安徽省六校教育研究会2021届高三2月第二次联考理科数学试题

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安徽省六校教育研究会2021届高三2月22日第二次联考理科数学试题(含答案)

所以 AB1 面 A1EC
又 M 是 AD 的中点，易得 AM B1C1, AM // B1C1, 所以 MC1AB1 为平行四边形,
所以 MC1 // AB1 得 MC1 面 A1EC 所以 MC1 A1C
……………………5 分
方法 2：:由图知 CA1 CD DA AA1 AB AD AA1
由
x0 2
y02
5 得 Q 点轨迹方程为 5 16
x2
5y2
1 ，且焦点恰为
F1, F2 ，
故 QF1 QF2 2
4 5
8 5,
当切线 PA, PB 的斜率有一个不存在时，易得 QF1 QF2
8 5
综上得 QF1 QF2
8
.
5
......................................12 分
若
安徽省六校教育研究会 2021 届高三联考数学（理）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B A C D A D C B B C D B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 9
14.9
15. y 2 3 x
3
三、解答题（总分 70 分）
安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（理）
注七事项：
令赶：淮北一中六校氏考令题纽
231净一项..• 后是、答回�，选符答试春再边合对结择选，择束题题涂中超后：目其时生，要本他，将务答题求边必本案的共将出试标．每1总自号2小己和．小回超答的题答超答姓，案非卡名后一每逸、择并小考，用题交生题铅时号回5芼，．等分将把填，答写答共赵在案卡答写60对在赶分应答卡题。赶和在目卡试的上巷每答指．小写案定题标位在给号本置出涂上试的黑卷．．上四如无个需效选改．项动．中用，橡只史有擦一干

安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷含解析

安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米3．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（）A ．12B ．2C．12±D ．2±4．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y x =，则双曲线的离心率为（）ABCD 5．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-6．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,17．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦8．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．59．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π1210．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（） A ．sin a ＞sin bB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（） A ．22B ．21-C ．2D ．112．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或173二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽六校教育研究会2022高三下2月第二次联考数学(理)(解析版)

