进而对选择支B 作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN 与平面BDE 的平行关系，进而判定C ；利用M ,N 在平面CDEF 的两侧，可以判定MN 与平面CDE 的关系，进而对D 作出判定. 【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，易知ON 与BM 平行且相等，∴四边形ONMB 为平行四边形，∴MN ‖BO , ∵BO 与平面ABE （即平面ABFE )相交，故MN 与平面ABE 相交，故A 错误； ∵平面ADE ‖平面BCF ,MN ∩平面BCF =M ,∴MN 与平面ADE 相交，故B 错误； ∵BO ⊂平面BDHF ,即BO ‖平面BDH ,MN ‖BO ,MN ⊄平面BDHF ,∴MN ‖平面BDH ,故C 正确； 显然M ,N 在平面CDEF 的两侧，所以MN 与平面CDEF 相交，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.10．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC-，该棱锥的体积：11142223323 V Sh⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11．B解析：B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果． 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43， 所以()1213344224AB CS S a==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=， 所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =，以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ， 在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos452AC CD ==AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==ABD ∴为等边三角形，则2BD ， 四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ， AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角， 在ABE △中，2AB =，2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 2AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅ 因此，异面直线AB 与CD 2故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC AC 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积． 【详解】4,42AB BC AC ===，则90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC AC 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则41OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=， 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．14．【分析】计算出正六棱柱的外接圆直径进而可求得外接球的半径利用球体体积公式即可计算出正六棱柱的外接球的体积【详解】如下图所示：圆柱的底面圆直径为母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等则为圆柱外 解析：43π【分析】计算出正六棱柱的外接圆直径，进而可求得外接球的半径，利用球体体积公式即可计算出正六棱柱的外接球的体积. 【详解】 如下图所示：圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱12O O 外接球的球心，设球O 的半径为R ，则()2222R r h =+，可作出正六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的外接圆，可将正六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -放在圆柱12O O 中，如下图所示：连接11O A 、11O B ，则11160AO B ∠=，且1111O A O B =，则111O A B △为等边三角形， 则圆1O 的半径为11116r O A A B ===正六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱长为6h =设正六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的外接球的半径为R ，则2R ==所以，R 334433V R ππ==⨯.故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得． 【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，OE =EF =所以cos 3OE OEF EF ∠==．．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．【分析】取中点连接由条件可证明平面由此将三棱锥的体积表示为计算可得结果【详解】取中点连接如下图所示：因为所以平面平面所以平面又因为所以所以又因为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过找的解析：23【分析】取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDOAB S ⨯⨯，计算可得结果.【详解】取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CO DO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为3AC BC AD BD ====，2AB CD ==()2221032CO DO ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22110221222CDOS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1122133A BCD CDOV AB S -=⨯⨯==， 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.17．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 解析：33【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论． 【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，M E ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==，112ME BC ==， 又1133233EO DE ==⨯⨯=， 由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥，∴3cos EO MEO ME ∠==． 故答案为：3．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤．18．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角MBC A--的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHNPGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值. 【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ， 则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ； 由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =； 过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥； 又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ， 所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥， 所以MHN ∠为二面角MBC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角， 所以tan PO PGO OG ∠=，tan MNMHN HN∠=， 因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =； 因此2tan 4tan 12PO MNPGO MHNOG HN∠===∠， 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHNPGO MHN PGO MHN MHNα∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠，令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+， 当且仅当214x =，即12x =时，等号成立.故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角MBC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角MBC A --的4倍，进而可求得结果.19．【分析】根据给定的几何体的三视图得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥得出圆柱的底面半径和高利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式即可求解【详解】解：根据给定的几何体的三视图可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆 解析：23π 【分析】根据给定的几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式，即可求解． 【详解】解：根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆锥， 且底面半径1，高为1的组合体，所以几何体的体积为：2221311113πππ⨯⨯⨯=⨯-⨯． 故答案为：23π.【点睛】关键点点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．20．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC 中，由正弦定理得172sin 223BC r BAC ==∠，解得334r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以1122sin 344222ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△. 因为11274233D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯⨯=△，所以144AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAOO 为平行四边形， 111428EA OO AD ===，所以22221114324588R OO AO ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π． 【分析】 （1）设BDC O =，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可． 【详解】 （1）证明：设BDC O =，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点，∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ， ∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥， ∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点，∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．【点睛】关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．。
