北京初三数学中考压轴题
北京中考数学几何压轴题
北京中考数学几何压轴题北京中考数学几何压轴题会根据具体年份的考试题目而有所不同。
但通常来说，几何压轴题会涉及三角形的面积、相似三角形、直角三角形等知识点。
下面是一个可能的压轴题示例：已知直角三角形ABC，其中∠B=90°，AB=3 cm，BC=4 cm。
点D在边AC上，且AD=2 cm。
连接BD，交AC于点E。
求证：△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。
解题思路如下：1. 证明△BDE和△ABC的对应角等于90°。
由题意知△ABC是直角三角形，所以∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+90°+∠C=180°，得∠A+∠C=90°。
而根据直角三角形内角和定理可知∠BDE=∠A，故∠BDE+∠C=90°，证明了△BDE和△ABC的对应角等于90°。
2. 证明△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。
首先，根据BD的定义可知△BDE是直角三角形，所以BD 为√（BE²+DE²）。
根据勾股定理可知AB²+BC²=AC²，即3²+4²=AC²，得AC=5 cm。
根据相似三角形的性质，当两个三角形的对应角相等时，它们的对应边的比例相等，所以AB/BE=BC/DE=AC/BD。
代入已知值可得3/BE=4/2=5/BD，解得BE=3/5 cm，BD=6/5 cm。
于是，BD/AB=(6/5)/3=2/5，即△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。
综上所述，△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。
2022北京中考数学二模分类《几何综合压轴题》含答案解析
2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题） 如图, 在等边 中, 点 在的延长线上, 点 是边上的一个动点 (点 不 与点 重合), 将线段绕点 逆时针旋转 得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题 中点问题（附加2题） 一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。
北京各区中考数学 二次函数及压轴题人教版word精品文档11页
朝阳24．（本小题满分7分）已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．崇文2５．已知抛物线21y ax bx =++经过点A （1，3）和点B （2，1）． （1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点,再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE倍,试确定点F 的位置,使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明） 23．已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．东城18．已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）m 的值为 ；（2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <的大小.23. 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y得到抛物线C 2的图象，抛物线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3． （1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象；（2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值；（3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，A（0），B（2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C . （1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PB C ∆的面积差的值.丰台23．（本小题满分7分）已知二次函数22-+-=m mx x y ．（1） 求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点；（2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3） 将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2A 、B 两点（点A 在点B 的左边），一个动点P 自A 点出发，x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长． 25．（本小题满分8分）已知抛物线22--=x x y ． （1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△P AC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．海淀23．关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数. （1）求c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.24. 点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.（1）当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； （2）设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ；（3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =，当QD m =时，求m 的值.石景山23．已知：ax y =与xb y 3+=两个函数图象交点为()n m P ,，且n m <，n m 、是关于x 的一元二次方程()03722=++-+k x k kx 的两个不等实根，其中k 为非负整数．（1）求k 的值； （2）求b a 、的值；（3）如果()0≠=c c y 与函数ax y =和x b y 3+=交于B A 、两点（点A 在点B 的左侧），线段23=AB ，求c 的值．25．已知：如图1，等边ABC ∆的边长为32，一边在x 轴上且()0,31-A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点C B 、的坐标；（2）若直线()01≠-=k kx y 将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点C B A 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()0,2-G 作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论： ① CDM GNM ∠=∠ ②DCM MGN ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．西城23．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称．①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；（3）在（2）的条件下，若二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立． 求二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的解析式. 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数333+=x y 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C的坐标为（3,0），连结BC ．