河南省顶级名校2021届高三上学期9月月考 数学(理)试题

2020-2021学年第一学期高三年级9月月考理科数学试卷考试时长：120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{|42}x A x =>，2{|0}B x x x =-<，则A B =.(0,1)A 1.(0,)2B 1.(,1)2C.D ∅ 2.已知1()1xf x x =-，则()f x 的解析式为1.()(0x A f x x x -=≠,且1)x ≠ 1.()(01B f x x x =≠-，且1)x ≠1.()(01C f x x x =≠-，且1)x ≠ .()(01xD f x x x =≠-，且1)x ≠3.已知命题:,∃∈p x R 210-+≥x x ；命题:q 若22<a b ,则<a b .下列命题为真命题的是.∧A p q .∧⌝B p q .⌝∧C p q .⌝∧⌝D p q4.若2a b =，34b =，4c ab =，则abc =1.2A .1B .2C .4D 5.函数2()ln(3)f x x ax =--在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是.(,2]A -∞- .(,2)B -∞- .(,2]C -∞ .(,2)D -∞6. 设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为2.,2n A n N n ∀∈> 2.,2n B n N n ∃∈≤ 2.,2n C n N n ∀∈≤ 2.,=2n D n N n ∃∈ 7.函数22ln(1)()(1)x f x x +=+的大致图象为A B C D8.已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值.A 恒大于0 .B 恒小于0 .C 等于0 .D 无法判断9.已知函数()x x f x e e -=+，若 1.12(2),(1),(log 3)a f b f c f ==-=，则实数,,a b c 的大小关系为.Aa b c << .B a c b << .C c b a << .Db c a <<10.已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为1.A e 1.B e- .C e - .D e 11.若函数2()x f x e ax =-有三个不同零点，则a 的取值范围是22.(,+) .(,) .(1,) .(1,)4242e e e e A B C D ∞+∞12.若定义域为R 的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，且当01x ≤≤时，()1f x x =-，则函 数()x f x e ⋅在[2,2]-上的最大值为.A e - .1B .C e .2D e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.函数2()ln(1)f x x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为_________. 14.已知函数()ln2exf x x=-，则()(2)f x f x +-=____ . 15．函数2log (1),0,()4, 0.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.16.已知函数21()ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：①010x e<<；②01x e>；③00()0f x x +<；④00()0f x x +>.其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．(1)证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；(2)若53132S =，求λ． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2(tan tan )A B +tan cos A B =tan cos BA+.(1)证明：2a b c +=； (2)求cos C 的最小值. 19.（本小题满分12分）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ； (2)若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1,AA AC AC BC =⊥.(1)证明：11A C AB ⊥；(2)设o 12,60AC CB A AC =∠=，求二面角11C AB B --的余弦值.21．（本小题满分12分）已知函数2()()x x f x e e a a x =--． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥，求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为 22cos sin θρθ=. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. (1)求集合M ；(2)若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.1高三9月月考理科数学参考答案一、选择题： C C B B A C D B D D A B二、填空题：13.1 14.2 15.11 16.①③三、解答题17.(1)1111a S a λ==+,1λ∴≠,111,01a a λ=≠-. ……2分 由1n n S a λ=+，111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-，即1(1)n n a a λλ+-=. ……4分10,0,0n a a λ≠≠∴≠,101n n a a λλ+∴=≠-，所以{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列， 其通项公式为11()11n n a λλλ-=--. ……6分 (2)由(1)得11()1n n n S a λλλ=+=--. 由53132S =得5311()132λλ-=-， ……10分 51(),1132λλλ==--. ……12分 18.(1)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+得 sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+， ……3分 所以2sin sin sin C B C =+， ……5分 由正弦定理，得2a b c +=． ……6分(2)由22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--== ……8分22233311112222()2c c a b ab =-≥-=-=+． ……10分所以cos C 的最小值为12． ……12分 19.解：(1)2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++，2()[(1)1]x f x ax a x e '=-++，2(2)(21)f a e '=-. ……3分由题设知(2)0f '=，即2(21)0a e -=，解得12a =． ……5分 (2)由(1)得2()[(1)1](1)(1)x x f x ax a x e ax x e '=-++=--． ……7分若1a >，则当1(,1)x a∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在1x =处取得极小值． ……8分若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，110ax x -≤-<，所以()0f x '>． ……10分 所以1不是()f x 的极小值点． ……11分 综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞． ……12分 20.解：(1）连1AC . ∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11AC AC ⊥. ……1分 ∵平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =， BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面11AAC C . ……2分 又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ……3分 ∵1111AC B C C =，∴1A C ⊥平面11AB C ， ……4分 而1AB ⊂平面11AB C ，∴1A C ⊥1AB . ……5分 (2)取11A C 的中点为M ，连结CM . ∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=， ∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥. ……6分 又∵CM BC ⊥，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=， ……7分 ∴C (0，0，0)，1A (1，0，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B (-1，1由(1)知，平面11C AB的一个法向量为(110CA =，. ……9分设平面1ABB 的法向量为()n x y z =，，，则1 n AB n AB ⊥⊥，，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.∵()2 1 0AB =-，，，(13 1AB =-，，∴20330x y x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩.令1x =，得23y z ==，，即 (12n =，. (10)分∴111cos 42CA n CA n CA n⋅<>===⋅⨯， ……11分 ∴二面角11C AB B --的余弦值为……12分 21.解：(1)函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-. ……2分① 若0a =，则2()x f x e =，在(,)-∞+∞单调递增． ……3分 ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增． ……4分③若0a <，则由()0f x '=得ln()2ax =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2ax ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增． ……6分（2）①若0a =，则2()x f x e =，所以()0f x ≥． ……7分 ②若0a >，则由(1)得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．……8分② 若0a <，则由(1)得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a af a -=--． ……10分从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥． ……11分综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-． ……12分22.解：(1)由22cos sin θρθ=，得22sin 2cos ρθρθ=， …… 3分 所以曲线C 的直角坐标方程为22y x =． …… 5分 (2)将直线l 的参数方程代入22y x =，得22sin 2cos 10t t αα--=． 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1212222cos 1,sin sin t t t t ααα+==-， …… 7分∴1222||||sin AB t t α=-===， …… 9分 当2πα=时，||AB 取最小值2． ……10分23.解：(1)()31316f x x x =++-<.当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-；当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤；当13x >时，()31316f x x x x =++-=,由66x <解得1x <，113x ∴<<. …… 3分综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<<. ……5分 (2)()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =--, …… 7分由,a b M ∈得1,1a b <<,2210,10a b ∴-<-<, …… 9分22(1)(1)0a b ∴-->,1ab a b ∴+>+. ……10分。