新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．22．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥3．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且,,PA PB PC 的长分别为,,a b c ，又2()162a b c +=，侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A ．10πB ．40πC ．20πD ．18π4．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，32AB =，6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A ．964π B ．934π C ．962π D ．932π 5．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥7．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π8．已知E ，F 是四面体的棱AB ，CD 的中点，过EF 的平面与棱AD ，BC 分别相交于G ，H ，则（ ） A ．GH 平分EF ，BH AGHC GD= B ．EF 平分GH ，BH GDHC AG= C ．EF 平分GH ，BH AGHC GD = D ．GH 平分EF ，BH GDHC AG= 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．210．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 11．已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．3 D ．12二、填空题13．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1A B 与侧面11BC CB 所成角的正弦值是______.14．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中AC B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.15．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 16．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====，平面11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.17．已知棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的取值范围是________.18．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,3,60AB CD AB AD CD AB ABC ⊥==∠=°，将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_________________．19．在正三棱锥S ABC -中，3AB =4SA =，E 、F 分别为AC 、SB 的中点，过点A 的平面α//平面SBC ，α平面=ABC l ，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为_________.20．如图①，一个圆锥形容器的高为2a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面的高恰为a （如图②），则图①中的水面高度为_________．三、解答题21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小； （3）求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.22．如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4PD =，E 为PA 的中点.（1）求证：//PC 平面EBD . （2）求三棱锥E ABD -的体积.23．如图，四边形ABCD 为梯形，//,60,2,3,6AB CD C AB BC CD ∠=︒===，点M 在边CD 上，且13CM CD =．现沿AM 将ADM △折起至AQM 的位置，使3QB =．（Ⅰ）求证：QB ⊥平面ABCM ；（Ⅱ）求直线BM 与平面AQM 所成角的正弦值．24．在如图所示的几何体中，四边形BCED 为直角梯形，//DE CB ，BC EC ⊥，90AED ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面ACE .（2）若P ，Q 分别是AE ，CD 的中点，证明：//PQ 平面ABC .25．将棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.26．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '． （2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===133xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=， 设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===O 是底面中心，则133xOE CE ==，2532x x-=，解得3x =则1AO =，底面边长为23， 则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 3．A解析：A 【分析】将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和2()a b c +=a b =，进而得到2c a =，带入体积公式求得2,a b c ===，根据公式24S R π=求出外接球的表面积. 【详解】解：211166()643V abc ab ab a b ab ==⋅⋅=+，当且仅当a b =时取等号， 因为侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，则2PC a c ==，21623V a a ∴=⨯=，2,a b c ∴===所以2222410R a b c =++=， 故外接球的表面积为10π. 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．A解析：A 【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点，DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论.由题意 6,CE CC AA BC AB ''=====BE ==45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点，DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 6S rl CC DC πππ'==⨯⨯=⨯⨯，所以曲面面积为18⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 5．D解析：D 【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE⊥平面11ACC A 可得BE AM⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1AC CC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥. 6．A解析：A 【分析】根据已知条件判断直线m 、n 的位置关系，可判断A 选项的正误；利用线面垂直的性质可判断BC 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若//m α，则直线m 与平面α内的直线平行或异面， 由于n αβ=，则直线m 、n 平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，B 选项正确； 对于C 选项，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，C 选项正确；对于D 选项，若m α⊥，m β⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，D 选项正确. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．7．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=， 当90θ=时，max 12h x =， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得22x =.将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为22222226R P N P A P D P Q AD AB ''''==++=+=，则6R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=.故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.8．C解析：C 【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过EF 的平面为平面ABF 时，G 在A 点， H 在B 点，所以0BH AGHC GD==，EF 平分GH ， 即BH AG HC GD=，所以舍去ABD ，选C 故选：C9．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.10．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11ABCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC DC A P BP A P BP +-=+++-=+>， 所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(0A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos44AP x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，2222111112cos =22AP D P AD x AP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.11．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R满足2R == 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】 如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =，以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ， 在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos452AC CD ==AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==ABD ∴为等边三角形，则2BD ， 四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， ABAD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则2BE ==，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==， 所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，在ABE △中，AB =，2AE BE ==，由余弦定理可得222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅.因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为4. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的解析：10【分析】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11BC CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，进而可得答案. 【详解】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，11BB A D ∴⊥，又11111A B AC ==，111A D B C ∴⊥， 又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ，1A D ∴⊥平面11BC CB ，1A B ∴在平面11BC CB 上的射影为DB ，故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11BC CB 所成的角，11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+=111Rt B AC 中，111212122B C A D === 1Rt A BD ∴中，1112102sin 105A D A BD AB ∠===， 10【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.14．