维纳滤波
维纳滤波
维纳滤波滤波器概念常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC低通滤波器、LC谐振回路等。
但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
不管滤波器具有什么样的频率响应，均不可能做到噪声完全滤掉，信号波形的不失真。
因此，滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
维纳滤波定义及发展维纳滤波滤除背景噪声20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立。
维纳滤波基本概念从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳（Wiener）滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。
设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。
期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。
因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。
为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。
如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。
根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。
维纳滤波
e 2 (n) [ s(n) X (n) H ][ s(n) H T X (n)] s 2 ( n) 2 s ( n) X ( n) H H X (n) X (n)]H
E[e 2 n ] E[ s 2 n ] 2 E[ sn X T n ]H H T E[ X n X T n ]H
x(
我们已知
X ( z ) B( z )W ( z )
则信号功率谱为
2 Pxx ( z) B( z) B( z 1 )
如果已知信号的Pxx(z)，即可求得B(z) 。
非因果IIR维纳滤波器的求解
计算Hopt (z)：
1 B( z )
x( n )
w(n)
G(z)
ˆ( n ) y ( n) s
正交性原理：最优估计 误差正交于任一个进入 估计的输入信号或信号 空间。
由正交方程可得：
E[enxn m] E[{sn hmxn m}xn m]
E[snxn m] E[xn mxn p ]h p 0
m
m 0
k ≥ 0的约束使得上式不能直接转到Z域求解。如
能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。
如果滤波器的输入x(n)是方差为 w 的白噪声w(n)
2
因果维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：
2 2 xs m ws m h p w m p w hm m 0
代入可得： (h) s2 2P H H RH (二次型问题）
其解为：HOP R1P， 且
2 T H H 即 op s op P
结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均 方误差值是最小的。其阶数越高，采用的已知信 息越多，最小均方误差越小，计算量也越大。
维纳滤波原理
维纳滤波原理维纳滤波是一种信号处理中常用的滤波方法，它的原理是基于最小均方误差准则，通过对信号和噪声的统计特性进行分析，设计一种能够最小化系统输出与期望输出之间均方误差的滤波器。
维纳滤波在图像处理、语音处理、雷达信号处理等领域都有广泛的应用，下面我们来详细了解一下维纳滤波的原理和应用。
首先，我们需要了解维纳滤波的基本模型。
维纳滤波的输入信号可以表示为s(n)，噪声信号表示为v(n)，系统输出信号表示为x(n)，那么维纳滤波器的输出可以表示为：x(n) = w(n) s(n) + v(n)。
其中，表示卷积操作，w(n)表示滤波器的权值。
维纳滤波的目标是设计一个滤波器，使得系统输出信号x(n)与期望输出信号d(n)之间的均方误差最小，即最小化误差信号e(n)的均方值E[e^2(n)]。
根据最小均方误差准则，我们可以得到维纳滤波器的最优解为：w(n) = R_ss^(-1) p_s。
其中，R_ss表示输入信号s(n)的自相关矩阵，p_s表示输入信号s(n)与期望输出信号d(n)的互相关向量。
这个公式描述了维纳滤波器的权值与输入信号和期望输出信号的统计特性之间的关系。
维纳滤波器的设计需要对输入信号和噪声信号的统计特性有一定的了解。
