高中数学人教B版选修2-1配套课件：：3.1.4空间向量的直角坐标运算
2013版高二数学人教B版选修2-1课件3-1-4空间向量的直角坐标运算
________；
• (6)a⊥b⇔________⇔________；
(7)|a|＝________＝ a21＋a22＋a32；
(8)cos<a，b>＝________＝________.
• 2．空间中两点间的距离公式 • 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，
• [解析] 以C为坐标原点，CB，CA，CC1 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示 的可空得间M直(0,0角，坐26)，标A1系(0，C—3，xyz6.)，A(0， 3，0)，B1(1,0，
6)．
∴A→B1＝(1，－ 3， 6)，A→1M＝(0，－ 3，－ 26)． ∵A→B1·A→1M＝0，∴A→B1⊥A→1M. ∴AB1 与 A1M 所成角为 90°.
• 1．知识与技能
• 了解空间直角坐标系的建立，理解空间向 量的坐标及点的坐标的概念，掌握空间向 量运算法则，会用坐标运算法则求向量的 坐标．
• 掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证 明空间两个向量的平行和垂直．
• 掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计 算公式．
• 2．过程与方法
• 学会运用空间向量的坐标解决空间位置关 系的方法．
• 在上例中，求(a－b)·(a＋b)的值．
• [ 解 析 ] (a － b)(a ＋ b) ＝ [(3,5 ， － 4) － (2,1,8)]·[(3,5 ， － 4) ＋ (2,1,8)] ＝ (1,4 ， － 12)·(5,6,4)＝5＋24－48＝－19.
[例 2] 已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－23，14)．
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
(2)运算结果:空间向量的加法、减法、数乘坐标运算 结果依然是一个向量;空间向量的数量积坐标运算的结 果是一个实数.
3.对空间两个向量平行与垂直的两点说明 (1)类比平面向量平行、垂直:空间两个向量平行、垂 直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样,但实质 是一致的. (2)转化:判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线 对应的方向向量是否平行或垂直.
3.空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb,用坐标表示为:
_a_1____b_1_,
a∥b(b3____b_3_,
a1 a2 a3
当b与三个坐标平面都不平行时,a∥b⇔_b_1___b_2 __b_3__.
(2)a⊥b⇔a·b=0.用坐标表示为: a⊥b⇔_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_a_3b_3_=_0_.
(2)空间向量的坐标与点的坐标的联系 ①起点在原点的向量,坐标与终点坐标相同; ②起点不在原点的向量,坐标是终点坐标减去起点对应 坐标.
2.对空间向量坐标运算的两点说明 (1)类比平面向量坐标运算:空间向量的加法、减法、 数乘和数量积与平面向量的类似,学习中可以类比推广. 推广时注意利用向量的坐标表示,即向量在平面上是用 唯一确定的有序实数对表示,即a=(x,y).而在空间中则 表示为a=(x,y,z).
(2)若向量 AB =(x1,y1,z1),则点B的坐标是(x1,y1,z1) 吗?
提示:不一定.由向量的坐标表示知,若向量 AB的起点 A与原点重合,则B点坐标为(x1,y1,z1),若向量 AB 的起 点A不与原点重合,则B点坐标就不是(x1,y1,z1).
【自我总结】 1.对空间向量的坐标的两点说明 (1)空间向量坐标的本质 a=(x,y,z)的本质是a=xi+yj+zk,其中{i,j,k}是单位正 交基底.
人教B版高中数学选修2-1课件 3.1空间向量的直角坐标运算课件1
⑵ 若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直，且| a |＝ 3 ，求向量 a 的坐标。
a (1,1,1)或a (1, 1, 1)
【课堂小结】
今天你学到了什么呢？ 1.基本知识：
（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示；
（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。 2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
课本第
92.93.94页练习题、习题
能力培养
则点 B、E1、D、F1 的坐标分别为 B(1,1,0)，
E1(1,
3 4
,1)，D(0,0,0)，
1 F1(0, 4 ,1)
∴
BE1
＝(1,
3 4
,1)－(1,1,0)＝(0,－
1 4
,1)，
DF1
＝(0, 1
4
,1)－(0,0,0)＝(0,
1 4
,1)．
∴ | BE1 |
17 4
，|
DF1
|
BE1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
高中数学 3.1.4空间向量的直角坐标运算配套课件 新人教B版选修2-1
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.4
小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d ⇔c＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.4
跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
3.1.4
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
【学习要求】 1．了解空间向量坐标的定义． 2．掌握空间向量运算的坐标表示． 3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角． 【学法指导】
通过类比平面向量的坐标运算，掌握空间向量运算的坐标表 示．空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，可以使一些 问题简单化，培养从复杂问题中抽象出简单问题的能力.
