复相关系数和偏相关系数
第三节：多元线性相关与回归分析
第三节 多元线性相关与回归分析一、标准的多元线性回归模型上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。
但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。
例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。
这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。
在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。
限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。
只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。
多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下：t kt k t t u X X Y ++⋯++=βββ221 (7.51)上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。
βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。
该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。
假设已给出了ｎ个观测值，同时1ˆβ，2ˆβ…，k βˆ为总体回归系数的估计，则多元线性回归模型的样本回归函数如下：t kt k t t e X X Y ++⋯++=βββˆˆˆ221 (7.52)(t ＝1,2,…,n)式中，e t 是Y t 与其估计t Y ˆ之间的离差，即残差。
医学统计学高级统计学习题
2、完全随机设计2因素（A、B） 2水平的析因试验SS如可分解为SS A、SS B和SS AB三部分3、重复测量数据方差分析要求资料满足球对称检验4、多元线性回归的应用可归纳于影响因素分析、归纳与预测和统计控制三方面5、Logistic回归暴露组与非集露组发病的优势比0Rj=l,说明因素Xj对疾病发生不起作用；ORj>l,说明因素Xj是疾病的危险因子，ORjVl,说明Xj是疾病的保护因子6、Logistic模型变量逐步选择的方法有前进法、后退法和逐步法7、生存分析时个体的生存时间可以确切获得时称为完全数据，个体的生存时间为删失值时得不到确切的生存时间，称为不完全数据8、生存分析时如估计生存率、生存曲线及中位生存时间常采用Kaplan-Meier法，如果是频数表资料时则采用寿命表法进行分析：生存分析时如果对不同组的生存率进行比较常采用log-rank检验和Breslow检验9、cox回归应变量为生存时间和结局1、简述生存分析数据产生删失的原因及删失数据的分类原因：1）研究截止日期时，终点事件仍未岀现；2）失访，不知终点事件是否发生以及何时发生；3）病人中途退出；4）死于终点事件以外的其他事件分类：左删失、区间删失、右删失2、Logistic回归的应用1）流行病学危险因素分析：2）临床试验数据分析；3）分析药物或毒物的剂量反应：4）预测与判别3、生存分析资料的特点D同时考虑生存时间和生存结局：2）通常含有删失数据：3）生存时间的分布通常不服从正态分布4、重复测量设计资料方差分析的注意事项（后两项不确宦）1）球对称检验2）无平行对照的单组重复测量数据分析需注意与随机区组方差分析的区別与联系3）重复测量数据不同时间点的两两比较需设立对比矩阵进行4）计数（立性）资料重复测量数据，统汁需用广义估计方程？5）要求各组例数相等？1、前后测量设计与配对设计的区别1）配对设计同一对子的两个实验单位可以随机分配处理，且效果可以同期观察，而前后测量设计不行，且前后测量设汁推论处理是否有效需假设时间对观测结果没有影响2）前后测量设计的前后两次观测结果通常与差值不独立3）前后测量设计除了分析平均差值外，还可以进行相关回归分析2、重复测量设计与随机区组设计的区别1）重复测量设计区组内各时间点是固泄的，不能随机分配2）重复测量设计区组内实验单位彼此不独立3）重复测虽:数据若用随机区组方差分析的方法比较组间差异，需满足球对称假设，若不满足球对称，则至少处理组内效应的F界值需校正3、重复测量设计ANOVA注意事项（见上第4题）4、重复测量数据多重比较包括哪些内容（不确左）1）时间差别多重比较2）时间趋势比较3）时间点多重比较5、多元线性回归模型应用条件线性、独立性、正态性、方差齐性6、多元线性回归分析步骤1）根拯样本数据求得多元线性回归方程：2）对回归方程及各自变量做假设检验，并对方程的拟合效果及各自变疑的作用大小作出评价7、多元线性回归中自变量的选择方法有哪些1）全局择优法：校正决泄系数Re?选择法、Cp选择法2）逐步选择法：前进法、后退法、逐步回归法8、多元线性回归的应用1）影响因素分析2）预测与估计3 ）统计控制9、多元线性回归的注意事项9.1.举例说明多元线性回归中自变量的类型有哪些？并阐述$类自变量的计算机赋值处理办法自变量可为：连续变量、分类变量或有序变量1）连续变量：以原始观察值赋值即可，若Y与X不呈线性关系，可对X作某种变换, 以增大R22）分类变量：二分类用0,1表示，如男=0,女刃：多分类如有g个类别，则用g-1个哑变量表示，如用表示四医法，X】=0表示其他，X2=l表示中西医结合法，X2=0 表示其他3）有序变量：轻=1,中=2,重=3,或用哑变虽表示9.2、简述什么是多重共线性？多重共线性可能引起的不良后果及解决办法有哪些？多重共线性是指一些自变量之间存在较强的线性关系。
