【经典例题剖析】一次函数
一次函数知识点经典例题讲解
一次函数的基本概念知识点1：理解一次函数、正比例函数的概念．形如y=kx ＋b （k ≠0）的函数，称y 是x 的一次函数；特殊地，若b=0,即y=kx（k ≠0）的函数，称y 是x 的正比例函数。
一次函数有两个基本特征：其一是自变量x 的次数是1；其二是自变量的系数 k ≠0例 1、判断哪些函数是一次函数：3y x =，2y x =+，213x y -=，92y x=+，12y x =-例2：已知y 是x 的一次函数，当3x =时，1y =，当2x =-时，14y =-，求：（1）这个一次函数的关系式和自变量的取值范围。
（2）当5x =时函数的值。
（3）当4y =时自变量的值。
例3．．已知m y +与n x -成正比例（其中m ，n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果1-=x 时，15-=y ，7=x 时，1=y ，求这个一次函数的解析式．这里，先设所求的一次函数关系式为y kx b =+，其中k ，b 是待确定的常数，然后根据已知条件列出以k ，b 为未知数的方程组，求得k ，b 的值，从而求出所求的关系式。
这种求函数关系式的方法叫做待定系数法。
待定系数法是一种重要的数学方法，有广泛的用途。
例3是例2的深化知识点2：y=kx＋b（k≠0）的图象1、图象：一条直线；2、与坐标轴的交点：①y=kx＋b（k≠0）交x轴于（－b/k，0）,交y轴于（0，b）；②y=kx（k≠0）过坐标原点（只有这一个交点），即（0，0）。
3、位置：由k、b决定①b决定图象与y轴的交点在x轴的上方还是下方（即（0，b）点的位置）；②K决定直线的位置（即过一、三象限或二、四象限）。
注意看图识性，见数想形．例4．已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？知识点3：y=kx＋b（k≠0）图象的性质k＞0时，y随x的增大而增大，从左到右直线上升。
一次函数经典例题大全
一.定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义知，，故一次函数的解析式为y=-6x+3。
注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。
如本例中应保证m-3≠0。
二. 点斜型例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。
解：一次函数的图像过点(2, -1)，，即k=1。
故这个一次函数的解析式为y=x-3。
变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。
三. 两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。
解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得，故这个一次函数的解析式为y=2x+4四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2)有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2五. 斜截型例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线；。
当k1=k2，b1≠b2时，直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。
又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2六. 平移型例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
解析：设函数解析式为 y=kx+b，直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。
解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。
初中数学《一次函数变量与函数》典型例题及答案解析
解：由题意，得 ，
解得x≤3且x≠2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式组是解题关键．
10．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【Hale Waihona Puke 析】【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，解答即可．
【详解】
A项中，长方形的宽一定，是常量，而面积=长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也变，是函数关系；
B项中，正方形的周长与面积是两个变量，给出一个周长的值C，边长即为 ，相应地面积为 ，是函数关系；
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形外角性质可得结论.
【详解】
∵三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，
∴y=x+60.
故选：A.
【点睛】
考查了三角形外角的性质，解题关键是运用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和得出关系式.
5．小明和他爸爸做了一个实验，小明由一幢245米高的楼顶随手放下一只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间之间有下面的关系：
【详解】
解；观察表格，得
时间在变，人口在变，故C正确；
故选；C．
【点睛】
本题考查的知识点是常量与变量，解题关键是利用常量与变量的定义．
12．在圆周长计算公式C＝2πr中,对半径不同的圆，变量有( )
中考《一次函数》经典例题及解析
一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0 图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k <0 图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0 二、三、四3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系—正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．六、一次函数与方程（组）、不等式1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．七、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．八、一次函数的实际应用1．主要题型： （1）求相应的一次函数表2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为（1）设定实际问题中的自变量与因变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量事物的取值范围，再根据另一个事物所要满4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种（2）直接利用所求值与其变量之间满足的若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每显然，第（2）种方法更简单快捷．经典例1．若一次函数22y x =+的图象经过点【答案】8【分析】将点(3,)m 代入一次函数的解析式【解析】解：由题意知，将点(3,)m 代入一即：232=⨯+m ，解得：8m =．故答案【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质2．有一个装有水的容器，如图所示．容器中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系【答案】B【分析】设水面高度为,hcm 注水时间为【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间所以容器内的水面高度与对应的注水时间满【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求步骤为：变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过所要满足的条件，即可确定出有多少种方案． 两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可算出每个分段函数的取值，再进行比较． 经典例题 一次函数和正比例函数的定义过点(3,)m ，则m =_________． 解析式中即可求出m 的值．代入一次函数22y x =+的解析式中， 故答案为：8．和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系间为t 分钟，根据题意写出h 与t 的函数关系式，从而水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+ 时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ． 判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解求实际问题的最值等． 函数关系式；（3）确定自变量）答． 通过列不等式，求解出某一个再进行比较；减性可直接确定最优方案及最值；定义式中即可．并同时开始计时，在注水过程度与对应的注水时间满足的函数关系从而可得答案．识是解题的关键．1．已知函数1(2)2(2)x x y x x-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当函数值A ．﹣2 B ．﹣23【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算【解析】解：若x ＜2，当y =3时，﹣x 若x ≥2，当y =3时，﹣2x=3，解得：x=﹣【点睛】本题考查了反比例函数的性质、键．2．下列函数关系式：（1）y ＝﹣x ；（2A ．1 B ．2【答案】B【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一【详解】解：（1）y ＝﹣x 是正比例函数 （2）y ＝x ﹣1符合一次函数的定义，故正（4）y ＝x 2属于二次函数，故错误．综上所【点睛】本题主要考查了一次函数的定义b 为常数，k≠0，自变量次数为1．经典1．若m <﹣2，则一次函数()y m x =++A ． B ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m+1＜0，1﹣【解析】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1函数值为3时，自变量x 的值为（ ）C ．﹣2或﹣23D ．﹣2或﹣32计算，即可得出结论． +1=3，解得：x =﹣2； ﹣23，不合题意舍去；∴x =﹣2，故选：A ．、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数）y ＝x ﹣1；（3）y ＝1x；（4）y ＝x 2，其中一次函数C ．3D ．4行逐一分析即可．函数，是特殊的一次函数，故正确； 故正确；（3）y ＝1x属于反比例函数，故错误； 综上所述，一次函数的个数是2个．故选：B ．定义．本题主要考查了一次函数的定义，一次函数经典例题 一次函数的图象及性质 11m -的图象可能是（ ）C ．