研一研·问题探究、课堂更高效
∴|C→1G|＝
17 4.
又E→F·C→1G＝12×0＋12×－14＋－12×(－1)＝38，
|E→F|＝
23，∴cos〈E→F，C→1G〉＝
→→ EF·C1G →→
＝
1571.
|EF|·|C1G|
即异面直线
EF
与
C1G
所成角的余弦值为
51 17 .
(2)∵F12，12，0、H0，78，12， ∴F→H＝－12，38，12，
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.4
2．空间向量的坐标运算法则
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则
向量 运算
坐标表示
加法 a＋b＝_(a__1＋__b_1_，__a_2_＋__b_2_，__a_3_＋__b_3_)_
减法 数乘 数量
高中数学选修2-1精品课件1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
典例讲练
[例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是空间的一个基底； ②判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否也可作为该空间的一个基 底．解答本题可先用反证法，判断 a＋b，b＋c，c＋a 是否共 面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基 底．
[解析] 由 G 为△BCD 的重心易知 E 为 BC 的中点， ∴B→E＝12(B→A＋B→C)＝ 12[(O→A－O→B)＋(O→C－O→B)] ＝21[(a－b)＋(c－b)]＝12(a＋c－2b)， O→G＝O→B＋B→G＝b＋23B→E＝b＋13(a＋c－2b)＝13(a＋b＋c)．
[例 3] 棱长为 1 的正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、BC 的中点，以{A→B，A→D，A→A′}为基底， 求下列向量的坐标．
起点 与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 . 我们把 x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的 坐标，记作 p＝ (x，y，z)．
要点点拨
1．用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空间任 意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基 底． 3．由于 0 可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是 0. 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个 向量，二者是相关联的不同概念．
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1学案 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
数学人教B选修2-1第三章3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝____________，|b |＝____________，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝________________________. 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝____________.【做一做4】向量a ＝(2，－1，－1)，b ＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，||a －b ＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标．(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一 空间向量的坐标运算【例1】设向量a ＝(3,5,－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，(a ＋b )·(a －b )．分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b ，a ＋b ，a －b ；再进行相关运算．反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．题型二 空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立x 的方程，再解方程即可．反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3x ＋11－x＝－3⇔x ＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x 都不是0.题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1,－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积．分析：已知三点A ，B ，C 的坐标，先求AB ，AC ，|AB |，|AC |，AB ·AC ，再求cos 〈AB ，AC 〉，sin 〈AB ，AC 〉，从而得到结论．反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是：①建立空间坐标系；②求出相关点的坐标和向量坐标；③结合公式进行计算；④将计算的向量结果转化为几何结论．1．若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5,－9,2)B ．(－5,9,－2)C ．(5,9,－2)D ．(5,－9,－2)2．下面各组向量不平行的是( )A ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0)B ．c ＝(0,1,0)，d ＝(1,0,1)C ．e ＝(0,1,－1)，f ＝(0,－1,1)D ．g ＝(1,0,0)，h ＝(0,0,0)3．(2010·广东高考，理10)已知a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)且(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．2D ．14．若A (2,0,1)，B (3,4，－2)，则|AB |＝__________.5．向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos 〈a ，b 〉＝__________.6．已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a 且n ⊥b .答案：基础知识·梳理1．(1)单位 垂直 坐标向量【做一做1－1】3(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3)【做一做1－2】(0,0,0)2．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【做一做2】(3,5,7)3．