第2章正弦交流电-2.2单一元件正弦交流电路
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第2章 正弦稳态电路的分析
u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im
wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工电子技术第2章
第2章 正弦交流电路
在交流电路中，因各电流和电压多 +j A 为同一频率的正弦量，故可用有向线段 b r 来表示正弦量的最大值(有效值) Im 、 ψ Um(I、U)和初相ψ ，称为正弦量的相量。 O a +1 在正弦量的大写字母上打“•”表示，如 图2-5 有向线段的表示正弦量 幅值电流、电压相量用 I m、 m表示，有 U • U 效值电流、电压相量用 I 、 表示。将电 U • 路中各电压、电流的相量画在同一坐标 φ I ψ 中，这样的图形称为相量图。 ψ 同频率的u和i可用图2-6相量图表示。 图2-6 u和i的相量图 即 超前 Iφ°，I或 U滞后φ°。 U
第2章 正弦交流电路
2.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电压和电流的大小和方向都按正弦规律 作周期性变化，波形如图2-1a。
u U m s in ( t u ) i I m s in ( t i )
(2-1)
为便于分析，在电路中电压参考方向用“+”、“–” 标出，电流参考方向用实线箭头表示；电压、电流实 际方向用虚线箭头表示如图2-1b、c所示
第2章 正弦交流电路
u Im O φ Ψu Ψi i Um
u
i
t
T
图2-2 u和i相位不等的正弦量波形图
当φ=0º 时，称u、I同相；当φ=180º 时，称u比i反相； 当φ=±90º 时，称u与i正交 。 u i u i
u i
ui
u
i
t
u
i
O a) 同相
t O
b) 反相
O c)正交
t
图2-3 正弦量的同相、反相和正交
第2章 正弦交流电路
第2章正弦交流电-2.2单一元件正弦交流电路
③由于电压的初相为45°，而电流的初相为−45º，故电压和电流的 相量图如图所示。 1 U I ＝— 1 ×100×10=500（var） ④Q＝UI＝— m m 2 2
相量图
2.2单一元件正弦交流电路电阻 Nhomakorabea路电感电路
电容电路
1 电容元件
（1）电容参数C
q q＝Cu 或 C＝— u 电容量的单位是F（法[拉]）。 具有参数C的电路元件称电容元件，简称电容。
相量图
③电压、电流的相量图如图所示。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电感元件
（1） 电感参数L
Ψ Ψ=LI 或 L＝— I
电感元件
式中，磁链与电流的比值L叫做线圈的电感量，电感量的单位为H（亨[利]）。 具有L参数的电路元件称电感元件，简称电感。 空心线圈的电感量是一个常数，与通过的电流大小无关，这种电感叫做线性电感。线性 电感的大小只与线圈的形状、尺寸、匝数有关。一般而言，线圈直径的截面积越大，匝数越 密，电感量越大。
p>0，吸收能量
p<0，释放能量
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
例题：已知加在L＝10mH电感线圈两端的正弦交流电压u＝100sin(1000t+45º)V，求：①感抗XL； ②线圈中的电流最大值Im和线圈中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。 解：①感抗XL＝ωL＝1000×10×10−3＝10Ω Um 100V ②Im＝—＝ ———＝10（A） XL 10Ω φi＝φu−90º＝45º−90º＝−45º i＝10sin(1000t−45º)（A）
电工第2章 正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
第 章 正弦交流电路教案
•
I 2 = 10╱-45ºA=[10cos(- 45º)+10jsin(- 45º)]A=（7.07–j7.07 ）A
合成电流的相量为
•
•
•
I = I 1 + I 2 =（5╱30º+10╱-45º）A=[(4.33+7.07)+j(2.5–7.07)]A
