二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
两倍角的正弦余弦正切公式
两倍角的正弦余弦正切公式正弦、余弦和正切是三角函数中最基本的函数之一，它们在数学和物理中有着广泛的应用。
而两倍角的正弦、余弦和正切公式则是在解决复杂问题时经常用到的重要工具。
本文将详细介绍两倍角的正弦、余弦和正切公式及其应用。
一、两倍角的正弦公式在解决一些三角函数的复杂问题时，经常会遇到求两倍角正弦值的情况。
根据两倍角的正弦公式，我们可以用已知的角的正弦值来求解两倍角的正弦值。
两倍角的正弦公式如下：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为已知角的角度。
例如，已知角θ的正弦值为0.6，我们可以利用两倍角的正弦公式求解sin(2θ)。
根据公式，sin(2θ) = 2sinθcosθ，代入已知值，则有sin(2θ) = 2 × 0.6 × cosθ。
二、两倍角的余弦公式与两倍角的正弦公式类似，两倍角的余弦公式也是求解复杂问题中常用的工具。
根据两倍角的余弦公式，我们可以用已知角的余弦值来求解两倍角的余弦值。
两倍角的余弦公式如下：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ同样，θ为已知角的角度。
例如，已知角θ的余弦值为0.8，我们可以利用两倍角的余弦公式求解cos(2θ)。
根据公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，代入已知值，则有cos(2θ) = 0.8^2 - (1 - 0.8^2)。
三、两倍角的正切公式两倍角的正切公式在解决复杂问题时也非常有用。
根据两倍角的正切公式，我们可以用已知角的正切值来求解两倍角的正切值。
两倍角的正切公式如下：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)同样，θ为已知角的角度。
例如，已知角θ的正切值为1.5，我们可以利用两倍角的正切公式求解tan(2θ)。
根据公式，tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)，代入已知值，则有tan(2θ) = (2 × 1.5) / (1 - 1.5^2)。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
135
1， 3,
探究：你能用以上公式推导出 sin 2， cos 2， tan 2 的公式吗？ 分析：令 = ，代入上述三式可得.
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin （ +） sin cos cos sin
2sin cos
即sin 2 2sin cos .
tan 6 tan 1 0，
2
tan 3 10
2
tan 3 10.
1 1 4.已知tan , tan , 求 tan （ +2 ）的值. 7 3 3 提示:先求出tan2 = , 4 1 3 tan +tan2 再利用 tan （ +2） = 7 4 1. 1-tan tan2 1 1 3 7 4
S2 sin 2 2sin cos
2 2 C 2 cos 2 cos sin =1-2sin 2 =2cos2 -1
T2
2 tan tan 2 2 1 tan
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名词时，“三”字等不能省 去.
cos2 sin 2
cos 2 1 cos 2
2cos2 1
cos 2 cos （ ) cos2 sin 2
1 sin 2 sin 2
1 2sin 2
二倍角的余弦公式. 简记为 C2 .
cos 4 2cos2 2 1
1.已知 cos
4 ,8 12, 求 sin ,cos , tan 的值. 8 5 4 4 4
3 4 ， cos , 8 2 8 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式
α ≠ π + kπ , α ≠ π + kπ 2 4 2
k ∈Z
运用这些公式要注意如下几点： 运用这些公式要注意如下几点： (1)公式Ｓ2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式 公式Ｓ 可以是任意角； 公式 kπ π π T2α只有当 α ≠ kπ + 且α ≠ + （k ∈ Z) 时 2 2 4 才成立，否则不成立。 才成立，否则不成立。 当α＝ ＝
= a2 + b2 ( sin x cosϕ + cos xsinϕ)
= a2 + b2 sin( x +ϕ) = a2 + b2 cos( x −θ )
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 ( sinα + cosα )
3 1 (2) sinα − cosα 2 2
2 π 6 π (3) sin − x + cos − x 4 4 4 4
(2)sinα + cosα
3 1 (1) sinα + cosα 2 2
(3)asin x + b cos x
化 函数形式
asin x +bcos x
asin x +bcos x
2 2
为一个角的三角
a b = a +b sin x + cos x 2 2 a2 + b2 a +b a cosϕ = a2 + b2 令 b sinϕ = a2 + b2
π
π
4、 (1)求 数 = sin x + cos x的 域 函 y 值 .