（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点D ，分别连结EA 、EP ． ①若CP ＝6，直接写出∠AEP 的度数； ②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），∠AEP 的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP 的度数；（3）在（2）的条件下，若点P 从C 点出发在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC 与AP 于点F ，设△AEF 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，y ＝S 1－S 2，运动时间为t （t >0）秒时，求y 关于t 的函数关系式．宣武24．已知：将函数y =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．(1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由；图1 图2x212++b bx (3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围． 25．已知：如图，在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的21按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，，n OP （n 为正整数）(1)求点6P 的坐标；(2)求56POP △的面积；(3)我们规定：把点()n n n P x y ，（0123n =，，，，）的横坐标n x 、纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()n n x y ，称之为点 n P 的“绝对坐标”．根据图中点n P 的分布规律，请你猜想点n P的“绝对坐标”，并写出来． 大兴24. 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax21c b a ,,有如下关系：acx x abx x =⋅-=+2121,. 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的两个交点为)0,(),0,(21x B x A .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为： 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数)0(2a c bx ax y ++=的图象与x 轴的两个交点为)0,(),0,(21x B x A ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ∆为等腰三角形.（1）当ABC ∆为等腰直角三角形时，求;42的值ac b - （2）当ABC ∆为等边三角形时，=-ac b 42.（3）设抛物线12++=kx x y 与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且︒=∠90ACB ,试问如何平移此抛物线，才能使︒=∠60ACB ？25．已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图11，将N A C△沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，5P求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由. 23．已知抛物线2442y ax ax a =-+-， 其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若25a >，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,1)A 关于x 轴的对称点为C ，AC 与x 轴交于点B ，将△OCB 沿OC 翻折后，点B 落在点D处．（1）求点C 、D 的坐标；（2）求经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OC 交于点E ，点P 为 线段OC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q .① 当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点P 的坐标； ② 当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P 的坐标.房山23． 已知：抛物线1C ： 2445y ax ax a =++-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求抛物线的解析式和顶点P 的坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线2C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求平移后的抛物线2C 的解析式；（3）直线35y x m =-+与抛物线1C 、2C 的对称轴分别交于点E 、F ，设由点E 、P 、F 、M 构成的四边形的面积为s,试用含m 的代数式表示s ．25、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y =+x 轴、y 轴于A 、B 两点，点M(m,n)是线段AB 上一动点, 点C 是线段OA 的三等分点． （1）求点C 的坐标；（2）连接CM ，将△ACM 绕点M 旋转180°，得到△A ’C ’M.①当BM=12AM 时，连结A ’C 、AC ’,若过原点O 的直线l 2将四边形A ’CAC ’分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；②过点A ’作A ’H ⊥x 轴于H ，当点M 的坐标为何值时，由点A ’、H 、C 、M 构成的四边形为梯形？ 怀柔23．已知二次函数y ＝x 2－x ＋c ．(1)若点A (－1，n )、B (2，2n －1)在二次函数y ＝x 2－x ＋c 的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若D (2，y 1)、E (x 2，2)两点关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE 与抛物线y ＝x 2－x ＋c ＋ 38的交点个数，并说明理由．24．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由． 25．如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P、Q 分别从O、C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE ∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜92时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t 时,△PQF 为等腰三角形? 门头沟23.关于x 的一元二次方程01)2(2)1(22=+---x m x m . （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点A （1-，1-）是抛物线)2(2)1(22---=x m x m y 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A A DCB P MQ 60°轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 25. 如图：抛物线经过A （－3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点． （1）求抛物线的解析式．（2）已知AD ＝AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的条件下， M 为抛物线的对称轴上一动点，当MQ ＋MC 的值最小时，请求出点M 的坐标． 密云24顶点B 上，坐标为（-（1）点A （2（3）将三角板B '、C '是否在（2）中25．如图，在梯形ABCD 中，3510AD BC AD DC BC ===∥，，，，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 顺义23．已知：抛物线2(1)22y k x kx k =-++-与x 轴有两个不同的交点．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为整数，且关于x 的方程31x kx =-的解是负数时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线和x 轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长． 25．