= 11.42 + 4.532 ╱arctan - 4.53 A=12.27╱-21.65ºA 11.4
正弦交流电的三个特征量——三要素。
波形图如图 2-1 所示。
30
图 2-1 正弦交流电的波形图
1．正弦交流电的周期、频率和角频率——表示交流电变化快慢 周期：正弦交流电量重复变化一次所需的时间，单位是秒（s），或者是毫秒（ms）和 微秒（µs）。1ms=10-3s，1µs=10-6s。 频率：正弦交流电在每秒钟内变化的周期数，用 f 表示，单位是赫[兹]（Hz），1Hz 表示 每秒变化一个周期，周期和频率的关系是
±1800 之间，故采用后一角度。
•
•
方法 2。用相量图求合成电流的幅值和幅角，作图如图 2-6 所示，合成电流是 I 1 和 I 2 ，
两相量所作平行四边形的对角线，它与横轴正方向的夹角即为初相位。
第二次课：
图 2-6 例 2-4 相量图
2.2 单一参数交流电路
2.2.1 纯电阻电路
如果电路中电阻作用突出，其他参数的影响可忽略不计，则此电路称为纯电阻电路。 1． 电压和电流的关系 将纯电阻接入交流电源，并设电流和电压的正方向相同，如图 2-7 所示。为方便起见， 现选择电流为参考量，即设
U1m = 2U1 = (1.41× 220) V ≈ 311V
单相正弦交流电路公开课教案
单相正弦交流电路公开课教案第一章：引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握单相正弦交流电路的基本概念、原理和分析方法。
通过学习本课程，学生将能够了解单相正弦交流电路在日常生活和工程应用中的重要性，并能够运用所学知识分析和解决相关问题。
1.2 教学目标了解单相正弦交流电路的基本概念和特点掌握正弦交流电的产生和描述方法学会使用复数表示法分析交流电路能够运用欧姆定律、功率公式等分析交流电路的性能第二章：正弦交流电的基本概念2.1 正弦交流电的定义正弦交流电是一种随时间变化的电压或电流，其波形呈正弦曲线。
正弦交流电的幅值、频率和初相位是描述其特性的重要参数。
2.2 正弦交流电的产生正弦交流电可以通过交流发电机或变压器产生。
交流发电机利用电磁感应原理，通过旋转磁场和线圈的相对运动产生正弦交流电。
变压器则通过电磁感应原理，改变电压和电流的幅度和频率。
2.3 正弦交流电的表示方法正弦交流电可以用解析表达式、波形图和相位图等方式表示。
解析表达式通常采用正弦函数的形式，包括幅值、频率和初相位等参数。
波形图可以直观地展示正弦交流电随时间变化的波形。
相位图则可以表示正弦交流电的相位关系。
第三章：复数表示法3.1 复数的概念复数是由实部和虚部组成的数学表达式，可以用来表示交流电路中的电压和电流。
复数的几何表示法可以直观地展示电压和电流的相位关系。
3.2 复数的运算复数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
这些运算可以通过复数的代数表示法或几何表示法进行。
3.3 复数在交流电路中的应用在交流电路中，电压和电流可以表示为复数。
通过复数的运算，可以分析电路中的相位关系、幅值变化等问题。
第四章：欧姆定律和功率公式4.1 欧姆定律欧姆定律是分析交流电路的基础，它描述了电压、电流和电阻之间的关系。
在正弦交流电路中，欧姆定律可以表示为电压和电流的复数形式的乘积等于电阻的复数形式。
4.2 功率公式功率是交流电路中重要的性能指标，可以表示为电压和电流的乘积的瞬时值或平均值。
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i Im sin wt 2I sin wt 则 u Ri RIm sin wt 2RI sin wt
Um sin wt 2U sin wt
比较u与i可得： （1）电阻元件上的u和i为同频率的正弦量； （2） u和i的最大值或有效值之间的关系符合欧姆定律，
即 Um=RIm 或 U=RI =（3）电压和电流的相位相同（相位差为0）。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
2 电感交流电路
（1） 电压和电流之间的关系
u=L —ddit =ωLImcosωt=Umsin（ωt+90º）
电感电路中电感电流i与两端电压u之间有如下关系： ① 电感元件的u和i为同频率的正弦量； ② u和i最大值或有效值之间的关系符合欧姆定律，
即 Um＝ωLIm 或 U＝ωLI 式中 XL＝ωL＝2πfL ③ 在关联参考方向下，电压相位超前电流相位90º， 即φu＝φi+90º
