固体物理学讲义3.3

§3-5离子晶体的长光学波对于长声学波，可以将晶体看成连续介质处理，该连续介质上的弹性波满足在弹性理论基础上建立的宏观运动方程。

对长声学波，元胞中所有原子的位移是相同的，它对应弹性波中的位移量。

弹性波的相速度：ρcp =v 。

其中c 为杨氏模量，可以由恢复力常数表出；ρ为体密度。

对于长光学波。

黄昆首先提出了长光学波也可以在宏观理论的基础上进行讨论。

1、长光学波的宏观运动方程以立方晶体为例，每个元胞中只有一对离子，质量分别为和。

当波长比元胞的线度大得多，相邻的同一种离子的位移将趋于相同，在半波长的范围内，正离子一些布拉菲元胞同向地位移，而负离子组成的另一些布拉菲元胞反向地位移，使晶体出现宏观极化，正负离子相对位移将引起宏观的电场强度。

黄昆选择如下宏观量为描述长光学波运动的宏观量：+M −M ()−+− Ω=µµ21M W 其中−+−++=M M M M M 为约化质量；Ω为元胞体积；−+µµ,为正负离子离开格点的位移，并且建立如下宏观的方程：+=+=Eb W b P E b W b W v v v v v &&v 22211211 这里是宏观极化强度，P v E v 是宏观电场强度。

且可以证明。

2112b b =计算唯象方程的系数：（1）考虑晶体在恒定电场下的极化，有W&&v ，则： E b b W v v 1112−= 代入方程得到；E b b b v v−=1121222P 并比较：P E v v 0]1)0([εε−=，得到： 11212220]1)0([b b b −=−εε （2）对于高频电场，晶格振动频率跟不上电场变化，有W=0，则E b P v v 22=，比较：E P v v 0]1)0([εε−=得到：[220]1)(b =−∞εε（3）后面将看到：b ，211Toω−=To ω为横长光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱中测量得到。

最后可以得到：−∞=∞−==−=0220210212112211]1)([)]()0([εεωεεεωb b b b To2、长光学波的横波频率To ω和纵波频率Lo ω立方晶体中的长光学波存在横波和纵波，表征位移的W 可以分解为：W v Lo To W W v v v +=。

横向位移是无散的，纵向位移是无旋的，即：=×∇≠×∇≠⋅∇=⋅∇0,00,0L T L T W W W W v v v v 而静电场的麦克斯韦方程为：=×∇==+⋅∇=⋅∇00)(0E P E D f v v v v ρε最后得到表征横向位移的方程：W T To T T T W W W b v &&v v &&v 211ω+≡−，即为表征横向振动频率的平方。

11b −同样可以得到关于纵向振动的方程：W W W W Lo L To L v &&v v &&v 22)()0(ωωεε+≡∞+ 因此有：21)()0( ∞=εεωωTo Lo ，该关系称为：LST （Lyddano-Sachs-Teller ）关系。

讨论（1）由于静电介电系数)0(ε恒大于光频介电系数，所有长光学纵波的频率Lo ω恒大于长光学横波频率To ω。

这是由于长光学纵波伴随有一个宏观电场，增加了恢复力，从而提高了纵波的频率Lo ω（2）当∞→⇒→)0(0ωωTo ，而∞→)0(ε则意味着晶体内部出现自发极化。

把趋于零的To ω称为光学软模。

由LST 关系所发展出来的自发极化理论，现在叫做“铁电软模理论”。

（3）由于长光学波是极化波，所有长光学波声子称为极化声子。

由于只有长光学纵波才伴随有宏观的极化电场，所有极化声子主要是指纵光学声子。

3、长光学波振动的原子理论—黄昆唯象方程的推导离子晶体的极化有两方面的贡献，一方面是元胞中正负离子的相对位移产生的电偶极矩：)(*−+−µµvv q ，表示有效电荷。

讨论长光学波时，在一个大的范围内，所以的正离子位移相同，负*q离子位移也相同，因此宏观极化强度可以表示为：Ω−=∑=−+)(*µµq vp P v v v 位移，Ω为元胞体积 另一方面，正离子和负离子的电子云在外场作用下产生极化，该极化和外场及正负离子的极化率有关，在长波时，相应的宏观极化强度为：）（极化−−+++Ω=eff eff E E P v v v αα1 因此晶体的总极化强度为：P 位移极化P P v v v +=，有效场是外场和离子极化产生的场的迭加，采用洛伦兹有效场近似有：P E eff v v v 031ε+=E 。

则有：E b W b P v v v 2221+=，其中：)−+−µµ(21Ω=M v W ， Ω+−Ω=−+∗0212131)(εααM q b ，Ω+−Ω−=−+−+02231)(εααααb 另外，由牛顿运动方程有：+∗−++++−−=eff E q k dt d v v v v )(22µµµM −∗+−−−−−−=eff E q k dt d M v v v v )(22µµµ 整理得：W E b W b v v &&v 1211+= Ω+−Ω+−=−+∗00211313)(εααεM q M k b210211231)(b M q b =Ω+−Ω=−+∗εαα 4、离子晶体的光学性质正负离子的相对振动产生的电偶极矩可以和电磁波相互作用，引起在远红外区域的强烈吸收。