如图，直线1l ：y kx b =+平行于直线1y x =-，且与直线2l ：12y mx =+相交于点(1,0)P -． （1）求直线1l 、2l 的解析式；（2）直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点1B 处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点1A 处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点2B 处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点2A 处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，……照此规律运动，动点C 依次经过点1B ，1A ，2B ，2A ，3B ，3A ，…，n B ，n A ，…①求点1B ，2B ，1A ，2A 的坐标；②请你通过归纳得出点n A 、n B 的坐标；并求当动点C 到达n A 处时，运动的总路径的长． 通州22．如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E .（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t ≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.25．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在点B 左侧）.与y 轴交于点C ，顶点为D ，直线CD 与x 轴交于点E .（1）请你画出此抛物线，并求A 、B 、C 、D 四点的坐标.（2）将直线CD 向左平移两个单位，与抛物线交于点F （不与A 、B 两点重合），请你求出F 点坐标. （3）在点B 、点F 之间的抛物线上有一点P ，使△PBF 的面积最大，求此时P 点坐标及△PBF 的最大面积.（4）若平行于x 轴的直线与抛物线交于G 、H 两点，以GH 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径.17．已知二次函数22y x bx b =-++的图象的顶点在x 轴的负半轴上，求出此二次函数的解析式. 延庆23．已知: 关于x 的一元二次方程0)2(2=+++-n m x n m mx ①.（1）求证: 方程①有两个实数根;（2）求证: 方程①有一个实数根是1; （3）设方程①的另一个根为1x ，若2=+n m ，m 为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x 的二次函数n m x n m mx y +++-=)2(2的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5， 将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离。
北京市中考数学近三年压轴题汇编精品资料
北京市中考数学近三年压轴题汇编200622．（本小题满分4 分）请阅读下列材料：问题：现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x( x0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x25，解得x 5．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图 2 所示的分割线，拼出如图 3 所示的新正方形．图1图2图 3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图 5 的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．22．解：所画图形如图所示．图 4图 5七、解答题（本题满分 6 分）23．如图 1，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图 2，在△ABC中，ACB 是直角， B 60 ，AD，CE 分别是BAC ，BCA的平分线， AD ，CE相交于点 F ．请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图 3，在△ABC中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（ 1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：画图：M BEO P F DN A C B图 1图 2E （1）FE与FD之间的数量关系为．D F23．解：图略．画图正确得 1 分．A图 3C（ 1）FE与FD之间的数量关系为FE FD．·················2 分（ 2）答：（ 1）中的结论FE FD仍然成立．证法一：如图4，在AC上截取AG AE，连结FG．··············3 分B因为1 2 ， AF 为公共边，可证△ AEF ≌△ AGF ．EDF所以AFE AFG ， FE FG．··········4 分１4， AD， CE 分别是BAC， BCA 的平分线，23由B60A G C图 4可得2 3 60．所以 AFE CFD AFG 60 ．所以 CFG60 ．···································5 分由 34及 FC 为公共边，可得 △CFG ≌△ CFD ．所以FGFD ．所以 FEFD ． ·········································6 分证法二：如图 5，过点 F 分别作 FG ⊥ AB 于点 G ， FH ⊥ BC 于点 H ． ··············3 分因为B60 ，且 AD ， CE 分别是 BAC ，BCA的平分线，23 60 ， F 是△ABC 的内心．B所以可得······4 分ＧD1，FG FH ．EH所以GEF60F１4 又因为 HDFB1 ，23AC图 5所以GEFHDF． ·······················5 分因此可证 △ EGF ≌△ DHF ．所以 FEFD ． ·········································6 分八、解答题（本题满分 8 分）24．已知抛物线yax 2bx c 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于B(10)， ，C (5，0) 两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线yDC的解析式；54（3）若一个动点 P 自OA的中点 M 出发，先到达32 x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称1轴上某点 （设为点 F ），最后运动到点 A ．求使点3 2 11 23 4 5 6 7 x123P运动的总路径最短的点E ，点 F的坐标，并求出这个最短总路径的长．解： 24．解：（ 1）根据题意，c3，a b 3 0，所以25a 5b 3 0.a 3，5 b18 .解得5y3 x 2 18 x 3 所以抛物线解析式为5 5 ． ·························2 分（ 2）依题意可得 OA的三等分点分别为(0，1) ， (0，2) ．设直线CD的解析式为ykx b ．y1 x 1当点 D 的坐标为(0，1) 时，直线 CD 的解析式为5； ···········3 分y2 x 2当点 D 的坐标为(0，2)时，直线 CD 的解析式为5． ··········4 分M3y （ 3）如图，由题意，可得0，2 ．3 A0，3A点 M 关于 x 轴的对称点为MM2 ，FxO BE3C点 A 关于抛物线对称轴x3的对称点为A (6，3)．M连结AM．根据轴对称性及两点间线段最短可知，A M 的长就是所求点 P 运动的最短总路径的长． ··················································5 分所以 AM与 x 轴的交点为所求 E 点，与直线 x3的交点为所求 F 点．y3 x 3 可求得直线A M的解析式为42 ．3可得 E 点坐标为(2，0)， F 点坐标为3，4．···················7 分A M152 ．由勾股定理可求出(ME EF FA ) 的长为15所以点 P 运动的最短总路径2．··············8 分九、解答题（本题满分8 分）25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．解： 25．解：（ 1）略．写对一种图形的名称给 1 分，最多给 2 分．（ 2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 时，这对 60 角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．·································3 分已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC BD，且 AOD 60．求证：BCAD≥ AC．证明：过点D作DF∥AC，在 DF 上截取 DE ，使DE AC．连结CE， BE ．·········································4分故EDO 60，四边形ACED是平行四边形．所以△BDE是等边三角形，D分CE AD． (6)A所以DEBE AC ．O①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），B EC F在△ BCE 中，有 BC CE BE ．图 1所以BCAD AC ．·························7分。