【数理统计基础】06-相关分析和方差分析
【数理统计基础】06-相关分析和⽅差分析1. 相关分析1.1 相关系数 在⼀堆变量中，找到并分析它们之间的关系，是复杂环境和模型中的重要任务。
由于线性关系的特殊、常见和简单，数学上往往采⽤线性关系来逼近实际关系。
上篇的线性回归以及概率论中的线性回归，更关注的是线性函数的参数估计。
如果想单纯地度量随机变量的线性关系，直接讨论相关系数即可，请先复习斜⽅差的相关概念。
两个变量之间的线性关系，就是之前学过的协⽅差的概念\text{Cov}(X,Y)。
在得到n个样本(X_i,Y_i)后，容易得到式（1）的⽆偏估计，注意其中降低了⼀个⾃由度，继⽽还可以有式（2）的样本相关系数。
相关系数是线性关系的直接度量，它可以作为相关假设的检验条件，最常⽤的就是当|r|\leqslant C时认为X,Y是不相关的。
\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\approx\text{Cov}(X,Y)\tag{1}r=\dfrac{1}{S_XS_Y}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}),\;\;S_X^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\tag{2} 为了能找到关于r的枢轴变量，这⾥还是要做⼀些假设，即(X,Y)是⼀个⼆元正态分布。
回顾⼆元正态分布的知识（《初等概率论》第5篇公式（27）），可知X,Y完全符合⼀元线性回归的模型。
为此这⾥暂且取定X_i，⽽把Y_i看成随机变量，并对它们进⾏⼀元回归分析。
⽐较发现系数估计满⾜\alpha_1=r\cdot\dfrac{S_Y}{S_X}，在假设\rho=0（即系数a_1=0）的情况下，把这个等式代⼊上篇公式（12）右的枢轴变量，整理后得到式（3）。
由于该结论与X_i的取值⽆关，因此它对于变量X_i也成⽴，它就是我们要找的枢轴变量。
\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t_{n-2}\tag{3}1.2 复相关系数 相关系数度量了两个随机变量之间的线性关系，当系统中的变量很多时，关系也会变得复杂，这时需要引⼊更多的关系分析。
matlab复相关系数和偏相关系数-概述说明以及解释
matlab复相关系数和偏相关系数-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以是对复相关系数和偏相关系数的简要介绍和背景说明。
以下是一个可能的写作示例：1.1 概述复相关系数和偏相关系数是数学和统计学中常用的两个重要概念。
它们在数据分析和模型建立中扮演着重要的角色。
复相关系数是用来度量线性关系紧密程度的指标。
它衡量了两个变量之间的线性相关程度，取值范围在-1和1之间。
当复相关系数接近于1时，表示两个变量之间存在强正相关关系；当接近于-1时，表示两个变量呈强负相关；而接近于0时，表示两个变量之间没有线性关系。
偏相关系数是在考虑其他变量的干扰下，衡量两个变量之间线性相关程度的指标。
它消除了其他变量的影响，将两个变量的相关性纯粹地归因于它们之间的关系。
偏相关系数的计算需要借助于多元统计分析方法，相较于复相关系数更为复杂。
这两个概念在各自的领域中都有广泛的应用场景。
复相关系数在经济学、金融学、社会科学等领域具有重要意义。
它可以用来衡量不同变量之间的相关程度，并帮助研究人员了解变量之间的相互作用关系。
而偏相关系数则在多元统计分析和回归分析等领域中广泛使用。
它可以用来检验和量化变量之间的线性关系，从而探索其中的因果关系。
通过对复相关系数和偏相关系数的研究，可以帮助我们更好地理解变量之间的关系，揭示出数据中的隐藏规律，并为相关决策提供科学依据。
在本文中，我们将深入探讨复相关系数和偏相关系数的定义、计算方法以及应用场景，并总结它们在数据分析中的特点和重要性。
另外，我们还将提出一些进一步研究的方向，以期对相关系数的应用和推广做出更深入的贡献。
1.2文章结构文章结构:本文分为四个主要部分，每个部分都着重介绍了MATLAB中的复相关系数和偏相关系数。
在引言部分中，我们对整篇文章进行了概述，并说明了文章的目的。
接下来的两个部分分别介绍了复相关系数和偏相关系数的定义、计算方法以及应用场景。
在复相关系数部分中，我们将详细介绍复相关系数的概念和计算方法，并说明了它在数据分析中的重要性。
