数学文化作业

《缀术》的读书报告《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅之父子的数学研究成果。

这本书被认为内容深奥，以致“学官莫能究其深奥，故废而不理”（《隋书》）。

《缀术》在唐代被收入《算经十书》，成为唐代国子监算学课本，当时学习《缀术》需要四年的时间，可见《缀术》的艰深。

《缀术》曾经传至朝鲜、日本，但到北宋时这部书就已亡佚。

《缀术》是祖冲之所作，还是祖暅之所作，中国数学史界至今没有定论，在可以预见的将来，也不可能有定论。

不过，有两点是可以肯定的：一，它是祖冲之父子的著作。

二，它是中国自汉魏至隋唐水平最高的数学著作。

李淳风高度评价了祖冲之的数学贡献，认为“指要精密，算氏之最者也”。

他所著的《缀术》，因“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。

遂失传。

稍前于李淳风的王孝通却对《缀术》横加指责，他说：“其祖暅之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之术全错不通，刍亭[2]、方亭之间，于理未尽。

”那么，到底是《缀术》“全错不通”，还是王孝通“莫能究其深奥”？这一问题虽未引起广泛的讨论，学术界却一直有不同的看法。

笔者认为：“王孝通对缀术的指责表明王氏不能理解祖家父子的数学创造，而不是相反。

然而，当时对这种看法的理由说得不充分，现阐述如下。

第一点：首先，考察中国传统数学的发展脉络。

隋唐虽然是盛世，数学上也有设立算学馆，整理算经十书等举措，但除在天文历法的计算中先后使用了等间距和不等间距内插法外，几无创造。

它在数学成就与数学理论上，不仅远低于后来的宋元，而且远低于前此的魏晋南北朝。

人们往往只注意明朝数学的落后——它适逢西方文艺复兴前后，西方数学崛起，随后是变量数学的产生，中国从此失去了数学大国的地位，以至于700年后的今天，还没有完全翻过身来，容易引起重视，而同时，却忽视了盛唐数学的落后。

因为一方面宋元数学的高潮掩盖了在它前面曾经出现过的低潮，另一方面设立算学馆、明算科，整理算经十书等举措给人以繁荣的假象；同时，人们也不容易将盛世与数学这一重要学科落后联系起来；甚至乾嘉时期人们还认为数学“显于唐，晦于宋”实际上，隋唐时期没有出现过一位可以与其前刘徽、祖冲之，其后贾宪、秦九韶、李冶、朱世杰等比肩的数学家，也没有创作过一部可以与其前《九章算术》、《九章算术注》、《缀术》，其后《黄帝九章算经细草》、《数书九章》、《测圆海镜》、《详解九章算法》、《算学启蒙》、《四元玉鉴》等等量齐观的数学著作。

王孝通的《缉古算经》在解决土木工程中的数学问题上有所推进，其主要贡献是三次方程。

而据钱宝琮考证，祖冲之已能解负系数三次方程，比王孝通还高明。

李淳风等整理十部算经，很有贡献，然而，除《周髀算经注释》比赵爽注有所推进外，他们对其他算经的注释，意义都不大。

尤其是对《九章算术》的注释，从整体上讲，无论是数学成就还是数学理论，都是远远低于刘徽注的作品。

[7]应该说，王孝通、李淳风是唐朝最有名的两位数学家．他们尚且如此，遑论其他。

事实上，李淳风已经发现隋和唐初的数学不如前代，直言当时的算学馆学官（相当于今天的重点大学数学系教授）对《缀术》“莫能究其深奥，是故废而不理”。

这一状况的直接后果是造成《缀术》失传的悲剧。

《缀术》列入算学馆教材。

但是，是不是实施了教学活动，我很怀疑。

教师都不懂，怎样教学生？只好“废而不理”。

此语出自一位当时的大数学家，应该是可信的。

《唐六典》等史书反映的只是官方文件，而官方文件总不会百分之百的被实行的，任何社会都是这样，唐初也不会例外。

顺便说一下《缀术》的失传问题。

笔者认为，《缀术》的失传不是在宋初，而是在唐初之后，很可能在安史之乱时。

当时没有印刷术，《缀术》只有几个抄本，被废而不理，是很难流传下来的，特别，经不起大的全国性的战乱。

在安史之乱之后，又有唐末的大战乱和五代十国的纷争。

无论如何，是流传不到宋初的。

史书说楚衍“于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”，[8]只不过是史家信笔书来，并不是完全靠得住的。