北京中考数学几何压轴题
1.在平行四边形ABCD中，若∠A = 110°，则∠B的度数为：
A.70°（答案）
B.80°
C.90°
D.100°
2.一个圆的半径为r，其内接正方形的边长为：
A.r
B.√2r（答案）
C.2r
D.πr
3.在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若AC = 3，BC = 4，则AB的长度为：
A.5（答案）
B. 6
C.7
D.8
4.已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为：
A.13
B.17（答案）
C.13或17
D.无法确定
5.圆的切线垂直于过切点的半径，这是：
A.公理
B.定理（答案）
C.推论
D.假设
6.在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠A = 120°，则∠D的度数为：
A.60°
B.120°
C.60°或120°（答案）
D.无法确定
7.正方形的对角线长度为d，则其边长为：
A.d/2
B.d/√2（答案）
C. d
D.√2d
8.在圆O中，弦AB的长度为8，圆心O到弦AB的距离为3，则圆O的半径为：
A. 4
B.5（答案）
C. 6
D.7
9.已知三角形的三边长为连续整数，且最长边为8，则这个三角形的最短边长为：
A. 4
B. 5
C.6（答案）
D.7
10.在平行四边形ABCD中，若AB = CD，且∠A = ∠C，则平行四边形ABCD是：
A.矩形
B.菱形（答案）
C.正方形
D.无法确定。
北京中考数学压轴题2023
从条件入手，思考条件的按暗示。
先来看看题目中的条件∵△ABC是等腰△D为BC中点，可知三线合一AD⊥BCF是EB中点还有等腰DF=FG特殊的角度∠DFG=2α, ∠B=∠A=α方法1(思路分析)等腰DF=FG以及特殊角∠DFG=2α=2∠B暗示构造∠DFG的角平分线交AE于点H.可知∠HFE= ∠B∴AB∥HF,注意到F是EB中点∴HF是△AEB的中位线∴H是AE中点。
∵△AED是直角△联结HD（斜边中线）联结HG（角平分线模型）易知HD=HE=HA(直角△斜边中线等于斜边的一半) HD=HG(易证△HDF≌△HGF(SAS))∴HD=HE=HA=HGA、E、D、G四点共圆H为圆心∠ADE=∠AGE=90°.方法2(思路分析)∠DFG=2α=2∠BF是EB中点暗示倍长EG构造中位线（这条辅助线在前几年的中考都出现过）延长ED至点H，使得EG=HG联结AH、HB易知GF是△EBH的中位线∴GF∥HB,易知∠ABH=α再+条件AB=AC，妥妥的暗示△ACE≌△ABH但现在全等差一个条件∵FG=FD没用过，我们试证HB=CE易知FG=1/2HB下证FD=1/2CE(有点难度)设FD=y, ED=x∵F是EB中点∴FB=EF=x+yDB=FB+DF=x+2y∵D是BC中点∴CD=x+2y∴CE=CD-ED=2y∴FD=1/2CE∴HB=CE∴△ACE≌△ABH（SAS）∴AE=AH∵G是EH中点(中位线)∴∠AGE=90°方法3（简单分析）等腰DF=FG暗示三线合一提示易知∠ADG=∠HFG=αAD/AC=DG/CE=sinα∴△ACE∽△ADG∴∠CAE=∠DAG∠CAD=∠EAG(公共角) AC/AD=AE/AG∴△ACD∽△AEG∴∠AGE=90°。
2023北京中考数学专题突破——填空压轴题(学生版)
2023北京中考数学专题突破——填空压轴题1．张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买瓶．商品价格组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）25元组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）18元C：1支笔5元D：1个本4元E：一方砚台10元F：一瓶墨汁12元2．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）3．某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表小区需送快递数量需取快递数量A156B105C85D47E134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案（写出小区编号）．4．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：12345678累计工作时长最多件数（时）种类（件）甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为元．5．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：（1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个；（2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工套产品．6．某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款．小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付元；若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是．7．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为．（写出一种即可）8．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．9．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）A15410B2338C3148D42511E5139F34512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案．（写出要购买的大礼包编号）10．现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）：B1B2B3 A1（7t）126A2（12t）042A3（11t）315现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运吨到B2；（2）考虑各种方案，运费最低为元．11．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．12．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．13．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三（5）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一、二、三名（没有并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）分，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩同学第三轮的得分为．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮总分小恩a a27小王a b c11小奕c b10 14．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．准备时间（分钟）加工时间（分钟）用时种类米饭330炒菜156炒菜258汤5615．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，B B，C C，D D，E E，A260330300360240通过小客车数量（辆）在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是．16．