D ．m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可． ﹣m ＞0，段函数进行分段求解是解题的关次函数的个数是（ ） 函数y=kx+b 的定义条件是：k 、所以一次函数()11y m x m =++-的图象【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性影响是解题的关键 ．2．对于一次函数2y x =+，下列说法不正A ．图象经过点()1,3 C ．图象不经过第四象限 【答案】D【分析】根据一次函数的图像与性质即可求【解析】A.图象经过点()1,3，正确；C.图象经过第一、二、三象限，故错误；【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性1．在平面直角坐标系中，已知函数y A ． B ．【答案】A【分析】求得解析式即可判断．【解析】解：∵函数y ＝ax +a （a ≠0）的图∴直线交y 轴的正半轴，且过点（1，2，【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的2．已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ．()1,2- B ．()1,2-【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出【解析】∵一次函数3y kx =+的函数值A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3的图象经过一，二，四象限，故选：D ． 像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx +法不正确的是（ ） B ．图象与x 轴交于点()2,0- D ．当2x >时，4y <即可求解．B.图象与x 轴交于点()2,0-，正确 ； D.当2x >时，y ＞4，故错误；故选D ． 像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点＝ax +a （a ≠0）的图象过点P （1，2），则该函数的 C ． D ．的图象过点P （1，2），∴2＝a +a ，解得a ＝1，∴），故选：A ． 图像的相关知识．经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以C ．()2,3D ．()3,4断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3b =中的,k b 对函数图像的特点．函数的图象可能是（ ）∴y ＝x +1， 标可以是（ ） 逐一判断即可． ，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意，故选：B ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．经典例题 用待定系数法确定一次函数的解析式1． 小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x （日） 1 2 3 4成绩y （个） 4043 4649小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y =3x +37．【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式． 【解析】解：设该函数表达式为y =kx +b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y =3x +37．故答案为：y =3x +37．【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．2．将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3 B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）【答案】A【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．【解析】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3．故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．1．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x （厘米）时，秤钩所挂物重为y （斤），则y 是x 的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x （厘米） 1 2 4 7 1112 y （斤）0.751.001.502.753.253.50（1）在上表x ，y 的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？【答案】（1）x ＝7，y ＝2.75这组数据错误斤．【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断【解析】解：（1）观察图象可知：x ＝7（2）设y ＝kx +b ，把x ＝1，y ＝0.75，x 解得1412k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1142y x =+， 当x 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为【点睛】此题考查画一次函数的图象的方法解此题的关键.2．把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度【答案】y ＝2x +3【分析】直接利用一次函数的平移规律进而【解析】解：把直线y ＝2x ﹣1向左平移再向上平移2个单位长度，得到y ＝2x 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练经典1．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐据错误；（2）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米可判断．（2）设函数关系式为y ＝kx +b ，利用待定系，y ＝2.75这组数据错误．＝2，y ＝1代入可得0.7521k b k b +=⎧⎨+=⎩，＝16时，y ＝4.5，16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤.的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直律进而得出答案．平移1个单位长度，得到y ＝2（x +1）﹣1＝2x +1， +3．故答案为：y ＝2x +3． 熟练掌握是解题的关键．经典例题一次函数与一元一次方程 纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中厘米时，秤钩所挂物重是4.5待定系数法解决问题即可. 次函数的实际应用，正确计算是所得直线的解析式为_____． 象中不存在．．．“好点”的是（ ）A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x=D ．22y x x =-【答案】B【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x 上的点，再各函数中令y=x ，对应方程无解即不存在“好点”. 【解析】解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ， A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合； B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：x =x =是原方程的解，即“好点”）和（，），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合； 故选B.【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B【分析】根据方程或方程组得到A (﹣3，0)，B (﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：在y ＝x +3中，令y ＝0，得x ＝﹣3，解32y x y x =+⎧⎨=-⎩得，12x y =-⎧⎨=⎩，∴A (﹣3，0)，B (﹣1，2)，∴△AOB 的面积＝12⨯3×2＝3，故选：B ． 【点睛】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．1．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x +2和直线y ＝23x +2分别交x 轴于点A 和点B ．则下列直线中，与x 轴的交点不在线段AB 上的直线是（ ）A ．y ＝x +2B ．y x +2C ．y ＝4x +2D ．y +2 【答案】C【分析】分别求出点A 、B 坐标，再根据各选项解析式求出与x 轴交点坐标，判断即可． 【解析】解：∵直线y ＝2x +2和直线y ＝23x +2分别交x 轴于点A 和点B ．∴A （﹣1，0），B （﹣3，0） A. y ＝x +2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y ＝x +2与x 轴的交点在线段AB 上；B. y x +2与x ，0）；故直线y x +2与x 轴的交点在线段AB 上；C.y＝4x+2与x轴的交点为（﹣12，D.yx+2与x【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点2．如图，直线542y x=+与x轴、y轴分则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【分析】首先根据直线AB来求出点A案．【解析】解：在542y x=+中，令∴A（8-5，0），B（0，4），由旋转可得∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90∴∠OBO1=90°，∴O1B∥x轴，∴点A横坐标为O1B=OB=4，故点A1的坐标是【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一关键．经典例1．如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠00）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上，0）；故直线y+2与x轴的交点在线段的交点，注意求直线与x轴交点坐标，即把y=0代入轴分别交于A、B两点，把AOBV绕点B逆时针旋转和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等x=0得，y=4，令y=0，得5042x=+，解得x=-5可得△AOB ≌△A1O1B，∠ABA1=90°，OB=90°，OA=O1A1=85，OB=O1B=4，1的纵坐标为OB-OA的长，即为48-5=125；标是（4，125），故答案为：（4，125）．以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结经典例题一次函数与一元一次不等式）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式上；在线段AB上；故选：C代入函数解析式．