u ip
ui
I·
pi
i
u
i
u
+
+
+ u
C +–uC
–
（a）电路
O TT
——
44
TT
——
44
t
φi=90°
O
–
–
U· φu=0°
T−4 4−T −4T 4−T
t
（b）波形图
（c）相量图
（d）功率p
电容元件交流电路
i＝C—ddut＝=ωCUmcosωt=Imsin（ωt+90º）
根据分析知道，电容电路中的电压与电流之间的关系以及功率， 与电感电路中相应的 内容十分类似。
③在电容电路的功率中，瞬时功率p=UIsin2ωt，也是 随时间变化的正弦量。有功功率P＝0，说明电容元件 也是一个储能元件，不是耗能元件，只进行电源电能 和电容电能之间的交换，其交换功率的大小为无功功 率Q＝XCI2。
电感电路与电容电路的比较
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电容交流电路
（2）有功功率（平均功率）反应元件实际消耗电能的情况
瞬时功率计算起来很不方便，因此在工程上常取它在一个
周期内的平均值，称平均功率，用P表示，单位为瓦(W)。可以
证明
P＝UI＝RI2＝—U2 R
p也是时间的函数，并且 p≥0，表示电阻总是从电
源取用功率，是一个耗 能元件
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电容电路 电感元件交流电路
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
（2） 感抗XL
XL＝—UI ＝ωL＝=2πfL称为电感感抗，简称感抗，单位为欧（Ω）。 它表明电感对交流电流起阻碍作用。在一定的电压下，XL愈大，电流愈小。
感抗XL与电源频率ƒ成正比。L不变，频率愈高，感抗愈大，对电流的阻碍作用愈大。在极 端情况下，如果频率非常高且ƒ→∞时，则XL→∞，此时电感相当于开路。如果ƒ＝0，即直流时， 则XL＝0，此时电感相当于短路。电感元件这种“通直流、阻交流；通低频，阻高频”的性质， 在电子技术中被广泛应用，如滤波、高频扼流等。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电容交流电路
注意： ①电容元件电路中，电流相位超前电压相位90°，即 φi＝φu+90°； ②电容对交流电流起阻碍作用。 容抗XC与电源频率ƒ成反比。在C不变的条件下，频率 愈高，容抗愈小，对电流的阻碍作用愈小。在极端情 况下，如果ƒ→∞，则XC＝0，此时电容相当于短路。 如果直流ƒ＝0，XC→∞，此时电容相当于开路。
p>0，吸收能量 p<0，释放能量
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
例题：已知加在L＝10mH电感线圈两端的正弦交流电压u＝100sin(1000t+45º)V，求：①感抗XL； ②线圈中的电流最大值Im和线圈中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。
电感电路பைடு நூலகம்
2 功率
例题：设加于880W电炉上的电压为u＝220 sin（314t+30º）V， 求电炉丝的电阻R和通过电炉丝的电流I，并写出i的解析式与画出 u、i的相量图。
解：①I＝—P＝—88—0W—＝4A ；R＝—U＝ —2—20—V ＝55Ω
U 220V
I
4A
②i与u同频率且同相位，因
φi=φu=30º，故 i=4 sin（314t+30º）A ③电压、电流的相量图如图所示。
i＝d—q ＝Cd—u dt dt
电容元件
即电容电流与电压的变化率成正比。
当 ≠0时，i ≠0，说明变化的交流电压加到电容器两端时，电容中就有电流存在。 当 =0时，i＝0，说明直流电压加到电容器两端时，电容中没有电流通过，电容器相 当于开路。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电容交流电路
C＝ε—S d
电介质的 介电常数
极板面积
两平行极板 之间的距离
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电容元件
（2）电容的伏安特性
当电容两端电压变化时，极板上的电荷也相应地变化，
这时电容器所在的电路就有电荷作定向运动，形成电流。
选定电容上电压与电流的参考方向为关联参考方向时，电
容的伏安关系为