某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．17．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为．工作一二三四五效益机器甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511 18．某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数，①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；②该小组人数的最小值为．19．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．20．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数（填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．21．为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为；②一个花坛花盆数量的最小值为．22．某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示：咖啡品种中杯（300ml）大杯（450ml）A30元/杯45元/杯B34元/杯55元/杯C45元/杯65元/杯咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元．请根据上述信息，回答下列问题：（1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的品种（填“A”，“B”或“C”）；（2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免元（减免的钱数为整数）．23．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊个和钥匙扣个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）．小熊钥匙扣套装进价13316售价16418购买意向40%30%25%24．某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动，商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类只有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如表：种类A B C D E 单价（元/类）2036426590小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为元．25．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如表：规格每包食材含量每包售价A包装1千克45元B包装0.25千克12元已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为包时，每日所获总售价最大，最大总售价为元．26．小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜．A套餐：一份盖饭加一杯饮料B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜（1）他们点了份A套餐（用含x或y的代数式表示）；（2）若x＝6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有种点餐方案．27．小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．28．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为．29．某快餐店的价目表如下：菜品价格汉堡（个）21元薯条（份）9元汽水（杯）12元1个汉堡+1份薯条（A套餐）28元1个汉堡+1杯汽水（B套餐）30元1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐）38元小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要元．30．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：车型大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金（元∕天）900800550则租车一天的最低费用为元．第11页（共11页）。
北京市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题综合练习
北京市数学初中九年级一次函数易错题压轴难题综合练习一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题1．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE2．点(),P x y 在第一象限，且6x y +=，点A 的坐标为()4,0，设OPA ∆的面积为S ，则下列图像中，能反映S 与x 之间的函数关系式的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．直线1y x =+与2y x a =-+的交点在第一象限，则a 的取值可以是（ ）A ．1-B ．3C ．1D ．04．小明家、食堂、图书馆依次在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着云图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程，小明离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法错误的是（ ）A ．小明从家到食堂用了8minB ．小明家离食堂0.6km ，食堂离图书馆0.2km C ．小明吃早餐用了30min ，读报用了17min D ．小明从图书馆回家的平均速度为0.08km/min5．如图是一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象，则不等式kx b x a ++＜的解集是（ ）A ．3x ＜B ．3x ＞C ．x a b ＞－D ．x a b <-6．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数2y x =的图像与直线y kx b =+交于()1,2--A ．直线y kx b =+，还经过点()2,0-．则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．2x <-B ．20x -<<C ．21x -<<-D ．10x -<< 7．下列函数中y 随x 的增大而增大，且图象与x 轴交点在y 轴左侧的是（ ） A ．21y x =-B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．21y x =-- 8．函数y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的图象如图，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＜2D ．x ＞29．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(1，0)，B(4，0)，C(1，4)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为( )A ．4B ．8C ．82D ．16 10．若点(2,1)P -在直线y x b =-+上，则b 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－311．如图，在矩形ABCD 中，一动点P 从点A 出发，沿着A→B→C→D 的方向匀速运动，最后到达点D ，则点P 在匀速运动过程中，△APD 的面积y 随时间x 变化的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，直线y=-x+2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若△OBC 和△OAD 的周长相等，则OD 的长是( )A ．2B ．2C ．522D ．413．如图是一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象，则不等式kx b x a ++＜的解集是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．