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可． 【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为：82 【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．15．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面解析：2． 【分析】根据题意得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三角形EFG 边周长问题，又2GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：易得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB == 连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF BC 根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG 所以1BD ⊥平面EFG所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，因为133GE EF GF ====所以动点P 的运动轨迹周长为3GE EF GF ++==【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1ABC 及平面1//ABC 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.16．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,ACB AC BC A B CC ∠=︒====111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112AC B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得1CO C O '=，O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O BO C '''==,面//ABC 面111A B C ,所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得O O '=由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得6O D '=，所以球心恰好为点O ，所以球的半径为22，所以该三棱台外接球的表面积为24(22)32ππ=. 故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.17．【分析】分别取棱的中点连接易证平面平面由题意知点必在线段上由此可判断在或处时最长位于线段中点处时最短通过解直角三角形即可求得【详解】如下图所示连分别为所在棱的中点则又平面平面平面四边形为平行四边形又 解析：[32,25]【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】 如下图所示，连MN ，EF ，1A D ，EMM ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN A D ，1//EF A D ，//EF MN ∴，又MN ⊂平面1C EF ，EF ⊂平面1C EF ，//MN ∴平面1C EF ．11//,C C EM C C EM =， ∴四边形1C CME 为平行四边形， 1//C E CM ，又CM ⊄平面1C EF ，1C E ⊂平面1C EF ，//CM ∴平面1C EF ，又NMCM M =，∴平面//NMC 平面1C EF ．P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点，且C 1P ∥平面CMN ，∴点P 必在线段EF 上．在Rt △11C D E 中，1C E ===同理，在Rt △11C D F 中，可得1C F =，∴△1C EF 为等腰三角形．当点P 为EF 中点O 时，1C P EF ⊥，此时1C P 最短；点P 位于,E F 处时，1C P 最长．1C O C ===11C E C F ==∴线段1C P 长度的取值范围是．故答案为： 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．18．【分析】此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周得到的是圆台然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算【详解】将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周得到的是圆台其中圆台的上底半径为r ＝CD ＝2下底半径为R ＝AB ＝ 解析：23π【分析】此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算． 【详解】将此梯形以AD 所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，其中圆台的上底半径为r ＝CD ＝2，下底半径为R ＝AB ＝3，母线BC ＝2， ∴圆台的上底面积为πr 2＝4π，下底面积为πR 2＝9π， 圆台的侧面积为（πr +πR ）•BC ＝π（2+3）×2＝10π， ∴圆台的表面积为4π+9π+10π＝23π， 故答案为23π． 【点睛】本题考查圆台表面积的计算，利用旋转体的定义确定该几何体是圆台是解决本题的关键．19．【分析】取中点连结根据题意得故所以为异面直线和所成角再根据几何关系求得在中故进而得答案【详解】取中点连结依题意：所以所以为异面直线和所成角在正三棱锥中是中点所以又因为平面平面所以平面所以因为分别是的 解析：217【分析】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，根据题意得//l BC ，//DE BC ，故//lDE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角，再根据几何关系求得在Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===，227EF DE DF =+=，故321cos 77DE DEF EF ∠===，进而得答案. 【详解】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ， 依题意：//l BC ，//DE BC ， 所以//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角.在正三棱锥S ABC -中，G 是BC 中点，所以SG BC ⊥，AG BC ⊥， 又因为SG AG G ⋂=，SG ⊂平面SAG ，AG ⊂平面SAG ， 所以BC ⊥平面SAG ，所以BC SA ⊥. 因为F 、D 分别是SB 、AB 的中点， 所以//DF SA . 所以DEDF ⊥.Rt DEF ∆中，122DF SA ==，1122DE BC AB ===，所以EF .所以cos 7DE DEF EF ∠===.故异面直线l 和EF 所成角的余弦值为：7故答案为：7【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.20．【分析】由第二个图可知水的体积占整个圆锥体积的在第一个图中水的体积占圆锥的上面小圆锥体积占大圆锥体积的根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比即可解得a 的值【详解】在图②中水形成的小圆锥和大圆解析：(2a【分析】由第二个图可知，水的体积占整个圆锥体积的18，在第一个图中，水的体积占圆锥的18，上面小圆锥体积占大圆锥体积的78，根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比，即可解得a 的值. 【详解】在图②中，水形成的小“圆锥”和大圆锥形容器高的比为12，底面半径比为12，故其底面积的比为14，所以体积比为18，则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为78，设水面高度为h ，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为22a h a-，体积比为327(=28a h a -），解的h =(2a .故答案为: (2a 【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，属于中档题目，解题中的关键是要准确利用圆锥体积公式得到大小圆锥体积比与大小圆锥的高比的关系.三、解答题21．（1）4；（2）60︒；（3）33. 【分析】（1）根据棱锥的体积公式求解即可；（2）作辅助线，利用平行得出异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠，再结合等边三角形的性质得出夹角；（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF ，由11,CF AC BF AC ⊥⊥结合定义得出二面角1B AC C --的平面角，再由直角三角形的边角关系得出平面角的余弦值. 【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -的体积1122242ABC V SCC ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）记1BC 与1BC 的交点为O ，作AB 的中点E ，连接,OE CE ，异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠2CO OE CE ===60COE ︒∴∠=（3）过C 作1CF AC ⊥于点F ，连接,CF BF11,CF AC BF AC BFC ⊥⊥⇒∠为所求角3tan 2,cos 2BC BFC BFC FC ∠===∠=【点睛】关键点睛：在求异面直线的夹角时，关键是利用中位线定理得出平行，从而得出异面直线的夹角.22．（1）证明见解析；（2）823.【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，利用三角形中位线定理可得//EO PC ，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明PO ⊥面ABCD ，由E 是PA 的中点，可得E 到面ABCD 的距离12PO =，再利用棱锥的体积公式可得答案. 【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO .四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点，又E 为PA 中点，//EO PC ∴，又EO ⊂面EBD ，PC ⊄面EBD ，//PC ∴面EBD .（2）正四棱锥P ABCD -中,PA PC =，O 是AC 的中点 PO AC ∴⊥，PD PB =，O 是BD 的中点 PO BD ∴⊥，又AC 与BD 在平面ABCD 内相交， 所以PO ⊥面ABCDE 是PA 的中点， E ∴到面ABCD 的距离12PO =， 221822,2ABD S AB AD PO PD DO ∆=⋅⋅==-=，182323E ABD ABD PO V S -∆=⋅⋅=【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3714． 【分析】（Ⅰ）设DB AM O ⋂=，证明所以AM ⊥平面QOB ，得QB AM ⊥，再由勾股定理证明QB BO ⊥， 后可得证线面垂直；（Ⅱ）作BP QO ⊥于P ，证明BMP ∠即是BM 与平面AQM 所成的角．在直角三角形中计算可得． 【详解】（Ⅰ）解：因为3,6,60BC CD C ==∠=︒，所以由余弦定理得2236236cos6033BD =+-⨯⨯︒=，从而222BD BC CD +=，所以DB BC ⊥，由已知得ABMC ，所以ABCM 为平行四边形，所以DB AM ⊥，设DB AM O ⋂=，则折后可得,AM QO AM BO ⊥⊥，又QOBO O =，,QO BO ⊂平面BQO ，所以AM ⊥平面QOB ，QB ⊂平面QOB ，所以QB AM ⊥， 因为23,3,3QO OB QB ===，即222QB BO QO +=，所以QB BO ⊥， 因为AM BO O ⋂=，,AM BO ⊂平面ABCM ，所以QB ⊥平面ABCM ；（Ⅱ）在平面BOQ 内作BP QO ⊥于P ，则由AM ⊥平面QOB ，得AM BP ⊥， 又QOAM O =，,QO AM ⊂平面AQM ， 所以BP ⊥平面AQM ，连MP ，则MP 是BM 在平面AQM 上的射影，所以BMP ∠即是BM 与平面AQM 所成的角． 因为333223QB OB BP QO ⋅⨯===，222cos607BM BC CM BC CM =+-⋅︒= 所以37sin 14BP BMP BM ∠==． 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算． 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由DE EC ⊥，AE DE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面ACE ，再由//DE CB ，利用面面垂直的判定定理证明.（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ ，由三角形中位线可得.