针旋转90°后得到11AO BV，坐标等于OB-OA，即可得出答8，性质结合图形进行推理是解题的等式kx+b＜2的解集为_____．【答案】x ＜4【分析】结合函数图象，写出直线y =+【解析】解：∵直线y ＝kx +b 与直线y ∴关于x 的不等式kx +b ＜2的解集为：【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等2．一次函数y kx b =+的图象如图所示，A ．k 0<B ．1b =-C ．【答案】B【分析】根据一次函数的图象与性质判断即【解析】由图象知，k ﹥0，且y 随x 的增大图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1当x ﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有【点睛】本题考查一次函数的图象与性质1．如图，直线(0)y kx b k =+<经过点A ．1x ≤B ．1x ≥ 【答案】A 【分析】将(1,1)P 代入(y kx b k =+【解析】解：由题意将(1,1)P 代入y =+整理kx b x +≥得，()10k x b -+≥，∴【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质kx b 在直线y ＝2下方所对应的自变量的范围即可＝2交于点A （4，2），∴x ＜4时，y ＜2，x ＜4．故答案为：x ＜4．解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图，则下列结论正确的是（ ）y 随x 的增大而减小 D ．当2x >时，kx b +<判断即可．的增大而增大，故A 、C 选项错误； 1），所以b=﹣1，B 选项正确；则有y ﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误，故选：B ． 性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（C ．1x < D ．1x >0)<，可得1k b -=-,再将kx b x +≥变形整理，得(0)kx b k <，可得1k b +=，即1k b -=-，∴0bx b -+≥，由图像可知0b >，∴10x -≤和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式围即可．小对图像的影响是解题的关键．0x象与性质是解答本题的关键． （ ）得0bx b -+≥，求解即可．，∴1x ≤，故选：A ．不等式的性质．1．某公司新产品上市30天全部售完，图销售利润与上市时间之间的关系，则最大日【答案】1800【解析】【分析】从图1和图2中可知，当t=30润=销售量×每件产品销售利润即可求解【详解】由图1知，当天数t=30时，市场从图2知，当天数t=30时，每件产品销售所以当天数t=30时，市场的日销售利润最【点睛】本题考查一次函数的实际应用，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的2．小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返从商店出发开始所用时间为t （分钟），图中线段AB 表示小华和商店的距离1y （列问题：（1）填空：妈妈骑车的速度是__________经典例题 一次函数的应用图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关最大日销售利润是__________元．时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达求解．市场日销售量达到最大60件；品销售利润达到最大30元，利润最大，最大利润为60×30=1800元，故答案为：，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际解答的关键．道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5图1表示两人之间的距离s （米）与时间t （分钟（米）与时间t （分钟）的函数关系的图象的一部分______米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是_____间的关系，图2表示单件产品的润也达到最大，所以由日销售利：1800决实际问题的能力，仔细审题，时骑三轮车从商店出发，沿相同分钟．在此过程中，设妈妈分钟）的函数关系的图象；图2一部分，请根据所给信息解答下__________分钟，点M的坐标是___________；（2）直接写出妈妈和商店的距离2y （米（3）求t 为何值时，两人相距360米．【答案】（1）120，5，()20,1200；（2钟）时，两人相距360米．【分析】（1）先求出小华步行的速度，然后达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出求出M 的坐标；（2）分①当0≤t ＜15时，②当15≤t ＜（3）由题意知，小华速度为60米/分钟种情况讨论即可．【解析】解：（1）由题意可得：小华步行的妈妈骑车的速度为：1800601010-⨯∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟∴装货时间为：35-15×2=5（分钟），即妈妈由题意和图像可得妈妈在M 点时开始返回此时纵坐标为：20×60=1200（米），∴点（2）①当0≤t ＜15时y 2=120t ，②当将（20，1800），（35，0），代入得1800⎧⎨⎩∴此段的解析式为y 2=-120x+4200，综上其函数图象如图，米）与时间t （分钟）的函数关系式，并在图2中画．）2120(015)1800(1520)1204200(2035)t t y t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-+≤≤⎩，见解析；（然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在M 点时20时，③当20≤t≤35时三段求出解析式即可，根据解分钟，妈妈速度为120米/分钟，分①相遇前，②相遇后步行的速度为：180030=60（米/分钟）， =120（米/分钟）；妈妈回家用的时间为：1800120=15分钟，∴可知妈妈在35分钟时返回商店， 即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；始返回商店，∴M 点的横坐标为：15+5=20（分钟），点M 的坐标为()20,1200；故答案为：120，5，15≤t ＜20时y 2=1800，③当20≤t≤35时，设此段函数解20035k b k b =+=+，解得1204200k b =-⎧⎨=⎩， 综上：2120(015)1800(1520)1204200(2035)t t y t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-+≤≤⎩；；中画出其函数图象； ；3）当t 为8，12或32（分回家用的时间，然后根据小华到点时开始返回商店，然后即可根据解析式画图即可；相遇后，③在小华到达以后三（分钟）， ），()20,1200；函数解析式为y 2=kx+b ，（3）由题意知，小华速度为60米/分钟①相遇前，依题意有6012036018t t ++②相遇后，依题意有6012036018t t +-③依题意，当20t =分钟时，妈妈从家里出此时小华距商店为180********-⨯=即30t =分钟时，小华到达商店，而此时妈妈距离商店为1800101206-⨯∴()120536018002t -+=⨯，解得∴当t 为8，12或32（分钟）时，两人相距【点睛】本题考查了一次函数的实际应用1．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一S 1、S 2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，A ． B ．【答案】C【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它【解析】对于乌龟，其运动过程可分为两段可排除B ，D 选项 对于兔子，其运动过程开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时【点睛】本题考查了函数图象的性质进行简别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由2．某种机器工作前先将空油箱加满，然后中，油箱里的油量y （单位：L ）与时间（1）机器每分钟加油量为_____L ，机器（2）求机器工作时y 关于x的函数解析式分钟，妈妈速度为120米/分钟， 01800=，解得8t =（分钟）； 01800=，解得12t =（分钟）； 家里出发开始追赶小华，（米），只需10分钟，20600=（米）360>（米）， 32t =（分钟），人相距360米．应用，由图像获取正确的信息是解题关键．地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的 C ． D ．变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增动过程可分为三段：据此可排除A 选项睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．故选进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．机器工作的过程中每分钟耗油量为_____L ．解析式，并写出自变量x的取值范围．骄傲自满的兔子觉得自己遥力直追，最后同时到达终点．用吻合的是（ ）．问题便可解答．不断增加；最后同时到达终点，故选：C自变量与函数的每一对对应值分油箱中油量为5L．在整个过程（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值．【答案】（1）3，0.5；（2）1352y x =-+，1060x ≤≤；（3）5或40． 【分析】（1）根据10min 加油量为30L 即可得；根据60min 时剩余油量为5L 即可得；（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；（3）先求出机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式，再求出15y =时，两个函数对应的x 的值即可．【解析】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为303()10L = 机器工作的过程中每分钟耗油量为3050.5()6010L -=- 故答案为：3，0.5；（2）由函数图象得：当10min x =时，机器油箱加满，并开始工作；当60min x =时，机器停止工作则自变量x 的取值范围为1060x ≤≤，且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5)设机器工作时y 关于x 的函数解析式y kx b =+ 将点(10,30),(60,5)代入得：1030605k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1235k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 则机器工作时y 关于x 的函数解析式1352y x =-+；（3）设机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式y ax =将点(10,30)代入得：1030a = 解得3a = 则机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式3y x =油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况： ①在机器加油过程中:当30152y ==时，315x =，解得5x = ②在机器工作过程中:当30152y ==时，135152x -+=，解得40x = 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值为5或40． 【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．经典例题 一次函数与几何图形综合1．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，L ，则点2020B 的坐标______．。
