因式分解的四种方法(讲义)
因式分解所有方法归纳总结
因式分解所有方法归纳总结在代数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。
它可以帮助我们简化复杂的数学表达式，找出其基本的构成部分。
在本文中，我们将对因式分解的各种方法进行归纳总结，并介绍它们的应用以及解题技巧。
一、公因式提取法公因式提取法是最基本的因式分解方法之一。
它的思路是将一个表达式中的公因式提取出来，从而简化表达式。
例如，对于表达式3x+9，我们可以提取出公因式3，得到3(x+3)。
在这个例子中，公因式提取法的应用使我们得到一个更简单的表达式。
二、配方法配方法是因式分解中常用的方法之一。
它的基本思路是通过适当的变换将一个表达式转化为可以直接进行因式分解的形式。
例如，对于二次三项式x^2+5x+6，我们可以通过配方法将其转化为(x+2)(x+3)的形式来进行因式分解。
具体的步骤是：1.找出二次三项式的首项系数、末项系数和常数项，记作a、b和c；2.计算出常数项的因子组合，找出满足a+c=b的两个数；3.将找到的两个数作为中间项的系数，拆分中间项，然后进行因式分解。
三、差的平方差的平方是一种特殊的因式分解形式，它的规则是(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
通过利用这个规则，我们可以将一个二次差的平方表达式直接因式分解。
例如，对于表达式x^2-4，我们可以利用差的平方公式直接得到(x-2)(x+2)的形式。
四、完全平方差完全平方差是另一种特殊的因式分解形式，它的规则是(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。
通过利用这个规则，我们可以将一个二次完全平方差表达式直接因式分解。
例如，对于表达式x^2-4x+4，我们可以利用完全平方差公式直接得到(x-2)^2的形式。
五、综合法综合法是一种综合利用以上各种方法的因式分解方法。
它的基本思路是通过适当地组合和变换，找到使得一个表达式能够因式分解的形式。
例如，对于二次三项式x^2-5x+6，我们可以应用配方法和差的平方形式来进行因式分解。
具体的步骤是：1.使用配方法将表达式转化为(x-2)(x-3)的形式；2.观察到x-2和x-3之间存在差的平方关系，即(x-2)(x-3)=(x-2)^2-1，从而进一步化简为((x-2)^2-1)。
因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解讲解
因式分解讲解一、辅导内容提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法的掌握。
二、学习指导因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。
重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。
难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。
三、考点阐述考点1 提公因式法和公式法 常用公式：（1）))((22b a b a b a +-=- （2）222)(2b a b ab a ±=+± （3）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （4）))((2233b ab a b a b a ++-=- 补充公式：（1）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++例1 （1）33xy y x -； （2）x x x 2718323+-（3）()112---x x （4）()()3224x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”③注意()()n na b b a 22-=-，()()1212++--=-n n a b b a④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
答案：（1）()()y x y x xy -+； （2）()233-x x ；（3）()()21--x x ； （4）()()y x y x -+-222考点2 十字相乘法例2 （1） 893+-x x （2）32231222xy y x y x -+；（3）()222164x x -+ （4）22103y xy x --分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。
因式分解方法总结图
因式分解方法总结图因式分解是代数学中的一种重要概念，通过将一个多项式分解为不可再分解的因子的乘积形式，可以简化复杂的多项式的计算和求解，是解决多项式相关问题的关键步骤之一。
本文将总结常用的因式分解方法，并用图表的形式进行展示。
一、因式分解方法总结1.提公因式法（抽取公因式法）–步骤：•将多项式中的各项提取一个公因式。
–适用条件：•各项中存在相同的因子。
2.配方法–步骤：•将多项式的各项平方，然后通过合并或分解得到一个完全平方的二次多项式。
–适用条件：•多项式为二次多项式。
•多项式的第一项为完全平方。
3.分组分解法–步骤：•将多项式的各项适当分组，通过合并或分解得到一个有规律的多项式，再通过提公因式法分解。
–适用条件：•多项式的各项之间存在相关性或相似性。
4.差平方公式–步骤：•将二次多项式按照差平方公式进行分解。
–适用条件：•多项式符合差平方公式的形式。
二、因式分解方法示例下表总结了四种常用因式分解方法的步骤和适用条件。
因式分解方法步骤适用条件提公因将多项式中的各项提取一个公因式各项中存在相同的因子式法配方法将多项式的各项平方，然后通过合并或分解得到一个完全平方的二次多项式多项式为二次多项式。
多项式的第一项为完全平方。
分组分解法将多项式的各项适当分组，通过合并或分解得到一个有规律的多项式，再通过提公因式法分解多项式的各项之间存在相关性或相似性。
差平方公式将二次多项式按照差平方公式进行分解多项式符合差平方公式的形式。
三、示例图表以下是对以上四种因式分解方法的示例图表。
1. 提公因式法示例多项式：2x^2 + 6x**步骤：**1. 提取公因式：2x**分解结果：**2x(x + 3)2. 配方法示例多项式：x^2 + 6x + 9**步骤：**1. 合并平方项：(x + 3)^2**分解结果：**(x + 3)(x + 3)3. 分组分解法示例多项式：2x^3 - 4x^2 + x - 2**步骤：**1. 分组：(2x^3 - 4x^2) + (x - 2)2. 提取公因式：2x^2(x - 2) + 1(x - 2)**分解结果：**(x - 2)(2x^2 + 1)4. 差平方公式示例多项式：x^2 - 4y^2**步骤：**1. 差平方公式：(x - 2y)(x + 2y)**分解结果：**(x - 2y)(x + 2y)四、总结本文介绍了常用的因式分解方法，并通过示例图表展示了每种方法的具体步骤和适用条件。
