因式分解专题复习讲义
因式分解经典讲义(精)
第一章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2•分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_____________________________________________________ ___分解因式是_____________________________________________________ ___所以，分解因式和整式乘法为________ 系。
3•提公因式法分解因式(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。
(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。
(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。
4•运用公式法分解因式(1 )平方差公式：_____________________________(2 )完全平方公式：____________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：【随堂练习】1 .分解因式：,、小34“23小22（1） 2x y 10x y 2x y32(1) 4m 16m 26 m(2) 2x(y z) 3(y z)2(3)x(x y)(x y) x(x y)(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；(3) 题的公因式为 x(x y) ;答案：(1) 2m(2m 28 »m13)；(3)2xy(x y);【例:2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,(2 ?）已知ba 6,ab7,解析：(1) 题：2x2y 2 x y 22xy(x（2）题：a|2bab2a b(a答案：(1) 60(2)42（4）题的公因式为7a 8b 。
因式分解ppt讲义
整式乘法 整式乘法 因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右旳变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
Байду номын сангаас
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
阐明
• 本课是在学生学习了整式乘法旳基础上，研究对整 式旳一种变形即因式分解，是把一种多项式转化成 几种整式相乘旳形式，它与整式乘法是互逆变形旳 关系．
你能发觉这两组等式之间 旳联络和区别吗? 它们旳左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
a2-2ab+b2=(a-b)2
十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项), 二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后旳和是否等于一次项.
x2 px q
x
a
x
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
一般环节与注意点
1 一般环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最终是重新整顿再分解.
注意： 1、要分解到不能再分为止，括号内合并同 类项后注意把数字因数提出来。
2、因式分解旳成果是连乘式。 3、因式分解旳成果里没有中括号。
《因式分解》复习课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
因式分解讲义(适合0基础的)
因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=-（B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是()，（A ）－8a 2bc （B ）2a 2b 2c 3（C ）－4abc （D ）24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+-（D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A ）4x 2－1（B ）4x 2＋4x －1（C ）x 2－xy ＋y 2D ．x 2－x ＋6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3（B ）4（C ）12（D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy -()()p x y q y x ---()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（）A ．m=6，n=yB ．m=-6，n=yC ．m=6，n=-yD ．m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是()A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay+6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b+5ab －b=b(a 2+5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解1．6x 3－8x 2－4x2．x 2y(x －y)+2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=- 例1.把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2（2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +--(4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值 （2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
讲义一：《因式分解》专题辅导讲义
因式分解专题辅导讲义一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。
提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。
现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。
提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考。
请看下面几道例题。
例题精选1：把4224b a b a -因式分解。
解法1：)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=-解法2：)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法。
虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单。
通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化。
有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法。
例题精选2： 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。