初中数学《一次函数、正比例函数》典型例题及答案解析
初中数学《一次函数、正比例函数》典型例题及答案解析1．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是（）A．y=x﹣3. B．y=2x+3. C．y=﹣x+3. D．y=2x﹣3.【答案】C【解析】【分析】根据正比例函数图象确定B点坐标再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出．【详解】∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，∴y＝2×1＝2，∴B(1,2)，设一次函数解析式为：y＝kx＋b，∵一次函数的图象过点A(0,3),与正比例函数y＝2x的图象相交于点B(1,2)，∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y＝−x＋3，故选：C.【点睛】本题主要考查一次函数的解析式和一次函数的图象与性质，熟悉掌握是关键.2．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）A．y=. B．y=x+2. C．y=x2. D．y=2x.根据正比例函数的定义条件:k为常数且,自变量次数为1,判断各选项,即可得出答案.【详解】A、,自变量次数不为1,故本选项错误;B、. y＝x＋2,是和的形式,故本选项错误;C、y＝x2,自变量次数不为1,故本选项错误;D、y＝2x ,符合正比例函数的含义,故本选项正确;所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了正比例函数的定义.解题关键是掌握正比例函数的定义条件:正比例函数的定义条件是:k为常数且,自变量次数为1.3．定义(p，q)为一次函数y＝px＋q的特征数．若特征数是(2，k－2)的一次函数为正比例函数，则k的值是()A．0 B．－2 C．2 D．任何数【答案】C【解析】【分析】根据新定义写出一次函数的表达式;由正比例函数的定义确定k的值.【详解】解:根据题意,特征数是(2，k－2)的一次函数表达式为:y=2x+(k-2).因为此一次函数为正比例函数,所以k-2=0,解得:k=2.故选C.【点睛】本题主要考查一次函数、正比例函数的定义,有新意,但难度不大.4．一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为A．y=-2x B．y=2x C．D．设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可．【详解】设该正比例函数的解析式为，正比例函数的图象经过点，，解得，这个正比例函数的表达式是．故选：．【点睛】考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．在平面直角坐标系中，记直线与两坐标围成的面积为，则最接近( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令x=0,y=,令y=0,x=,则直线（k为正整数）与x轴的交点坐标为（,0）,与y轴的交点坐标为（0,）,∴直线与两坐标轴所围成的图形的面积为S k=,当k为正整数时,S k=当k=1,S1=；当k=2,S2=,,=,=,=,故选C.6．已知等腰三角形周长为，则底边长关于腰长的函数图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意得y+2x=20,y=-2x+20,∵y＞0且2x＞y,∴-2x+20＞0且2x＞-2x+20,∴5＜x＜10,∴底边长y关于腰长x的函数关系为y=-2x+20（5＜x＜10）,∵k=-2＜0,∴y随x的增大而减小,故选D.7．如果是的正比例函数，是的一次函数，那么是的( )A．正比例函数B．一次函数C．正比例函数或一次函数D．不构成函数关系【答案】B【解析】由题意得:y=kx,x=k1z+b,则y=kk1z+kb,当b≠0时,y是z的一次函数,②当b=0时,y是z的正比例函数,综上所述,y是z的一次函数,故选B．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为一次函数y=-2x+4的图像与x轴交点坐标是(2,0)与y轴交点坐标是(0,4),故选A.9．若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点A（2,4）在函数y=kx的图象上,∴4=2k,解得k=2,∴一次函数的解析式为y=2x,A选项,∵当x=1时,y=2,∴此点在函数图象上,故A选项正确,B选项,∵当x=-2时,y=-4≠-1,∴此点不在函数图象上,故B选项错误,C选项,∵当x=-1时,y=-2≠2,∴此点不在函数图象上,故C选项错误,D选项,∵当x=2时,y=4≠-4,∴此点不在函数图象上,故D选项错误,故选A.10．一辆汽车以平均速度千米/时的速度在公路上行驶，则它所走的路程（千米）与所用的时间（时）的关系表达式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据路程=速度×时间得:汽车所走的路程s（千米）与所用的时间t（时）的关系表达式为:s=60t,故选D.11．正比例函数y=3x的大致图像是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵3>0,∴图像经过一、三象限.点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时，y=kx的图象经过一、三象限；当k＜0时，y=kx的图象经过二、四象限.12．已知函数y=k1x和，若常数k1，k2异号，且k1＞k2，则它们在同一坐标系内的图象大致是（如图所示）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先由已知条件常数k1，k2异号，且k1＞k2，得出k1，k2与0的关系，然后根据正比例函数及反比例函数的图象性质作答.解：因为k1，k2异号，且k1＞0，k2＜0，所以函数y=k1x的图象经过第一、三象限，函数的图象在第二、四象限，故选C.13．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿直线y＝－x平移后，点O′的纵坐标为6，则点B平移的距离为()A．4.5 B．6 C．8 D．10【答案】D【解析】根据题意得出O′点的纵坐标进而得出其横坐标，再得出O点到O′的距离，最后得出点B与其对应点B′之间的距离．解：∵点O的坐标为(0,0),△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′,点O的对应点O′在直线y=－x上，且O′点纵坐标为：6，故6=－x，解得：x=−8，即O到O′的距离为10，则点B与其对应点B′之间的距离为10.故选：D点睛：本题考查了函数图象上的点及平移的性质.根据函数解析式求出点的坐标是解题的关键.14．经过以下一组点可以画出函数y＝2x图象的是()A．(0，0)和(2，1) B．(0，0)和(1，2)C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2)【答案】B【解析】分别把各点坐标代入函数y=2x进行检验即可．解答：A. ∵当x=2时,y=4≠1,∴点(2,1)不符合，故本选项错误；B. ∵当x=1时，y=2；当x=0时，y=0，∴两组数据均符合，故本选项正确；C. ∵当x=2时,y=4≠1,∴点(2,1)不符合，故本选项错误；D. ∵当x=−1时，y=−2≠2；∴点(－1，2)不符合，故本选项错误.故选B.15．某正比例函数的图象如图所示，则此正比例函数的表达式为（）A．y=x B．y=x C．y=-2x D．y=2x【答案】A【解析】【分析】本题可设该正比例函数的解析式为y=kx，然后结合图象可知，该函数图象过点A（-2，1），由此可利用方程求出k的值，进而解决问题．【详解】正比例函数的图象过点M(−2,1)，∴将点(−2,1)代入y=kx，得：1=−2k，∴k=﹣，∴y=﹣x，故选：A.【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，牢牢掌握该法求函数解析式是解答本题的关键.16．已知在正比例函数y=（a-1）x的图像中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤1【答案】A【解析】∵y随x的增大而减小，∴a-1<0,∴a<1.故选A.点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时，y=kxb的图象经过一、三象限；当k＜0时，y=kx的图象经过二、四象限.17．正比例函数y=x的大致图像是（）A．A B．B C．C D．D【答案】C【解析】∵1>0,∴正比例函数y=x的大致图像经过一、三象限.故选C.点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时，y=kxb的图象经过一、三象限；当k＜0时，y=kx的图象经过二、四象限.18．已知函数y=（k-1）为正比例函数，则（）A．k≠±1 B．k=±1 C．k=-1 D．k=1【答案】C【解析】由题意得k2=1且k-1≠0,∴k=-1.故选C.19．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8000，13200 B．9000，10000 C．10000，13200 D．13200，15400【答案】C【解析】由题意可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是x、x、（18-2x）辆，派往E市的运输车的辆数为10-x，10-x，2x-10，则总运费W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200．依题意有0≤x≤10,0≤18-2x≤8,解得：5≤x≤9，当x=9时，W 最小 =10000元．故选C．点睛：选择方案问题的方法（1）从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系既可以用函数的图像表示，也可以用方程和不等式表示，构建不同的模型，用不同的方法解决问题．（2）在解决问题中，能适时调整思路，解决问题后，能对解决问题步骤、程序和方法进行总结提炼.20．若m<-1，有下列函数：①(x>0)；②y=-mx+1；③y=mx;④y=（m+1）x．其中y随x的增大而增大的是( )A．①②B．②③C．①③D．③④【答案】A【解析】对于反比例函数，当k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，故①正确；根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，得出k>0，故④正确.