因此在用唯象方程讨论这种光吸收现象时，应在方程中引入表达能量损耗的耗散项，即：WE b W b W &v v v &&v γ−+=1211 考虑形式解，代入方程得到：t i t i e W W e E E ωω−−==00,v v v v E i b b W v v ωγω−−−=21112代入唯象方程得到：E b i b b P v v+−−−=22211212ωγω 将前面求得的b 代入并和221211,,b b E P E D v v v v 00)(εωεε=+=比较可以得到：)()()(ωεωεωε′′+i ′≡，其中介电函数的实部和虚部分别为：()20222220220)]()0([)()(ωεεγωωωωωεωε∞−+−−+∞=′ ()20222220)]()0([)(ωεεγωωωωγωε∞−+−=′′ （1）吸收功率正比于介电函数的虚部。

（2）在0ωω=处出现一个吸收峰，峰的半高宽度为ωγ。

（3）横电磁波激励横光学格波。

5、极化激元前面的讨论仅考虑了库仑力的作用，实际上振动的偶极子会产生交变的电磁场，因此严格求解应该是利用麦克斯韦方程组和唯象方程。

研究对象即为晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统。

+=+= =⋅∇=⋅∇++∂∂=×∇∂∂−=×∇E b W b P E b W b W B D J P E t H t H E f f v v v v v &&v v v v v v v v v 22211211000)(ρεµ 考虑时谐场即；)](exp[0t r q i A A ω−⋅=v v v v ，代入并整理可以得到：0)(2112122200=+−+⋅ωεb b b E q v v （1）纵波：0≠⋅E q v v ，可以得到22)()0(To Lo ωεεω∞= （2）横波：0=⋅E q v v ，可以得到：+==)(000000P E qH H qE εωωµ最后可以得到：)(4))0(())0(()(212222222222∞−+±+∞=±εωωεωεεωq c q c q c To To To 讨论：以上结果是考虑了格波与电磁波的耦合得到的新的耦合波模式。

（1）当0→q v 时，)0(εωcq →−Lo ，这是低频电磁波（低于晶格振动频率）；ωω→+即晶体中的纵光学波，是纯的振动模式。

（2）当∞→q v 时，To ωω→−，也是纯的格波模式；)(∞+ω→εcq，这是高频电磁波。

（3）在)(∞=+εωcq 和)0(εωcq =−与Lo ωω=+和To ωω=−相交的区域附近，耦合很强，出现的是电磁波与格波的混合模式。

（4）在Lo To ωωω<<是禁止区，电磁波不能在晶体中传播。

§3-6 确定晶格振动谱的实验方法格波的色散关系和晶体的许多性质有关，因此确定格波的色散关系（亦称晶格振动谱）显得非常重要。

在讨论长光学波时已经指出，光波和离子晶体的长光学横波可以发生强烈耦合，形成声光子。

在非离子晶体中，光子也能和晶格振动发生相互作用，因为晶格振动使晶体内部的电子云分布发生变化，从而使晶体是光学常数如折射率发生相应的变化，这就会使在晶体中传播的光波频率和波矢都发生相应的变化。

另一方面，光波在晶体中传播时，光电场也会使晶体的力学性质如弹性系数发生变化，从而使晶体的晶格振动也发生相应的变化。

这样，光子也能与晶格振动发生相互作用，这种相互作用可以理解为光子受到声子的非弹性散射。

（1）中子流的非弹性散射中子流穿过晶体时，格波振动可以引起中子的非弹性散射，这种非弹性散射可以看成是吸收或发射声子的过程。

该过程满足能量守恒、动量守恒。

假定非弹性散射后，中子前后的动量分别为：，则：p p ′v v ,+±=−′±=−′n n n G q p p q M p M p v h v h v v v h )(2222ω n G v 可以理解为非弹性散射不能产生时对弹性散射引起的动量的改变的修正，实际上该项和平移对称性有关。

如果固定入射中子流的动量，测出不同散射方向散射中子流的动量，就可以根据上述关系确定格波的色散关系)(q vω。

由于中子的能量和声子的能量同数量级；中子的德布洛依波长和晶体晶格常数同数量级，因此可以获得较好的实验效果。

（2）光波和格波的相互作用该过程满足的能量守恒、动量守恒关系为：+±=−′±=−′n G q k k q v h v h v h v h v h h h )(ωωω 同样如果固定入射光而测量不同方向的散射光的频率，就可以得到声子的频率和波数矢量。

当光与声学波相互作用，散射光的频移大约为：10，称为布里渊散射；当光与光学波相互作用，散射光的频移大约为：3，称为拉曼散射； Hz 107103~×Hz 1310103~10××。