3x >D ．3x <14．如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B ；按3B 此规律作下去，则点n B 的坐标为( )A ．(2n ，2n-1)B ．(12n -，2n )C ．(2n+1，2n )D ．（2n ，12n +）15．如图，直线3y kx =+经过点(2,0)，则关于x 的不等式30kx +≥的解集是（ ）A ．2x ＞B ．2x ＜C ．2x ≥D ．2x ≤16．如图，函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过点B （2，0），与函数y =2x 的图象交于点A ，则不等式0＜kx +b ＜2x 的解集为（ ）A ．12x <<B ．2x >C ．0x >D ．01x <<17．已知正比例函数y =kx 的图象经过点P （-1，2），则k 的值是（ ）A ．2B ．12C ．2-D ．12- 18．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,1)B ，(2,2)C ，当直线3y kx =+与ABC ∆有交点时，k 的取值范围是（ ）A ．2132k -≤≤-B ．223k -≤≤-C ．223k -<<-D ．122k -≤≤- 19．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣6（k ＜0）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．20．已知正比例函数y=kx ，且y 随x 的增大而减少，则直线y=2x+k 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错压轴选择题精选：一次函数选择题1．D【分析】根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的y 随x 的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的．【详解】A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离小于由小变大的距离，在点A 的距离是BA ，在点C 时的距离是BC ，BA ＜BC ，故选项A 错误；B 、由图1可知，若线段EF 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项B 错误；C 、由图1可知，若线段CE 是y ，则y 随x 的增大越来越小，故选项C 错误；D 、由图1可知，若线段DE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A 的距离是DA ，在点C 时的距离是DC ，DA ＞DC ，故选项D 正确；故选D．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．2．B【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵点P(x，y)在第一象限内，且x+y=6，∴y=6-x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为(4，0)，∴S=12×4×(6-x)=-2x+12（0＜x＜6），∴B符合．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意x，y的取值范围．3．B【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．【详解】联立12y xy x a=+⎧⎨=-+⎩，解得：1323axay-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∵交点在第一象限，∴1323aa-⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得：1a>．只有3a=符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键．4．C【分析】根据题意，分析图象，结合简单计算，可以得到答案.【详解】解：根据图象可知：A. 小明从家到食堂用了8min，故A选项说法正确;B. 小明家离食堂0.6km，食堂离图书馆0.8-0.6=0.2（km），故B选项说法正确；C. 小明吃早餐用了25-8=17（min），读报用了58-28=30（min），故C选项错误；D. 小明从图书馆回家的平均速度为0.8÷（68-58=）0.08（km/min），故D选项正确.故选C.【点睛】本题考核知识点：函数的图形.重点：分析函数图象，得到相关信息,并进行简单运算. 5．B【分析】利用函数图象，写出直线y1在直线y2下方所对应的自变量的范围即可．【详解】结合图象，当x＞3时，y1＜y2，即kx+b＜x+a，所以不等式kx-x＜a-b的解集为x＞3．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．6．C【分析】根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点，即可得出不等式2x＜kx+b 的解集，根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标即可得出不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，即可得出答案．【详解】由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点是A（-1，-2），∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜-1，∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（-2，0），∴不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，∴不等式2x＜kx+b＜0的解集是-2＜x＜-1，故选：C．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．7．B【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以判断哪个选项中的函数y随x的增大而增大，且图象与x轴交点在y轴左侧，本题得以解决．【详解】解：函数y=2x-1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项A不符题意；函数y=2x+1，y随x的增大而增大，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项B 符题意；函数y=-2x+1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（0.5，0），在y轴右侧，故选项C 不符题意；函数y=-2x-1，y随x的增大而减小，与x轴的交点是（-0.5，0），在y轴左侧，故选项D 不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．8．C【详解】根据图象可知y=kx+b与x轴交于（2,0），图像在交点的左侧部分满足不等式kx+b＞0 ，故解集为x<2，故选C.9．D【解析】试题解析：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y=2x-6上，∵C（1，4），∴FD=CA=4，将y=4代入y=2x-6中得：x=5，即OD=5，∵A（1，0），即OA=1，∴AD=CF=OD-OA=5-1=4，则线段BC扫过的面积S=S平行四边形BCFE=CF•FD=16．故选D．10．B【分析】将点P（-2，1）的坐标代入直线y=-x+b即可解得b的值；【详解】解：∵直线y=-x+b经过点P（-2，1），∴1=-(-2)+b，∴b= -1．故选：B．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键是根据点的坐标利用待定系数法求出b 的值．11．D【分析】分点P在AB段运动、点P在BC段运动、点P在CD段运动三种情况，分别求函数表达式即可．【详解】当点P在AB段运动时，△APD的面积y随时间x的增大而增大；当点P在BC段运动时，△APD的面积y保持不变；故排除A、C选项；当点P在CD段运动时，△APD的面积y随时间x的增大而减小；故选：D．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．12．B【分析】根据直线解析式可得OA和OB长度，利用勾股定理可得AB长度，再根据线段垂直平分线的性质以及两个三角形周长线段，可得OD=AB．