故选A.21．已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则函数y=kx-k的图象大致是（）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】y=kx-k=k(x-1),恒过（1,0）；根据正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则k<0，易得D.故选D.22．如果通过平移直线得到的图象，那么直线必须（）．A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解析】根据“上加下减常数项”，=+.看做由直线向上平移个单位得到.故选C.23．已知一次函数与的图象都经过A（，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积为（）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】根据题意得：a=4，b=-2，所以B(0，4)，C(0，-2)，则△ABC的面积为故选C.24．在糖水中继续放入糖x（g）、水y（g），并使糖完全溶解，如果甜度保持不变，那么y与x的函数关系一定是（）A．正比例函数B．反比例函数C．图象不经过原点的一次函数D．二次函数【答案】A【解析】设原来溶液中有糖ag，水bg，则=，即y=x，为正比例函数.故选A.点睛：本题关键根据甜度不变列比例式求解.25．一次函数y=-x的图象平分（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、三象限D．第二、四象限【答案】D【解析】y=－x的图像平分第二、四象限.故选D.点睛：y=x的图像平分第一、三象限.26．已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=–1时，y=–2，则它的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将x=－1，y=－2代入y= kx（k≠0）中得，k=2＞0，∴函数图像经过原点，且经过第一、三象限.故选C.27．已知正比例函数y=（m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜-1 B．m＞-1 C．m≥-1 D．m≤-1【答案】A【解析】∵y随着x的增大而减小，∴m+1＜0，即m＜－1.故选A.28．已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，–3）在函数上，则y随x的增大而（）A．增大B．减小C．不变D．不能确定【答案】B【解析】将（2，－3）代入函数解析式得：2k=－3，解得k=－＜0，∴y随着x的增大而减小.故选B.29．在正比例函数y=–3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵y随着x的增大而增大，∴－3m＞0，解得m＜0.∴P（m，5）在第二象限.故选B.点睛：正比例函数y=kx（k≠0），若y随着x的增大而增大，那么k＞0；若y随着x的增大而减小，那么k＜0.30．若正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，则k的取值可以是（）A．1 B．0或1C．±1 D．–1【答案】A【解析】∵函数图像经过一、三象限，∴k＞0.故选A.31．关于函数y=2x，下列结论中正确的是（）A．函数图象都经过点（2，1）B．函数图象都经过第二、四象限C．y随x的增大而增大D．不论x取何值，总有y＞0【答案】C【解析】A：当x=2时，y=4≠1，∴函数图像不经过（2，1），故错误；B：k=2＞0，∴函数图像经过一、三象限，故错误；C：k＞0，y随着x的增大而增大，故正确；D：当x＜0时，y＜0，故错误.故选C.点睛：掌握正比例函数图像的性质.32．若一个正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象一定也经过点（）A．（-3，2）B．（，-1）C．（，-1）D．（-，1）【答案】C【解析】∵正比例函数y=kx经过点(2,−3)，∴−3=2k，解得k=−；∴正比例函数的解析式是y=−x；A. ∵当x=−3时，y≠2，∴点(−3,2)不在该函数图象上；故本选项错误；B. ∵当x=时，y≠−1，∴点(,−1)不在该函数图象上；故本选项错误；C. ∵当x=时，y=−1，∴点(,−1)在该函数图象上；故本选项正确；D. ∵当x=时，y≠1，∴点(1,−2)不在该函数图象上；故本选项错误。
一次函数难题问题详解
函数的概念及图象2一、选择题（题型注释）1．如图反映的过程是：矩形ABCD中，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，ABPS y△．则矩形ABCD的周长是61295OyxA．6 B．12 C．14 D．15【答案】C【解析】试题分析：结合图象可知，当P点在AC上，△ABP的面积y逐渐增大，当点P在CD上，△ABP的面积不变，由此可得AC=5，CD=4，则由勾股定理可知AD=3，所以矩形ABCD的周长为：2×（3+4）=14．考点：动点问题的函数图象；矩形的性质.点评：本题考查的是动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出AC 和CD的长．2．小芳步行上学，最初以某一速度匀速前进，中途遇红灯，稍作停留后加快速度跑步去上学，到校后，她请同学们画出她行进路程s（米）与行进时间t（分钟）的函数图象的示意图.你认为正确的是（）【答案】C【解析】试题分析：运用排除法解答本题，中间的停留路程不变，可排除BD两项，最后的加速图象应为比最初的路程增加直线增速更快的图象，C对3．如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n为（）A ．121n n ++ B ．31nn - C ．221n n - D ．221n n +【答案】D ．【解析】试题分析：∵A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1是x 轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n A n+1=1， ∴A 1（1，0）， A 2（2，0）， A 3（3，0）， …A n （n ，0）， A n+1（n+1，0），∵分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1，作x 轴的垂线交直线y=2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n+1， ∴B 1的横坐标为：1，纵坐标为：2， 则B 1（1，2），同理可得：B 2的横坐标为：2，纵坐标为：4， 则B 2（2，4）， B 3（2，6）， …B n （n ，2n ）， B n+1（n+1，2n+2），根据题意知：P n 是A n B n+1与 B n A n+1的交点， 设：直线A n B n+1的解析式为：y=k 1x+b 1， 直线B n A n+1的解析式为：y=k 2x+b 2， ∵A n （n ，0），A n+1（n+1，0），B n （n ，2n ），B n+1（n+1，2n+2），∴直线A n B n+1的解析式为：y=（2n+2）x ﹣2n 2﹣2n ，直线B n A n+1的解析式为：y=﹣2n x+2n 2+2n ，∴P n （22221n n n ++， 24421n n n ++）∴△A n B n P n 的A n B n 边上的高为：22221n n n n +-+=21nn +,△A n B n P n 的面积S n 为:21222121n n n n n ⨯⋅=++．故选D ．考点：一次函数图象上点的坐标特征． 4．如图，已知直线l ：x y 33=，过点A （0，1）作y 轴的垂线 交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过 点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为A.（0，64）B.（0，128）C.（0，256）D.（0，512）【答案】C. 【解析】试题分析：∵直线l的解析式为；y=3x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°，∵OA=1，∴OB=2，∴AB=3，∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，∴A1O=4，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…∴A4纵坐标为44=256，∴A4（0，256）．故选C．考点：一次函数综合题．5．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点C，D出发，沿线段CB，DC方向匀速运动，已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点B，C．连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是【答案】A．【解析】试题分析：作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点，如图，设BC=a，AB=b，点P的速度为x，点F的速度为y，则CP=xt，DQ=yt，所以CQ=b-yt，∵O是对角线AC的中点，∴OE、OF分别是△ACB、△ACD的中位线，∴OE=12b，OF=12a，∵P，Q两点同时出发，并同时到达终点，∴a bx y，即ay=bx，∴S=S△OCQ+S△OCP=12•12a•（b-yt）+12•12b•xt=14ab-14ayt+14bxt=14ab（0＜t＜ax），∴S与t的函数图象为常函数，且自变量的围为0＜t＜ax ）．故选A ．考点：动点问题的函数图象．6．函数321+=x y 的图象与x 、y 轴分别交于点A 、B ，点P )(y x ，为直线AB 上的一动点（0>x ）过P 作PC ⊥y 轴于点C ，若使PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积，则P 的横坐标x 的取值围是（ ）A 、30<<xB 、3>xC 、63<<xD 、6>x 【答案】D. 【解析】试题分析：由题意知：PC=x ，OC=132x + ∴BC=12x ∵PBC ∆的面积大于AOB ∆的面积∴x ＞6. 故选D.考点: 一次函数综合题.7．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为 ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿BC ，CD 的顺序运动，则△ABP 面积y 在BC 段随x 的增大而增大；在CD 段，△ABP 的底边不变，高不变，因而面积y 不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD 的面积是12×2×3=3． 故选A ．考点：动点问题的函数图象．8．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 A ． B ． C ． D ．【答案】B 。
一次函数典型例题及习题解析
一次函数的图像及应用典型例题及习题一次函数 经典题型题型考点一： 理解一次函数和正比例函数的概念与定义例1 已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m 为何值时, (1)此函数为正比例函数(2)此函数为一次函数学生自测1。