解：222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+=评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法。
例题精选3： 把44b 4a +因式分解。
解：222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+)b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。
评注：多项式44b 4a +中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式。
但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+，所以先对44b 4a +加、减22b a 4，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解。
因式分解知识点、练习讲义
因式分解讲义一、知识点总结1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
关键：左边必须是多项式，右边是几个整式的积例：1、 已知关于x的二次三项式分解因式的结果为（x-1)(x+2），求a,b的值2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
（相同字母）例：的公因式是 ．1.分解因式：（1） ，为正整数 （2）（3）先因式分解，再求值：m(m+n)(m-n)-m(m+n),其中m+n=1,mn=-.2、利用因式分解计算：(-2)+(-2)-23、 对于任意正整数n，说明代数式2-2必能被30整除。
（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例1：因式分解 例2：因式分解1、分解因式：2、 利用平方差公式计算：3、证明：若n为正整数，则（2n+1)-(2n-1)一定能被8整除。
（3）分组分解法（拓展）①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：把多项式分解因式 例：将多项式因式分解1、a-1-2ab+b2、已知a-b=,ab=,求-2ab+ab+ab的值（4）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数例：分解因式 分解因式5-6分解因式3.因式分解的一般步骤：“一提”、“二套”、“三分组”、“四拆”。
2、习题演练（一）、填空：1、若是完全平方式，则的值等于_____。
第4讲 因式分解 讲义
八升九数学精品（第4讲 讲义）因式分解专题一 因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解. (1)因式分解专指多项式的恒等变形,即等式的左边必须是多项式.(2)因式分解的要求:分解的结果要以积的形式表示;每个因式必须是整式;因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.(3)因式分解与整式乘法是互逆变形.如果把整式乘法看做是一个变形过程,那么多项式的因式分解就是它的逆过程;如果把多项式的因式分解看做是一个变形过程,那么整式乘法就是它的逆过程.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是 ( ) A.x 2-x-2=x(x-1)-2 B.(a+b)(a-b)=a 2-b 2C.x 2-4=(x+2)(x-2)D.x 2-)1)(1(12yx y x y -+=【针对训练1】 ①若mx+A 能分解为m(x-y+2),则A= . ②下列式子是因式分解的是 ( )A.x(x-1)=x 2-1B.x 2-x=x(x+1)C.x 2+x=x(x+1)D.x 2-x=(x+1)(x-1) 专题二 提公因式法我们把多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.把下列各式因式分解: (1)3x+x 3; (2)7x 3-21x 2; (3)8a 3b 2-12ab 3c+ab; (4)-24x 3+12x 2-28x.【针对训练2】 把2a(x-y)+6b(y-x)因式分解.【基础巩固】1.把多项式4a 2b+10ab 2分解因式时,应提取的公因式是 .2.因式分解:x 2-3x= .3.分解因式:12x 3y-18x 2y 2+24xy 3= · . 【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x 2y-6xy (2)5x 2y 3-25x 3y 2(3)-4m 3+16m 2-26m (4)15x 3y 2+5x 2y-20x 2y 3.专题三 公式法运用平方差公式因式分解: 64(a-b)2-4(a+b)2.【针对训练3】 ①分解因式: 81(a+b)2-4(a-b)2.②尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x 2-25= ; (2)9x 2-y 2= ; (3)9m 2-4n 2= .运用完全平方公式因式分解:(a+b)2+10(a+b)+25.【针对训练4】①因式分解:x3y3-2x2y2+xy.②把下列完全平方式因式分解:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.③分解因式:(a-b)2-4b2= .④分解因式:a3b-4ab= .专题四因式分解的应用39992+3999能被4000整除吗?【针对训练5】计算:1998+19982-19992.将一条400 cm长的金色彩带剪成两段,恰好可用来镶嵌两张大小不同的正方形壁画的边(不计算接头处),已知两张壁画的面积相差4000 cm2.这条金色彩带应剪成多长的两段?【针对训练6】王师傅铸造了如右图所示的一种零件,在边长为10 cm的正方形内部有四个大小不同的圆,它们的直径分别为 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,他想知道阴影部分的面积,请你帮他算一算(π取3.14).专题五易错点对分解因式的方法掌握得不够彻底例7.分解因式:36x2-36x+9.例8.分解因式:9a2-4b2.例9.分解因式:-3m2n+6mn-3n.例10.分解因式:21a2-ab+21b2.。
因式分解复习讲义
辅导讲义本节课的授课目标：复习因式分解的相关知识，能熟练的进行因式分解本节课的主要授课重难点：本节课的主要授课内容：一、自主整理1. 因式分解的方法：提公因式法运用公式法分组分解法十字相乘法2．几种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式（平方差公式，完全平方公式）③再用十字相乘法(三项式) ④最后考虑分组分解法(四项或四项以上的多项式 )3.因式分解四个注意（1）、首项有负常提负，如因式分解a2－b2＋2ab＋4（2）、各项有公先提公如因式分解 8a4－2a2（3）、某项提出莫漏 1 如因式分解 a3-2a2+a这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉 1。
防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a 2-2a) 的错误。
（4）、括号里面分到“底”如因式分解x4－3x2－4这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底，不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。