(2)函数y = 3sin2x + 3 3cos2x +1 的最小 值是 对 应的x值是 ；最大值 是
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
二倍角的正弦余弦和正切公式
二倍角的正弦余弦和正切公式二倍角公式是用来求解二倍角的三角函数的公式，以正弦、余弦和正切为例，其公式分别为：1.正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ该公式说明了一个角的正弦的两倍可以通过该角的正弦和余弦相乘来得到。
2.余弦的二倍角公式：余弦的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ该公式说明了一个角的余弦的两倍可以通过该角的余弦平方与正弦平方的差来得到。
3.正切的二倍角公式：正切的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)该公式说明了一个角的正切的两倍可以通过该角的正切的两倍与1减去该角的正切的平方的商来得到。
这些二倍角公式可用于简化复杂的三角函数表达式，以便更轻松地计算和求解。
下面将更详细地解释这些公式的推导和应用。
根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：sinΦ = 对边 / 斜边那么对边到底边的距离可以通过利用余弦函数来表示为：sinΦ = cos(Φ - 90°)将Φ代入，并展开cosine函数的定义：sin2θ = cos(2θ - 90°)根据余弦的差积公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ将(2θ-90°)分解为(2θ)与(90°)：cos(2θ - 90°) = cos2θcos90° + sin2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：cos(2θ - 90°) = sin2θ因此，可得到正弦的二倍角公式：sin2θ = cos(2θ - 90°)由于cos(2θ - 90°) = sin2θ，所以可以进一步化简为：sin(2θ) = 2sinθcosθ根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：cosΦ = 邻边 / 斜边那么邻边到底边的距离可以通过利用正弦函数来表示为：cosΦ = sin(Φ + 90°)将Φ代入，并展开sine函数的定义：cos2θ = sin(2θ + 90°)根据正弦的和积公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ将(2θ+90°)分解为(2θ)与(90°)：sin(2θ + 90°) = sin2θcos90° + cos2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：sin(2θ + 90°) = cos2θ因此cos2θ = sin(2θ + 90°)由于sin(2θ + 90°) = cos2θ，所以可以进一步化简为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ根据三角函数的定义，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边令角度Φ等于2θ，则有：tanΦ = 对边 / 邻边可以利用正弦和余弦的定义来表示对边和邻边：tanΦ = sinΦ / cosΦ将Φ代入，根据正弦和余弦的二倍角公式：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)通过之前推导的正弦和余弦的二倍角公式代入，即可得到正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2sinθcosθ) / (cos^2θ - sin^2θ)由于正弦的倒数是余弦，所以可以进一步化简为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)综上所述，正弦、余弦和正切的二倍角公式可以帮助我们计算和求解二倍角的三角函数。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
第五章 三角函数
3．已知 cosα＝31，则 cos2α 等于( C )
A．31
B．32
C．－97
D．79
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
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第五章 三角函数
4．(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)的值为( D )
第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、 余弦与正切公式
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第五章 三角函数
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第五章 三角函数
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对吗？ (2)公式中的角α是任意角吗？
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第五章 三角函数
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提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的 二倍角，3α 是32α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α2是α4的二倍角，…这里蕴 含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关 系的．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．
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第五章 三角函数
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2．已知 sinα＝35，cosα＝54，则 sin2α 等于( D )
A．57
B．152
C．1225 [解析]
D．2245 sin2α＝2sinαcosα＝2245.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
自主探究： 自主探究：
3 3.已 3.已知cosα = ,则cos2α = 5
7 − 25
3 α 4 4.已 4.已知sin = ,cos = − , 则角α是( 2 5 2 5 A.第一象限角 B.第二象限角 C .第三象限角 D.第四象限角
二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、
复习： 复习：
两角和、差的余弦公式： 两角和、差的余弦公式：
cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β
cos(α − β ) = cosα cos β + sinα sin β
记忆口诀：“余余正正，符号相反” 记忆口诀： 余余正正，符号相反”
α
D
)
交流展示： 交流展示：
1.填空：
(1)sin15 cos15 =
tan 22.5 (3) = 2 o 1 − tan 22.5
o
o
o
π 2π (2)cos --sin = 8 8
2
(4)2cos2 22.5o --1=
5π 5π 5π 5π (5)(sin +cos )(sin --cos )= 12 12 12 12
共同探究： 共同探究：
1 13 2.已 2.已知 cos α = ,cos(α − β ) = ， 7 14 且0 < β < α < （2）求β .