//OQ DE ，//OP AC ，再利用线面平行和面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）在直角梯形BCED 中，BC EC ⊥，//DE CB ， 则DE EC ⊥.因为90AED ∠=︒，所以AE DE ⊥. 因为AE EC E ⋂=， 所以DE ⊥平面ACE ， 所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACE .（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ .因为O ，P 分别为CE ，AE 的中点， 所以//OP AC ,又OP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//OP 平面ABC ，同理//OQ 平面ABC ， 因为OP OQ O ⋂=， 所以平面//OPQ 平面ABC ， 又PQ ⊂平面OPQ ， 所以//PQ 平面ABC . 【点睛】方法点睛：证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线． 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1. 【分析】（Ⅰ）由BD AC ⊥和1A A BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ，然后再由//BD EF 证明.（Ⅱ）由1D D ⊥平面ABCD ，则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解. 【详解】 （Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A A BD ⊥，又1A A AC A =，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点， 所以//BD EF . 所以EF ⊥平面1A AC . （Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =. ∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点， ∴1DF CF CE BE ====.∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 【点睛】。
高中数学 第一章 立体几何初步水平测试 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
第一章立体几何初步水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三视图表示的几何体是( )A．圆台 B．棱锥C．圆锥 D．圆柱答案 A解析由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又左视图和主视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台．2．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形答案 A解析 根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．3．已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.40003 cm 3 B.80003cm 3C ．2000 cm 3D ．4000 cm 3答案 B解析 由三视图得该几何体为四棱锥，则其体积为V ＝13×20×20×20＝80003cm 3.4．已知一个圆锥的展开图如右图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )A.22π3 B.2π3 C.2π3D.3π 答案 A解析 由底面圆的半径为1，可知扇形的弧长为2π，又扇形的圆心角为120°，所以圆锥母线长为2π120180π＝3，高为32－12＝22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.5. 如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4 答案 B解析 该多面体是如下图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E －CC 1D 1(其中E 为BB 1的中点)，其中最长的棱为D 1E ＝422＋22＝6.6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3 B.42π3C ．22π D．42π 答案 B解析 由题意，该几何体可以看作两个底面半径和高都为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1如下图所示，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 答案 D解析 对于A ，由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；对于B ，连接AC ，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；对于C ，因为BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，同理可证AC 1⊥B 1C ，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于D ，因为BC ∥AD ，所以∠B 1CB 即AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．8．如下图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30° 答案 D解析 取BC 的中点H ，连接EH 、FH ，则∠EFH 为所求的角，可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，∴sin ∠EFH ＝EH FH ＝12，∴∠EFH ＝30°.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1D D ．无法判断 答案 A解析 取B 1C 1中点H ，连接EH ，FH ，∵E 、F 、H 分别为BC 、D 1C 1、B 1C 1中点， ∴FH ∥D 1B 1，EH ∥BB 1， ∴平面EFH ∥平面BB 1D 1D ∵EF 平面EFH ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若S △A ′B ′C S △ABC ＝949，则PA ′AA ′＝( )A.43B.349C.78D.34 答案 D解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝949，所以PA ′PA ＝37，所以PA ′AA ′＝34，故选D. 11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析 由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则交线平行于l ，故选D.12．已知平面ABC 外一点P ，且PH ⊥平面ABC 于点H .给出下列四个说法：①若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则点H 是△ABC 的垂心；②若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则点H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，则PA ＝PB ＝PC ；④若PA ＝PB ＝PC ，则点H 是△ABC 的外心．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 对于①，易知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以点H 是△ABC 的垂心；对于②，易知PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥AC ，同理，PA ⊥BC ，由①可知点H 是△ABC 的垂心；对于③，∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，所以HA ＝HC ＝HB ，又∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，所以PA ＝PB ＝PC ；对于④，∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，PA ＝PB ＝PC ，所以HA ＝HB ＝HC ，即点H 是△ABC 的外心．①②③④都正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．下列说法正确的是________．(填序号)①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长． 答案④解析 本题主要考查空间几何体的结构特征．根据圆柱母线的定义，①说法错误；以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台，以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故②说法错误；圆锥只有—个底面，故③说法错误；根据圆锥母线的定义，④说法正确．14．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案 6解析 设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.15．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面中，与直线CE 平行、相交的平面个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.答案 5解析CE 与正方体上底面平行，且在正方体下底面所在的平面内，而与它相交的平面分别是前、后、左、右四个平面，即m ＝1，n ＝4，因此m ＋n ＝5.16．如图所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填序号)答案①④解析①中，记点B 正上方的顶点为C ，连接AC ，则易证平面ABC ∥平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；④中AB ∥NP ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB ∥平面MNP ；②③中，AB 均与平面MNP 相交．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1P ＝2PA 1，C 1Q ＝2QA 1.求证：直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．证明 如图，连接PQ .由B 1P ＝2PA 1，C 1Q ＝2QA 1， 得PQ ∥B 1C 1，且PQ ＝13B 1C 1.又BC 綊B 1C 1，∴四边形BCQP 为梯形，∴直线BP ，CQ 相交，设交点为R ，则R ∈BP ，R ∈CQ . 又BP 平面AA 1B 1B ，CQ 平面AA 1C 1C ， ∴R ∈平面AA 1B 1B ，且R ∈平面AA 1C 1C ，∴R 在平面AA 1B 1B 与平面AA 1C 1C 的交线上，即R ∈AA 1， ∴直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．18．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(不考虑接触点)．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．解 (1)由三视图，知该几何体由两部分组成，上部分是直径为1的球，下部分是底面边长为2，高为3的正三棱柱．表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12×2×3×2＋2×3×3＝π＋23＋18.(2)体积V ＝12×2×3×3＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝33＋π6.19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥AC .D ，E 分别是BB 1，A 1C 1的中点．(1)求证：DE ∥平面A 1BC ；(2)若AB ⊥BC ，求证：A 1B ⊥平面ABC ；(3)在(2)的条件下，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，求三棱锥A 1－BCC 1的体积．解 (1)证明：取A 1C 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵E 是A 1C 1的中点， ∴EF ∥CC 1，且EF ＝12CC 1.又CC1∥BB1，D是BB1的中点，∴EF∥DB，且EF＝DB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE∥BF，而DE⊆/平面A1BC，BF平面A1BC，∴DE∥平面A1BC.(2)证明：∵AA1⊥BC，AB⊥BC，AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B.又A1B⊥AC，AC∩BC＝C，∴A1B⊥平面ABC.