下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ （ 1）y=-x-4 （2）y=5x2+6 （3）y=2πx (4)y=-8x 2.若是正比例函数，则b 的值是 （ ）A.0B.C.D.3.若y =(m －1)x是正比例函数，则m 的值为（ ） A.1B.－1C.1或－1D.或－4.若函数y =(3m －2)x 2+(1－2m )x (m 为常数)是正比例函数，则m 的值为（ ）A.m ＞B.m ＜C.m =D.m =5.若5y +2与x －3成正比例，则y 是x 的（ ）A.正比例函数B.一次函数C.没有函数关系D.以上答案均不正确 6.要使y=(m-2)x n-1+n 是关于x 的一次函数,n,m 应满足 , .7、已知函数y =(m 2－4)x 4＋n ＋(m －2)，当m 且 时，它是一次函数；当m 且n 时它是正比例函数． 8.若关于x 的函数是一次函数，则m = ，n .设函数y ＝（m －3）x 3－︳m ︳＋m ＋2（1） 当m 为何值时，它是一次函数？（2）当m 为何值时，它是正比例函数？题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值例1 气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km 处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km 时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm 的气温为y ℃． （1）当0≤x ≤11时，求y 与x 之间的关系式？ （2）求当x=2、5、8、11时，y 的值。
（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？学生自测1．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．求出y与x的函数关系式2．13.某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，请写出出租车费y（元）与行程x（千米）之间的函数关系式.一次函数图像二经典题型题型考点一：函数图象的概念例 1.列表：2.3.连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线.图象：学生自测：1、（10分）爱动脑筋的小明同学在买一双新的运动鞋时，发现了一些有趣现象，即鞋子的号码与鞋子的长（cm）之间存在着某种联系，经过收集数据，得到下表：请你代替小明解决下列问题：（1）根据表中数据，在同一直角坐标系中描出相应的点，你发现这些点在哪一种图形上？（2）猜想y与x之间满足怎样的函数关系式，并求出y与x之间的函数关系式，验证这些点的坐标是否满足函数关系式.（3）当鞋码是40码时，鞋长是多长？题型考点二：通过图像确定函数的解析式例1．（2010山东聊城）如图，过点Q（0，3.5）的一次函数与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x－2y+3.5＝0B．3x－2y－3.5＝0C．3x－2y+7＝0 D．3x+2y－7＝0学生自测1、函数y=kx－5，k取不同的值，它的图象是（）A、一条经过点（0，－5）的直线B、一组互相平行的直线C、一组相交于点（0，－5）的直线D、一条与y轴的交点在x轴上方的直线2、一次函数y=ax+b，ab＜0，则其大致图象正确的是（）3．（2009年安徽）8．已知函数的图象如图，则的图象可能是【】4．（2009年重庆市江津区）已知一次函数的大致图像为（）5．（2010陕西西安）一个正比例函数的图象经过点（2，－3），它的表达式为A．B．C． D．6、直线y=kx经过点（3，－2），那么这条直线还通过点（）A、（－2，3）B、（－3，2）C、（2，3）D、（3，2）7、如果正比例函数y=kx（k≠0）的自变量取值增加1，函数y的值相应减少4，则k的值为（）A、4B、－4C、D、8、一次函数y=kx+b（k≠0）图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是（4）如图，直线L是一次函数y＝kx+b的图象，则k= ，b= .9. 如图，把直线向上平移后得到直线AB，直线AB经过点，且，则直线AB的解析式是( )A．B．C．D．9．（2009年桂林市、百色市）如图，是一个正比例函数的图像，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为．10把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
《一次函数》典型例题解析与点评剖析
《一次函数》典型例题解析与点评一次函数是初中数学中应用广泛、内容丰富的课题之一，通过学习一次函数，可有助于构造方程、深入理解函数的变化，使以后的学习、研究更加方便．本专题的基本要求是会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式；能用一次函数解决实际问题；会画一次函数的图像，并掌握其性质，所以我们从一些基础问题、最值问题、一次函数的应用、动点问题和定点问题这几个方面来阐述．例题１已知直线l 1：y ＝－3x ＋4与直线l 2：y ＝13x ＋4相交于点A ，其中直线l 1与x 轴交于点C ，现沿着x 轴将直线l 1在x 轴以下的部分向上翻折到x 轴的上半部，翻折后与直线l 2交于点B ．(1)求射线l CB （不含端点）对应的函数解析式及定义域；(2)求点B 的坐标；(3)求△ABC 的面积．【解答】(1)由y ＝－3x ＋4知，C （43，0）．【技巧】题中所求交点坐标是利用两个函数的解析式联立方程组求解，这种情况在“正反比例”中已做强调．而求面积的题目一般是通过构造特殊的图形，或者利用割补法来求解． 另外，以下知识点在一些教材需等高中才能讲授，作为本书阅读者可提前了解． 已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2．(1)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，或l 1、l 2两直线同时平行y 轴；反之亦然．(2)若l 1⊥l 2，则k 1×k 2＝－1，或l 1、l 2中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在（两直线分别为平行于x 轴，y 轴）；反之亦然．在本题中，l1、l2为互相垂直．例题2已知abc <0，a＋b＋c<0，且一次函数y＝b cxa a的图像经过第一、二、三象限．求证：(1)a>0，b>0，c<0；(2)当x>0时，y>1．【解答】【技巧】本题考查的是一次函数的图像，根据图像所经过的象限判断出斜率和截距的情况，即b ÷a>0，（－c）÷a>0；再结合不等式的性质，推出a、b、c的大小，从而得证．反过来根据x的取值范围，再利用函数图像也能求出y的取值范围．例题3如图所示，在直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b(kb>0，b<0)的图像分别与x轴、y轴和直线x＝4相交于A、B、C三点，直线x＝4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积是10，若点A的横坐标是－0.5，求这个一次函数的解析式．【解答】【技巧】本题利用待定系数法和面积法构造二元一次方程组求解．要求一次函数的解析式，必须已知两个点，而本题只给出一个点的坐标，因此要从面积着手找出k与b之间的另一个关系．通过本题，可知解题还须熟记以下基本公式．(1)l ：y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为(－b k，0），与y 轴的交点为(0，b)； (2)l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为22b k． 例题４如图所示，在直角坐标平面内，函数y ＝m x(x>0，m 是常数)的图像经过点A(1，4)，B(a ，b)，其 中，过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连接AD 、DC 、CB ．(1)若△ABD 的面积为4，求点B 的坐标；(2)求证：DC 平行于AB ；(3)当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式．【解答】(1)将点A 代入y ＝m x得：m ＝4，所以y ＝4x ． 由△ABD 的面积为4，点B(a ，b)代入函数解析式得方程组：【技巧】注意斜率公式：k 1212y y x x -=-；两点间距离公式：d用待定系数法求出反比例函数关系式，然后通过已知条件的面积以及关于点B 的函数关系式找到两个等量关系，再构造方程组从而解出点B 的坐标，求证DC 与AB 的平行，由于在直角坐标系中本题完全可撇除通过平行的判定来证明，这里我们从直线的斜率上判断，原因在题1的技巧贴士中已经给出．第(3)问求函数关系式，选择待定系数法，通过AD ＝BC ，在直角坐标系中构造直角三角形，通过求边的长度找到等量关系．【点评】几何问题是一次函数中常见的题型，它经常以一次函数的翻折旋转、一次函数的性质定义、由面积求一次函数解析式等形式出现．在解题之前要熟记一次函数的定义、性质、特点等基本知识，特别是类似一次函数斜率k ≠0等问题．对于翻折旋转问题，还请了解以下内容．正因为如此，题1中l 1：y ＝－3x ＋4关于x 轴对称可直接表达为－y ＝－3x ＋4，当然也可以取l 1上一点（2，－2），则该点关于x 轴的对称点为(2，2)，求出经点C （43，0）与(2，2)的解析式即l BC ．这种“取点”方法间接解决了函数y ＝f(x)关于某点对称的函数y ＝g(x)的求法，即取y ＝f(x)上的一些点，这些点的对称点比较容易求出，并且这些点都在y ＝g(x)上，有了这些点，利用“待定系数法”等技巧可以表达出y ＝g(x)．对于面积问题，通过题1、题3、题4的讲解我们知道，在一次函数中，要么用割补法，如题1，要么数形结合，直接用公式，如题4，以BD 为底，△ABD 的高为4－b ．例题5已知f(x)是一次函数．(1)若f[f(x ＋1)]＝4x ＋7，求函数f(x)的表达式；(2)若f(1)＝1，且f[(2)]＝2×4b k，求函数f(x)的表达式． 【解答】【技巧】首先设一次函数表达式为f(x)＝kx ＋b(k ≠0)，比较左右两边的系数构造方程组求解，先设出一次函数的表达式，通过两次代换得到一个新的函数，再利用两边对应项系数相等构造出方程组，从而解出k 和b 的值，如对于f(f(x))，现标记为f 1(f 2(x))，先计算出f 2(x)，再将f 2(x)视为一个整体代入f 1(x)．例题６在直角坐标系xOy ，x 轴上的动点M(x ，0)到定点P(5，5)，Q(2，1)的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，求点M 的横坐标．【解答】如图所示，作点Q 关于x 轴的对称点Q'（2，－1）．设直线PQ'的解析式为y ＝kx ＋b ，将点P(5，5)，Q'（2，－1）代入解析式得5512k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得k ＝2，b ＝－5，则直线 PQ'的解析式为y ＝2x －5．令y ＝0，则x ＝2.5即为所求．下面证明点M(2.5，0)使MP ＋MQ 取最小值．在x 轴上任取点M ，连接MP 、MQ 、PQ'．因为点Q 关于x 轴的对称点为Q'，所以x 轴为线段QQ'的垂直平分线．由此可得MQ ＝MQ'，因为MP ＋MQ'≥PQ'，两点间距离线段最短，所以MP ＋MQ 的最小值即MP ＋MQ'的最小值为PQ'．