(1)a ＝λb a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(2)a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0【做一做3】134．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23 b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2【做一做4】32 2典型例题·领悟【例1】解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a ＋b ＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a －b ＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，(a ＋b )·(a －b )＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.【例2】解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b .②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ，∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝－3，x ＋11－x ＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 【例3】解：∵A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，∴AB ＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)． ∴|AB |＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14， |AC |＝12＋(－3)2＋22＝14， AB ·AC ＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.∴cos 〈AB ，AC 〉＝A B →·A C →|AB →||AC →|＝12， ∴sin 〈AB ，AC 〉＝32，以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB ，AC 〉＝7 3.随堂练习·巩固1．B a ＝CA →＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)， b ＝CB →＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝(－5,9，－2)．2．B A 项中b ＝－3a ，a ∥b ，C 项中f ＝－e ，f ∥e ，D 项中h ＝0， ∴h ∥g .3．C ∵(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2，∴2(1－x )＝－2，x ＝2.4．26 |AB →|＝(3－2)2＋(4－0)2＋(－2－1)2＝26. 5．12 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2×1＋0＋022＋(－3)2＋(3)212＋02＋02＝12. 6．解：设n ＝(x ，y ，z )，则n ·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2，0)＝－2x ＋2y ＝0，n ·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，可得y ＝x ，z ＝x . 于是向量n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1)，x ∈R .。
人教版数学选修2-1(B版)3.1空间向量的直角坐标运算 (共26张PPT)
1
P
1
•
y
1
P点坐标为
x
x
1
• o
y
(x,y,z)
•P
0
1、在空间直角坐标系中描出下列各点， 并说明这些点的位置 A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
a
A(a1 , a2 , a3 )
O j
y
k
有序数组(a1, a2 , a3 )叫做a在空间的坐标. 向量a可以用坐标表示为a (a1, a2 , a3 ).
a a1i a2 j a3 k.
i x
则 a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )， a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
若A x1 , y1 , B x2 , y2 , 则AB x2 x1 , y2 y1
复习回顾：
2 2 2 2 2 1 设 a x , y , 则 a x y 或 a x y
3、向量模长的坐标运算和平面内两点间距离公式：
i
z k
O
x
j
y
3、作空间直角坐标系 Oxyz 时
z
一般使 xOy 135 (或 45 ), yOz 90
Z
k
i
O
j
y
x
三、空间中向量的直角坐标表示
给定一个空间直角坐标系和向量 a ,且设 i, j , k为坐标向量，由空z 间向量基本定理，存在唯一的有 序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使
五、空间中任意一点的直角坐标：
2018学年高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的直角坐标运算 精品
a1＝λb1，
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a3＝λb3
(λ∈R)
垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b (a⊥b) 均为非零向量)
已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A．1
B．15
3 C.5
D．75
【解析】 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1 的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为( )
10 A. 5
B．2 7 5
15 C. 15
D．
10 15
【解析】 建系如图，则C1(0,1,2)，D(1,0,1)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)．
法三 因为(ka＋b)∥(a－3b)， 所以ka＋b＝λ(a－3b)(λ∈R)， 即(k－2,5k＋3，－k＋5)＝(7λ，－4λ，－16λ)．
k－2＝7λ， 从而有5k＋3＝－4λ，
－k＋5＝－16λ，
解得k＝λ＝－13，所以k＝－13.
(2)法一 因为(ka＋b)⊥(a－3b)， 所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0， 解得k＝1036. 法二 因为a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， 所以a2＝27，b2＝38，a·b＝8. 因为(ka＋b)⊥(a－3b)， 所以(ka＋b)·(a－3b)＝ka2－3b2＋(1－3k)a·b ＝27k－114＋8(1－3k) ＝3k－106 所 ＝0以. k＝1036.