解：①感抗XL＝ωL＝1000×10×10−3＝10Ω ②Im＝U—XmL＝—1100—0ΩV—＝10（A） φi＝φu−90º＝45º−90º＝−45º i＝10sin(1000t−45º)（A）
③由于电压的初相为45°，而电流的初相为−45º，故电压和电流的 相量图如图所示。
④Q＝UI＝—21UmIm＝—21 ×100×10=500（var）
电容电路 相量图
2.2单一元件正弦交流电路
1 电感元件
（1） 电感参数L
电阻电路
电感电路
Ψ=LI 或 L＝Ψ—I
电容电路
电感元件
式中，磁链与电流的比值L叫做线圈的电感量，电感量的单位为H（亨[利]）。 具有L参数的电路元件称电感元件，简称电感。
空心线圈的电感量是一个常数，与通过的电流大小无关，这种电感叫做线性电感。线性 电感的大小只与线圈的形状、尺寸、匝数有关。一般而言，线圈直径的截面积越大，匝数越 密，电感量越大。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
1 电感元件
（2） 电感的伏安关系
u＝—ddψt—＝L—ddit 电感电压与电流的变化率成正比
日光灯结构图
电感电路
电容电路
当
—di dt
≠0时，u≠0，电感两端有感应电压。
当i在瞬间变化很大（如开关的断与闭）时，
则在产生很高的脉冲电压。
如在荧光灯电路中，使镇流器会产生很高 的脉冲电压，作为荧光灯起动电压，点亮 日光灯。当L中通过直流电流时，u=0，说 明通过电感，两端感应电压为零，电感相 当于短路。
相量图
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电容元件
（1）电容参数C q＝Cu 或 C＝—qu
电容量的单位是F（法[拉]）。 具有参数C的电路元件称电容元件，简称电容。
电容元件
当电容量C是一个常数，与两端电压无关时，这种电容称为线性电容。
线性电容的大小与电容器的形状、尺寸及电介质有关，如平板电容器的电容为
第2章 正弦交流电路
2.2 单一元件正弦交流电路
1 电阻电路 2 电感电路 3 电容电路
CONTENTS
目
录
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
1 电压与电流之间的关系
当电阻元件两端接上正弦交流电压时，电阻中就有 正弦交流电流通过，并且电阻上电压与电流的关系服从 欧姆定律，即 u＝Ri
设通过电阻的正弦交流电流为
电容电路 电阻元件交流电路
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 功率
（1）瞬时功率 在交流电路中，电路元件上的瞬时电压与瞬时电流之积为该
元件的瞬时功率，用p表示，单位为瓦(W)。
p ui Um sin wtIm sin wt 2UI sin 2 wt UI UI cos 2wt
感元件是一个储能元件，不是耗能元件，它只将电感的磁能和电
源的电能进行交换。
③ 无功功率 电感与电源之间只是进行功率（或能量）
的交换而不消耗功率，其交换功率的大小通常用瞬时功率的
最大值来衡量。由于这部分功率并没有消耗悼，故称为无功
功率。无功功率用Q表示，单位为乏（var）。
Q=UI=XLI2=
—U2 XL
例题：有C=31.8μF的电容接到u=220sin（314t+30º）V的交流电源上。求：①电容容抗XC； ②电路中的电流有效值I和电路中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。
相量图
— The End —
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
（3） 功率
① 瞬时功率 电感元件上的瞬时功率为
p
ui
Um
cos
wtIm
sin
wt
1 2UmIm
sin
2wt
UI
sin
2wt
② 有功功率 由瞬时功率表达式可知，瞬时功率在一个周期
内的平均值为零，即电感元件的有功功率为零 ,P＝0 。这说明电
Um sin wt 2U sin wt
比较u与i可得： （1）电阻元件上的u和i为同频率的正弦量； （2） u和i的最大值或有效值之间的关系符合欧姆定律，
即 Um=RIm 或 U=RI =（3）电压和电流的相位相同（相位差为0）。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
2 电感交流电路
（1） 电压和电流之间的关系