(3)由(2)的结论，得A1B⊥AB，∵AB⊥BC，∴AB⊥平面A1BC.∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面A1BC.由B1C1∥BC，可知B1C1∥平面A1BC.∵A1B1＝AB＝1，BB1＝2，∴A1B＝1，∴三棱锥A1－BCC1的体积V A1－BCC1＝V C1－A1BC＝V B1－A1BC＝13S△A1BC·A1B1＝13×12×BC×A1B×A1B1＝13×12×1×1×1＝16.20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，BC＝BB1，M，N分别是A1B1，AC1的中点．求证：(1)MN∥平面BCC1B1；(2)平面MAC1⊥平面ABC1.证明(1)取BC1的中点D，连接B1D，ND，∵D ，N 分别是BC 1，AC 1的中点，∴ND ∥AB ，ND ＝12AB . 又M 为A 1B 1的中点，AB ∥A 1B 1，∴ND 綊B 1M ，∴MNDB 1为平行四边形，∴MN ∥B 1D .又B 1D 平面BCC 1B 1，MN ⊆/ 平面BCC 1B 1， ∴MN ∥平面BCC 1B 1.(2)由题可知AB ⊥B 1D ，B 1D ⊥BC 1.又AB 平面ABC 1，BC 1平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1D ⊥平面ABC 1.又B 1D ∥MN ，∴MN ⊥平面ABC 1.又MN 平面MAC 1，∴平面MAC 1⊥平面ABC 1.21．(本小题满分12分)如图，已知二面角α－MN －β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解 (1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设，知△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)，知AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α－MN －β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝32. 连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.22．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．解 (1)证明：如图，连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，而AO ∩BO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO .由于AB 平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)如图，作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC .又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD ＝34. 由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12. 由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.。
新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(有答案解析)
一、选择题1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．A ．25B ．5C ．155D ．1052．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A ．221B ．221C ．47D ．47 3．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π5．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π6．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（ ）A ．394πB ．414πC ．12πD ．434π 7．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π 8．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M 在正视图上的对应点为腰的中点A ，正四棱锥表面点N 在正视图上对应点为B ，则||MN 的取值范围为（ ）．A ．[10,19]B ．[11,19]C ．[10,25]D ．[11,25] 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．211．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．77B ．142C ．714D ．14712．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1AB 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、填空题13．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．14．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.15．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为______. 16．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.17．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 18．在正三棱锥A BCD -中，5AB AC AD ===，6BC BD CD ===.点M 是线段BC 上的点，且2BM MC =.点P 是棱AC 上的动点，直线PM 与平面BCD 所成角为θ，则sin θ的最大值为______.19．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM 是定值（2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置，使1DE AC ⊥（4）存在某个位置，使//MB 平面1A DE20．棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______．三、解答题21．如图，在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=，//BC AD ，22AD AB BC ==（1）若E 为MA 中点，证明：BE //面MCD（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，1AB =，证明：CD ⊥面MAC . 22．将棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -沿平面11ABCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.23．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C D ，的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论并说明P 的位置．24．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：//AB EF ；（2）若CF AE ⊥，AB AE ⊥，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF .25．如图，ABC 中，2AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ；（2）求证：AC ⊥平面EBC ．26．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ；（Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC //OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可.【详解】连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC //OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯= 因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，210sin 5OD OED DE ∠===． 故选：D.【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 2．A解析：A【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离.【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得1122==A B AC ，1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 的高为7，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为112772=⨯⨯=A BC S △，12332ABC S =⨯⨯=，所以111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即2322177h ==. 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.3．C解析：C【分析】由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可.【详解】由题意：底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，面PAD 面ABCD AD =，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，∵PM ∥AD ，AD ∥BC ，PM ＝AD ，AD ＝BC ．∴ PBCM 是平行四边形，∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．设PA ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===，∴三角形ACM 是等边三角形．所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．故选：C.【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．4．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==4AN =，故()224232R =+2441872S R πππ==⨯=.故选:D. 【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.5．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=，而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．6．B解析：B 【分析】可证F 为AB 的中点，设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的球心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，利用解三角形的方法可求DFC △的外接圆的半径，从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.【详解】设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的圆心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，因为平面11//A ABB 平面11D DCC ，平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =， 平面1CD E ⋂平面111D DCC DC =，故1//EF DC ， 而11//A B D C ，故1//EF A B ，故F 为AB 的中点，所以DF CF ==，故3cos 5DFC ∠==，因为DFC ∠为三角形的内角，故4sin 5DFC ∠=，故DFC △的外接圆的半径为1254245⨯=，1OO ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，故11//OO DD ，在平面1GDOO 中，111,OG DD O D DD ⊥⊥，故1//OG O D ， 故四边形1GDOO 为平行四边形，故1//OO GD ，1OO GD =， 所以四面体1CDFD4=， 故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164ππ⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.7．D解析：D 【分析】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62xIE =-，求出x 的值，再利用勾股定理求R ，代入球的表面积公式，即可得答案. 