则PQ'与x 轴的交点即为所求点M ．【技巧】本题关键在于将问题转换为求两定点距离之和的最小值，即利用“两点之间线段最短”，由于点P 、点Q 分布在x 轴的同侧，所以利用对称的知识首先将其中一点Q 找到它的对称点Q'，因为M 点在x 轴上，那么我们可以理解其为直线PQ'与x 轴的交点．还请注意，找到了M 点，还需证明M 使MP ＋MQ 取最小值，因此本题分两步：首先找出M ，接着证明M 即为所求．例题７设f(x)＝mx ＋1m（1－x ），其中m>0，记f(x)在0≤x ≤1的最小值为g(m)，求g(m)及其最大值，并作y ＝g(m)的图像．【解答】所以g(m)在0<m≤1上为递增函数，g(m)在m≥1上为递减函数．故g(x)max＝g(1)＝1．【技巧】本题主要运用分类讨论的思想．先将f(x)整理成一次函数的常规形式，因x的系数是字母，不知道它的正负情况，因此要进行分类讨论．例题8某汽车出租公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．(2)如每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，应选择以上哪种购买方案？【解答】(1)设要购买x辆轿车，那么面包车要购买(10－x)辆，由题意得7x＋4(10－x)≤55，解得x≤5．因为x≥3，则x＝3，4，5．所以购买方案有三种：①轿车3辆，面包车7辆；②轿车4辆，面包车6辆；③轿车5辆，面包车5辆．(2)方案①的日租金为：3×200＋7×110＝1370（元）；方案②的日租金为：4×200＋6×110＝1460(元)；方案③的日租金为：5×200＋5×110＝1550(元)．为保证日租金不低于1500元，应选方案③，【技巧】解决本题的关键是要抓住题目中的关键词语“不超过”，“有几种方案”．首先根据已知条件列出不等式7x＋4(10－x)≤55，并且要注意的是，本题为应用题，所以x的取值应该是正整数．结合实际意义找出相对应的解，确定出三种方案，再对各种方案求出各种租金进行比较．例题9已知某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N 两种型号的时装共80套．已知做M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装x套，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．(1)求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当M型号的时装为多少套时，能使该厂获利润最大？最大利润是多少？【解答】(1)由题意得：y＝50x＋45(80－x)＝5x＋3600．因为两种型号的时装共用A 种布料70米，B 种布料52米，则有()()70 1.10.680,520.40.980,x x x x ⎧≥+-⎪⎨≥+-⎪⎩解得40≤x ≤44， 因x 为整数，所以x ＝40，41，42，43，44．所以y 与x 的函数关系式是y ＝5x ＋3600(x ＝40，41，42，43，44)．(2)因为5>0，所以y 随x 的增大而增大，所以当x ＝44时，y max ＝3820，即生产M 型号的时装44套时，该厂利润最大，最大利润是3820元．【技巧】(1)求解自变量的取值范围的时候，我们要运用到题设中所给的条件“两种型号的时装共用A 种布料70米，B 种布料52米”，确定出两个不等关系，找出相应的范围，注意不等式是可以取得等号的．(2)通过5种方案分别计算求出利润并比较找出最大值，我们发现利润y 与x 的函数关系为y ＝5x ＋3600(x ＝40，41，42，43，44)，y 随x 的增大而增大，因此x 取最大值的时候可以得到y max ＝3820．【点评】以上5题主要涉及函数的迭代问题、最值问题和实际应用问题．迭代问题，就是将里面的函数看成一个整体代入外面的函数中，从内到外，逐层推算．这就要考同学们对函数定义的理解了，将外面函数中的x 用里面函数的函数值代替再运算就可以了．再次强调对于f(f(x))的计算，现标记为f 1(f 2(x))，先计算出f 2(x)，再将f 2(x)视为一个整体代入f 1(x)，同理，f 1(f 2(f 3(x)))也是如此，从内到外，先算f 3，再将f 3作为整体代入计算f 2，最后将f 2作为整体代人f 1．最值问题分为两个方面，一个是两点间线段最短．另一个是分段函数，需要进行分类讨论，分析函数增减性，画出函数图像，得到在定义域中函数值取到的最大值或最小值． 题6的做法在专题6中还会出现，至于题7的最值则要在确定g(m)的基础上才能确定．对于题6，请千万牢记，本题要有两个步骤：首先找出M ，接着证明M 即为所求，第一个步骤是确定存在性，到底有没有满足条件的M 点，第二步则是证明唯一性．而实际应用问题，如题8和题9，这两题是一次函数与不等式相结合的应用问题．首先根据题目中的条件确定出不等关系，找出相应的自变量的范围，确定出几种方案，再对各种方案求出因变量进行比较，得出最佳方案．例题10 如图所示，在平面直角坐标系中，已知OA ＝12cm ，OB ＝6cm ．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动．如果点P 、点Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间(0≤t ≤6)，则：(1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；(2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由．【解答】(1)由题意得，BQ ＝t ＝OP ，CQ＝6－t，所以y＝－12t2＋3t(0≤t≤6)．(2)已知坐标A(12，0)，B(0，6)，所以直线AB为y＝－12x＋6．由(1)得，当y取最大值时，t＝3，所以CQ＝3，OP＝3，即△POQ是等腰直角三角形．将△POQ沿直线PQ翻折，可得到边长为3的正方形OPCQ，得点C坐标(3，3)，代入y＝－12x＋6不成立，即点C没有落在直线AB上，【技巧】本题是一个动点问题．(1)要求y关于t的函数解析式，只要求出OQ、OP的长度（包含未知数t）即可；(2)先求出当△POQ的面积最大时t的值，从而求得OQ＝3和OP＝3，然后不难求出C点的坐标是(3，3)，代入一次函数y＝－12x＋6即可．例题11已知函数f(x)＝(m－2)x＋2m－3．(1)求证：无论m取何实数，这些函数的图像恒过某一定点．(2)当x在[1，2]内变化时，y在[4，5]内变化，求实数m的值．【解答】(1)令y＝f(x)＝(m－2)x＋2m－3，则有(x＋2)m－2x－3－y＝0．【技巧】本题是一个定点问题．(1)由“无论m取何实数时，这些函数的图像恒过某一定点”可知，这个定点与m的取值无关．所以只需变换一次函数解析式，把含有m的项合并，转换成a．m＝b，其中a＝0，b＝0即可．(2)对f(x)＝(m－2)x＋2m－3，还需讨论m－2的取值范围，确定一次函数是增函数还是减函数后，方可利用题设所给出的x、y范围的端点值代入一次函数的解析式，最终求得m．【点评】动点问题与定点问题是一次函数实际运用中最多也是最实用的两类问题，动点问题就是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．其中数形结合是解决动点问题最主要的方法，在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．例如题10，其特点是有两个动点P 、Q ，而且它们分别在两条不同的射线上运动，解答问题的关键是认为点P 、Q 是“静止”的，不要被“运动”二字所迷惑，只要将△POQ 的面积表达出来即可． 要求面积最大，可利用配方法，即()2211933222y t t t =-+=--+，确定了点P 、Q 的坐标后进一步求出点C 的坐标．对于题10，再做以下几点说明，这些规律对于解题很有帮助，所以请牢记！(1)求最值问题，可能会涉及一元二次方程中的“配方法”（专题2中已作说明）以及函数的性质问题（如题7的分段函数）．(2)在最值的情况下，题中所形成的图形往往是“特殊”的（如题11中等腰直角三角形POQ ，专题3题8技巧贴士中所提及的正方形）．(3)本题也属于翻折情况．将本问题引申：若三角形POQ 是任意三角形（不一定是直角三角形），那经翻折后，C 点何时在直线AB 上呢？翻折的详细情况可见专题7中的“思维点评”．至于“定点问题”，这是在运动变化中寻找不变量的另外一个类型，这类问题常常会用到特殊与一般的数学思想，定点问题是数学思想与数学知识紧密结合的一类综合性试题，是中考考查能力的热点题型之一，定点问题一般分为两类：一类是直线过定点问题．如题11的第一个问题，具体解法技巧贴士中已给出；另一类是函数图像过定点问题，这类问题目前所学知识还未涉及，将在9年级“二次函数”专题中涉及．。
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第十一章 一次函数复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点4 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），由题意可知，解∴此函数的关系式为y=．【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b 是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．②当k，b异号时，即-＞0时，直线与x轴正半轴相交；当b=0时，即-=0时，直线经过原点；当k，b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③y1与y2平行；④y1与y2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.[分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数．例2 当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．解：∵函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数，∴∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数．小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．[分析] （1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18．(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．解：（l）y=15+0．5x．（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．（3）y是x的一次函数．学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．［分析］ 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t 的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．答案：102例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．[分析] 由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．解：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．