2022届安徽省六校教育研究会高三下学期2月第二次联考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（） A ．{}11x x -<≤ B ．{}11x x -<< C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<【答案】C【分析】根据对数函数的单调性求出集合B ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以A B ={}01x x <≤. 故选：C.2．若复数z 满足1z i i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）. A ．0 B ．1-C ．i -D ．12i【答案】B【分析】化简复数z 为a bi +的形式，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()111i i i z i i i i -⋅--===--⋅-，故z 的虚部为1-. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查虚部的概念，属于基础题.3．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，记由该直方图得到的数学考试成绩的众数、中位数和平均数分别为a ，b ，c ，则（）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．2a cb +> D ．2a bc +> 【答案】A【分析】根据频率分布直方图读出众数a ，计算中位数b ，平均数c ，再比较大小. 【详解】由频率分布直方图可知：众数7080752a +==；中位数应落在70-80区间内，则有：0.004100.018100.04(70)0.5b ⨯+⨯+⨯-=，解得：77b =；平均数5060607070800.004100.018100.0410222c +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+8090901000.032100.0061022++⨯⨯+⨯⨯2.211.73027.2 5.776.8=++++=所以b c a >> 故选：A4．设1sin 2a =，ln πb =，12πc -=，则（）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】B【分析】根据已知条件，将1sin 2与sin 0和πsin 6进行比较，将ln π与ln e 进行比较，将12π-与0π和12进行比较确定a 、b 、c 三个数的大小，从而完成求解.【详解】1π10sin sin sin 262==0＜＜，所以1(0,)2a ∈，ln πlne=1＞，所以(1,)b ∈+∞，1021ππ12-===＜，所以1(,1)2c ∈，所以a c b <<. 故选：B.5．设x ，y 满足约束条件502803x y x y y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则34z x y =+的最大值是（）A ．12B ．17C ．18D ．392【答案】C【分析】根据线性约束条件作出可行域，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由z 的几何意义即可求解.【详解】根据线性约束条件作出可行域如图：由34z x y =+可得344z y x =-+，作直线34y x =-沿可行域的方向平移，由图知：过点A 时，4z最大即z 最大，由503x y y +-=⎧⎨=⎩可得()2,3A ，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选：C.6．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A ，B ，C 三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（） A ．13B ．23C ．25D ．35【答案】B【分析】求出三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件数，再求出甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的基本事件数，然后利用古典概率公式计算作答,【详解】当A ，B ，C 三家医院都接待一个单位时有33A 种，当A ，B ，C 三家医院有两家接待两个单位时有222332C C A 种，因此，三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件有32223332A C C A 24+=个，它们等可能，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的事件M ，即甲不选C 医院，选A ，B 医院之一，有12C 种选法，乙、丙从A ，B ，C 三家医院中任选一家，去掉他们都选A 医院的情况，有231-种选法，因此，事件M 含有的基本事件数为122C (31)16-=个，所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率162()243P M ==. 故选：B7．已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（） A ．1 B ．4C ．5D【答案】D【分析】先求得直线AB 的方程，再去求点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值即可解决. 【详解】设(2,)P m -，切点11(,)A x y ，22(,)B x y由题意知在点A 处的切线斜率存在且不为0，设在点A 处切线斜率为A k 在点A 处切线方程可设为11()A y k x x y =-+由2114()A y x y k x x y ⎧=⎨=-+⎩，可得2114440A Ay y y x k k -+-=由21144440A A y x k k ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12A k y =则在点A 处切线方程可化为1112()y x x y y =-+，即11220x y y x -+= 由题意知在点B 处的切线斜率存在且不为0，设在点B 处切线斜率为B k 在点B 处切线方程可设为22()B y k x x y =-+由2224()B y x y k x x y ⎧=⎨=-+⎩，可得2224440By y y x k k -+-=由22244440B B y x k k ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得22B k y =则在点B 处切线方程可化为2222()y x x y y =-+，即22220x y y x -+= 又两条切线均过点P ，则()222220y m x --+=，()112220y m x --+= 则直线AB 的方程为420ym x --+=，即()220x ym --= 则直线AB 恒过定点()2,0Q点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值即为点()0,1M 到()2,0Q 的距离MQ故点()0,1M 到直线AB 故选：D8．在10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（） A ．45 B ．90C ．120D ．1【答案】A【分析】写出10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】1010202220221111x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的展开式通项为11020221C rr r A x x +⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 20221rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()202220231C C k k r k k r kk r r B x x x ---+=⋅⋅=⋅，故10202211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式通项为20231,110C C r k r k r k r T x -++=⋅，令20232r k -=，且010k r ≤≤≤，k 、N r ∈，所以，2r =，0k =，故展开式中2x 项的系数为20102C C 45=.故选：A.9．已知点()1,0P -，圆()2219x y -+=上的两个不同的点()11,A x y 、()22,B x y 满足()R AP PB λλ=∈，则112243254325x y x y +-++-的最大值为（）A ．12B ．18C ．60D ．272【答案】C【分析】根据给定条件求出弦AB 中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线34250x y +-=的距离最大值即可推理计算作答.【详解】因()R AP PB λλ=∈，则点A ，P ，B 共线，即过点P 的直线AB 与圆()2219x y -+=交于不同的两点A ，B ，112243254325x y x y +-++-=表示点A 、B 到直线34250x y +-=的距离和的5倍，设弦AB 中点00(,)M x y 2=于是得：11224325432510x y x y +-++-=圆()2219x y -+=的圆心(1,0)Q ，显然点P 在此圆内，即过点P 的任意直线与圆都相交，当点M 与点P ，Q 都不重合时，由圆的性质知，PM QM ⊥，有0PM QM ⋅=，当点M 与点P ，Q 之一重合时，0PM QM ⋅=也成立，于是得0PM QM ⋅=，又0000(1,),(1,)PM x y QM x y =+=-，从而得22001x y +=，即点M 的轨迹是以原点为圆心的单位圆，圆22001x y +=的圆心到直线34250x y +-=的距离5d ==，则圆22001x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最大值为16d +=，所以112243254325x y x y +-++-的最大值为60. 故选：C10．直线a 与平面α所成的角为15°，点P 为空间一定点，过点P 作与α成45°、与a 成60°的直线l 可以作（） A ．2条 B ．3条C ．4条D ．无数条【答案】B【分析】设直线a 与平面α交于点A ，过点A 作与α成45︒的直线，它在如图的轴截面为等腰直角三角形的圆锥侧面上运动．设a 在α内的射影为直线b ，a 、b 确定的平面为β，由直线与平面所成角的性质可得当圆锥的母线在落在平面β内时，它与a 所成角为60︒或30．