u=L —ddit =ωLImcosωt=Umsin（ωt+90º）
电感电路中电感电流i与两端电压u之间有如下关系： ① 电感元件的u和i为同频率的正弦量； ② u和i最大值或有效值之间的关系符合欧姆定律，
即 Um＝ωLIm 或 U＝ωLI 式中 XL＝ωL＝2πfL ③ 在关联参考方向下，电压相位超前电流相位90º， 即φu＝φi+90º
u ip
ui
I·
pi
i
u
i
u
+
+
+ u
C +–uC
–
（a）电路
O TT
——
44
TT
——
44
t
φi=90°
O
–
–
U· φu=0°
T−4 4−T −4T 4−T
t
（b）波形图
（c）相量图
（d）功率p
电容元件交流电路
i＝C—ddut＝=ωCUmcosωt=Imsin（ωt+90º）
根据分析知道，电容电路中的电压与电流之间的关系以及功率， 与电感电路中相应的 内容十分类似。
③在电容电路的功率中，瞬时功率p=UIsin2ωt，也是 随时间变化的正弦量。有功功率P＝0，说明电容元件 也是一个储能元件，不是耗能元件，只进行电源电能 和电容电能之间的交换，其交换功率的大小为无功功 率Q＝XCI2。
电感电路与电容电路的比较
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电容交流电路
（2）有功功率（平均功率）反应元件实际消耗电能的情况
瞬时功率计算起来很不方便，因此在工程上常取它在一个
周期内的平均值，称平均功率，用P表示，单位为瓦(W)。可以
证明
P＝UI＝RI2＝—U2 R
p也是时间的函数，并且 p≥0，表示电阻总是从电
源取用功率，是一个耗 能元件
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电容电路 电感元件交流电路
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
（2） 感抗XL
XL＝—UI ＝ωL＝=2πfL称为电感感抗，简称感抗，单位为欧（Ω）。 它表明电感对交流电流起阻碍作用。在一定的电压下，XL愈大，电流愈小。
感抗XL与电源频率ƒ成正比。L不变，频率愈高，感抗愈大，对电流的阻碍作用愈大。在极 端情况下，如果频率非常高且ƒ→∞时，则XL→∞，此时电感相当于开路。如果ƒ＝0，即直流时， 则XL＝0，此时电感相当于短路。电感元件这种“通直流、阻交流；通低频，阻高频”的性质， 在电子技术中被广泛应用，如滤波、高频扼流等。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电容交流电路
注意： ①电容元件电路中，电流相位超前电压相位90°，即 φi＝φu+90°； ②电容对交流电流起阻碍作用。 容抗XC与电源频率ƒ成反比。在C不变的条件下，频率 愈高，容抗愈小，对电流的阻碍作用愈小。在极端情 况下，如果ƒ→∞，则XC＝0，此时电容相当于短路。 如果直流ƒ＝0，XC→∞，此时电容相当于开路。
p>0，吸收能量 p<0，释放能量
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
例题：已知加在L＝10mH电感线圈两端的正弦交流电压u＝100sin(1000t+45º)V，求：①感抗XL； ②线圈中的电流最大值Im和线圈中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。
电感电路பைடு நூலகம்
2 功率
例题：设加于880W电炉上的电压为u＝220 sin（314t+30º）V， 求电炉丝的电阻R和通过电炉丝的电流I，并写出i的解析式与画出 u、i的相量图。
解：①I＝—P＝—88—0W—＝4A ；R＝—U＝ —2—20—V ＝55Ω
U 220V
I
4A
②i与u同频率且同相位，因
φi=φu=30º，故 i=4 sin（314t+30º）A ③电压、电流的相量图如图所示。
i＝d—q ＝Cd—u dt dt
电容元件
即电容电流与电压的变化率成正比。
当 ≠0时，i ≠0，说明变化的交流电压加到电容器两端时，电容中就有电流存在。 当 =0时，i＝0，说明直流电压加到电容器两端时，电容中没有电流通过，电容器相 当于开路。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电容交流电路
C＝ε—S d
电介质的 介电常数
极板面积
两平行极板 之间的距离