楚衍是宋初天算家的领袖，贾宪的老师，天圣初（1023）与宋行古等制《崇天历》，皇佑（1049~1053）中造《司晨星漏历》，后来与周琮同管司天监。

可见，最迟在11世纪50年代，楚衍还积极地从事科学活动。

宋朝从建国到整个11世纪，没有发生过大的社会动乱或打击文化人的活动，如果楚衍还看到过《缀术》，那么，不到30年后的元丰七年（1084）秘书省刻十部算经时，不会找不到《缀术》而付之阙如。

总之，是隋唐数学的落后，导致了《缀术》的失传。

第二点：其次，与第一点相联系的，我们考察一下李淳风、王孝通对刘徽、祖冲之父子的指责。

先看李淳风等对刘徽的指责，主要有三处。

第一处是《九章算术》方田章方田术注释中，李淳风等针对刘徽注关于“凡广从相乘谓之幂”的定义，一方面说“观斯注意，积幂义同”；一方面又由幂字的本义，说“循名责实，二者全殊”，指责刘徽关于幂的定义“全乖积步之本义”，表示要“存善去非，略为料简，遗诸后学”。

这种指责是没有道理的。

《九章算术》没有幂的概念，它所使用的积，既可以是面积，又可以是体积。

刘徽则在积中划出广从相乘这一种，称为幂，也就是现在所说的面积。

显然，幂是积的一种。

换言之，幂是积，而积不一定是幂。

在逻辑上，幂是种，积是属，广从相乘是种差。

刘徽关于幂的定义符合逻辑学中定义等于属加种差的要求，是十分严谨的。

李淳风既看不出积、幂的相同之处，又看不出它们的区别，指责正确的刘徽，恰恰暴露了自己逻辑修养和数学水平的低下，起码远远低于刘徽。

第二处是方田章圆田术注释，李淳风等说，对周三径一，“刘徽将以为疏，遂乃改张其率。

但周、径相乘，数难契合。

徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。

祖冲之以其不精，就中更推其数。

今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。

故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。

”李淳风等表彰祖冲之求圆周率的成绩是完全正确的，然而贬斥刘徽则是十分错误的。

祖冲之与刘徽，没有是与非的问题，只有圆周率精确度的问题。

在中国数学史上，是刘徽首先创造了在正确的数学理论基础之上的求圆周率的程序。

科学的理论、正确的方法的建立，其意义远比它们的应用重要。

祖冲之求圆周率的程序没有流传下来，比较可靠的看法是，他使用了刘徽的方法，而在计算上更加精确。

钱宝琮指出：“李淳风缺少历史发展的认识，有意轻视刘徽割圆术的伟大意义，徒然暴露他们自己的无知。

”[12]钱宝琮的看法非常中肯。

李淳风不懂刘徽证明圆面积公式时所使用的无穷小分割方法和极限思想。

第三处在少广章开立圆术注释中，李淳风等在引用祖暅之的开立圆术之前说：“祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆qun为方率，丸为圆率。

”在引用了祖氏开立圆术之后说：“张衡放旧，贻哂于后。

刘徽循故，未暇校新。

夫其难哉，抑未之思也。

”这里的所谓“祖暅之谓”恐是李淳风等未准确反映祖氏的意思。

刘徽否定了《九章算术》的开立圆术，设计了牟合方盖，提出球与方盖的体积之比为π∶4 这一正确的论断，指出了解决球体积的正确途径。

刘徽未能求出牟合方盖的体积，实事求是地记下了自己的困惑，并寄希望于后学，表示“以俟能言者”，表现了一位真正的科学家的宽广胸怀。

刘徽多次阐发并应用了截面积原理，为祖暅之原理的最后完成作了充分准备。

[15]刘徽还批评了张衡开立圆术“欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密”[16]的错误。