由此将圆锥的母线绕点A 旋转并观察母线与直线a 所成角的变化，可得圆锥侧面上共有三条母线所在的直线与a 所成角为60︒，由此结合异面直线所成角的定义可得满足条件的直线l 的条数．【详解】解：设直线a 与平面α相交于点A ，a 在α内的射影直线为b ，设圆锥的顶点为A 点，圆锥的轴AO ⊥平面α，圆锥的轴截面为等腰Rt ABC ，如图所示．可得图中圆锥的任意一条母线与平面α所成角都等于45︒，设直线c 为圆锥的一条母线所在直线，直线a 、b 确定的平面为β，由直线与平面所成角的性质，可得当c 落在平面β内时，直线c 与直线a 所成角等于4515︒+︒或4515︒-︒，当c 与AB 所在直线重合时，c 与a 所成角为60︒；当c 与AC 所在直线重合时，c 与a 所成角为30．当直线c 从AC 的位置按顺时针方向旋转到AB 位置时，a 、c 所成角从30增大到90︒，再减小到60︒，这个过程中必定有一个位置满足c 与a 所成角为60︒；同理当直线c 从AC 的位置按逆时针方向旋转到AB 位置时，这个过程中也存在一个位置满足c 与a 所成角为60︒．综上所述，经过点A 的直线c 共有3条满足c 与a 所成角为60︒．将满足条件的直线c 平移到使它经过空间的点P 得到直线l ，根据异面直线所成角的定义，可得直线l 与直线a 所成角为60︒，满足条件的直线l 有3条．∴过点P 作与α成45︒、与a 成60︒的直线l 可以作3条．故选：B ．11．已知数列{}n a 满足：11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N *--=+≥∈，若将数列{}n a 的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 段圆弧所在正方形的面积之和为n S ，第n 段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c .现有如下命题：1p ：2111n n n n S a a a +++=+⋅；2p ：132121n n a a a a -+++=-；3p ：12321n n a a a a a +++++=-；4p ：()1124πn n n n c c a a -+--=⋅.则下列选项为真命题的是（） A ．12p p ⌝∧ B ．13p p ⌝∨⌝ C ．23p p ⌝∧⌝ D ．24p p ∨【答案】D【分析】命题1p ，可以取1n =、n k =和1n k =+去验证是否成立；命题2p ，可以通过对n 进行取值验证；命题3p ，可通过叠加的方法来进行推导；命题4p ，可以通过题意写出{}n c 的表达式，然后带入化简验证，判断完四个命题后，再根据四个选项的组合进行选择.【详解】因为11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N *--=+≥∈，1p ，2111n n n n S a a a +++=+⋅，当1n =时，222212S a a a =+⋅=，而122a a +=成立，假设当n k =时，2111k k k k S a a a +++=+⋅，那么当1n k =+时，22222212211211212()k k k k k k k k k k k k k k S S a a a a a a a a a a a a ++++++++++++=+=++⋅=++⋅=+⋅，则当1n k =+时，等式也成立，所以对于任意*N n ∈，2111n n n n S a a a +++=+⋅成立，故该命题正确；2p ，由题意可得11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，132121n n a a a a -+++=-，当2n =时，13431a a a +=≠-，该命题错误；3p ，11a a =，231a a a =-，34211,,n n n a a a a a a +-=-=-，叠加得：1232221n n n a a a a a a a ++++++=-=-，故该命题正确；4p ，由题意可知2π4n n c a =，所以()22111112π44?()π()()π4n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ----+--=-=-+=⋅，故该命题正确；所以选项A ，12p p ⌝∧为假命题；选项B ，13p p ⌝∨⌝为假命题；选项C ，23p p ⌝∧⌝为假命题；选项A ，24p p ∨为真命题. 故选：D.12．已知函数()()434xf x x x e =-⋅，若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，()3123x x x x <<，则24ax -的取值范围是（）A ．327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．327,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】求得()()2212xf x x x e '=-，得到函数()f x 单调性进而画出函数()f x 的图象，结合图象a ⎛∈ ⎝，进而得到2x 的取值范围为()-，得到23224x a x e x =-，构造新函数，结合导数求得函数的额单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()()434x f x x x e =-⋅，可得()()()42221212x xf x x x e x x e '=-=-，当x <-()0f x '>，()f x 单调递增；当x -<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >()0f x '>，()f x 单调递增；又由当x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，且(f -=()00f =，((144f e =-故可大致画出()f x 的图象如下：由图象可知，a 的取值范围为231449630,e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，此时对应2x 的取值范围为()23,0-，而()2243223222444x x x x e a x e x x -==--，故令()()3230x g x x e x =-≤≤，则()()()32233x xg x x x e x x e '=+=+，故当233x -≤<-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当30x -<≤时，()0g x '>，()g x 单调递增；而()23243230g e -=-<，()3273g e -=-，()00g =，故24a x -的取值范围是327,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.二、填空题13．已知向量a =（1，2），b =（3，﹣4），则向量a 在向量b 上的投影为__．【答案】﹣1【分析】利用向量投影的意义解答即可. 【详解】解：由已知,向量a 在向量b 上的投影为22131||34a b b ⋅⨯-==-+.故答案为：−1.【点睛】本题考查了平面向量的投影求法；利用数量积的几何意义求之即可.14．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点F 关于其一条渐近线的对称点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为______.【分析】求出焦点关于一条渐近线的对称点P 的坐标，代入双曲线方程求解作答. 【详解】由双曲线的对称性，不妨令F 为右焦点，渐近线为by x a=，即0bx ay -=，令半焦距为c ，则(c,0)F ，过F 垂直于渐近线b y x a=的直线方程为：()ay x c b =--，即ax by ac +=，由0bx ay ax by ac -=⎧⎨+=⎩解得2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即过F 垂直于渐近线b y x a =的直线与该渐近线交于点2()a ab c c,，依题意，点P 的坐标为222(,)a ab c c c-，而点P 在双曲线上，则有2222222()()1a ab c c c a b --=，即222()4()1a c a c a c --=，而ce a =，于是得2224()1e e e--=，整理得：25e =，而1e >，解得e =15．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且对于任意的x ∈R 都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.【答案】5【分析】根据已知条件，利用ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭建立起关于ω的等量关系，然后根据()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，卡出ω的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可. 【详解】因为函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π3sin(?)33ωϕ+=，所以πππ(Z)32k k ωϕ+=+∈，11πππ(Z)23k k k ϕ=-+∈,因为于任意的x ∈R 都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππsin ()?sin ?()66x x ωϕωϕ⎡⎤⎡⎤-+=--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以ππsin sin 66x x ωωωϕωϕ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22ππ2π(Z)66x x k k ωωωϕωϕ-+=+-+∈或33πππ(Z)66x x k k ωωωϕωϕ-+++-=∈，所以22ππ(Z)6k k ωϕ=+∈或332π(Z)x k k ω=∈，即33π(Z)2k x k ω=∈（舍去），所以22ππ(Z)6k k ωϕ=+∈，因为11πππ(Z)23k k k ϕ=-+∈，所以121ππππ=π(Z)236k k k k ω-++∈，即1212()k k ω=+-，令12t k k =-，所以12()t t Z ω=+∈，()f x 在5π2π,369⎛⎫⎪⎝⎭上单调，2π5ππ93612-=，π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以在区间5π2π,369⎛⎫ ⎪⎝⎭中包含在一个对称轴和对称中心之间（4T ）即π124T ≤，所以6ω≤，而12()t t Z ω=+∈，所以ω的最大值为5. 