人教A版2019年高中数学必修1导学案：2.3幂函数_含答案 (2)

2.3 幂函数
知识导学
我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x 、y=x 2
是幂函数,但并不是所有
的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2
+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.
研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x 2
、y=x 3
及y=2
1x 的图象研究归纳
y=x n (n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x -2
、y=x -3
及y=2
1
x
的图象研究归纳
y=x n
(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:
(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.
(2)对于幂函数y=x n
(n>0),首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,0<n<1和n>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n ≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0<n<1时图象是横卧抛物线型.
图2-3-1
记忆口诀:
如何分析幂函数,记住图象是关键, 虽然指数各不同,分类之后变简单, 大于0时抛物线,小于0时双曲线, 还有0到1之间,抛物开口方向变, 不仅开口向右方,原来图象取一半. 函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数, 奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数. 疑难导析
对于五种常见的幂函数y=x,y=x 2
,y=x 3
,y=2
1x ,y=x -1
,要熟悉其图象、性质,做题时要明确
题目给出的是哪种类型的幂函数,以便应用图象及性质解题.
当n 取不同的有理数时,幂函数y=x n
的定义域:
当n ∈N *
时,定义域为R ;
当n=0时,定义域为{x|x ≠0};
当n 为负整数时,定义域为{x|x ≠0}; 当n=
q
p (p 、q ∈N *
,q>1,且p 、q 互质)时,
①若q 为偶数,则定义域为［0,+∞); ②若q 为奇数,则定义域为R ; 当n=-
q
p (p 、q ∈N *
,q>1,且p 、q 互质)时, ①若q 为偶数,则定义域为(0,+∞); ②若q 为奇数,则定义域为{x|x ≠0}. 问题导思
分数指数幂与根式只是形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识.
(1)给定正实数a,等于任意给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得b n
=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数b,记作b=n
n
a a
1;(2)给定正实数a,对于任意给定的正整数n 、
m,存在唯一的正实数b,使得b n
=a m
,我们规定b 叫做a 的n
m
次幂,记作b=n m
a =n m a .
对于负分数指数幂,可按a -n
=
n a
1
去理解. 典题导考 黑色陷阱
忘记幂函数底数需大于0,将导致解题失误.
典题变式当x ∈(1,+∞)时,函数y=x α
的图象恒在直线y=x 的下方,则α的取值范围是…( )
A.α<1
B.0<α<1
C.α>0
D.α<0 答案:A 绿色通道
解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题就简单.
典题变式T 1=(2132),T 2=(5132),T 3=(2
1
31
),则下列关系式正确的是( )
A.T 1<T 2<T 3
B.T 3<T 1<T 2
C.T 2<T 3<T 1
D.T 2<T 1<T 3 答案:D 绿色通道
幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系,幂函数的图象在直线x=1的右侧,由低到高,幂指数α由小变大;在y 轴与直线x=1之间,由低到高,幂指数α由小变大.另外还应注意幂指数的取值对幂函数图象位置的影响: (1)当α=0时,图象是直线y=1.
(2)当α是正奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α是正偶数时,图象分布在第一和第二象限.
(3)当α为一个既约正分数
q
p
〔p 、q 为正整数,(p,q)=1,q>1〕, 若q 为奇数,p 也是奇数,则图象分布在第一和第三象限;若q 为奇数,p 为偶数,则图象分布在
第一和第二象限;若q 为偶数,p 是奇数,则图象分布在第一象限.
(4)当α为负奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α为负偶数时,图象分布在第一和第二象限;
(5)当α为负分数时,类似于(3)可设α=-
q
p
〔p 、q 为正整数,(p,q)=1,q>1〕,情况和(3)一样.
幂指数α>0时,图象全是“抛物线型”,而幂指数α<0时,图象全是“双曲线型”. 典题变式当0<x<1时,f(x)=x 2
,g(x)= 2
1x ,h(x)=x -2
的大小关系为( )
A.h(x)<g(x)<f(x)
B.h(x)<f(x)<g(x)
C.g(x)<h(x)<f(x)
D.f(x)<g(x)<h(x) 答案:D 黑色陷阱
本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该函数是以x 为自变量的函数);二是在将函数式变形的过程不是等价变形,导致变形后的函数也不再是原有的函数了.
典题变式 (1)求函数y=(x+2)-2
的定义域、值域.讨论当x 增大时,函数值如何变化？并画出图象;
(2)问上述函数的图象与函数y=x -2
的图象有何关系？ 思路分析:
根据幂函数的性质求解.
答案:(1){x|x ∈R 且x ≠-2};R +
.当x<-2时,函数值y 随x 的增大而增大,当x>-2时,y 随x 的增大而减小.
(2)将y=x -2的图象向左平移2个单位,即得到y=(x+2)-2
的图象. 绿色通道
据图象特征或性质求解幂函数解析式,需熟练掌握基本幂函数(y=x 上标±2,y=x 上标±1等)
的图象和性质,特别地,y=x 0
勿漏.
典题变式 函数f(x)=(k 2
+k)1
22
--k k
x
,当k=_______时成正比例函数,当k=_______时成反比
例函数,当k=_______时为幂函数. 答案:1±3 2 2
5
1±-。