通常情况下，输入信号和噪声信号被假设为高斯分布，因此可以通过它们的均值和方差来描述它们的统计特性。
在实际应用中，我们可以通过对信号和噪声的样本进行统计分析，估计它们的均值和方差，进而设计维纳滤波器。
除了基本的维纳滤波器设计原理，维纳滤波还有一些扩展应用。
例如，当输入信号和噪声信号的统计特性未知或难以估计时，我们可以通过自适应滤波的方法来实现维纳滤波。
自适应滤波器可以根据系统的实时输入信号和输出信号来动态地调整滤波器的权值，以适应信号和噪声的变化特性，从而实现更好的滤波效果。
维纳滤波在图像处理中有着广泛的应用。
在数字图像处理中，图像通常会受到噪声的影响，例如加性高斯噪声、椒盐噪声等。
第八章 维纳滤波
rxx(λ-k)
rzx(λ)
第八章 维纳滤波 维纳-何甫积分方 程式(离散形式)：
中原工学院
N xx
机电学院
h(k )r
k 0
N
( k ) rzx ( ) 或 h(k )rxx (k ) rzx ( )
k 0
自相关函数为偶函数
▲ 维纳滤波器 如果已知x(n)与所要求的输出信号z(n)，则当x(n)的自相关函 数和z(n)与x(n)的互相关函数为已知时，求解维纳-何甫方程，即可求得满足均 方误差最小的滤波因子h(n)。这就是按照最小平方准则设计的线性滤波系统， 它是一个最佳系统，通常称为维纳滤波器。 这是一个对 称 矩阵 。 卷积形式：
第八章 维纳滤波
中原工学院
机电学院
第二节
反滤波
一、回声鸣震现象及反滤波
问题的提出：在某些情况下（例如，在大礼堂内演讲，由于墙壁多次反射， 而造成回声交混，形成一片轰鸣声，使人们听不清讲话内容）所录取的信号， 可认为是原始信号经过几个物理系统（信号传输的路径或通道）作用的结果， 或者看成是源信号经过几个物理滤波器以串联形式滤波的结果。这时，采用 反滤波方法可以使真正源信号从干扰中恢复出来。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：
维纳滤波文档
维纳滤波1. 简介维纳滤波（Wiener filtering）是一种经典的信号处理技术，用于消除信号中的噪声并恢复原始信号。
它是由诺贝尔奖获得者诺里斯·伯特·维纳（Norbert Wiener）于1949年提出的。
维纳滤波基于统计信号处理理论，通过在频域对信号和噪声进行建模，利用最小均方误差准则来估计信号。
它可以应用于许多领域，例如图像处理、语音信号处理、雷达信号处理等。
2. 维纳滤波的原理维纳滤波的目标是根据信号和噪声的统计特性，对接收到的被噪声污染的信号进行优化处理，以尽可能地恢复原始信号。
其基本原理可以分为以下几个步骤：2.1 信号与噪声建模首先，需要对信号和噪声进行建模。
假设接收到的信号为s(s)，噪声为s(s)，那么接收到的被噪声污染的信号可以表示为：s(s)=s(s)+s(s)2.2 计算信号和噪声的统计特性通过观测和采样，可以估计信号和噪声的统计特性，例如均值、方差、功率谱密度等。
以图像处理为例，可以通过对图像的样本进行统计分析来估计信号和噪声的统计特性。
2.3 估计滤波器函数利用信号和噪声的统计特性，可以估计滤波器函数s(s)，其中s为频率。
滤波器函数描述了在不同频率上应该对信号进行的滤波程度。
通过估计滤波器函数，可以为不同频率的信号分配适当的增益。
2.4 滤波过程在维纳滤波中，滤波器函数s(s)是根据信号和噪声的功率谱密度来估计的。
通过将接收到的信号进行频谱变换，将频谱域中的信号与滤波器函数相乘，然后再进行逆向频谱变换，即可得到滤波后的信号。
3. 维纳滤波的应用维纳滤波在信号处理领域有广泛的应用，下面以图像处理为例说明其应用场景。
3.1 噪声去除在图像处理中，噪声往往是由于图像的采集、传输等过程中产生的。
维纳滤波可以根据图像的统计特性，将噪声进行估计，并对图像进行滤波，从而实现去噪的效果。
3.2 图像恢复图像的失真往往是由于拍摄条件、传输等因素引起的。
维纳滤波可以通过估计图像的信号特性，去除噪声和失真，从而恢复图像的细节和清晰度。
第八章 维纳滤波
求解此式，可得到最小平方反滤波的滤波因子 h(n) 。然而求 h(n) 值是根据 rpp(i)，为了计算rpp(i)就得确切知道干扰系统的冲激响应p(n)，这是一个难题。 在许多情况下，希望由x(n)=p(n)*s(n)以及对p(n)的若干特征来寻求p(n)的估计 值。下面给出一种由x(n)计算rpp(i)的近似方法。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：
▲ 回声鸣震问题 【例1】
设信号序列为 {s(n)}，经过延迟 n0，其一次回声序列为 {rs(n-n0)}，二次回声 序列为 {r2s(n-2n0)} ，三次回声序列为 {r3s(n-3n0)} ，等等。其中 r 为反射因子， |r|≤1。滤波器的输入x(n)是信号序列与回声序列的叠加，即
第八章 维纳滤波