故答案为：5.16．在四棱锥S ABCD -中，已知SA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，3AB =，6CD AD ==，M 是平面SAD 内的动点，且满足CMD BMA ∠=∠.则当四棱锥M ABCD -的体积最大时，三棱锥M ACD -外接球的表面积为______. 【答案】136π 【分析】分析可知12MA MD =，然后以点以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),0,M x z ，求出点M 的轨迹方程，可知当点M 到平面ABCD 的距离最大时，四棱锥M ABCD -的体积最大，设点()2,0,4M -，设三棱锥M ACD -的球心为(),,O a b c ，列方程组求出点O 的坐标，可求得球O 的半径，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】因为//AB CD ，AB AD ⊥，3AB =，6CD AD ==，则四边形ABCD 为直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，则AB SA ⊥，AB AD ⊥，SA AD A =，AB ∴⊥平面SAD ，则CD ⊥平面SAD ，AM 、DM ⊂平面SAD ，AB AM ∴⊥，CD DM ⊥，则90BAM CDM ∠=∠=，故1tan tan 2AB CD MA BMA CMD BMA CMD MA MD MD ∠=∠⇔∠=∠⇔=⇔=， SA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,3,0B 、()6,6,0C 、()6,0,0D ，设点(),0,M x z ，由12MA MD=可得()222226x z x z +=-+()22216x z ++=，即点M 的轨迹为圆，当点M 到平面ABCD 的距离最大时，四棱锥M ABCD -的体积最大，不妨设点()2,0,4M -，设三棱锥M ACD -的球心为(),,O a b c ，由OA OM OA OC OA OD ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，可得()()()()()22222222222222222224666a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎧++=+++-⎪⎪++=-+-+⎨⎪++=-++⎪⎩，解得334a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，三棱锥M ACD -的外接球球心为()3,3,4O ，球O 的半径为22233434OA =++=因此，三棱锥M ACD -的外接球的表面积为24434136OA πππ⨯=⨯=.故答案为：136π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 三、解答题17．在ABC 中，AD 是底边BC 上的高，垂足为点D ，且13ADBC =. (1)若边长AB ，BC ，CA 成等比数列，求BAC ∠的正弦值；(2)求AC ABAB AC+的最大值. 【答案】(1)13【分析】（1）设AB c =，BC a =，CA b =，AD h =，根据等面积法可得11sin 22ah bc BAC =∠，再由13h a =，即可得到23sin a bc BAC =∠，最后由三边成等比数列，即可得到2b ac =，从而得解；（2）设BAC θ∠=由余弦定理及（1）中的结论可得223sin 2cos b c bc bc θθ+=+，再两边同除bc ，即可得到3sin 2cos AC ABAB AC θθ+=+，最后利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】(1)解：设AB c =，BC a =，CA b =，AD h =.由面积公式可得11sin 22ah bc BAC =∠.又已知13h a =，代入上式可知23sin a bc BAC =∠.又由于a ，b ，c 成等比数列，即2b ac =，代入上式，得1sin 3BAC ∠=.(2)解：设BAC θ∠=，在ABC 中，由余弦定理可知2222cos b c a bc θ+=+，由（1）可知23sin a bc θ=，代入上式可知223sin 2cos b c bc bc θθ+=+，于是()3sin 2cos 13sin AC AB b cAB AC c bθθθϕ+=+=+=+，其中2tan 3ϕ=，ϕ为锐角，故当()sin 1θϕ+=时，max13AC AB AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭. 18．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马” P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =.(1)若4PB =，试计算底面ABCD 面积的最大值；(2)过棱PC 的中点E 作EF PB ⊥，交PB 于点F ，连DE ，DF ，BD .若平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3，试求DCBC 的值.【答案】(1)22【分析】（1）根据已知条件，可设PD CD x ==，AD y =，表示出底面ABCD 的面积，然后利用基本不等式即可完成最值得求解；（2）设出AD λ=，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求解出平面DEF 与平面ABCD 的法向量，然后利用已知条件，求解出λ，即可求解出DCBC的值. 【详解】(1)设PD CD x ==，AD y =，由已知可知22216x y +=，而底面ABCD 的面积为xy . 则由均值不等式，可知222242222ABCDx y S xy x y +==⋅≤=2x y =时等号成立.(2)如图，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设1PD DC ==，AD λ=，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，(),1,0B λ，()0,1,0C ，所以(),1,1PB λ=-.由于E 是PC 的中点，则110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，故110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF ，故(),1,1PB λ=-是平面DEF 的一个法向量. 而因为PD ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1DP =是平面ABCD 的一个法向量. 由已知平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3，则2π11cos322BP DP BP DPλ⋅===⋅+，解得2λ= 所以12DC BC λ==. 故当平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为π3，2DC BC 19．某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为1P ，2P . (1)若134P =，223P =，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；(2)若1243P P +=，且在前n 轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n 的最小值是多少？并求此时的1P ，2P 的值. 【答案】(1)23(2)27，1223P P ==【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号的概率；（2）求得第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为221212833P PP P P =-，根据题意得到1211414,339PP P P ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令12t PP =，得到()2833P h t t t ==-+，结合二次函数的性质和二项分布的性质，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，在“第一轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号”为事件A ，则()12212222222231223321332224433443344333P A C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)解：他们在第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为()()12222122222112221222212211P C P P C P C P C P P C P C P =-+-+()2222121212121282333PP P P P P PP P P =+-=-，由于101P ≤≤，201P ≤≤，因此1113P ≤≤，故1211414,339PP P P ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令12t PP =，则()2284161433392739P h t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-+=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当49t =时，可得max 1627P =，甲乙两人小组前n 轮游戏中获得“最佳拍档”称号的次数(),B n P ξ~，由16E np ξ==，知min max1627n P ==. 所以n 的最小值是27，此时1223P P ==. 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，且椭圆C 上的点M 满足127MF =，12150MF F ∠=︒.