把x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-3＝2k，∴k＝2．∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.学生做一做 已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .老师评一评 由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式．设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k，∴k=2．∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．【注意】 y与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）A．m﹤O B．m＞0C．m﹤ D．m＞M[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2时，y1＞y2，说明y随x的增大而减小，所以1-2m﹤O,∴m＞，故正确答案为D项．学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．老师评一评 （1）年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式为y=15+2x．（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0，因此，函数y=15+2x的图象应为一条射线．画函数y=12+5x的图象如图11－21所示．（3）当x=5时，y＝15+2×5=25（万元）∴5年后的产值是25万元．例7 已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．［分析］ 从图象上可以看出，它与x轴交于点（-1，0），与y轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k为即可．解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到y=kx+b中，得∴∴此函数的表达式为y=-3x-3.例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．［分析］ 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∴图象经过点（2，-1），∴-l=2×2+b．∴b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？［分析］ 判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k为常数，且k≠0)即可．解：（1）y是x的一次函数．∵y+a与x+b是正比例函数，∴设y+a=k(x+b)（k为常数，且k≠0）整理得y=kx+（kb-a）．∵k≠0，k，a，b为常数，∴y=kx+(kb-a)是一次函数．（2）当kb-a=0，即a=kb时，y是x的正比例函数．例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？［分析］ 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．解：（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）(2)∵两种通讯费用相同，∴y1=y2，即50+0．4x=0．6x．∴x＝250．∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．（3）当y1=200时，有200=50+0．4x，∴x=375（分）．∴“全球通”可通话375分．当y2=200时，有200=0．6x，∴x=333（分）．∴“神州行”可通话333分．∵375＞333，∴选择“全球通”较合算．例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．［分析］ 由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．解：（1）∵y+2与x成正比例，∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）∵当x=-2时，y=0．∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．∴函数关系式为x+2=-x，即y=-x-2．（2）列表；x0-2y-20描点、连线，图象如图11－23所示．（3）由函数图象可知，当x≤-2时，y≥0．∴当x≤-2时，y≥0．(4)∵点（m，6）在该函数的图象上，∴6=-m-2,∴m＝-8．（5）函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A，B两点，∴A（-2，0），B（0，-2）．∵S△ABP=·|AP|·|OA|=4，∴|BP|=.∴点P与点B的距离为4．又∵B点坐标为(0，-2),且P在y轴负半轴上，∴P点坐标为(0，-6).例11 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y轴的交点在y轴上方，说明常数项b＞O；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y随x的增大而减小，说明一次项系数小于0．解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴∴k＝-2．∴当k=-3时，它的图象经过原点．（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.∴-2=-2k2+18，且3-k≠0，∴k=±∴当k=±时，它的图象经过点(0，-2)（3）函数图象平行于直线y=-x，∴3-k=-1，∴k＝4．∴当k＝4时，它的图象平行于直线x=-x．（4）∵随x的增大而减小，∴3-k﹤O．∴k＞3．∴当k＞3时，y随x的增大而减小．例12 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．由题意可知，∴∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．∴当x=4时，y=4-2=2．∴点C（4，2）在直线y=x-2上．∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．学生做一做 判断三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？［分析］ （1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x ＞2时，6x＞2x+8，所以，y=6x的函数值先达到30．（2）直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．解：这两位同学的说法都正确．例14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．［分析］ 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．解：（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为y甲=240+×240x=240+120x.乙旅行社的收费y乙（元）与学生人数x之间的函数关系式为y乙=240×60％×（x+1）=144x+144．（2）①当y甲=y乙时，有240+120x=144x+144，∴24x＝96，∴x=4．∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以．②当y甲＞y乙时，240+120x＞144x+144，∴24x＜96，∴x＜4．∴当x﹤4时，去乙旅行社更优惠．③当y甲﹤y乙时，有240+120x﹤140x+144，∴24x＞96，∴x＞4．∴当x＞4时，去甲旅行社更优惠．小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法．学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．老师评一评 先求出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．（1）甲方案的付款y甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y甲=9x（x≥3000）；乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为y乙=8x+500O（x≥3000）．（2）有两种解法：解法1：①当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，∴x=5000．∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．②当y甲﹤y乙时，有9x﹤8x+5000，∴x＜5000．又∵x≥3000，∴当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．③当y甲＞y乙时，有9x＞8x+5000，∴x＞5000．∴．当x＞500O时，乙方案付款少，故采用乙方案．解法2：图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲﹥y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲＞y乙，即选择乙方案付款最少．【说明】 图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例15 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .[分析] 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b中可得∴∴函数解析式为y=-x-4．②当k﹤O时则随x的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx＋b中可得∴∴函数解析式为y=-x-3.∴函数解析式为y=x-4，或y=-x-3.答案：y=x-4或y=-x-3.【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.中考试题预测例1 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？[分析] 设举办乒乓球比赛的费用y（元）与租用比赛场地等固定不变的费用b（元）和参加比赛的人数x（人）的函数关系式为y=kx+b（k≠0）.把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函数关系式，求出k，b的值，进而求出y与x之间的函数关系式，当x=50时，求出y的值，再求得y÷50的值即可．解：（1）设y1=b，y2=kx（k≠0，x＞0），∴y=kx+b．又∵当x=20时，y=1600；当x=30时,y=2000，∴∴∴y与x之间的函数关系式为y=40x+800（x＞0）.（2）当x=50时，y=40×50+800=2800（元）．∴每名运动员需支付2800÷50=56（元〕答：每名运动员需支付56元．例2 已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．（1）求这个函数的解析式。