第五章 线性系统频率分析法
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四、线性系统的频域分析法
其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b
01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90
01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0
幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900
10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T
线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_5 第5章线性系统的频率分析_(5.1.1) 5.1频率特性的概念
如果线性定常系统的输入r(t)和输出c(t)存在傅里叶变换， 频率特性也是输入信号的傅氏变换和输出信号的傅氏变换之比。
G(
j
)
C( R(
j) j)
其中 R( j) r(t)e jtdt C( j) c(t)e jtdt
经过傅氏反变换
c(t)
U1m
1
1 j
sin(t
1
1
j
)
上式表明： 对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为 Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
Ye j Xe j0
Y X
e j
A()e j ()
后于输入的角
度为：
φ=
B A
360o
②该角度与ω有
关系 ,为φ(ω)
③该角度与初始
角度无关 。
二、频率特性的定义
例：如图所示电气网络的传递函数为
U2 (s) 1 Cs 1 1
U1(s) R 1 Cs RCs 1 s 1
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t
其拉氏变换为：
1
2
G( j)R( j)e jtd
系统的单位脉冲响应为：
g (t )
1
2
G( j)e jt d
本节小结
1. 控制系统频率特性的基本概念。 2. 频率特性与传递函数的关系。
频率特性有明确的物理意义，可以方便地用实验方法测定， 并用于系统的分析和建模。
频率特性主要适用于线性定常系统。
第五章线性系统的频域分析法
对 A(ω ) 求导并令等于零，可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω r 。
ω r = ω n 1 2ζ 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，当 ζ = 当ζ
> 1 2
s = jω
G( jω) =| G( jω) | e
j∠G( jω)
= A(ω)e
j (ω)
G( jω) = G(s) |s= jω
G( jω) = G(s)|s= jω =| G( jω)| e j∠G( jω) = A(ω)e j(ω)
A A j (ω ) k1 = G( jω ) e k2 = G( jω ) e j (ω ) 2j 2j
可以作为系统模型
G( jω) = G(s) |s= jω = G( jω) e j(ω)
定义 幅频特性
A(ω ) =| G( jω ) |
(ω ) = ∠G ( jω )
它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 相频特性
它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G ( jω ), 频率特性。 频率特性 G ( jω ) = A(ω )e j (ω ) ，它也是 ω 的函数。G( jω) 称为频率特性 还可将 G ( jω ) 写成复数形式，即
A(ω ) = 1 1 + T 2ω 2 ,
G (s) =
1 Ts + 1
G ( jω ) =
1 jT ω + 1
(ω ) = tg 1T ω
幅频特性 L(ω) = 20log A(ω) = 20log K 20log 1+ T 2ω2 低频段：当Tω << 1时，ω 高频段：当 Tω >> 1时， ω
频率分析法
log
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍频程 一倍频程 一倍频程
一倍频程
30 40 50 60 80 100 一倍频程
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lg
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgω 0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以
贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将
或
或 log表A示(。)其2单0位lo分g别A为() 值标注在纵坐标上。log A()
20log A()
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。
当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：
增益 20 log(幅值) 20 lg A()
幅值 1
A( )
增益 0
1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0
2
4
6
8
10
15
20
幅值A() 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 100 1000 10000
对数幅值
0 2 4 6 8 10 15 20 40 60
80
20lgA()
幅值A() 1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0.0001
对数幅值 20lgA()
自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法
5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
线性系统的频域分析法
第五章线性系统的频域分析法5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。
图5-1 问5-1图称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。
稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。
5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。
证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。
证明如下。
假设系统传递函数为：输入时，经拉氏反变换，有：稳态后，则有：其中：将与写成指数形式：则：与输入比较得：幅频特性相频特性所以是频率特性函数。
5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。
答频率特性的几何表示一般有3种方法。
⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。
它以频率为参变量，以复平面上的矢量来表示的一种方法。
由于与对称于实轴，所以一般仅画出的频率特性即可。
⑵对数频率特性曲线（伯德图）。
此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。
横坐标为，但常用对数分度。
对数幅频特性的纵坐标为，单位为dB。
对数相频特性的纵坐标为，单位为“。
”（度）。
和都是线性分度。
横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用可给作图带来很大方便。
⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。
这种方法以为参变量，为横坐标，为纵坐标。
5-4 什么是典型环节？答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为典型环节。
①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节；⑤一阶微分环节；⑥延迟环节；⑦振荡环节；⑧二阶微分环节 ；⑨不稳定环节。
典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。
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➢尽管频率特性是一种稳态响应，但包含了系统或元部件的 全部动态结构参数，系统动态过程的规律性也全寓于其中。
➢应用频率特性分析系统性能的基本思路：根据控制系统对 于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周 期信号或非周期信号作用下的运动情况。
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Part 5.2 频率特性图
2
t
一、频率特性
第五章 频率特性
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一、频率特性
第五章 频率特性
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一、频率特性
第五章 频率特性