【详解】当x=0时，y=2∴点B（0,2）当y=0时，-x+2=0解之：x=2∴点A（2,0）∴OA=OB=2∵点C在线段OD的垂直平分线上∴OC=CD∵△OBC和△OAD的周长相等，∴OB+OC+BC=OA+OD+AD∴OB+BC+CD=OA+OD+ADOB+BD=OA+OD+AD 即OB+AB+AD=OB+OD+AD∴AB=OD在Rt △AOB 中=故选B【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点坐标特征、线段垂直平分线的性质、以及勾股定理． 13．C【分析】根据函数图象可以直接判断本题的答案．【详解】解：结合图象，当3x >时，函数1y kx b =+在函数2y x a =+的下方，即不等式kx b x a ++＜的解集是3x >；故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线=+y kx b 在另一条直线（或者x 轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合；这是数形结合的典型考查．14．B【分析】先根据题意求出点A 2的坐标，再根据点A 2的坐标求出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点n B 的坐标．【详解】∵1(1,0)A∴11OA =∵过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B∴()11,2B∵2(2,0)A∴22OA =∵过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B∴()12,4B∵点3A 与点O 关于直线22A B 对称∴()()334,0,4,8A B以此类推便可求得点A n 的坐标为()12,0n -，点B n 的坐标为()12,2n n -故答案为：B．【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．15．D【分析】写出函数图象在x轴上方及x轴上所对应的自变量的范围即可．【详解】解：当x≤2时，y≥0．所以关于x的不等式kx+3≥0的解集是x≤2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．16．A【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y=2x 都在直线y=kx+b的上方，当x＜2时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜2x的解集．【详解】设A点坐标为（x，2），把A（x，2）代入y=2x，得2x=2，解得x=1，则A点坐标为（1，2），所以当x＞1时，2x＞kx+b，∵函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），∴x＜2时，kx+b＞0，∴不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．故选A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17．C【分析】把点P（-1，2）代入正比例函数y=kx，即可求出k的值．【详解】把点P(−1,2)代入正比例函数y=kx，得：2=−k，解得：k=−2.故选C.【点睛】此题考查待定系数法求正比例函数解析式，解题关键在于把已知点代入解析式. 18．B【分析】把A 点和B 点坐标分别代入y=kx+3中求出对应的的值，即可求得直线y=kx+3与△ABC 有交点时k 的临界值，然后再确定k 的取值范围．【详解】解：把A （1,1）代入y=kx+3得1=k+3，解得k=-2把B （3,1）代入y=kx+3得1=3k+3，解得：k=23- 所以当直线y=kx+3与△ABC 有交点时，k 的取值范围是223k -≤≤-． 故答案为B ．【点睛】 本题考查了一次函数与系数的关系,将A 、B 点坐标代入解析式确定k 的边界点是解答本题的关键．19．B【分析】一次函数y ＝kx +b 中，k 的符号决定了直线的方向，b 的符号决定了直线与y 轴的交点位置，据此判断即可．【详解】∵一次函数y ＝kx ﹣6中，k ＜0∴直线从左往右下降又∵常数项﹣6＜0∴直线与y 轴交于负半轴∴直线经过第二、三、四象限故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象问题，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．20．D【详解】∵正比例函数y kx =，且y 随x 的增大而减少，0k ．∴< 在直线2y x k =+中，200k ><，，∴函数图象经过一、三、四象限．故选D ．。
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最值类1．【2012•黔东南州】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长，并求MN长的最大值．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：(1)设抛物线的解析式为y=-x*2+2x+3(2)设直线BC的解析式为y=a(x+1)(x-3)则a(0+1)(0-3)=3,a=-1∴抛物线的解析式y=kx+b则有3k+b=0,b=3;k=-1,b=3故直线BC的解析式y=-x+3已知点M的横坐标为m则M(m,-m+3)、N(m,-m*2+2m+3)∴故N=-m*2+2m+3-(-m+3)=-m*2+3m(0＜m＜3）（△3）∵S BNC=S△MNC+S△MNB=1/2MN（OD+DB)=1/2MN•OB∴S BNC=1/2(△-m2+3m)•3=-3/2(m-3/2)×2+27/8（0＜m＜3)∴当m=3/2时△BNC的面积最大,最大值为27/82．【2012•恩施州】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．带入A，C坐标到抛物线：-1-b+c=0-4+2b+c=3b=2，c=3,抛物线y=-x^2+2x+3直线有两点更简单了根据A坐标，y=k(x+1),带入C坐标y=x+1D(1,4),N(0,3)MN+MD如果构成三角形，肯定大于ND，但是如果M同ND共线，并且在线段N D上，那就最小了，当然由于M横坐标比N和D都大，这个假设不可能由于M在直线x=3上面，所以考查D关于x=3的对称点D'(5,4),连接ND‘交于x=3的点就是取得最小值的M点。
B点坐标可以求出，E（m,m+1）的话，EF方程x=m，求出x=m与抛物线焦点，然后判断BD长度和EF长度，算出m值，有解的话就可以，没的话就不能。
P点坐标可以设为(n,-n^2+2n+3)，求出P到AC的最大距离就可以得到最大面积。
3．【2012•湘潭】如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解答：1、将B点坐标代人解析式得：a=½，∴抛物线解析式为：y=½x²－﹙3／2﹚x－22、由抛物线解析式得到：A、C点坐标为A﹙－1，0﹚、C﹙0，－2﹚.。
对称轴x=3／2，由BC两点坐标可以求得BC直线方程为：y=½x－2还可以求得：BC中点D的坐标为D﹙2，－1﹚设圆心Q点一定在BC的中垂线上，也一定在抛物线对称轴上，∴QD的直线方程可以设为：y=－2x＋b将D点坐标代人直线解析式得：b=3∴QD的直线方程为：y=－2x＋3将x=3／2代人解析式得：y=0∴圆心坐标为Q﹙3／2，0﹚.。
3、过M点作MP∥BC，且与抛物线相切﹙与抛物线只有一个交点﹚，则这时候的△MBC的面积最大。
设M点坐标为M﹙m，n﹚，MP的直线方程可以设为：y=½x＋p将M点坐标代人得：①n=½m＋p将M点坐标代人抛物线解析式得：②n=½m²－﹙3／2﹚m－2将①代人②化简得：m²－4m－4－p=0∴由Δ=﹙－4﹚²－4﹙－4－p﹚=0∴p=－8∴m²－4m＋4=0∴m=2∴n=－3∴M点坐标为M﹙2，－△3﹚时MBC的面积最大。
