历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页
2009-2011年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类).
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）(x+y)ln(1+yxdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与两) 1．计算⎰⎰D-x-y坐标轴所围成三角形区域.⎛0解令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1⎝(x+y)ln(1+y)ulnu-ulnvD1⎫⎪dudv=dudv，⎪-1⎭⎰⎰D-x-yxdy=⎰⎰10-uudv==⎰(⎰10ulnu-uulnu-uu22⎰udv-u-u-u⎰ulnvdv)du-u(ulnu-u)du=⎰-udu （*）令t=-u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1-u)=t2(1-t)(1+t)，24(*)=-2⎰(1-2t+t)dt=2⎰102315⎤16⎡24(1-2t+t)dt=2⎢t-t+t⎥=3515⎣⎦02．设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2-解令A=A=⎰20f(x)dx-2, 则f(x)=____________.⎰20f(x)dx，则f(x)=3x-A-2，2⎰20(3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,2解得A=432。
因此f(x)=3x-103。
3．曲面z=x22+y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__________.x22解因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z=2+y-2在2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与(2,2,-1)平行，因此，由zx=x，zy=2y知2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0，即x0=2,y0=1，又z(x0,y0)=z(2,1)=5，于是曲面2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即曲面z=2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。
大学生数学竞赛(非数)试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
大学生数学竞赛非数试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算)cos1(cos1lim0xxxx--+→= .(2)设()f x在2x=连续，且2()3lim2xf xx→--存在，则(2)f= .(3)若txx xttf2)11(lim)(+=∞→，则=')(tf.(4)已知()f x的一个原函数为2ln x，则()xf x dx'⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)tet2)12(+. (4)Cxx+-2lnln2.二、（5分）计算dxdyxyD⎰⎰-2，其中110≤≤≤≤yxD，：.解：dxdyxyD⎰⎰-2=dxdyyxxyD)(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xyDdxdyxy-------- 2分=dyyxdx x)(221-⎰⎰+dyxydxx)(12102⎰⎰--------------4分分.三、（10分）设)](sin[2xfy=，其中f具有二阶导数，求22dxyd.解：)],(cos[)(222xfxf xdxdy'=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd'-''+'=-----7分姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. )23(23ln 0xa x e d e -----------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx ex e e y dxx xdx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分所在院校：年级：专业：线封密再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且12()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
在故知在2222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'''+'--=''= 322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因xenx x x x x e nx x x x nn e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故nxn e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lime n n n e n ne e e e nx x x x 21212lim 20+=+++=+++=→)x2202000200x x x x x x x x →→→→这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）y x ye y xe x x ye y xe D x y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=--- y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰-+=⎰--Lxy x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=-y x e ex y d d )(sin sin ⎰⎰+=-200sin sin 2d 2d )(πππππ=≥+=⎰⎰-x x e e x x即 2sin sin 25d d π⎰≥--L yy x yey xe 五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxexe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设xxe xe y 21+=，xxe xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f cy y b y =+'+''的三个解，则x xe ey y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''cy y b y的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是02=++c b λλ因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x xx x e xe e e xe e e xe +-++-++=x即22)1(274)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ， 得04040904554=+--+a a a即054=+a因此45-=a ,23=b ,1=c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.∑∑====11)()(n n n n x u x S 则x e x S e x x S n e x e xx S x n xn n x n xn -+=+=+='∑∑∞=-∞=-1)()()()(1111即xe x S x S x-=-'1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d 11()(x xC e x S x ⎰-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n nx u的和)1ln()(x e x S x --=八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故t 1ln22-及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所2．设)(x f 是连续函数，且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰，那么()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么=22d d xy.二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线及x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、〔15分〕)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之与.八、〔10分〕求-→1x 时，及∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2021年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔25分，每题5分〕〔1〕设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++，其中||1,a <求lim .n n x →∞〔2〕求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 〔3〕设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰.〔4〕设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. 〔5〕求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩及直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、〔15分〕设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、〔15分〕设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=及22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、〔15分〕设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：〔1〕当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛； 〔2〕当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、〔15分〕设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，〔其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤〔其中0c b a <<<，密度为1〕绕l 旋转. 〔1〕求其转动惯量；〔2〕求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值与最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx yϕ+=+⎰的值为常数. 〔1〕设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；〔2〕求函数()x ϕ；〔3〕设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d Cxy x x yx yϕ++⎰. 2021年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、计算以下各题〔此题共3小题，每题各5分，共15分〕〔1〕求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕.求111lim (12)n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 〔3〕()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、〔此题10分〕求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、〔此题15分〕设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 四、〔此题17分〕设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑及2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值与最小值. 五、〔此题16分〕S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半局部〔0z ≥〕〔取上侧〕，∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： 〔1〕()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；〔2〕()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、〔此题12分〕设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、〔此题15分〕是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2021年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔本大题共5小题，每题6分，共30分〕解答以下各题〔要求写出重要步骤〕. 〔1〕求极限21lim(!)n n n →∞.〔2〕求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π与2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. 〔3〕函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 与b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 〔4〕设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面及路径无关，求(,)u x y .