向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与 垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：(1)适当引入参 数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形 式，以达到简化运算的目的．
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的直角坐标运算 (2) .pdf
第三章空间向量与立体几何3.1.4 空间向量的直角坐标运算高中数学选修2-1·精品课件启动思维DD 1AB C B 1A 1C 1O单位正交基底空间直角坐标系两两垂直公共点1.单位正交基底及向量的坐标表示空间向量的坐标表示平移起点x，y，z向量运算坐标表示(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3向量运算坐标表示a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a2－a1，b2－b1，c2－c1)CB-4题型一：空间向量的坐标运算解：变式训练变式训练解：题型二：利用坐标运算解决平行、垂直问题变式训练典例导航题型三：利用坐标运算解决距离、夹角问题D 1D AB C A 1B 1C 1zy xF E G解：典例导航变式训练3.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．变式训练1．如何确定向量的坐标？(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标；(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标；(3)给出条件求向量的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标．2．如何利用向量坐标处理空间中的平行与垂直？(1)向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：即写出向量的坐标；(3)求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．。
课件1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直 线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、 夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】 不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做 坐标向量 ．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所 以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算 括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)
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●重点难点 重点：空间向量的加法、减法、数乘和数量积的坐标运 算． 难点：空间向量坐标的定义及应用．
课标解读
1.了解空间向量坐标的定义． 2．掌握向量的加法、减法、数乘和数量积的 坐标运算．(重点) 3．会利用向量的坐标关系判定向量的平行与 垂直．(重点)
空间向量坐标的定义
【问题导思】 如图3－1－33，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4， 在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
利用坐标运算解决平行与垂直问题
已知A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝ → → AB，b＝AC. → (1)若|c|＝3，c∥BC，求c. (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后 算括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－ 1 → → 1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1) OD ＝ 2 ( AB → → 1 → → －AC)．(2)AD＝2(AB－AC)．
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|A→ B |＝
x2－x12＋y2－y12＋z2－z12
空间向量分别是(－1,2,1)， → → (1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，若p＝AB，q＝CD. 求(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)· (p＋q)．
→ (2)设点D的坐标为(x，y，z)，则AD＝(x－3，y＋2，z－3)，
3 1 3 → 由(1)知 AD ＝(x－3，y＋2，z－3)＝ 2，2，－2 ，即x－3＝ 2 ，y
1 ＋2＝2，z－3＝－2. 9 3 解得x＝2，y＝－2，z＝1.
9 3 即D2，－2，1.
1.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量运算 加法 减法 数乘 数量积 坐标表示 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a＋b＝
(a1－b1，a2－b2，a3－b3) a－b＝
λa＝ (λa1，λa2，λa3) a· b＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
【解】
因为A(3，－2,3)，B(2,1，－1)，C(－1,0,3)，所以
→ → AB(－1,3，－4)，AC(－4,2,0)，
3 1 1 → 1 → → (1) OD ＝ 2 ( AB － AC )＝ 2 (3,1，－4)，＝ 2，2，－2 ，故点D 3 1 的坐标为2，2，－2.
坐标向量
．
2．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量 分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使得a＝a1i＋a2j＋ a3k，a1i、a2j、a3k分别为向量a在i、j、k方向上的分向量，有序 实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可 简记作a＝(a1，a2，a3)．
.
两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式
1．两向量的夹角公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 |a |＝ a· a＝
2 2 a2 ＋ a ＋ a 1 2 3
a· b cos〈a，b〉＝ ＝ |a||b| 2．向量长度的计算公式
. a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a · b ＋ b ＋ b . 1 2 3 1 2 3
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标．
2．空间向量平行和垂直的条件 a∥b(b≠0)⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a∥b⇔ a⊥b⇔
a1 a2 a3 ＝ ＝ (b 与三个坐标平面都不平行) b1 b2 b3
. .
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
3．1.4 空间向量的直角坐标运算
(教师用书独具)
●三维目标 1.知识与技能 了解空间向量坐标的定义，掌握向量的加法、减法、数乘 和数量积的坐标运算，会利用向量的坐标关系判定向量的平行 与垂直．
2．过程与方法 通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括 等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方 法，对向量加深理解． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断 拓展创新的学习习惯和品质．
空间向量运算的坐标表示及平行、垂直的条件
【问题导思】 1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－ b，λa，a· b?
【提示】 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－ b2)，λa＝(λa1，λa2)，a· b＝a1b1＋a2b2.
2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？ 【提示】 a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.
【思路探究】
→ → 先利用向量的加减运算求出AB，CD，再利
用数乘运算及坐标运算求解．
【自主解答】
→ p＝AB＝(1,3,4)－(－1,2,1)＝(2,1,3)，
→ q＝CD＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)， (1)p＋2q＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p－q＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p－q)· (p＋q)＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(4＋36)＝－26.
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？ 【提示】 不共面．
→ 2．试用e1，e2，e3表示AB1. 【提示】 → AB1＝4e1＋4e2＋4e3.
→ 3．若M为A1B1的中点，能否用e1，e2，e3表示AM？
【提示】
→ 能.AM＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做