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电容元件
（2）电容的伏安特性
当电容两端电压变化时，极板上的电荷也相应地变化，
这时电容器所在的电路就有电荷作定向运动，形成电流。
选定电容上电压与电流的参考方向为关联参考方向时，电
容的伏安关系为
解：①感抗XL＝ωL＝1000×10×10−3＝10Ω ②Im＝U—XmL＝—1100—0ΩV—＝10（A） φi＝φu−90º＝45º−90º＝−45º i＝10sin(1000t−45º)（A）
③由于电压的初相为45°，而电流的初相为−45º，故电压和电流的 相量图如图所示。
④Q＝UI＝—21UmIm＝—21 ×100×10=500（var）
电容电路 相量图
2.2单一元件正弦交流电路
1 电感元件
（1） 电感参数L
电阻电路
电感电路
Ψ=LI 或 L＝Ψ—I
电容电路
电感元件
式中，磁链与电流的比值L叫做线圈的电感量，电感量的单位为H（亨[利]）。 具有L参数的电路元件称电感元件，简称电感。
空心线圈的电感量是一个常数，与通过的电流大小无关，这种电感叫做线性电感。线性 电感的大小只与线圈的形状、尺寸、匝数有关。一般而言，线圈直径的截面积越大，匝数越 密，电感量越大。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
1 电感元件
（2） 电感的伏安关系
u＝—ddψt—＝L—ddit 电感电压与电流的变化率成正比
日光灯结构图
电感电路
电容电路
当
—di dt
≠0时，u≠0，电感两端有感应电压。
当i在瞬间变化很大（如开关的断与闭）时，
则在产生很高的脉冲电压。
如在荧光灯电路中，使镇流器会产生很高 的脉冲电压，作为荧光灯起动电压，点亮 日光灯。当L中通过直流电流时，u=0，说 明通过电感，两端感应电压为零，电感相 当于短路。
相量图
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电容元件
（1）电容参数C q＝Cu 或 C＝—qu
电容量的单位是F（法[拉]）。 具有参数C的电路元件称电容元件，简称电容。
电容元件
当电容量C是一个常数，与两端电压无关时，这种电容称为线性电容。
线性电容的大小与电容器的形状、尺寸及电介质有关，如平板电容器的电容为
第2章 正弦交流电路
2.2 单一元件正弦交流电路
1 电阻电路 2 电感电路 3 电容电路
CONTENTS
目
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2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
1 电压与电流之间的关系
当电阻元件两端接上正弦交流电压时，电阻中就有 正弦交流电流通过，并且电阻上电压与电流的关系服从 欧姆定律，即 u＝Ri
设通过电阻的正弦交流电流为
电容电路 电阻元件交流电路
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 功率
（1）瞬时功率 在交流电路中，电路元件上的瞬时电压与瞬时电流之积为该
元件的瞬时功率，用p表示，单位为瓦(W)。
p ui Um sin wtIm sin wt 2UI sin 2 wt UI UI cos 2wt
感元件是一个储能元件，不是耗能元件，它只将电感的磁能和电
源的电能进行交换。
③ 无功功率 电感与电源之间只是进行功率（或能量）
的交换而不消耗功率，其交换功率的大小通常用瞬时功率的
最大值来衡量。由于这部分功率并没有消耗悼，故称为无功
功率。无功功率用Q表示，单位为乏（var）。
Q=UI=XLI2=
—U2 XL
例题：有C=31.8μF的电容接到u=220sin（314t+30º）V的交流电源上。求：①电容容抗XC； ②电路中的电流有效值I和电路中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。
相量图
— The End —
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
（3） 功率
① 瞬时功率 电感元件上的瞬时功率为
p
ui
Um
cos
wtIm
sin
wt
1 2UmIm
sin
2wt
UI
sin
2wt
② 有功功率 由瞬时功率表达式可知，瞬时功率在一个周期
内的平均值为零，即电感元件的有功功率为零 ,P＝0 。这说明电