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一、频率特性
第五章 频率特性
m
设稳定线性定常系统的传递函数为 系统输入为谐波信号
第五章 频率特性
除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应 的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。
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二、开环频率特性曲线的绘制
第五章 频率特性
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二、开环频率特性曲线的绘制
第五章 频率特性
系统开环幅频特性和开环相频特性
1
10
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（3）纯微分环节
幅相频率特性
G( j) j | G( j) | G( j) tg1 90
0
对数频率特性
L() 20lg () 90
第五章 频率特性
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（4）惯性环节
幅相频率特性
G(s) 1 Ts 1
L() 20lg () 90
传递函数：G1 ( s)
K S
图？？？
第五章 频率特性
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n阶积分环节
G( j)＝(1/ j)n
第五章 频率特性
L() 20log 1 20n log (dB) ( j)n
() 90 n
幅频特性曲线？
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对数频率特性
L() 20lg A() 20lg K
() 0
K>1时，分贝数为正； K<1时，分贝数为负。
第五章 频率特性
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（2）积分环节
幅相频 率特性
传递函数：G(s)
1 S
频率特性：G( j)
1 j
| G( j) | 1
对数频 率特性
( ) 90
G( j)
b0 ( j)m b1( j)m1 ... bm1( j) a0 ( j)n a1( j)n1 ... an1( j)
bm an
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矢量表示
G( j)
第五章 频率特性
G( j) Xc ( j) Xr ( j)
G( j) Xc ( j) Xr ( j)
G( j) | G( j) | ejG(j) G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
xc (t) ae jt ae jt A | G( j) | e j(tG( j)) e j(tG( j))
2j
A() | X c ( j) || G( j) | X r ( j)
()＝G( j)
频率比 dec
t
拓宽图形所能表示的频率范围
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Bode图
第五章 频率特性
➢ω =0不可能在横坐标上表示出来；
➢横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范
围确定；
➢只标注ω的自然对数值。
L(ω) 对数幅频特性 (ω) 对数相频特性。
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G(j ) 图
尼奎斯特图 Nyquist
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jv
OO
u
O
O O
第五章 频率特性
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2. 对数频率特性图-Bode图
G( j) A()e j()
第五章 频率特性
波德图 (Bode)
L() 20lg A() 20lg | G( j) | (dB)
第五章 频率特性
5.2.1 频率特性图的定义
➢
5.2.2 典型环节的频率特性图 Nyquist/Bod➢e
➢放大环节 ➢纯微分环节
➢ 积分环节 ➢ 惯性环节
➢一阶微分环节 ➢ 振荡环节
➢二阶微分环节 ➢ 延滞环节
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5.2.1 频率特性图
第五章 频率特性
➢幅相频率特性 极坐标图 (Nyquist) G(j )图
Xc
(s)
G(s)
s
A 2 2
p(s) A q(s) s2 2
0
a a b1 b2 ... bn
s j s j s s1 s s2
s sn
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esnt (t 0) 对于稳定的系统, -s1,-s2,…,-sn 其有负实部
A(
)
()
N
Ai ( )
i 1
N
i ( )
i 1
系统开环频率特性表现为组成开环系统的诸典型环 节频率特性的合成；而系统开环对数频率特性，则 表现为诸典型环节对数频率特性的叠加这一更为简 单的形式
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（1）放大环节
幅相频率特性
传递函数：G(s) K 频率特性：G(j) K A() G(j) K ( ) G( j) 0
xc (t) ae jt ae jt
a
G(s) (s
A j)(s
j)
(s
j) |s j
AG( j)
2j
a
G(s) (s
A j)(s
(s
j)
j) |s j
AG( j)
2j
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第五章 频率特性
a AG( j) 2j
a AG( j) 2j
| G( j) || Xc ( j) | Xr ( j)
G( j) A()ej() U() jV()
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
A() | G( j) | U2 () V2 () () G( j) tg1 V()
U () U() A() cos()
V() A()sin ()
对于高频信号 (T 1) A() 1 0
T
() 90
!频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与外界因素无关。
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第五章 频率特性
频率特性与传递函数的关系: G（jω)=G(s)|s=jω
➢频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传 递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反 映了系统的固有特性。
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第五章 频率特性
应用频率特性研究线性系统的方法称为频率 分析法。 特点如下： 为什么用频率分析法分析系统？
1、控制系统及其元部件的频率特性可通 过分析法和实验法获得；
2、频率特性物理意义明确； 3、控制系统的频域设计可以兼顾动态响 应和噪声抑制两方面的要求； 4、频率分析法还可以推广应用于某些非 线性控制系统。
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第五章 频率特性
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第五章 频率特性
第五章 线性系统频率分析法
什么是频率特性?
xrm
0
G（S）
xom
0
x r (t) xrm sin(t)
A() xom
xrm
x c (t) xcm sin(t ()) 幅频特性
() o ()-r () 相频特性
G( j) 1 jT 1
U()
1 T 2 2
1
G( j) tg1(T)
| G( j) | 1 T22 1
V()
T
T 22
1
第五章 频率特性
(U 1)2 V2 (1)2
2
2
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惯性环节G(jω)
G(s)
=
1 0.5s+1
φ(ω) = -tg-10.5 ω A(ω)=
A | G( j) | sin(t G( j))
xr (t) A sin t
() Xc ( j) G( j) X r ( j)
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第五章 频率特性
xr(t) Asin t
xc (t) A | G( j) | sin(t G( j))
频率特性与传递函数的关系: G（jω)=G(s)|s=jω
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5.1.3 频率特性的物理意义
第五章 频率特性
频率特性与传递函数的关系: G（jω)=G(s)|s=jω
频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输 入的响应特性。
(ω)大于零时称为 相角超前，小于零 时称为相角滞后。
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2.根椐传递函数来求取； 3.通过实验测得。
一般用这两种方法
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