Q 0, 0 n N h(n)
x(n) 的 自 相关函数
λ=nT,T 是 采样周期 z(n) 与 x(n) 的 互相关函数
N Q 2[ h(k ) x(n k ) z (n)]x(n h(k ) x(n k ) x(n ) 2 z (n) x(n ) 0
维纳滤波(最小均方滤波)
（3-10）
其中������������������ (������, ������ )为噪声功率谱，������������������ (������, ������)为图像功率谱。由式(2.5)可以看出， 当没有噪声时，有P u, v = 1/H(u, v)，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波 器。 在有噪声的情况下， 维纳滤波也用信噪功率比作为修正函数对逆滤波器进行 了修正，但它在均方误差最小的意义上提供最佳恢复。 通常将噪声假设为白噪声，即噪声功率谱������������������ (������, ������ )为常数，若������������������ (������, ������)在频 谱空间上高频区下降比������������������ (������, ������ )快得多，这种假设就近似正确。于是可以认为 ������������������ ������, ������ = ������������������ 0,0 = 常数（3-11） 如果噪声时各态历经的，可以用一幅噪声图像进行计算从而求得������������������ 0,0 ，
∞ ������(������ , ������ )������(������ −∞
− ������, ������ − ������ )������������������������（3-6）
式中，������(������, ������)为维纳滤波器的点扩散函数。按照均方误差最小准则，������ ^ x, y 应该满足 ������ 2 = ������ ������ ������, ������ − ������ ^ x, y
∞ ������(������ , ������)������(������ −∞ ∞ ������(������ , ������)������(������ −∞
维纳滤波(Wiener Filtering)
１.１因果的维纳滤波器
设 是物理可实现的，也即是因果序列：因此，从式(1)、(2)、(3)、(4)推导： (5) (6)
要使得均方误差最小，则将上式对各 m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：
设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是 ，当输入一个观测到的随机信号 ，简称观测值，且该信号包含噪声 和有用信号 ，简称信号，也即 (1)
则输出为 (2)
系统框图中估计到的 信号和我们期望得到的有用信号 不可能完全相同，这里用 来表示真值和估计值之间的误差 (3)显然 是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波的误差准则就是最小均方误差准则 (4)
我们希望输出得到的 与有用信号 尽量接近，因此称 为 的估计值，用 来表示 ，我们就有了维纳滤波器的系统框图 .这个系统的单位脉冲响应也称为对于 的一种估计器。
用当前的和过去的观测值来估计当前的信号 称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号 ，称为预测；用过去的观测值来估计过去的信号 称为平滑或者内插。
若信号与噪声互不相关，即，
前面推导的最小均方误差[下式]：
可以改写为：
【例1】如图， ，信号与噪声统计独立，其中 噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤波器来估计 ，并求最小均方误差。
解：已知信号的自相关和噪声的自相关为：
第6章 维纳滤波
（Wiener Filtering）
do
something
随机信号或随机过程(random process)是普遍存在的。一方面，任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；另一方面，任何信号本身都存在随机干扰，通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。噪声按功率谱密度划分为白噪声（white noise）和色噪声（color noise），我们把均值为0的白噪声叫纯随机信号（pure random signal）。因此，任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号或简称为随机信号。要区别干扰（interference）和噪声( noise)两种事实和两个概念。非目标信号（nonobjective signal都可叫干扰。