〔5〕求极限1limx x x t +. 二、〔此题10分〕计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、〔此题10分〕求方程21sin 2501x x x=-的近似解，准确到0.001.四、〔此题12分〕设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、〔此题12分〕求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有1f dx C ≤⎰.六、〔此题12分〕设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+与球面2222x y z t ++=(0)z >所围起来的局部. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、〔此题14分〕设1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑为正项级数，证明：〔1〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，那么级数1n n a ∞=∑收敛； 〔2〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，那么级数1n n a ∞=∑发散. 2021年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、解答以下各题〔每题6分，共24分，要求写出重要步骤〕sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. ()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线及曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、〔总分值12分〕计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、〔总分值12分〕设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、〔总分值12分〕设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、〔总分值14分〕设∑()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、〔总分值14分〕设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=lim ()a r I r →+∞.七、〔总分值14分〕判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性，假设收敛，求其与.2021年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔共有5小题，每题6分，共30分〕1xy e =与1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，那么该方程是 .22:2S z x y =+与平面022:=++z y x L . 那么及L 平行的S 的切平面方程是 .()y y x =由方程21sin d 4y x t x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰0d d x y x== .1(1)!nn k kx k ==+∑，那么=∞→n n x lim . 130()lim 1x x f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，那么=→20)(lim x x f x . 二、〔此题12分〕设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、〔此题14分〕设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、〔此题14分〕〔1〕设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；〔2〕设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分五、〔此题15分〕设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、〔此题15分〕设2222212n n nn A n n n n =++++++，求⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2021 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题6分，共5小题，总分值30分〕〔1〕极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 〔2〕设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠那么z z x y xy∂∂+=∂∂ .〔3〕曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面及曲面所围区域的体积是 . 〔4〕函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .〔5〕设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，那么()u x 的初等函数表达式是 .二、〔12分〕设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、〔12分〕设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，那么()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、〔14分〕求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其与函数.五、〔16分〕设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：〔1〕[]00,1x ∃∈使()04f x >； 〔2〕[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、〔16分〕设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 假设()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2021年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕一、填空题〔每题5分，总分值30分〕 1、假设()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，那么()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、假设()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，假设z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、〔14分〕设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aa f x xf x x >⎰⎰.三、〔14分〕某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、〔14分〕设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()()23f x f x f x =+=+.用级数理论证明()f x 为常数.2021年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、1. 可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，那么()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数. 那么21xx yy w w c -. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，那么240(sin )lim x f x x →. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+与224z x y --围成空间区域为V ，那么三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、〔此题总分值14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数假设对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值.三、(此题总分值14分) 设曲线Γ为在上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(此题总分值15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，假设对任意第 11 页 实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，那么,()a b a b ∀<，2()2b a b a f x dx -+≤⎰. 五、(此题总分值15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档
而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ， 即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x y x x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，则21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x '=''+)(1，即))(1(1y f x y '-='，因此二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由A xx f x =→)(lim和函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(0===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=1d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ，因此，当0≠x 时，⎰=xu u f x x g 0d )(1)(，故当0≠x 时，这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的，即知 因此 （2）因 故知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此由)1()1(nC e u n e n +==知，0=C ， 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。
因此即 又所以，当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π。
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
） 一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
（3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰L 。
（4）设函数()f t有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂。
（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离。
解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++L =22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++-L(2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x xx x x e e ex -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)2200lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===（3）0000112021011()()[|](1)!!sxnn sx n sx sx nn sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s sn n n n n n e x dx I I I s s s s s∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰L二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。
证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。
解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0，所以 证明完成。
三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ。
解：（这儿少了一个条件22d ydx=）由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散。
解：（1）n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞=∑收敛时，1n n n a a s s αα<Q，而1n a s α收敛，所以nna s α收敛； 当1n n a ∞=∑发散时，lim n n s →∞=∞所以，11111211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s xs x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰ 而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰，收敛于k 。
所以，1nn na s α∞=∑收敛。