计量地理学期末复习题
填空：1.1967年计量地理学课本出现，作者是加里森。
2.计量地理学发展史上的学派：（1）依阿华的经济派（2）威斯康星的统计派（3）普林斯顿的社会物理学派3.历史上特别推崇计量地理学的人物：英国的乔莱哈格特美国帮吉德国克里斯泰勒4.历史上反对计量地理学的人物：英国的史密斯和奥格登5.地理发展历史：2000多年6.地理学历史发展中曾有的学派：（1)区域学派（2）人地关系学派（3）景观学派7.舍弗尔拉开了现代地理学发展史上的计量运动的帷幕8.层次分析法步骤：（1）明确问题（2）建立层次结构模型（3）构造判断矩阵（4）层次单排列（5）层次总排序（6）层次总排序的一致性检验9.非确定型决策问题方法：（1）乐观法（2)悲观法（3）折衷法（4）等可能性法（5）后悔值法10.风险形求值分析方法：（1）最大可能法（2)期望值决策法及其矩阵运算（3）树型决策法（4）灵敏度分析法（5）效用分析法11.趋势拟合方法：平滑法（移动平滑法、滑动平滑法、指数平滑法）、趋势线法（直线型、指数型、抛物线型）、自回归模型12.时间序列的组合成分：长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动时间序列的组合模型：加法模型、乘法模型名词解释1.最小二乘法：指通过最小误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种数学优化技术，利用最小二乘法可简便的计算未知的数据，并使得这些求得的数据与实际的数据之间误差的平方和最小。
2.洛伦兹曲线：将一国人口按收入由低到高排队，然后考虑收入最低的任意百分比人口所得到的收入百分比。
将这样的人口累计百分比和收入累计百分比的对应关系描绘在图形上，即得到洛伦兹曲线。
（使用累计频率曲线研究工业化的集中化程度）3.基尼系数：通过对人口和收入两组数据进行比较分析，然后将纵横坐标均以累计百分比表示，作出洛伦兹曲线，然后再计算集中化指数而得到的一个判断收入分配不平等程度的指标。
4．秩相关系数：又称等级相关系数，是将两要素的样本值按数据的大小顺序排列位次，以各要素样本值的位次代替实际数据而求得的一种统计量。
回归分析检验
回归方程的效果的检验1.方程显著性检验(F 检验)F 检验是以方差分析为基础,对回归总体线性关系是否显著的一种假设检验,是解释模型中被解释变量与所有解释变量之间的线性关系在总体上是否显著的方法利用F 统计量进行总体线性显著性检验的步骤如下:(1)提出关于P 个总体参数的假设H0:b0=b1=b2=…=bp=0(2)构造统计量(3)检验 给定显著性水平α,查F 分布表若F>F α,拒绝H0,表明回归总体有显著性关系.若F<F α,接受原假设,表明不存在线性关系2.参数显著性检验参数显著性检验,是对每个解释变量进行检验.如果解释变量对被解释变量的影响不显著,应从模型中删除,如果解释变量对被解释变量的影响显著,应保留在模型中.利用t 统计量进行参数显著性检验的步骤如下:(1)对总体参数提出假设:H0:bi=0(2)构造统计量:(3)检验 对给定α,若︱t ︱>t α /2,说明拒绝原假设；若︱t ︱<t α /2,则接受原假设.如果一次t 检验后,模型中存在多个不重要变量,一般是将t 值最小的变量删除掉,再重是(X`X)-1主对角线上第i+1个元素3、复相关系数和偏相关系数复相关系数R 是由ESS 和TSS 构造的统计量，用来表示回归方程对原有数据拟合程度的好坏，衡量作为一个整体的x1,x2,…,xp 与y 的线性关系的大小。
回归方程的拟合优度检验就是要检验样本数据点聚集在回归直线周围的密集程度，从而评价回归方程对样本数据的代表程度。
由判定系数R2来实现。
实际中，随着自变量个数的不断增加，必然会使得R2不断变化，于是出现的问题是，R2变化是由于数学习性决定的，还是确实是由于引入了好的变量进入方程而造成的。
因此在作拟合优度检验的判定时，一般采用调整的R2，以消除自变量的个数以及样本量的大小对R2的影响。
其它变量被固定后，计算任意两个变量之间的相关系数，这种相关系数称为偏相关系数。
相关系数
相关系数相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
于是，著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数(Correlation coefficient)。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。
如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
资料个人收集整理，勿做商业用途1、定义相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。
资料个人收集整理，勿做商业用途相关系数公式简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。
复相关系数：又叫多重相关系数。