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维纳滤波7.2 维纳滤波从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。
根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
滤波器研究的一个基本课题就是:如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波理论用于解决最小均方误差下的线性滤波问题。
设接收到(或观测到)的信号为随机信号(7-1)其中s(t)是未知的实随机信号，n(t)是噪声。
要设计的线性滤波器，其冲击响应为h(t, τ)，输入为x(t)，输出为，即(7-2)令为估计误差。
冲击响应h(t, τ)按最小均方误差准则确定，即h(t, τ)必须满足使(7-3)达到最小。
根据最小均方误差估计的正交条件，有以下关系成立(7-4)令(7-5)(7-6)则有(7-7)上述方程通常称为非平稳随机过程条件下的维纳-霍甫(Wiener-Kolmogorov)积分方程。
特别当x(t)，s(t)均为广义(或宽)平稳随机信号，而滤波器是线性时不变系统的情况下，x(t)与s(t)必为联合平稳，式(7-7)可写为(7-8)令，，则有(7-9)此处，“*”号表示卷积，对上式两边取Fourier变换，可得(7-10)(7-11)对于因果线性系统，有(7-12)采用完全相同的分析方法，推得因果平稳维纳-霍甫积分方程如下(7-13)(7-14)其中，表示的零、极点位于，表示的零、极点位于。
表示位于的零、极点。
MATLAB图像处理工具箱提供了wiener2函数进行自适应滤出图像噪声，它根据图像的局部方差来调节滤波器的输出，往往较线性滤波效果好，可以更好地保存图像的边缘和高频细节信息。
Wiener2函数采用的算法是首先估计像素的局部均值和方差:(7-15)Ø (7-16)其中，Ω是图像中每个像素的M×N的邻域。
然后，对每个像素利用wiener滤波器估计其灰度值:(7-17)2式中，v是图像中噪声的方差。
Wiener2的语法格式为:J=wiener2(I,[m,n])J=wiener2(I,[m,n],noise)[J,noise]=wiener2(I,[m,n])其中，J=wiener2(I,[m,n])返回有噪声图像I经过wierner(维纳)滤波后的图像，[m,n]指定滤波器窗口大小为，默认值为。
J=wiener2(I,[m,n],noise)指定噪声的功率，[J,noise]=wiener2(I,[m,n])在图像滤波的同时，返回噪声功率的估计值noise。
【例7-1】对加入高斯噪声的图像saturan.png作维纳滤波。
例程7-1 噪声图像维纳滤波% e.g.7-1.m for example7-1;%test the function of weina filter.RGB = imread('saturn.png');I = rgb2gray(RGB);J = imnoise(I,'gaussian',0,0.005);figure, imshow(J);K = wiener2(J,[5 5]); %指定滤波器窗口大小figure, imshow(K);图7-1 噪声图像图7-2 维纳滤波复原图像实现维纳滤波的要求是:?输入过程是广义平稳的;?输入过程的统计特性是已知的。
根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。
然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求。
这就促使人们研究自适应滤波器。
卡尔曼滤波器由于维纳滤波器难以用于实时处理，满足不了20世纪50年代航天航空技术发展的要求，于是人们开始探索新的理论和技术途径。
20世纪60年代新出现的卡尔曼滤波理论，用信号与噪声的状态空间模型取代了相关函数，用时域的微分方程来表示滤波问题，得到了递推估计算法，适用于计算机实时处理，它突破了维纳滤波的平稳过程的限制，也没有无限时间的要求，这一对维纳滤波理论的重大突破很快地被用于空间技术、自动控制和信号处理等领域。
卡尔曼滤波由滤波方程和预测方程两部分组成。
7.5.1 滤波基本方程设信号状态方程和量测方程分别为(7-133)(7-134)式中，为信号的状态向量，为量测向量，和分别为状态噪声和量测噪声，且为互不相关的高斯白噪声向量序列，其协方差分别为和;，和分别为状态转移矩阵、输入矩阵和观测矩阵。