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任意一条直线l 与椭圆的两个交点P 、Q ，都有2211EPEQ+为定值，试求出此定值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）根据焦点坐标和焦点三角形12MF F △中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可；（2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出P 、Q 两点的纵坐标的关系，进而表示出2211EPEQ+，即可求得该定值，同时也对直线l 为x 轴时检验即可【详解】(1)依题意得：c =122F F c ==由椭圆定义知：122MF MF a += 又127MF =，则2227MF a =-，在12MF F △中，12150MF F ∠=︒由余弦定理得：2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F =+-⋅∠即(22222222cos150777a ⎛⎫⎛⎫-=+-⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2a = 又2221b a c =-=故所求椭圆方程为：2214x y +=(2)设(),0E m 、()11,P x y 、()22,Q x y ，当直线l 不为x 轴时的方程为x ty m =+ 联立椭圆方程得：2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得：()()2224240t y tmy m +++-=根据韦达定理可得：12224tm y y t +=-+，212244m y y t -=+ ()()()()212122222222221212211111111y y y y y y t y t y t EP EQ +-+=+=⋅+++ ()()()22222232828114m m t t m -++=⋅+- 当且仅当2232828m m -=+，即m =22115EP EQ +=（定值）即在x 轴上存在点E 使得2211EPEQ+为定值5，点E的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭经检验，当直线PQ 为x 轴时，上面求出的点E 也符合题意【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21．已知函数()ln f x x x =的图象曲线C 满足以下两个特性： ①过点()1,P t 存在两条直线与曲线C 相切；②曲线C 上有A ，B 两点，其横坐标分别为1x ，()21201x x x <<<，且满足两点在曲线C 上等高.请完成以下两个问题.(1)求实数t 的取值范围；(2)若22121252x x k x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，且k Z ∈，求k 值. 【答案】(1)(),0∞- (2)2k =【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线方程()()ln 1ln y u u u x u -=+-，代入点()1,P t ，转化为1ln t u u -=-在()0,∞+有两解，利用导数求得()ln g x x x =-的单调性与最值，即可求解；（2）结合()f x 的单调性得到1212101,1x x ex ex e<<<<<<，令()22ln 1h x x x x =-+，利用导数求得函数的单调性转化为11122212111122x ex x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫⋅--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到122x x e+>，构造函数()()ln 011x g x x x =<<-，利用导数求得函数的单调性，转化为1221x x e <+<，得到22121252x x k x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】(1)解：由题意，函数()ln f x x x =，可得()1ln f x x '=+，设切点为(),u v ，则切线的斜率为()1ln f u u '=+，即有切线的方程为()()ln 1ln y u u u x u -=+-，代入点()1,P t ，即有()()ln 1ln 1t u u u u -=+-，即为1ln t u u -=-在()0,∞+有两解，又由()ln g x x x =-，可得()11g x x'=-，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减；当01x <<时，()0g x '<，()g x 递增，所以当1x =时， ()()max 11g x g ==-，且当x →+∞时，()g x →-∞；当0x →时，()g x →-∞，即有11t -<-，解得0t <，故实数t 的取值范围是(),0∞-. (2)①解：由()1ln f x x '=+，当10x e<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x e >时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()10f =，则有12101x x e<<<<，121ex ex <<，令()22ln 1,01h x x x x x =-+<<，可得()2(ln 1)h x x x '=-+，令()ln 1x x x ϕ=-+，则()11x xϕ'=-，因为01x <<，所以()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，又由()10ϕ=，所以()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 单调递减，所以()()10h x h <=，即22ln 10x x x -+<，所以不等式11ln ,201x x x x ⎛⎫>- ⎪⎝<<⎭成立，则()11111111111ln ln 2x x x ex x x ex x ex ⎛⎫=->⋅-- ⎪⎝⎭，222222222111ln ln 2x x x x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫=--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11122212111122x ex x x ex x ex ex ⎛⎫⎛⎫⋅--<⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得122x x e+>，构造函数()()ln 011x g x x x =<<-，则()()211ln 1x x g x x --'=-，令1()ln 1,(0,1)m x x x x =+-∈，可得22111()x m x x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，可得()0m x '<，所以()m x 单调递减，又因为(1)0m =，所以()0m x <，即1ln 10x x +-<，所以11ln 0x x--< 可得()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以()()12g x g x >，即1212ln ln 11x x x x >--，因此()()11221122ln ln 11x x x x x x x x >--，整理得121x x +<. 因此有1221x x e <+<，故22121221055,22x x k x x e ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若k 为整数，则2k =.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C ：()π06θρ=和3C ：()π06θρ=-，曲线1C 分别交2C ，3C 于P ，Q 两点. (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)求OPQ △的面积.【答案】(1)24cos 2ρθ=，()0y x =≥；(2)【分析】（1）先求出曲线1C 的普通方程，再求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1OP ρ==2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2OQ ρ==. 【详解】(1)解：由参数方程1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），可得2,2,x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 消去t 可得1C 的普通方程为224x y -=.又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入224x y -=，可得2222cos sin 4,ρθρθ-=，即1C 的极坐标方程为24cos 2ρθ=；由极坐标方程()π06θρ=≥，可得tan θ=，所以2C的直角坐标方程为()0y x =≥. (2)解：设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 2ρθ=，可得2148πcos 3ρ==，所以1OP ρ==设2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得2OQ ρ==所以11ππsin sin 2266S OP OQ POQ ⎛⎫=⨯⨯⨯∠=⨯+= ⎪⎝⎭23．函数()()2R f x x x a a =++-∈.(1)当2a =时，不等式()8f x ≤的解集M ；(2)若()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1){}44x x -≤≤(2)12a -≤≤【分析】（1）分2x -≤、22x -<<、2x ≥三种情况解不等式()8f x ≤，综合可得出集合M ；（2）分析可得当()0,1x ∈时，2x a -<，可得出{}{}0122x x x a x a <<⊆-<<+，进一步可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】(1)解：当2a =时，()22f x x x =++-.当2x -≤时，由()2228f x x x x =--+-=-≤，可得4x ≥-，此时42x -≤≤-；当22x -<<时，由()2248f x x x =++-=≤恒成立，此时22x -<<；当2x ≥时，由()2228f x x x x =++-=≤，可得4x ≤，此时24x ≤≤. 综上所述，{}44M x x =-≤≤.(2)解：当()0,1x ∈时，()2f x x x a =++-，由()4f x x <+，得2x a -<，可得22a x a -<<+，因为当()0,1x ∈时，不等式()4f x x <+恒成立，所以，{}{}0122x x x a x a <<⊆-<<+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤，因此，12a -≤≤.。