“四法”搞定因式分解
文本解读新课程NEW CURRICULUM“四法”搞定因式分解曹德文（甘肃省泾川县合道初级中学）一、提公因式法多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。
通过观察我们可以发现：一个多项式的公因式实质上是取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积的形式。
【典型例题】把下列多项式分解因式：（1）8a3b2-12ab3c；（2）-2m3+4m2+2m；（3）6（x-2）+x（2-x）；（4）18b（a-b）2-12（a-b）3。
【解析】（1）8a3b2-12ab3c=4ab2（2a2-3bc）；（2）-2m3+4m2+2m=-2m（m2-2m-1）；（3）6（x-2）+x（2-x）=6（x-2）-x（x-2）=（x-2）（6-x）；（4）18b（a-b）2-12（a-b）3=6（a-b）2［3b-2（a-b）］=6（a-b）2（5b-2a）。
二、运用公式法初中阶段主要涉及两类三个公式，平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2；1.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
【典型例题】把下列各式分解因式：（1）1-25b2；（2）（x+p）2-（x+q）2；（3）16（a-b）2-9（a+b）2；（4）x4-y4。
【解析】（1）1-25b2=12-（5b）2=（1+5b）（1-5b）；（2）（x+p）2-（x+q）2=［（x+p）+（x+q）］［（x+p）-（x+q）］=（2x+p+q）（p-q）；（3）16（a-b）2-9（a+b）2=［4（a-b）］2-［3（a+b）］2=［4（a-b）+3（a+b）］［4（a-b）-3（a+b）］=（7a-b）（a-7b）；（4）x4-y4=（x2）2-（y2）2=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）。
2.完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2。
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法探求点1 用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。
(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：①移项,使方程的左边为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。
如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。
典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x2=11x；(2)(x-2)2=2x-4.解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。
答案 (1)移项,得4x2-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,(x-2)2-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。
因式分解法的四种方法初中
因式分解法的四种方法初中如下：
因式分解法的四种方法是：提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的。
由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式
（x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
因式分解的方法
因式分解的方法因式分解是代数学中的重要概念，它在解决多项式的因式问题时起着至关重要的作用。
因式分解的方法有多种，本文将为大家介绍一些常见的因式分解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一下因式分解的基本原理。
当我们要对一个多项式进行因式分解时，其实就是要把这个多项式表示成几个因式的乘积的形式。
而要实现这个目标，我们就需要运用一些特定的方法和技巧来进行因式分解。
一、公因式提取法。
公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法。
它适用于多项式中含有公因式的情况。
具体来说，就是先找到多项式中的公因式，然后将其提取出来，再将剩下的部分进行因式分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以提取出公因式2x，得到2x(1+2y)，这样就完成了因式分解。
二、配方法。
配方法是另一种常用的因式分解方法。
它适用于多项式中含有平方项的情况。
具体来说，就是通过加减平方项的方法，将多项式转化为一个完全平方的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其转化为(x+y)^2，然后再进行因式分解。
三、分组分解法。
分组分解法是针对四项式的因式分解方法。
具体来说，就是将四项式中的四个项进行分组，然后再对每组进行公因式提取或者配方法，最终将四项式进行因式分解。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其分组为(x^2+2xy)+(2x+4y)，然后再进行因式分解。
四、换元法。
换元法是一种比较灵活的因式分解方法。
它适用于多项式中含有复杂因式的情况。
具体来说，就是通过变量替换的方法，将多项式转化为一个更容易进行因式分解的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+3x^2+3x+1，我们可以通过令y=x+1，将其转化为y^3，然后再进行因式分解。
以上就是一些常见的因式分解方法，当然，实际问题中可能还会涉及到更多的情况和方法。
希望大家通过学习和练习，能够更好地掌握因式分解的方法，从而更好地解决代数学中的问题。
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因式分解的四种方法（讲义）
课前预习
1．平方差公式：___________________；完全平方公式：_______________________； _______________________．
