2017考研数一真题及答案解析

设函数
f
(u, v) 具有 2 阶连续偏导数，
y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
d2y x0 ， dx2
x0
【答案】 dy dx
x0
f1'
(1,1),
d 2y dx 2
x0
f ''
11
(1,1),
【解析】
x0
y f (ex , cos x) y(0) f (1,1)
dy dx x0
() 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根；
() 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
（I） f (x) 二阶导数， f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
解：1）由于 lim f (x) 0 ，根据极限的保号性得 x x0
【答案】C
【解析】
f
(x)
f
'(x)
0,
f f
(x) 0 (1)
'(x) 0
或
f f
(x) 0 '(x) 0
(2)
，只有
C
选项满足
(1)
且满足
(2)
，所以选
C。
（3）函数 f (x, y, z) x2 y z2 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 u 1, 2, 2 的方向导数为（ ）
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x 2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
f u
gradf
u {4,1, 0}{ 1,
|u|
3
2, 3
2} 2. 3
选 D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v v1(t)（单 位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追
(C) ( X i X )2 服从 2分布 i 1
B 2( X n X 1)2 服从 2 分布 D n( X )2 服从 2 分布
【答案】B 【解析】
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
(10) 微分方程 y'' 2 y' 3y 0 的通解为 y _________
【答案】 y ex (c1 cos 2x c2 sin 2x) ，（ c1, c2 为任意常数）
【解析】齐次特征方程为 2 2 3 0 1,2 1 2i
故通解为 ex (c1 cos 2x c2 sin 2x)
不可逆。选项 B,由 r( T ) 1 得 T 的特征值为 n-1 个 0，1.故 E T 的特征值为 n-1 个 1，2.故可逆。
其它选项类似理解。
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （6）设矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 ,C 0 2 0 ,则（ ）
0 0 1 0 0 1 0 0 2
(C)ab 0
B ab 1
2
D ab 2
【答案】A
【解析】 lim 1 cos
x0
ax
x
lim
1x 2
1
, f ( x) 在 x 0 处连续
1
b ab 1 . 选 A.
x0 ax 2a
2a
2
（2）设函数 f (x) 可导，且 f (x) f '(x) 0 ，则（ ）
( A) f (1) f (1) B f (1) f (1) (C) f (1) f (1) D f (1) f (1)
22
2
2
x(x)dx EX 0 。令 x 4 t ，则 x( x 4)dx = 2 4 2t (t)dt 8 1 4 t(t)dt 8
2
2
因此 E( X ) 2 .
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
(9)
已知函数
f (x)
1 1 x2
，则
f
(3) (0) =__________
【答案】 f (0) 6
【解析】
f
(x)
1 1 x2
1 1 (x2)
(x 2) n
n0
(1) nx 2n
n0
f ''' (x) (1)n 2n(2n 1)(2n 2)x2n 3 f ''' (0) 0
n2
3x2 3y2 y ' 3 3y ' 0
（1）
令 y ' 0 得 x 1
对（1）式两边关于 x 求导得 6x 6 y y '2 3y 2y '' 3y '' 0
（2）
将
x
1
代入原题给的等式中，得
x
y
11or
x
y
1
，
0
将 x 1, y 1 代入（2）得 y ''(1) 1 0
2017 年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）若函数
f
(x)
1 cos ax
x , x 0 在 x 0 处连续，则（
）
b, x 0
( A)ab 1 2
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
~ N (0, 2), ( X n X1)2 ~ 2(1), 故B 错误. 2
由于找不正确的结论，故 B 符合题意。
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
10
，当 t0
25 时满足，故选
C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
( A)E T不可逆 BE T不可逆 (C)E 2 T不可逆 D E 2 T不可逆
【答案】A
【解析】选项 A,由 (E T ) 0 得 (E T )x 0 有非零解，故 E T 0 。即 E T
s
s
D:x2 y2 2 x
18
2
d
2cos r 2dr 64
f1'ex
f
' 2
sin
x
x0
f1' (1,1) 1 f2' (1,1) 0
f1' (1,1)
d2y dx2
f1'1' e2 x
f1'2' ex ( sin x)
f
e''
21
x
(
sin
x
)
f '' 22
sin2
x
f1'ex
f
' 2
cos
x
d2y dx2
x0
f ''
11
(1,1)
f1' (1,1)
将 x 1, y 0 代入（2）得 y ''(1) 2 0
故 x 1 为极大值点， y(1) 1 ； x 1 为极小值点， y(1) 0
（18）（本题满分 10 分）
设函数 f (x) 在区间[0,1] 上具有 2 阶导数，且 f (1) 0, lim f (x) 0 ，证明： x x0
(11) 若曲线积分
L
xdx aydy x2 y2 1
在区域
D
(x, y) | x2 y 2 1
内与路径无关，则
a __________
【答案】 a 1
【解析】
P y
(x2
2xy y2 1)2
,
Q x
(x2
2axy y2 1)2
,
由积分与路径无关知
P y
Q x
a
1
(12) 幂级数 (1)n1nxn1 在区间 (1,1) 内的和函数 S (x) ________ n1
f
' 2
(1,1)
结论：
dy dx
x0
f1' (1,1)
d2y dx2
x0
f ''
11
(1,1)
f1' (1,1)
f
' 2
(1,1)
（16）（本题满分
10
分）求
lim
n
n k 1
k n2
ln
1
k n
1
【答案】
4
【解析】
lim
n
n k 1
k n2
ln(1
k) n
1 x ln(1 x)dx 1
(B)P(B A) P(B A) (D)P(B A) P(B A)
【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（8）设
X1, X2
X n (n 2) 为来自总体 N (,1) 的简单随机样本，记
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不正确
的是（ ）
n
( A) ( X i )2 服从 2分布 i 1 n