安徽省六校教育研究会高三数学2月联考试题理(含解析)新人教A版

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数221zi i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（）（A ）2 （B ）22（C ）3 （D ） 22.已知命题p ：“1a =是0ax x x,+2>≥”的充分必要条件”；命题q ：“存在0x R ∈，使得20020x x +->”，下列命题正确的是（）(A)命题“p q ∧”是真命题 (B)命题“()p q ⌝∧”是真命题 (C)命题“()p q ∧⌝”是真命题 (D)命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题3.执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中① 处可以填入（） (A) 4n >？ (B) 8n >？ (C) 16n >？ (D) 16n <？4.在极坐标系中，点π(2,)3和圆θρcos2=的圆心的距离为( )(A) 3 (B) 22π19+2π49+【答案】A5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（） (A)1142+a b (B) 1124+a b (C) 2133+a b (D) 1233+a b6.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*，若32b =-,1012b =,则8a =（）(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11【答案】B7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）（A）43（B）8 (C) 83 (D) 478.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（）（A ）521（B ）27 （C ）13（D ）8219.设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（） (A)213 (B) 193 (C) 73(D) 73310.10．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d，则22()()a c bd 的最小值为（）2 (B) 2 (C) 22第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.．已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为．二项式5 1ax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x-的系数为()()333510280C a-=⨯-=-考点：1、定积分的求法；2、二项式定理.12.如图所示，第n个图形是由正2n+边形拓展而来（1,2,n=），则第2n-个图形共有____ 个顶点．13.若不等式组50,5,02x yy kxx-+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范是 .14.抛物线2(33)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是．15.对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}|(),y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”．给出下列4个函数：①()sin f x x =；②()21xf x =-；③3()3f x x x =-；④()lg 1f x x =+．其中存在“好区间”的函数是．（填入所有满足条件函数的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量33(sin ,cos ),(,)22m x x n ==，x R ∈，函数(),f x m n =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，设角A ，B 的对边分别为,a b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小．17.（本小题满分12分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). （Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.直线1PA 与平面1A BD 所成的角1PA H ∠，设PB 的长为x ，用x 表示11,,A D A H DH ，在直角∆1A DH 中，Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得18.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法. 19.（本小题满分12分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [)70,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；（ii ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．20.（本小题满分13分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3a a⎛⎫+⎪⎝⎭()0a >上存在极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的1x ，)22x e ，⎡∈+∞⎣，有121211()()f x f x m x x -≥-，求实数m 的取值范围．递减，故()f x 在1x =处取得极大值． ……………………3分21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆G 与抛物线24y x =-有一个公共的焦点，且过点6(. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点,连接12,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为1k ,2k ,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值；（III ）在第(Ⅱ)问的条件下，作22F Q F P ⊥，设2F Q 交l 于点Q ，证明:当点P 在椭圆上移动时，点Q 在某定直线上.。

安徽六校教育研究会2022高三2月联考试卷--数学(理)

安徽六校教育研究会2022高三2月联考试卷--数学（理）数学（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时刻120分钟．2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清晰．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的 1.复数21(1)i+的虚部是( ) A ．0 B ．2 C ．2- D ．2i -2.命题p ：若a ，b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|＞1的充分而不必要条件．命题q ：函数21--=x y 的定义域是(][)+∞⋃-∞-,31,，则 ( )A.“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C.p 真q 假 D.p 假q 真3.在极坐标系中，以A （0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是（）A.ρ=4sin θB.ρ=2C.ρ=4cos θD. ρ=2sin θ+2cos θ 4.已知集合{}Ra a M ∈+==λλ),4,3()2,1(，{}Ra a N ∈+--==λλ),5,4()2,2( ，则N M ⋂等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．φ 5.右图给出的是运算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判定框内应填入关于的条件是（）A.i=10B.i ≥9C.i ≤10D.i ≥11 6.若双曲线122=+my x 的一条渐近线的倾斜角∈α(0，3π),则m 的取值范畴是（）A.()0,3-B.()0,3-C.()3,0D.）（0,33- 7.四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22πD ．12π8.角α的顶点在坐标原点O,始边在y 轴的正半轴上，终边在第三象限过点P ,且43tan -=α；角β的顶点在坐标原点O,始边在x 轴的正半轴上，终边在第二象限通过点Q ，且2tan -=β，则POQ ∠cos 的值为（）A.55 B. 55-C. 25511D. 25511-9.在四棱柱的所有棱、面对角线及体对角线所在直线中任取两条，这两条直线异面的概率是（）A. 31 B. 32 C.6329 D.632210.设,10a b +<<若关于x 的不等式22)()(b x ax -<的解中恰有四个整数，则a 的取值范畴是（）A.13-<<-aB. 21<<aC. 32<<aD. 63<<a第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若直线y=kx +1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是． 12.某单位为了了解用电量y （度）与气温)(0C x 之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表：由表中数据可得线性回来方程ˆy bx a =+中的2b =-，推测当气温为10C -︒时，该单位用电量的度数约为_______度．13.高三某班级有6名同学参加自主招生，预备报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为__________.（用数字作答） 14.设函数)(,)2(1)11()2()2()(211n f a x dx x x x a x f n x=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=⎰-π，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范畴为 .15.函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]a b 内是单调函数；（2）()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ，则称区间[,]a b 为()y f x =的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有__________（只需填符合题意的条件序号） ①)0()(2≥=x x x f ； ②()()x f x e x =∈R ； ③)0(14)(2≥+=x x xx f ； ④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f xa 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）函数1)sin()(-+=ϕωx A x f ,00>>ω，（A ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且通过点)21,12(π-.(1)求函数)(x f 的单调递增区间； (2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.17.（本小题满分12分）美国NBA 总决赛采纳七局四胜制，赛前估量2020年参加决赛的两队实力相当，且每场竞赛组织者可获得200万美元，问：（1）竞赛只打4场的概率是多少？（2）组织者在本次竞赛中获利不低于1200万美元的概率是多少？（3）组织者在本次竞赛中获利的期望是多少？18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求证：FC ∥平面EAD ；（3）求二面角B FC A --的余弦值．19.（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；ECBADF(2）设过点M 且斜率不为0的任意直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>。

2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A∩（）=（）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π），若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。

安徽六校二联高三考试理数

安徽省六校教育研究会2021届高三联考数学能力测试（理）个题：淮北一中六校联考个延如注意亨项:1. 各基前，考生务必将自己的姓名、考生号等埃写在答题卡和试*指定住赛上•2. 回各选择题时，选出每小袈备案后，用铅宅把各•题卡对应题目的各案标号涂，黑.如需改动'用榜•安J 〒冷后，再选涂其他各斐标号.回各非选择题时，将备案写在答题卡上•写在本试卷上无效・3. 若试姑束后，将本试卷和各题卡一并文回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（设全举为实数集R,集合PA. {4}B.{3,4}C. {2,3,4}D. {123.4}2.已知发数::与（z + 2）2-8i 均是纯曜数.则::的覆部为（）A.-2B.2C. -2iD. -2ifx-2y+ 4> 03.实数x,y 满足不等式组]2x + y-22 0 ,则x : + y 2的成小仙为（ [3、-）'-3三0A. 1B.2C.3D.45. 己知向量B = （1,V5）,向i 房在向鱼B 方向上的投形为一6‘若（疝+B ）上B,\ \ 1A. —B. —C. —D. 333 3 6. 在线！： 2x + y + 3 = 0 倾斜，。