π
2 （1）求 tan 2α的值；
课堂小结： 课堂小结： 二倍角的正弦、余弦、正切公式： 二倍角的正弦、余弦、正切公式：
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2
2012-12-1
sin A 3 5 3 得 A tan cos A 5 4 4
3 2 2 tan A 4 24 tan 2A 2 2 1 tan A 7 3 1 4
2 tan B 2 2 4 tan 2B 2 2 1 tan B 1 2 3
13 2 cos 1 sin
2
5 1 ( ) 13
2
12 . 13
于是 5 12 120 sin 2 2 sin cos 2 ( ) 13 13 169 5 2 119 cos 2 1 2 sin 2 1 2 ( ) 13 169 sin 2 120 169 120 t an 2 cos 2 169 119 119
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
k k k
2 2
2
( T(+) ) ( T(-) )
2012-12-1
tan A tan B 11 tan A B 1 tan A tan B 2
2 tan A B 44 tan 2 A 2B 2 1 tan A B 117
2012-12-1
二倍角的正弦、 余弦 、正切
sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2 2 cos 1 2 1 2 sin 2 tan tan 2 1 tan
2012-12-1
sin2+cos2=1
sin2=1-cos2
三角函数的二倍角公式
三角函数的二倍角公式二倍角公式有正弦函数的二倍角公式、余弦函数的二倍角公式和正切函数的二倍角公式。
1.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式可以通过将θ角的两倍表示为θ+θ，然后利用和差化积公式推导而来：2sinθcosθ = sin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθ =2sinθcosθ这个公式的应用非常广泛。
例如，在求解三角方程或者在计算三角函数的值时，如果出现了sin(2θ)的形式，可以直接使用这个公式。
2.余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ首先，我们可以使用和差化积公式将cos²θ - sin²θ表示为cos(θ+θ)。
然后，通过将cos²θ和sin²θ展开为cos²θ = 1 -sin²θ和sin²θ = 1 - cos²θ，可以得到cos(2θ)的其他推导公式。
这个公式在解决关于余弦函数的三角方程以及求解三角函数的值时非常有用。
3.正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)这个公式可以从sin(2θ) / cos(2θ)推导出来。
首先，将sin²θ + cos²θ = 1推导为sin(2θ)² + cos(2θ)² = 1、通过相应的代换，可以得到tan(2θ)的表达式。
这个公式在求解正切函数的值以及在解决与正切函数相关的三角方程时非常有用。
这些二倍角公式不仅可以用来简化计算，而且还可以用来求解三角方程以及证明一些三角恒等式。
因此，对这些公式的掌握和理解是学习和应用三角函数的重要基础。
此外，除了二倍角公式，还存在一些其他的三倍角、半角等公式，它们在一些更复杂的三角函数问题中也会有所应用。
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• 知识回顾：
C
S
( )
( )
• 要求：学生自主复习回顾，把公式写在练 习本上 （时间约为2分钟）
T
( )
• 学习目标：
• 1、能探求二倍角的正弦、余弦、正切 公式;
• 2、能够利用二倍角公式进行三角函数式的 化简、求值及证明；
cos 45
o
2 2
5 例1 已知 sin 2 , , 求 sin 13 4 2 4 , cos 4 , tan 4 .
解：由 又因为 于是
4
2
,得
2
2
2
5 sin 2 , 13
12 5 cos 2 1 sin 2 2 1 13 13
sin4 2sin 2 cos 2 2
5 12 120 13 13 169
2
119 5 2 cos 4 1 2sin 2 1 2 169 13
120 sin 4 120 tan 4 169 119 cos 4 119 169
4 tan B 2, 例3：在△ABC中， cos A ， 5 求 1 求 tan 2 A, tan 2 B, tan A B 的值;
2 tan(2 A 2 B)的值.
根据需要拆分角
四．作业：
必作：习题3.1A组第15、16题 选作：B组第1、2题
2 2
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan 2 tan tan 2 2 1 tan
k , k 2 4 2
k Z
• 典例解析： • 例1、求值
(1) sin15 cos15 (2) cos (3)
2
o
o
8
sin
o 2
22.5 (4)2 cos 22.5 1
2 o
1 tan
tan 22.5
1 1 o sin 30 2 4 2 cos 2 8 4 2 1 1 o tan 45 o 2 2
• 探究：
, , S C T 推导出 • 你能用 sin 2 , cos 2 , tan2 的公式吗？
( ) ( ) ( )
要求：1、同桌之间交流讨论，将推导的结 果写在练习本上 （时间约为8分钟 ） 2、找代表将结论板演
cos 2 cos sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin sin 2 2 sin cos
• 注意：1、公式 2来自S ,C 2 2
中 为任意角，在 T 2 中
k ,k Z 4 2
k ,
4 是 2的二倍角， 2、二倍角是相对的，如： 是 的二倍角等
2
要求：由二倍角公式，完成学案问题1，问 题2，问题3
倍角公式： sin2α＝2sinαcosα； cos2α＝cos2α－sin2α =2cos2α–1 =1 –2sin2α； 2 tan tan 2 . 2 1 tan