工程制图投影理论

3.5.1 平行关系 分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
（1） 直线与平面平行 几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的 某一直线平行，则该直线与该 平面平行。
两直线的平行问题
由于EF∥BD， 且BD 是△ABC面内的一直
线，
因此直线EF∥△ABC 面。
例：过M点作直线MN平行于△ABC平面。
夹角的大小。
另外两个投影面上的投影为类似形。
β
γ YH
γ α
YW
YH
βα YW
H
例：正垂面△ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶
点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。
c
c
如何求解？
a b ● 45°
a 先进行空间分析
b
a
c b
❖可见投影线要用粗实线描深 ❖应清理无关的作图辅助线
m a
b n
有多少解？ 唯一解！
X
c
O
b
Байду номын сангаас
n
m
c 如何作正平线、水
平线？
a
例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投
影。 空间分析：1.正平线的水平投影平行于X轴；
2.平行四边形有两组平行的对应边。
解法一：
b
解法二： b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
例：已知点E在ABC平面上，且点E距离V面10，距离H面
b
d
n 空间分析
c m
a
●
✓先在面内取一直线
b
✓作该直线的平行线
d
n
a
●
m
有多少解？ c
有无数解 解的轨迹是与△ABC平行的 平面
直线与平面平行（存在积聚性时）
V PV
P
X
O
水平线
PH H
正平线
平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面
上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面 保持从属关系。
例： 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平 线，过点A作属于该平面 的水平线。
此题有几个解？
3.4.3 平面内的点和直线
点和直线在平面上的几何条件：
（1）点在平面上的几何条件： 点必在平面内的某一直线上。
（2）直线在平面上的几何条件： ①通过平面上的两点； ②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
应用：在平面上取点、直线，实质上是在平面内作辅助线的 问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类 问题：
（2）投影面平行面
积聚性
a b c a c b
积聚性
a
实形性
c
水平面
b
投影规律：
是什么位置的 在它所平行的投影平面面上？的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影 轴平行的直线。
（3）投影面垂直面
类似性
b
b 类似性
c c
a
a
积聚性
βc
b
γ
a
投影规律：
铅垂面
线与在投所影垂轴直的的夹投角影是平反面为什面映上什么？空的位么间投置？平影的面积与聚另成外直两线投。影该面直
第三章 工程制图投影理论
本章知识点及要求:
1. 掌握正投影的投影特性； 2. 掌握点、线、面的投影特征； 3. 掌握特殊位置直线与平面的投影规律； 4. 掌握直线与直线、平面与平面、平面与直线相对
位置投影特性（直线或平面至少有一个为特殊位 置）。
3.4 平面的投影
3.4.1 平面的表示法 3.4.2 各种位置平面及投影特征 3.4.3 平面内的点和直线
15，试求点E的投影。
b
r m
e
n
a s
10 15
X
c
O
b
n
r
s
e
c
m
a
3.5 几何要素之间的相对位置 相对位置关系是指平行、相交和垂直关系。
3.5.1 平行关系：直线与平面平行，两平面平行； 3.5.2 相交关系：直线与平面相交，两平面相交； 3.5.3 垂直关系：直线与平面垂直，两直线垂
直(一般位置)和两平面垂直。
①判别已知点、线是否属于已知平面。 ②完成已知平面上的点和直线的投影。 ③完成多边形的投影。
(1) 平面内的直线
直线属于平面应满足的条件：（回忆中学立体几何的概念）
a.通过平面上的两个点
P
N
M
●
●
b.通过平面内的一点，且平
B
行于平面内的一条直线
A
P
M
●
❖ 关键是将上述立体几何的思想通过投影的方法表达出来。
线，因此特殊位置平面上的点、直线或平面图形，在该投影面
p’
上的投影都位于平面积聚性的这条直线上。 b’
t’ 45゜ c’
e’
例：已知点A、点B和直线CD的两
a’
d’
面投影。 （1）试过点A作正平面。
m’
n’
（2）过点B作正垂面，使α=45゜
（3）过直线CD作铅垂面
m an t
d
e pc
b
(4) 平面内投影面的平行线
非共线的 三个点
3.4.1 平面的表示法
直线及线 平行二直线 相交二直线 外一点
平面图形
c
●
c
●
c
●
c
c
●
●
a●
a●
a●
d a●
a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
●
d
a●
a●
●c
● c
●c
●c
●c
这些表示法是等效的，它们可以互相转化，应熟练这种转化。
3.4.2 各种位置平面及投影特征
⒈ 平面与投影面的相对位置
平行于投影面
垂直于投影面
倾斜于投影面
特殊位置 投影规律
实形性
度量性好
积聚性 作图简单
一般位置
类似性 可推理空间形状
根据投影特性，
平面与投影面的位置关系可分为三类：
一般位置平面 与V，H，W三个投影面都倾斜
投影面平行面 平行于某一投影面
正平面（//Ｖ面） 侧平面（//Ｗ面） 水平面（//Ｈ面）
P
把立体几何的思想 用投影进行表达
例：已知平面由两平行直线AB、CD确定，试判断 点M是否在该平面内。
b’
d’
a’ s’ c’
t’ m’
X
O
c a
s
m
t
b
d
检验M点的水平投影m是否在st直线上。 （当前情况M点不在该平面内）
(3) 特殊位置平面内的点和直线
特殊位置的平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成为直
统称特殊位置平面
投影面垂直面 垂直于某一投影面与其余两 投影面倾斜
正垂面(⊥Ｖ,<H、W) 侧垂面(⊥Ｗ,<V、H)
铅垂面(⊥Ｈ,<W、V)
<表示倾斜
（1） 一般位置平面
b
a
B
b
A
a
b C c
a
c
b a
b
a
c
c
b
c a
投影特性：
（1 ）abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形。 （2 ）不直接反映、、 。
例：已知由AB、AC确定的平面，试在平面内作一条直 线。
解法一：
b
解法二：
d
b
m● a
n
●
c
c a
m● a
b n● c
b d
a
c
有多少解？
有无数解！
(2) 平面内的点
点属于平面应满足的条件：（回忆中学立体几何的概念） 点属于平面内的某一直线
点的从属性：点属于直线，点的 投影就属于该直线的同名投影。