为 a .则 sin 2a,4 4 3 A. ~~ B. ---------- C.—5557-已知点，M （2,yo ）为抛物线）尸=2px , 酮牛顺0\,则p 的侃为（）效学试也（理）.'i. 1或匚匕.2或3C. 3或2D. I 或24 2 422^54A. —B. 1C.-5 54.不定方程的整数解.问地是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富, 数学家丢花臼•谐研究下而一道不定方程整数解•的问题：已知整数解有（）组.B.11）.2西方最早研咒不定方程的人是花腊 + y 2 = 2y\x eZ.yeZ ）则该方程炳= WxWl + Ji,xwR"集合Q = {1,23,4},则悝中阴影部分表示的染合村+ cos'a 的他为（D. ~5（p>0）上一点，F 为抛物我仙焦点，O 为坐标原点，岩则实数久的值为（8•函数/(x) = sinx + x\x.务白足+ 的， ).七充分不"条件B.，必妥不充分条件C.充耍条件D.场不充分也不必受条件9. 已知数列匠)的筋〃顼引5”=，己将故列依所均浒按照务〃纽有2”以的要求分级们202】在第几组， )A. 8B.9C. 10D. 1110. 已知三校性A - BCD涓足：AB = AC = AD. NBCD是边云为2的等边三角澎.其歼接或的申匚”涓足：瓦，左+而二6・可该三梭性的化矽.为，>112 •:X. — B. — C. — D. 16 3 311. 原。

安徽省2021年高考数学二模试卷(理科)(I)卷

安徽省2021年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·长春期中) 在复平面内，复数对应向量（o为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：， ,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: ,则（）A .B .C .D .2. （2分）已知全集则（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·佛山模拟) 变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A . 2B . 4C . 5D . 64. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是（）A . 函数的值域与的值域不同B . 存在，使得函数和都在处取得最值C . 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D . 函数和在区间上都是增函数5. （2分）(2020·焦作模拟) 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） (2015高一上·扶余期末) 如图所示，矩形ABCD的边AB=m，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=3，现有数据：① ；②m=3；③m=4；④ ．若在BC边上存在点Q（Q不在端点B、C处），使PQ⊥QD，则m可以取（）A . ①②B . ①②③C . ②④D . ①7. （2分）(2017·常宁模拟) 已知奇函数y=f（x），x∈R，a= [f（x）+ x2]dx，则二项式（﹣）9的展开式的常数项为（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣1D . ﹣8. （2分）已知函数，则其图象的下列结论中，正确的是（）A . 关于点中心对称B . 关于直线轴对称C . 向左平移后得到奇函数D . 向左平移后得到偶函数9. （2分）已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则（）A .B .C .D .10. （2分）若某空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C . 2D . 611. （2分）在一次数学测试中，某同学有两道单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·嘉兴模拟) 已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（）A . e﹣1B . eC . 1﹣e﹣3D . 1二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南通期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若 =2，S4=4，则S8的值为________．14. （1分） (2017高一下·淮安期末) 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是________．15. （1分） (2019高三上·中山月考) 对于，有如下命题：①若，则一定为等腰三角形；②若，则定为钝角三角形；③在为锐角三角形，不等式恒成立；④若，则；⑤若，则 .则其中正确命题的序号是________ .（把所有正确的命题序号都填上）16. （1分） (2017高一上·青浦期末) 函数f（x）= 的零点个数是________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分）(2020·绍兴模拟) 在中，已知内角的对边分别是，且，.（1）求角；（2）若，求的面积.18. （10分） (2016高二上·潮阳期中) 设Sn是数列[an}的前n项和，．（1）求{an}的通项；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （15分）(2018·广元模拟) 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.参考公式： .（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.0.050.013.841 6.63520. （5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，AP=BP=AB，BC⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．（Ⅲ）（理科做，文科不做）求二面角B﹣AP﹣C的正弦值．21. （10分） (2019高二上·三明月考) 已知函数（1）求的最值；（2）若仅有唯一解，求的取值范围.22. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函数f（x）= 的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x= 上，且 = ．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f（）+f（）+f（）+…+f（），求Sn ．23. （10分）(2017·武邑模拟) 综合题：（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2022年2月安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月联考数学(理)试卷参考答案

(
√#
⋅ √2 ⋅ ≤
(
√#
⋅
#$ ! )= !
当且仅当√2 = 时等号成立.
#
= 4√2
（5 分）
数学（理）第 3 页共 9 页
2022年2月安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月联考数学（理）试卷
（2）如图，以点为原点，射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直
安徽省六校教育研究会 2022 届高三联考
数学（理科）能力测试
时长：120 分钟分值：150 分命题人、审题人：张旭升查道庆
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
B
C
B
D
A
C
B
D
A
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）
的取值范围是@− . # , 0>，即选
.
"! #$
A.
16.【解析】
如图，容易证明底面是一个直角梯形，且
⊥平面， ⊥平面，
从而∠ = ∠ = 90°，
故∠ = ∠ ⇔ tan ∠ = tan ∠
⇔

1
=
⇔
=

;
:
|47|
|46|
故当sin( + ) = 1时，|46| + |47|的=√13.
（12 分）
18.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如

2021年高三第二次六校联考试卷(数学理)