4.分组分解法(1).按字母特征分组①a +b +ab +1 ②a2－ab＋ac－bc(2).按系数特征分组①7x 2 + 3y +xy + 21x ②2ac -6ad +b c -3bd(3).按指数特点分组①a2 - 9b2 + 2a - 6b② x2 +x - 4 y2 - 2 y(4).按公式特点分组①a2－2ab ＋b2－c2 ②a 2 - 4b2 +12bc - 9c2小结：a.合理分组（2+2型）；b.组内分解（提公因式、平方差公式）c.组间再分解（整体提因式）d.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.5.十字相乘法x2 +px +q =x2 +(a +b)x +ab = (x +a)(x +b)（1）x2- 5x + 6 （2）x2+ 5x + 6 （3）a2b2 - 7ab - 8 （4）m2 -3mn - 4n2（5）x4 - 6x2 - 27 （6）(a＋b)2 ＋5(a＋b) －36 （7）2x2 ＋5x＋2；二、实战演练（一）、选择题1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（）A、x 2 - 9 + 6x = (x + 3)( x - 3) + 6xB、(x + 5)(x - 2)=x 2 + 3x -10C、x 2 - 8x +16 =(x - 4)2D、(x - 2)(x + 3)=(x + 3)(x - 2)2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）A、-m2 + 4B、-x 2 -y 2C、x 2 y 2 -1D、(m -a)2 -(m +a)23、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（）A、a2 - 2ab + 4b24m2 -m +1B、 4C、9 - 6 y +y 2D、x 2 - 2xy -y 24、把多项式p 2 (a -1)+p(1 -a)分解因式的结果是（）A、(a -1)(p 2 +p)B、(a -1)(p2 -p)C、p(a -1)(p -1)D、p(a -1)(p +1)5、若9x 2 -kxy + 4 y 2 是一个完全平方式，则k 的值为（）A、6B、±6C、12D、±126、-(2x -y)(2x +y)是下列哪个多项式分解的结果（）A、4x 2 -y 2B、4x 2 +y 2C、- 4x 2 -y 2D、- 4x 2 +y 27、若a +b =-3, ab = 1,则a 2 +b2 =（）A、－11B、11C、－7D、78、2x3 -x2 - 5x +k 中，有一个因式为(x - 2)，则k 值为（）A、2 B－2 C、6 D、－69、已知x 2 +y2 + 2 x - 6 y +10 = 0,则x +y =（）A、2B、－2C、4D、－410、若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足a2b -a2 c +b2 c -b3 = 0 ，则这个三角形是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、三角形的形状不确定（二）、填空题1、若x2 +ax +b = (x + 3)( x- 4), 则a =,b =。
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因式分解专题复习
【知识回顾】
1、下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
（A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m
（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()
()112+-=+-b ab a b b a a 2、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A.()2
1a a a a +=+ B. ()23131a a a a +=++－ C.()2242( 2)x y x y x y =+－－ D. ()33()a b b a -=－－
一、提公因式法
（1）提公因式法： ()ab ac a b c +=+
①提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
②当某一项全部提出时，括号内加1；
③当第一项系数为负数时，一般提取此负号。
【例题辨析】
1、把多项式－8a 2b 3c ＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )
A.－8a 2bc
B. 2a 2b 2c 3
C.－4abc
D. 24a 3b 3c 3
2、20032002)2()2(-+-因式分解后是( ).
A.22002
B.–2
C.–22002
D.–1
3、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
A 、－a 、
B 、))((b x x a a ---
C 、)(x a a -
D 、)(a x a --
二、公式法
1、平方差公式：
2、完全平方公式：
【例题辨析】
1、下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
（A ）42+a （B ）22
-a （C ）42+-a （D ）42--a
2、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．
（A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x+1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12
[ 3、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ． ()224x -
B ．()224x -
C ．()222x -
D ．()222x + 4、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
5、22)(n x m x x -=++，则m =____ ； n =____。
6、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a = 。
7、如果的值是那么可分解为k b x a x ab kx x ),)((2+++-(
). A.b a + B.b a -- C.b a +- D.b a -
8、分解因式：
（1）2296m mn n －＋ （2）()22
241x x -+
三、分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++
（1）.3223y xy y x x --+ （2）1y -x -xy +
（3）22y 41-xy 4-x + （4）a 4-b 9b 12ab 6-a 22++
【归纳总结】
归纳1、因式分解注意：
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
归纳2、因式分解的一般步骤是：
通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
四、十字相乘法
（一）二次项系数为1：()()()b x a x ab x b a x 2++=+++
【例题辨析】
1、分解因式
（1）2
56x x -- = （2） 672+-x x = （3） 24102--x x = （4）36152+-a a =
（5）5-x 4x 2+= （6）15-y 2-y 2=
（7） 2256x xy y +- =
五、分解因式（展开变换）：
（1）a(a+2)+b(b+2)+2ab （2） x(x-1)-y(y-1)
五、代数式求值
1、 已知3
12=
-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
2、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值
3、已知2=+b a ，求)(8)(2
2222b a b a +--的值。