卡尔曼滤波基本方程为(7-135)(7-136)(7-137)(7-138)(7-139)其中，残差(新息)定义为(7-140)协方差矩阵为(7-141)7.5.2 一步预测基本方程卡尔曼一步预测基本方程为(7-142)(7-143)(7-144)式中，为一步预测增益阵。
【例7-16】利用卡尔曼滤波器跟踪机动目标。
例程7-14 基于卡尔曼滤波器的机动目标跟踪% Make a point move in the 2D plane% State = (x y xdot ydot). We only observe (x y).% X(t+1) = Φ(t) X(t) + noise(Q)% Y(t) = H X(t) + noise(R)ss = 4; % state sizeos = 2; % observation sizeF = [1 0 1 0; 0 1 0 1; 0 0 1 0; 0 0 0 1]; H = [1 0 0 0; 0 1 0 0];Q = 0.1*eye(ss);R = 1*eye(os);initx = [10 10 1 0]'; %target initial parameters initV = 10*eye(ss);seed = 9;rand('state', seed);randn('state', seed);T = 15;[x,y] = sample_lds(F, H, Q, R, initx, T); %generate target data%kalman filter[xfilt, Vfilt, VVfilt, loglik] = kalman_filter(y, F, H, Q, R, initx, initV);% one step predict[xsmooth, Vsmooth] = kalman_smoother(y, F, H, Q, R, initx, initV);%calculate the error between the filtered data and the real data dfilt = x([1 2],:) - xfilt([1 2],:);mse_filt = sqrt(sum(sum(dfilt.^2)));dsmooth = x([1 2],:) - xsmooth([1 2],:); mse_smooth =sqrt(sum(sum(dsmooth.^2)))figure(1)clf%subplot(2,1,1)hold onplot(x(1,:), x(2,:), 'ks-');plot(y(1,:), y(2,:), 'g*');plot(xfilt(1,:), xfilt(2,:), 'rx:'); for t=1:T,plotgauss2d(xfilt(1:2,t), Vfilt(1:2, 1:2, t)); end hold offlegend('true', 'observed', 'filtered', 3) xlabel('x')ylabel('y')% 3x3 inchesset(gcf,'units','inches');set(gcf,'PaperPosition',[0 0 3 3]) %print(gcf,'-depsc','/home/eecs/murphyk/public_html/Bayes/Figures/aima_filter ed.eps');%print(gcf,'-djpeg','-r100','/home/eecs/murphyk/public_html/Bayes/Figures/aima_filtered.jpg');figure(2)%subplot(2,1,2)hold onplot(x(1,:), x(2,:), 'ks-');plot(y(1,:), y(2,:), 'g*');plot(xsmooth(1,:), xsmooth(2,:), 'rx:'); for t=1:T, plotgauss2d(xsmooth(1:2,t), Vsmooth(1:2, 1:2, t)); end hold offlegend('true', 'observed', 'smoothed', 3) xlabel('x')ylabel('y')% 3x3 inchesset(gcf,'units','inches');set(gcf,'PaperPosition',[0 0 3 3])%print(gcf,'-djpeg','-r100','/home/eecs/murphyk/public_html/Bayes/Figures/aima_smoothed.jpg');%print(gcf,'-depsc','/home/eecs/murphyk/public_html/Bayes/Figures/aima_smoo thed.eps');图7-27 卡尔曼滤波器跟踪机动目标仿真图7-27中“?”表示机动目标的真实轨迹，“,”表示目标观测轨迹，“…”表示经卡尔曼滤波后的目标轨迹，圆表示跟踪波门。