【详解】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-， 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍， 所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得4x =.设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，如图，则QP QC R ==，22OC =16423OP =-= 所以()(2222322RR =+，解得3R =， 所以外接球的表面积为2100433S ππ==（2cm ）.故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.8．C解析：C 【分析】由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得． 【详解】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒. 故选：C ．9．A解析：A 【分析】由题意画出如图正四棱锥，可得M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，且四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形的对角线长，作KH ED ⊥，在直角三角形中求KJ KD 、的长可得答案. 【详解】如图正四棱锥P ECDF -，PO ⊥平面ECDF ，O 是底面中心，G K 、分别是PF PE 、的中点，由题意知，M 点在GK 上运动，N 点在CD 上运动，所以////GK FE DC ，且11222GK FE DC ===， 所以四边形KCDG 是梯形，在ECK 与FDG △中，,,EC FD EK FG KEC GFD ==∠=∠，所以ECK ≅FDG △，所以KC GD =，所以四边形KCDG 是等腰梯形，则||MN 的取值范围的最小值就是等腰梯形的高， 最大值就是梯形的对角线长，且22PO EC CD ===，，1222EO ED ==， 作KH ED ⊥于H ，所以//KH PO ，KH ⊥平面ECDF ，112KH PO ==，且H 是EO 的中点，122EH EO ==32DH =，45EDC ∠=，作KJ CD ⊥于J ，连接HJ ，12CD KGCJ -==， 所以3DJ =， 由余弦定理得2222cos 9HJ DH DJ DH DJ EDC =+-⋅∠=， 所以2221910KJ KH HJ =+=+=，10KJ =，22211819DK EH HD =+=+=，19DK =，故选：A. 【点睛】本题考查了正四棱锥的性质及线段的取值范围问题，关键点是画出正四棱锥分析出问题的实质，考查了学生的空间想象力.10．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.11．A解析：A 【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积. 【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ， 在ABC 中，72cos 214ABC ∠==14sin 4ABC ∴∠=， 由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠，即4r =，则22543OD =-=，11114214273773324O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.12．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11ABCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC DC A P BP A P BP +-=+++-=+>， 所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确； 设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP xx x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <时，1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.二、填空题13．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CD S AB S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.14．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平【分析】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论． 【详解】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ， ∵AB BE =，所以BO AE ⊥， 又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，∴BO ⊥平面ECDA ，而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥，又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以BO =AO EO ==AE =//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,EF AD DF AE ====，在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，OD ==OF == 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，在BDF 中，222cos2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅==，所以异面直线BD 和AE故答案为：6.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．【分析】先由题意得到的面积以及外接圆的半径记的外接圆圆心为为使四面体体积最大只需与面垂直由此求出设球心为半径为根据为直角三角形由勾股定理列出等式求出球的半径即可得出结果【详解】根据题意知是一个等边三 解析：254π【分析】先由题意，得到ABC 的面积，以及ABC 外接圆的半径，记ABC 的外接圆圆心为Q ，为使四面体ABCD 体积最大，只需DQ 与面ABC 垂直，由此求出2DQ =，设球心为O ，半径为R ，根据AQO 为直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半径，即可得出结果. 【详解】根据题意知，ABC 是一个等边三角形，其面积为()221333 3322S ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，ABC 外接圆的半径为1312sin 60r =⨯=，记ABC 的外接圆圆心为Q ，则1AQ r ==； 由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ⋅=，2DQ ∴=， 设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即2221(2)R R =+-，54R ∴=， 则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：254π. 【点睛】思路点睛：求解几何体与球外接问题时，一般需要先确定底面外接圆的圆心位置，求出底面外接圆的半径，根据球的性质，结合题中条件确定球心位置，求出球的半径，进而即可求解. 16．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩 解析：12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==，在矩形ABCD 中，3AC =，12633DM ⨯==， 6D M DM '==， 则222222666612cos 2232DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）． DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．17．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 26【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值.【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++= 26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.18．【分析】证明直线与平面所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得【详解】先证一个命题：平面内所有直线与平面所成的角中当此角为二面角的平面角时最大如图平面于点于是上任一点则而则平面又平面∴是二面角的平面 13 【分析】证明直线PM 与平面BCD 所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得．【详解】先证一个命题：平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．如图AO ⊥平面BCD 于点O ，OE BC ⊥于E ，Q 是BC 上任一点，则AO BC ⊥，而AO OE O =，则BC ⊥平面OAE ，又AE ⊂平面OAE ，∴AEO ∠是二面角A BC D --的平面角，而AQO 是直线AQ 与平面ABCD 所成的角， 显然sin AO AEO AE∠=，sin AO AQO AQ ∠=，又AQ AE ≥，∴sin sin sin AQO AEO ∠≤∠，,AEO AQO ∠∠都是锐角，∴AQO AEO ∠≤∠，,Q E 重合时等号成立．由此可知平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．由已知363EO =⨯=，22534AE =-=，2213AO AE EO =-=， 13sin AEO ∠=， ∴直线PM 与平面BCD 所成角最大值等于AEO ∠， ∴sin θ的最大值为13． 故答案为：13． 【点睛】结论点睛：在二面角A BC D --（为锐二面角）中，AEO ∠是A BC D --二面角的平面角，Q 是棱BC 上任一点，则AQ 与平面BCD 所成角中最大值为二面角的平面角，AQ 与平面BCD 内过Q 点的直线（实际上是所有直线）所成角中最大值为直线AQ 与平面BCD 所成的角．19．（1）（2）（4）【分析】首先取中点连结先判断（4）是否正确再根据平行关系以及等角定理和余弦定理判断（1）再判断（2）假设成立根据直线与平面垂直的性质及判定可得矛盾来判断（3）【详解】取中点连结则平解析：（1）（2）（4）【分析】首先取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等角定理和余弦定理判断（1），再判断（2），假设1DE AC ⊥成立,根据直线与平面垂直的性质及判定,可得11DA A E ⊥矛盾来判断（3）.【详解】取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，则1//MQ DA ，//BQ DE ，∴平面//MBQ 平面1A DE ，又MB ⊂平面MBQ ，//MB ∴平面1A DE ，故（4）正确；由1A DE MQB ∠=∠，112MQ A D ==定值，QB DE ==定值， 由余弦定理可得2222cos MB MQ QB MQ QB MQB =+-⋅⋅∠所以MB 是定值，故（1）正确； B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，故（2）正确；145A DE ADE ∠=∠=，45CDE ∠=，且设1AD =，2AB =， 则2DE CE ==若存在某个位置,使1DE AC ⊥,则因为222DE CE CD +=,即CE DE ⊥,因为1AC CE C =,则DE ⊥平面1ACE ,所以1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾， 故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（4）是否正确，其他选项就迎刃而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行.20．【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为：底面三角形的高：棱锥的高为：设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为：；故答案为：【点睛】 解析：232a π 【分析】由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R ，即可求出球的面积.【详解】正四面体的棱长为：a ， 33a =，棱锥的高为：22236()32a a a -⨯⨯=， 设外接球半径为R ， 22263()()33R a R a =-+，解得64R a =， 所以外接球的表面积为：226342a a ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案为：232a π． 