祖氏父子继承刘徽的工作，提出祖暅之原理，求出了牟合方盖的体积，最终解决了球体积问题。

以祖冲之父子之实事求是和严谨的学风，是不可能在开立圆术问题上将刘徽与张衡等量齐观，并且指责刘徽与张衡一样“以圆qun为方率，丸为圆率”的。

显然是李淳风等以自己的思想篡改了祖氏的意思。

在这里，李淳风等同样不理解刘徽推翻《九章算术》开立圆术，设计牟合方盖的重大理论意义和实践意义。

总之，李淳风等对刘徽的三处指责，正确的都是刘徽，错误的都是李淳风等，反映出李淳风等无法理解刘徽的无穷小分割方法和极限思想，反映出李淳风等的理论水平和逻辑修养远远在刘徽之下。

我们再分析王孝通对刘徽和祖冲之父子的评价。

比较起来，王孝通对刘徽比对祖冲之父子客气一些。

他说：“魏朝刘徽笃好斯言，博综纤隐，更为之注。

徽思极毫芒，触类增长，乃造重差之法，列于终篇。

虽即未为司南，然亦一时独步。

”[17]王孝通没有挑出刘徽什么毛病，却只把刘徽看成一个“思极毫芒”的聪明人，称刘徽为魏晋数学的“独步”，但其思想和方法又不能成为数学家的指南。

要求王孝通象我们一样认识刘徽的业绩，是强人所难。

因为，即使刘徽本人对自己的思想和成就在中国数学史上的地位，也不会有我们这么清楚。

不过，王孝通没有理解刘徽的数学思想和成就的精髓，尤其是没有理解他的无穷小分割方法和极限思想，则是无疑的。

他贬斥了以往几乎所有的数学家，而没有被贬斥的刘徽又不能成为“司南”，言外之意，只有他自己才有资格做“司南”。

这种居高临下，以为自己比刘徽高明的态度，当然是我们不能接受的。

王孝通对祖冲之父子的指责在前面已引出。

在王孝通看来，《缀术》是有严重错误的。

由于《缀术》失传，人们难以拿出确凿的证据证明王说之不确。

但是，我们可以从侧面，从对祖冲之父子的其他著作的分析中推翻王孝通的看法。

流传到今天的完整的祖冲之的著作，只有关于《大明历》的《上大明历表》、《大明历法》和《大明历议》（今常称为《驳议》），而祖暅之的著作则只有开立圆术等片段。

这些著作的共同特点是实事求是，言之有据，推理严谨，逻辑清楚，没有空穴来风，或者数字神秘主义的东西。

按照我们今天的认识水平，可以批评他们的论述这里不足，那里有局限性，但是，按照南北朝时代人们的认识水平，却难以发现什么错误。

中国古代的数学家和天文学家的著作中，大都存在或多或少的错误，或者数字神秘主义的内容。

刘徽和祖冲之父子大约是错误最少的。

刘徽的《九章算术注》除图之外，被完整地保存了下来。

遍查整个刘徽注，除反驳《九章算术》宛田术时，有一个推理失误[18]外，没有发现任何错误。

钱宝琮词曰：“谁是刘徽私淑？都说祖家父子，成就最辉煌。

”[19]祖冲之父子除了继承刘徽求圆周率和球体积的工作外，他们实事求是的科学态度，“知之为知之，不知为不知”的严谨学风，缜密的逻辑推理，以及不迷信古人，敢于创新的进取精神，都是与刘徽相通的。

因此，《缀术》尽管已失传，无法了解它的具体内容，但是，可以肯定地说，除了其成就比刘徽更大，理论更深刻外，其严谨、缜密方面，应该与刘徽的《九章算术注》大体相当。

就是说，《缀术》可能有“于理未尽”的地方，但是，不会有“全错不通”的内容。

我们认为，是王孝通“莫能究其深奥”，又过于自负，才说它“全错不通”。

上面已经指出，虽然刘徽《九章算术注》未失传，但王孝通、李淳风等只能理解其中通俗的内容，无法理解其高深的内容和严密的逻辑，更无法理解其无穷小分割方法和极限思想。

事实上，唐初以降，一千多年间，人们一直未理解刘徽的这些贡献，而其中几个无穷小分割和极限过程，是20世纪才搞清楚的，有的延宕至70年代末80年代初才弄明白。