2．对下列各数分解因数：
210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________．
3．探索新知：
（1）39999-能被100整除吗？
小明是这样做的：
32299999999991
99(991)
99(991)(991)999800
9998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯ 所以39999-能被100整除．
（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？
（3）3m m -能被哪些整式整除？
知识点睛
1．__________________________________________叫做把这个多项式因式分解．
2.因式分解的四种方法
（1）提公因式法
需要注意三点：
①公因式要提尽；②首项为负时要提出负号；③提公因式后项数不变．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
运用公式法时需要注意两点：
①能提公因式先提公因式；②找准公式中的a 和b ．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
2()()()x p q x pq x p x q +++=++
3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
精讲精练
1.下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；
③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2221x x x x x ⎛⎫
++=++ ⎪⎝⎭；
⑥24(2)(2)m m m -=+-；⑦2244(2)y y y -+=-．
2.因式分解（提公因式法）：
（1）2212246a b ab ab -+；
（2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；
（4）22()()x x y y y x ---；
（5）1m m x x -+．
3.因式分解（公式法）：
（1）249x -；
（2）216249x x ++； （3）2244x xy y -+-；
（4）229()()m n m n +--；
（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；
（6）2(25)4(52)x x x -+-；
（7）228168ax axy ay -+-； （8）44x y -；
（9）4221a a -+；
（10）22222()4a b a b +-．
4.因式分解（分组分解法）：
（1）2105ax ay by bx -+-；
（2）255m m mn n --+； （3）22144a ab b ---；
（4）22699a a b ++-； （5）2299ax bx a b +--；
（6）22244a a b b -+-．
5.因式分解（十字相乘法）：
（1）243x x ++；
（2）26x x +-； （3）223x x -++；
（4）221x x +-； （5）22512x x +-；
（6）2232x xy y +-；
（7）2221315x xy y ++；
（8）3228x x x --．
6.用适当的方法因式分解：
（1）222816a ab b c -+-；
（2）22344xy x y y --； （3）22(1)12(1)16a a ---+；
（4）(1)(2)12x x ++-； （5）2(2)8a b ab -+； （6）222221x xy y x y -+-++．
【参考答案】
课前预习1.； 2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×2
3.（2）
∴能被90整除
∴能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 知识点睛
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式
2.（2）平方差公式；完全平方公式；（3）公因式；完全平方公式；平方差公式
3.一提二套三分四查；有理数
精讲精练
1.④⑥⑦
2.（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）． 3.（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）；
（9）；．
4.（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；．
5.（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）．
6.（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）． 22()()a b a b a b +-=-222222
()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+；328989898989-=⨯-289(891)
89(891)(891)899088
=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯3223(1)(1)(1)m m m m m m m m m m -=⋅-=-=+-（）38989-3m m -6(241)ab a b -+2(1)a a a -+-()()a b m n -+3()x y -1(1)m x x -+(23)(23)x x +-2(43)x +2(2)x y --4(2)(2)m n m n ++29(2)x y -(25)(2)(2)x x x -+-28()a x y --22()()()x y x y x y ++-22(1)(1)a a +-22()()a b a b +-(5)(2)x y a b --(5)()m m n --(12)(12)a b a b ++--(33)(33)a b a b +++-()(31)(31)a b x x ++-(2)(22)a b a b -+-(1)(3)x x ++(3)(2)x x +-(3)(1)x x --+(21)(1)x x -+(4)(23)x x +-()(32)x y x y +-(5)(23)x y x y ++(2)(4)x x x +-(4)(4)a b c a b c -+--2(2)y x y --2(5)(3)a a --(2)(5)x x -+2(2)a b +2(1)x y --。