【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，利用线面平行的性质定理即可证明；（2）利用勾股定理证明AC CD ⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上设为点H ，再利用已知条件证明MH CD ⊥，利用线面垂直的判断定理即可证明.【详解】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，则EF 为△MAD 中位线，∴ 1//2EF AD 且1=2EF AD ， 又四边形ABCD 是直角梯形，22AD AB BC ==1//2BC AD ∴，1=2BC AD //BC EF ∴且=BC EF ，∴四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，因为BE ⊄面MCD ，CF ⊂面 MCD ，所以//BE 面MCD .（2）在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222AD AB BC ===，90ABC BAD ∠=∠=， 22112AC CD ∴==+=222AC CD AD ∴+=，AC CD ∴⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，设为点H ， MH ∴⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，MH CD ∴⊥，又AC CD ⊥，AC MH H ⋂=，CD 面MAC .【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明； 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由BD AC ⊥和1A A BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ，然后再由//BD EF 证明.（Ⅱ）由1D D ⊥平面ABCD ，则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，又1A AAC A =，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴1DF CF CE BE ====. ∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．23．（1）证明见解析；（2）存在；证明见解析；P 为AM 中点．【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据垂直关系证明CM ⊥平面ADM ；（2）首先作辅助线，连接BD AC ，交于点O ，连接PD PB PO ，，，在ACM △中，利用中位线，证明线线平行，说明线面平行，同时得到点P 的位置.【详解】连结CM ，（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，AD ∴⊥半圆面,CMD AD ∴⊥平面MCD ．CM 在平面MCD 内，AD CM ∴⊥，又M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，CM MD ∴⊥．又,AD DM D CM ⋂=∴⊥平面ADM CM ，在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM ．（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接BD AC ，交于点O ，连接PD PB PO ，，；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是。
北师大版必修二第一章立体几何初步综合测试题
北师大版必修二第一章立体几何初步综合测试题一、单选题1．平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系（ ）A ．平行B ．平行或异面C ．平行或相交D ．平行或相交或异面2．下列叙述错误的是（ ）A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈l .B ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面.C ．三点A ，B ，C 确定一个平面.D ．若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α则l ⊂α.3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的4．若空间两个角α与β的两边对应平行，当60α=︒时，则β等于（ ）A ．30B ．30或120︒C ．60︒D ．60︒或120︒ 5．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD PA ⊥，BC PB ⊥，PB BC =，PA AB =，M 为PB 的中点，若PC 上存在一点N 使得平面PCD ⊥平面AMN ，则PN NC=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．16．如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，2AC =，1BC =，90ACB ∠=︒，则直线SC 与平面SAB 所成角的正弦值为（ ）A ．10B ．24C ．22D ．310 7．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）A 10B 211C ．35D ．18．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若,//m βαα⊥，则m β⊥B ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若,m αβα⊥⊥，则//m βD ．若,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线，那么n 与α相交9．已知直线m 与平面α，则下列结论成立的是（ ）A ．若直线m 垂直于平面α内的两条直线，则m α⊥B ．若直线m 垂直于平面α内的无数条直线，则m α⊥C ．若直线m 平行于平面α内的一条直线，则//m αD ．若直线m 与平面α无公共点，则//m α10．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是（ ）A ．24B ．22C ．2D ．2211．如图，在以下四个正方体中，直线MN 与平面ABC 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．在四面体ABCD 中，22BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．42πB ．43πC ．162πD ．163π二、填空题13．平面α⊥平面β,l αβ=,n β⊂，n l ⊥，直线m α⊥，则直线m 与n 的位置关系是___．14．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为______.15．如图，已知PA ⊥平面ABC ，6PA AB BC ===，120ABC ∠=︒，则线段PC 长为______.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．三、解答题17．如图，EA ⊥平面ABC ，DC ∥EA ，EA ＝2DC ，F 是EB 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求证：DF ∥平面ABC ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD ､1CC 的中点.（1）求证：1AC BD ⊥；（2）求证：//AE 平面1BFD .19．如图，三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB BC PA ===，PA ⊥底面ABC ，点E 为AC 的中点，F 为PC 上任一点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）若12PF FC =，且//GF 平面ABC ，求三棱锥P AEG -体积. 20．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E 为AD 的中点.求证：PE ⊥BC .21．如图，AB 是圆O 的直径，CA 垂直圆O 所在的平面，D 是圆周上一点.（1）求证：平面ADC ⊥平面CDB ；（2）若1AC =，12AD =，BD AD =，求二面角A BC D --的余弦值. 22．如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点.（1）确定点G 在线段AC 上的位置，使//FG 平面PBD ，并说明理由.（2）当二面角B PC D --的大小为23π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.参考答案1．B【分析】利用平面α∥平面β，可得平面α与平面β没有公共点，根据,a b αβ⊂⊂，可得直线a ，b 没有公共点，即可得到结论．【详解】∵平面//α平面β，∴平面α与平面β没有公共点∵a α⊂，b β⊂，∴直线a ，b 没有公共点∴直线a ，b 的位置关系是平行或异面，故选：B .2．C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A ，点P 在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B ，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C ，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D ，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C3．D【分析】根据圆柱和圆锥的特征即可判断.【详解】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D4．D【分析】由题得αβ=或180αβ+=，即得解.【详解】因为空间两个角α与β的两边对应平行，所以αβ=或180αβ+=，因为=60α，所以60β=或120.故选：D5．B【分析】取PC 的中点O ，连接BO ，证得BO PC ⊥，过点M 作//MN BO ，交PC 于点N ，证得平面PCD ⊥平面AMN ，由此求出PN NC 的值. 【详解】 取PC 的中点O ，连接BO ，由PB BC =，所以BO PC ⊥，过点M 作//MN BO ，交PC 于点N ，则MN PC ⊥，如图所示，由AM ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以AM PC ⊥，且AM MN M ⋂= ，AM ⊂平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以PC ⊥平面AMN ，又PC ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面AMN ，由PA AB =，M 为PB 的中点，且//MN BO ，所以12PN PM PO PB ==， 又由12PO PC =，所以14PN PC =，所以13PN NC =. 故选：B.6．A【分析】根据已知条件，利用线面垂直的判定与性质在平面ABC 内，作CD AB ⊥，垂足为D ,得到CSD ∠为直线SC 与平面SAB 所成的角，进而计算求解.【详解】解：在平面ABC 内，作CD AB ⊥，垂足为D ,SA ⊥平面,ABC CD ⊂平面,,ABC SA CD ∴⊥又,SA AB A SA ⋂=⊂平面SAB ，AB ⊂平面,SAB CD ∴⊥平面SAB ,CSD ∴∠为直线SC 与平面SAB 所成的角，2,2,,22,AC SA SA AC SC ==⊥∴=2,1,90AC BC ACB ==∠=︒，·255AC BC CD AB ∴===, 10CD sin CSD SC ∴∠==, 故选：A.【点睛】作出线面所成的角是关键，要做线面垂直，先做线线垂直，然后证明线面垂直是常用的思路. 7．B【分析】设出点面距离，利用G BEF B EFG V V --=，结合几何体的特征，即可用等体积法求得点面距离.【详解】设B 到平面EFG 的距离为h .1111422232323G BEF V BE AF CG -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 2222422426GE GF =++=2222822EF =+==. 所以22112222211222GEF EF S EF GE ⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭由G BEF B EFG V V --=得142112113311h h ⨯=⇒=. 故选：B8．A【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项.【详解】若,//m βαα⊥，则m β⊥，故A 对若//,m ααβ⊥，m 也可以在β内，故B 错若,m αβα⊥⊥，m 也可以在β内，故C 错若,,,m n m n αα⊂⊂/是异面直线，n 与α也可平行，故D 错故选：A9．