2021年高三第二次六校联考试卷（数学理）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1．设集合，集合，那么下列结论正确的是----( )A． B. C. D.2．方程一定有解，则的取值范围是 ------------------ （） A． B． C． D．以上都不对3．将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为------ （）．A． B． C． D．4．已知是等比数列，，则=( )A. 16（）B. 16（）C. （）D. （）5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（）A．（－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5）D．（2，4）6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，Array则函数在内有极小值点共有-------------------------------------（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为---------------------------------------------------------（）A． B．C． D．8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，设，，则函数的图象大致是--------------------------------------------------------------（）x二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、是的导函数，则的值是．10、函数的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为11、在ΔABC 12、则实数的取值范围是；13、已知数列满足，，则=__ _____14、设x ，y 均为正实数，且，则xy 的最小值为三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。

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安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（理）
命题：淮北一中六校联考命题组注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集为实数集R,集合
,x ∈R},集合Q={1,2,3,4},则
图中阴影部分表示的集合为
A.{4}
B.{3,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
2.已知复数z 与（z+2)2-8i 均是纯虚数，则z 的虚部为（）A.-2 B.2 C.-2i D.-2i
3.实数x,y 满足不等式组240220330
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,则x 2+y 2的最小值为（）
A.5
B.1
C.45
D.24.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图。

请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x 2020+y 2=2y,(x ∈Z,y ∈Z)则该方程的整数解有（）组。

A.1
C.3
D.45.已知向量b =(1,向量a 在向量b 方向上的投影为－6,若（λa +b )⊥b ,则实数入的值为（）
A.
13 B.-13 C.23 D.36.直线1:2x+y+3=0倾斜角为α,则sin2α+cos 2α的值为（）
A.45
B.-45
C.35
D.-35
7.已知点M(2,y 0)为抛物线y 2=2px,(p>0)上－点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若8|MF|=7|MO|..则p 的值为（）
A.1或54
B.52或3
C.3或54
D.1或52
8.函数f(x)=sinx+x 3+x,则a>-1是f (a+1)+f (2a)>0的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,将数列{a n }依原顺序按照第n 组有2”项的要求分组，则2021在第几组
A.8
B.9
C.10
D.112021.2
10.已知三棱锥A-BCD 满足：AB=AC=AD,ΔBCD 是边长为2的等边三角形。

其外接球的球心O 满足：0OB OC OD ++= ,则该三棱谁的体积为（）A.1
6 B.1
3 C.2
3 D.1
11.圆O 半径为1,PA,PB 为圆O 的两条切线，A,B 为切点，设∠APO=α,则
2tan 2PAB S α
∆最小值为（）2 B.-3+222
12.已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且首项a 1>0,给出下列命题：p 1:若3412a a a e a e =,则（a 3-1)(q-1)≤0;p 2:若a 1+a 2=34a a e e +,则22(,0)(0,).33q ∈-⋃则下列说法正确的是（
A.p 1为真命题，p 2为假命题
B.p 1,p2都为真命题
C.p 1为假命题，p 2为真命题
D.p 1,p 2都为假命题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

13.从编号为1,2,3,..,88的88个网站中采用系统抽样抽取容量为8的样本，若所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站最小编号为.
14.若3(n x x x 的展开式常数项为84,则n=.
15.双曲线22=1左右焦点分别为F 1,F 2,左右顶点分别为A,B,P 为双曲线渐近线上一点，若
以F 1F 2为直径的圆经过P 点，且∠APB=
3π.则该双曲线的渐近线方程为.16.A,B,C,D.四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分．
17.在ΔABC 中，D 是BC 的中点，3（I)求ΔABC 的面积；（II)若E 为BC 上一点，且(||||
AB AC AE AB AC λ=+ ,求λ的值。

18.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，AA 1=A 1B 1=
12
AB,∠ABC=60°.AA 1⊥平面ABCD.
（I)若点M 是AD 的中点，求证：C 1M ⊥A 1C;（II)棱BC 上是否存在一点E,使得二面角E-AD 1-D 的余弦值为13
?
若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由。

19.农业是国民经济的基础，农业防害是科技工作者时时关注的事情，棉铃虫是棉花的主要害虫之一，夏季尤甚，据农业专家调查统计知道每只棉铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关。

现截取7组统计数据，并计算部分统计量值和作散点图如下：
（I)根据散点图判断，y=bx+a 与y=ce dx (e 为自然对数的底数）哪一一个更适宜作为平均产卵款y 关于平均温度x 的回归方程类型？据判断结果和所给数据求出相应的回归方程（计算结果精确到小数产后第三位）
（II)根据以往数据统计，该地区每年平均温度达28°C 以上时棉铃虫会造成严重危害，需人工防治，其他情况可以自然生长，记该地区每年平均温度达28°C 以上的概率为p(0<p<1).
（i)记该地区在近5年中恰好有2年需要人工防治的概率为f (p)、求f (p)的最大值，非求出此时的p 的值：
（ii)当f (p)取最大值时，记今后5年中需要人工防治的次数为X,求X 的数学期望和方差。

附：对于一组数据（x 1,z 1),(x 2,z 2),…,(x 7,z 7),其回归直线z=a+bx 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
20.已知圆O::x 2+y 2
=5,椭圆τ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为F 1,F 2,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2（I)求椭圆的标准方程；
（II 如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两
点．
（i)若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；
（ii)作PQ ⊥AB 于点Q,求证：｜QF 1|+|QF 2|是定值．
21.已知函数f(x)=21(),.x x kx f x k R e
++=∈（1)讨论f (x)的单调性；
（11)若k ∈(-1,0),证明：对任意的x 1,x 2∈[1,1-k],有4f (x 1)+x 2<5.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:x+y=1与曲线C 2:22cos 2sin x t y t =+⎧⎨=⎩
(t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（I)写出曲线C 1,C 2的极坐标方程；
（II)在极坐标系中，已知l :θ=α(ρ>0)与C 1,C 2的公共点分别为A,B,α∈(0，2
).当||||OB OA ＝4时，求α的值．22.[选修4-5:不等式选讲］（10分）已知f (x)=|ax+1|+|x-1|
（I)当a=2时，求不等式f (x)<2的解集：
（I1)若x ∈(1,2)时不等式f (x)<x 成立，求a 的取值范围。