复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。
资料个人收集整理，勿做商业用途典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。
资料个人收集整理，勿做商业用途2、性质(1)定理：| ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1；相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时，称X,Y不相关；| ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系；| ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大，| ρXY | > 0.8时称为高度相关，当| ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。
相关性分析
相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。
相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法相关性的元素之间需要存在一定的联系或者概率才可以进行相关性分析。
相关性不等于因果性，也不是简单的个性化，相关性所涵盖的范围和领域几乎覆盖了我们所见到的方方面面，相关性在不同的学科里面的定义也有很大的差异。
分类：1、线性相关分析：研究两个变量间线性关系的程度。
用相关系数r来描述（1）正相关：如果x,y变化的方向一致，如身高与体重的关系，r>0；一般地，·|r|>0.95 存在显著性相关；·|r|≥0.8 高度相关；·0.5≤|r|<0.8 中度相关；·0.3≤|r|<0.5 低度相关；·|r|<0.3 关系极弱，认为不相关（2）负相关：如果x,y变化的方向相反，如吸烟与肺功能的关系，r<0；（3）无线性相关：r=0。
如果变量Y与X间是函数关系，则r=1或r=-1；如果变量Y与X间是统计关系，则-1<r<1。
（4）r的计算有三种：①Pearson相关系数：对定距连续变量的数据进行计算。
②Spearman和Kendall相关系数：对分类变量的数据或变量值的分布明显非正态或分布不明时，计算时先对离散数据进行排序或对定距变量值排（求）秩2、偏相关分析：研究两个变量之间的线性相关关系时，控制可能对其产生影响的变量。
如控制年龄和工作经验的影响，估计工资收入与受教育水平之间的相关关系3、距离分析：是对观测量之间或变量之间相似或不相似程度的一种测度，是一种广义的距离。
分为观测量之间距离分析和变量之间距离分析（1）不相似性测度：·a、对等间隔(定距)数据的不相似性（距离）测度可以使用的统计量有Euclid欧氏距离、欧氏距离平方等。
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
计量地理学复习重点
计量地理复习重点1、计量地理学：是将数学和电子计算机技术应用于地理学的一门新兴学科，它是随着生产发展的需要和科学技术的进步而产生和发展起来的，它反映了地理学向着定量化方向发展的新趋势。
2、计量运动主要有三种学派：①艾奥瓦的经济学派；②威斯康星的统计派；③普林斯顿的社会物理学派3、地理数据的类型：①空间数据：坐标是描述空间数据的基本手段，对于空间数据的表达，可以将其归纳为点、线、面三种几何实体以及描述他们之间空间联系的拓扑关系。
②属性数据：数量标志数据（定量数据）；品质标志数据（定性数据）4、地理数据的基本特征：①数量化、形式化与逻辑化。
地理数据的形式化、逻辑化与数量化，是对地理问题进行数学描述和定量化研究的前提，是一切数学方法在地理学中应用的先决条件。
②不确定性。
地理系统的复杂性决定了地理数据的不确定性；各种原因所导致的数据误差。
③多种时空尺度。
由于毒理学的研究对象具有多种时空尺度，所以描述地理对象的地理数据也具有多种时空尺度的性质。
④多维性。
对于一个地理对象，它的具体意义往往需要从空间、属性、时间三个方面进行综合描述。
5、中位数（概念、公式）① 概念：将各个数据从小到大排列，属于中间位置的那个数就是中位数。
②公式:6、众数（概念、公式）① 概念：出现频数最多的那个数。
②公式：7、偏度系数：测度了地理数据分布的不对称性情况，刻画了以平均值为中心的偏向情况。
8、峰度系数：测度了地理数据在均值附近的集中程度。
9、洛伦兹曲线（自己把握）10、偏相关系数与复相关系数的区别：（1）偏相关系数：概念：在多要素所构成的地理系统中，先不考虑其他要素的影响，单独研究两个要素之间的相互关系的密切程度时，称为偏相关。
用以度量偏相关程度的统计量，称为偏相关系数。
偏相关系数的性质：①偏相关系数分布的范围在-1 —1之间；② 偏相关系数的绝对值越大，表示其偏相关程度越大；③偏相关系数的绝对值必小于或最多等于由同一系列资料所求得的复相关系数。
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