4：（以2009年河南中考数学压轴题）， t 2= ，t 3=． …………………11 分（2）连结 PO 、PC ，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP C ， 那么是否存在点 P ， 使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线 y=ax 2+bx 过 A 、C 两点.(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向 终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE ⊥AB 交 AC 于点 E.①过点 E 作 EF ⊥AD 于点 F ，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?②连接 EQ ．在点 P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的 t 值.解：(1)点 A 的坐标为（4，8）…………………1 分将 A(4，8)、C （8，0）两点坐标分别代入 y=ax 2+bx得 8=16a+4b0=64a+8b解得 a=-∴抛物线的解析式为：1 2,b=4y=- 1 2x 2+4x …………………3 分PE BC PE 4（2）①在 △R t APE 和 △R t ABC 中，tan ∠PAE= = ,即 =AP AB AP 81 1 1∴PE= AP= t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+t ，8-t ）.2 221 1 1 1 ∴点 G 的纵坐标为：-（4+ t ）2+4(4+ t ）=- t 2+8. …………………5 分22 281 1 ∴EG=- t 2+8-(8-t) =- t 2+t.881 ∵- ＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2.…………………7 分 8②共有三个时刻.…………………8 分t 1= 16 40 8 53 13 2 + 55．(2010 年恩施) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数y = x 2 + bx + c的图象与x 轴交于 A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于C （0，-3）点，点 P 是直线 BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．//（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.（1）将B（3，0），C（0，-3）代入y=x²+bx+c得0=9+3b+c-3=c，b=-2，y=x²-2x-3=（x-1）²-4，令x²-2x-3=0，（x-3)(x+1)=0∴B（3，0）A(-1，0）（2）设直线L∥BC且与y相切，切点为P，即P到直线BC距离最远，设直线L：y=x-m，联立：x²-2x-3=x-m，x²-3x+m-3=0Δ=3²-4（m-3）=0m=21/4.，∴x²-3x+21/4-3=0（x-3/2)²=0，x=3/2，y=-15/4，∴P（3/2，-15/4）两条平行线距离：（21/4-3）×√2/2=9√2/8，△BCP面积S=3√2×9√2/8×1/2=27/8.（3）过A作AQ⊥AC交于y，由LAC：y=-3x-3，∴LAQ：y=1/3（x+1）得：x²-2x-3=1/3x+1/33x²-7x-10=0（3x-10）(x+1)=0x1=10/3,,y1=4/3,∴Q1（10/3,，13/9）（x=-1是A点）过C作CQ⊥AC交于y，由LCQ：y+3=1/3x x²-2x-3=1/3x-33x²-7x=0，x=7/3，y=-2/3，∴Q2（7/3，-20/96．（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．（ 3 3 3 37、（2010 眉山）如图，△RtABO 的两直角边 OA 、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（ -3 ，0）、 0，4），抛物线 y = 2 3x 2+ b x + c 经过 B 点，且顶点在直线 x = 5 2上．（1）求抛物线对应的函数关系式； （△2）若 DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 A BCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作 MN 平行于 y 轴交CD 于点 N ．设点 M 的横坐标为 t ，MN 的长度为 l ．求 l 与 t 之间的函数关系式， 并求 l 取最大值时，点 M 的坐标．yBCNMAO D Ex解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 y =2 5( x - )2 + m 3 2∴ 4 = 2 5 1⨯ (- )2 + m ，∴ m = - ，3 2 62 5 1 2 10∴所求函数关系式为： y = ( x - )2 - = x 2 - x + 43 2 6 3 3（2）在 △Rt ABO 中，OA =3，OB =4，∴ AB = OA 2 + OB 2 = 5∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC =CD =DA =AB =5∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． 2 10当 x = 5 时， y = ⨯ 52 -⨯ 5 + 4 = 43 3y2 10当 x = 2 时， y = ⨯ 22 - ⨯ 2 + 4 = 0 3 3∴点 C 和点 D 在所求抛物线上．BNC（3）设直线 CD 对应的函数关系式为 y = kx + b ，则M⎧5k + b = 4 4 8⎨，解得： k = , b = - ． ⎩2k + b = 03 3 AO DE x∴ y = 4 8x - ，∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为 t ，∴N 点的横坐标也为 t ．3 32 10 4 8则 y = t 2 - t + 4 ， y = t - ，M N∴ l = y - y = t - - t 2 - t + 4 ⎪ = - t 2 + t - 4 8 ⎛ 2 10 ⎫ 2 14 20 2 7 3 3 3 ⎝ 3 3 3 3 3 3 2 2 ⎭（ 解：（1）由题意，得 ⎨解得 a = - ，b =－1． ⎩4a + 2b + 4 = 0,所以抛物线的解析式为 y = - x 2 - x + 4 ，顶点 D 的坐标为（－1， ）．13 ． 而 CD = 12 + ( - 4) 2 =设直线 BD 的解析式为 y = k 1x + b ，则 ⎪⎨ 9 ⎩所以直线 BD 的解析式为 y = - x + 3．同理可求得直线 EF 的解析式为 y = 1 x + ．3 15（3）设 K （t ， - t 2 - t + 4 ），x F ＜t ＜x E ．过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N ．= - (t - )2 +N M2 73 7 1- < 0 t = l = ∵ 3 ， ∴当 2 时， 最大 2 ，此时点 M 的坐标为（ 2 ， 2 ）．32、 2010 绵阳）如图，抛物线 y = ax 2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A （－4，0）、B （2，0），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ．E （1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；D yCG E（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， A△EFK 的面积最大？并求出最大面积．F O B x⎧16a - 4b + 4 = 0, 1 21 92 2（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ．因为 EF 垂直平分 BC ，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B ，连结 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H ，使 DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = BM 2 + DM 2 =∴ △CDH 的周长最小值为 CD + DR + CH = 3 25 + 3 13 2．9 5 2 2 ．⎧2k + b = 0, 1 1 ⎪- k 1 + b 1 = 2 , 解得 k = -1 3 2，b 1 = 3．3 2由于 BC = 2 5 ，CE = BC ∕2 = 5 ，△Rt CEG ∽△COB ，得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G （0，1.5）．3 2 2联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点 H （ ， ）． 4 81 2则KN=y K－y N=-t2-t+4－（t+）=-t2-t+．所以△SEFK =△SKFN+S△KNE=KN（t+3）+KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+ 329329335113135 222222 1122）2+．即当t=－时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．242428。