D【分析】 根据线面垂直的定义与判定定理和线面平行的定义与判定定理依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，则m α⊥，故A 选项错误；对于B 选项，若直线m 垂直于平面α内的无数条直线，但可能还是不存在相交直线，故B 选项错误；对于C 选项，当直线m 在平面α内时，不满足，故C 选项错误；对于D 选项，由线面平行的定义得：若直线m 与平面α无公共点，则//m α，故D 选项正确.故选：D.10．D【分析】根据直观图画出原图可得答案.【详解】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''2O B =，所以22OB =，1OA =，则图形OABC 的面积是22.故选：D11．D【分析】根据图形直接判断A 选项中直线MN 与平面ABC 的位置关系；连接AN ，可判断出B 选项中直线MN 与平面ABC 的位置关系；连接BN ，可判断出C 选项中直线MN 与平面ABC 的位置关系；利用线面平行的判定定理可判断出D 选项中直线MN 与平面ABC 的位置关系.【详解】对于A 选项，由图形可知，直线MN 与平面ABC 相交；对于B 选项，如下图所示，连接AN ，在正方体中，//AC BN ，所以，直线MN 与平面ABC 相交；对于C 选项，如下图所示，连接BN ，在正方体中，//AN BC ，所以，直线MN 与平面ABC 相交；对于D 选项，在正方体中，//AN CM 且AN CM =，则四边形ACMN 为平行四边形， 所以，//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，//MN ∴平面ABC .故选：D.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.12．B【分析】由题可得四面体ABCD 可还原成棱长为2的正方体，即可由此求出外接球半径，得出体积.【详解】2,22AB AD BD ===，满足222AB AD BD +=，AB AD ∴⊥，由AD BC ⊥，∴四面体ABCD 可还原成棱长为2的正方体，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，∴外接球的体积343433V.故选：B.【点睛】 关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是根据题中的垂直关系得出四面体ABCD 的外接球等价于棱长为2的正方体的外接球.13．//m n【分析】利用面面垂直的性质定理得到n ⊥平面α，又直线m α⊥，利用线面垂直性质定理得//m n .【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，设平面11ADD A 为平面α，平面ABCD 为平面β， 直线AD 为直线l ，由于n β⊂，n l ⊥，由面面垂直的性质定理可得：n ⊥平面α， 因为m α⊥，由线面垂直的性质定理，可得//m n .【点睛】空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.14．60︒【分析】先利用平行关系找到11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角，再利用正方体性质求角的大小即可.【详解】连接1BC ，1AD ，1AB ，则EF 为1BCC 的中位线，∴1//EF BC .又∵AB //CD //11C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//BC AD .∴1//EF AD . ∴11AD B ∠为异面直线EF 和11B D 所成的角或其补角.正方体1111ABCD A B C D -中，易知，1111AB B D AD ==，∴11AB D 为正三角形，∴1160AD B ∠=︒.∴EF 与11B D 所成的角为60︒.故答案为：60︒.15．12【分析】连接PB ，由余弦定理可得AC 的值，由PA AC ⊥，根据勾股定理可得PC 的值.【详解】连接PB ，因为6PA AB BC ===，120ABC ∠=︒， 由余弦定理可得222cos12063AC AB BC AB BC +-⋅︒=因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AC ⊥， 所以223610812PC PA AC =+=+=，故答案为：12.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何中求线段长度的问题，方法如下：（1）在三角形中利用余弦定理求边长；（2）根据线面垂直得到线线垂直；（3）在直角三角形中利用勾股定理求边长.16．11π【分析】由正方体中1MCC △是等腰直角三角形，设E 是1CC 中点，则E 是1MCC △的外心，取F 是1BB 中点，则三棱锥11M ACC -的外接球的球心O 在直线EF 上，计算出1A F 和CF 后得O 在EF 的延长线上，求得球半径后可得表面积．【详解】由已知点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则1MCC △是等腰直角三角形，M 是直角顶点，设E 是1CC 中点，则E 是1MCC △的外心，取F 是1BB 中点，如图，则//EF BC ，而BC ⊥平面11DCC D ，∴EF ⊥平面11DCC D ， ∴三棱锥11M ACC -的外接球的球心O 在直线EF 上，由已知可计算，1FC A F ====FC >， ∴O 在EF 的延长线上，设OF x =，则由1OA OC =得2222(1)22x x ⎛⎛+=++ ⎝⎭⎝⎭，解得12x =，∴2OC ==，外接球表面积是2411S ππ=⨯=⎝⎭．故答案为：11π．【点睛】关键点点睛：本题考查求球的表面积，关键是确定球心位置求得球半径．利用三棱锥的性质可得球心位置，三棱锥外接球心一定在过各面外心且与该面垂直的直线上．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定定理即可证明；（2）取AB中点M，连结CM，FM，证明四边形DCMF为平行四边形，由此根据线面平行的判定定理即可证明．【详解】证明：（1）∵EA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，∴EA⊥AB，EA⊥AC，又DC∥EA，∴DC⊥AB，DC⊥AC，∵AB AC＝A，AB、AC⊂平面ABC，∴DC⊥平面ABC；（2）取AB中点M，连结CM，FM，在△ABE中，F，M分别为EB，AB中点，FM ∥EA ，且EA ＝2FM ．又DC ∥EA 且EA ＝2DC ，于是DC ∥FM ，且DC ＝FM ，∴四边形DCMF 为平行四边形，则DF ∥CM ，CM ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC ．【点睛】本题主要考查线面平行和线面垂直的证明方法，属于基础题．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结BD ，证出1AC D D ⊥，AC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面1BDD ，进而可得1AC BD ⊥.（2）连结EF ，证出//AE BF ，再利用线面平行的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）连结BD ，由正方体1111ABCD A B C D -得，1D D ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，1AC D D ∴⊥又四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，而1D D BD D ⋂=，∴AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，∴1AC BD ⊥.（2）连结EF ，由E ､F 分别为1111ABCD A B C D -､1111ABCD A B C D -的中点得，//EF AB 且EF AB =∴四边形ABFE 是平行四边形，∴//AE BF又AE ⊄平面1BFD ，BF ⊂平面1BFD ，∴//AE 平面1BFD .19．（1）证明见解析；（2）29 【分析】（1）根据ABC 是等腰直角三角形，且点E 为AC 的中点，可得BE AC ⊥，因为PA ⊥底面ABC ，利用线面垂直的性质定理，可得PA BE ⊥，则可证明BE ⊥平面PAC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证；（2）由题意根据线面平行的性质定理，可证GF BC ，过G 做GH PA ∥，交AB 于H ，利用三角形相似，可求得GH 的长，利用三棱锥P AEG -的体积等于三棱锥P ABE -的体积减去三棱锥G ABE -的体积，即可求得答案.【详解】（1）因为ABC 是等腰直角三角形，且点E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以PA BE ⊥，又PAAC A =， 所以BE ⊥平面PAC ，因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC ；（2）因为//GF 平面ABC ，GF ⊂平面PBC ，且平面PBC平面ABC =BC ， 所以GF BC ，则PGF PBC ∽ 因为12PF FC =，所以12PG GB =，即23GB PB =， 过G 做GH PA ∥，交AB 于H ，如图所示，因为PA ⊥平面ABC ，所以GH ⊥平面ABC ，即GH 为三棱锥G ABE -的高，所以GHB PAB ∽，则23GB GH PB PA ==， 所以2433GH PA ==， 由题意得：P AEG P ABE G ABE V V V ---=-， 所以11114222222323239P AEG V -=⨯-⨯= 所以三棱锥P AEG -的体积为29. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、性质定理、线面平行的性质定理的应用，三棱锥体积的求法，解题的关键是熟记各个定理，灵活应用，在求三棱锥体积时，可考虑等体积法或作差法求体积，考查分析理解，推理证明的能力，属基础题.20．证明见解析【分析】由等腰三角形的性质证明PE AD ⊥，由面面垂直的性质定理证明PE ⊥平面ABCD ，最后由线面垂直的性质得出PE ⊥BC .【详解】∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .21．（1）证明见解析；（2）10. 【分析】 （1）证明,BD AC BD AD ⊥⊥后得BD ⊥平面ADC ，然后可得面面垂直；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，证得OED ∠为二面角A BC D --的平面角，在三角形中可得其余弦值．【详解】证明：（1）∵CA ⊥平面ADB ，BD ⊂平面ADB ，∴CA BD ⊥，.又D 是圆周上一点，AB 是圆O 的直径，DA DB ⊥，又CA ⊂平面CAD ，DA ⊂平面CAD ，ADCA A =，∴BD ⊥平面CAD ，而BD ⊂平面ACD ，∴平面ADC ⊥平面CDB ；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，∵CA ⊥平面ADB ，CA ⊂平面ABC ，∵平面ABC ⊥平面ADB ，∵BD AD =，∴⊥OD AB ，又∵OD ⊂平面ADB ，∵平面ABC平面ADB AB =， ∴OD ⊥平面ABC ，∵BC ⊂面ABC ，∴BC OD ⊥.又∵BC OE ⊥，OE DE E =，∴BC ⊥平面ODE ，∴BC DE ⊥，∴OED ∠为二面角A BC D --的平面角.又1AC =，12AD =，BD AD =，∴4OD =，6OE =，12DE =，所以cos OE OED DE ∠==5所以二面角A BC D --的余弦值为5. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角（并证明）然后在相应三角形中求角．（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角与二面角相等或互补计算．22．（1）当G 为EC 中点，即34AG AC =；理由见解析；（2. 【分析】（1）可得当G 为EC 中点时，//FG 平面PBD ，由//FG PE 即可说明；（2）作BH PC ⊥于H ，连结DH ，可得BHD ∠是二面角B PC D --的平面角，PCA ∠就是PC 与底面ABCD 所成的角，根据三角关系即可求出.【详解】（1）当G 为EC 中点，即34AG AC =时，//FG 平面PBD ， 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知//FG PE ，而FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，故//FG 平面PBD .（2）作BH PC ⊥于H ，连接DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴PB PD =，又∵BC DC =，PC PC =，∴PCB PCD ≅△△，∵DH PC ⊥，知PC BH ⊥，∴BHD ∠是二面角B PC D --的平面角，即23BHD π∠=， ∵PA ⊥面ABCD ，∴PCA ∠就是PC 与底面ABCD 所成的角，连接EH ，则EH BD ⊥，3BHE π∠=，EH PC ⊥，∴tan 3BE BHE EH∠==，BE EC =，∴3EC EH =，∴3sin 3EH PCA EC ∠==，∴2tan 2PCA ∠=， ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22. 【点睛】关键点睛：本题考查线面角的求解，解题的关键是判断出BHD ∠是二面角B PC D --的平面角，PCA ∠就是PC 与底面ABCD 所成的角，再根据三角关系求解.。