第九讲：二元一次方程组
二元一次方程组怎么解
二元一次方程组怎么解二元一次方程组是高中数学中的一种基础知识，也是解决实际问题的重要工具。
它由两个包含两个未知数的方程组成，通常可以用代数方法或图形方法求解。
在本文中，我们将讨论二元一次方程组的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 代数解法代数解法是求解二元一次方程组的传统方法。
它的基本思想是通过等式的转化将两个方程中的某一个未知数消去，从而得到只包含另一个未知数的方程，再通过解这个方程得到另一个未知数的值。
最后，再将这个值带入原来的方程中，求出另一个未知数的值。
下面以一个典型的例子来说明。
例1：求解方程组 2x + y = 7 x + y = 4解：观察这两个方程，我们可以发现它们含有相同的未知数y，因此我们可以通过消去y的方法来求解。
为此，我们将第二个方程的等式两边都减去y，得到如下方程：x = 4 - y现在，我们将这个x的值代入第一个方程，得到：2(4 - y) + y = 7化简这个方程，得到：8 - y + y = 7因此，y的值为1。
然后，我们将这个y的值代入第二个方程，得到：x + 1 = 4因此，x的值为3。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
2. 图形解法图形解法是另一种求解二元一次方程组的方法，它的基本思想是将两个方程表示成直线的形式，然后通过解直线方程的交点来求解方程组。
具体来说，我们可以将两个方程表示成如下形式：y = -2x + 7 y = -x + 4利用直线的斜率和截距，我们可以画出这两条直线。
这两条直线的交点就是方程组的解。
下图是这两条直线的图像。
从图中可以看出，这两条直线在（3,1）这个点相交。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
3. 矩阵解法矩阵解法是一种更为简便和通用的求解二元一次方程组的方法。
它的基本思想是将方程组表示成矩阵的形式，然后通过矩阵的运算求解。
具体来说，我们可以将方程组表示成如下矩阵形式：Ax = b其中，A是一个2×2的矩阵，x和b都是2×1的列向量，分别表示未知数和方程组的常数项。
二元一次方程组格式_概述说明以及解释
二元一次方程组格式概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元一次方程组是数学中常见的基本代数方程组之一。
它由两个未知数和两个等式组成，其中每个等式都是未知数的一次项与常数项的和。
解决二元一次方程组可以帮助我们在现实生活、商业领域以及工程问题中找到解决方案。
1.2 二元一次方程组定义二元一次方程组通常表示为：```ax + by = cdx + ey = f```其中a、b、c、d、e和f分别代表系数，x和y代表未知数。
此类方程组有两个未知数x和y，并且每个方程的最高次幂为1，因此称为一次方程组。
1.3 解法方法介绍解决二元一次方程组可以使用多种解法方法，例如消元法、代入法和矩阵法等。
消元法通过逐步变换原方程组，将其转化为更简单的形式来求解。
代入法则先求得一个未知数的值，再将其代入另一个方程中求得第二个未知数的值。
矩阵法则通过矩阵运算来求得未知数的值。
在接下来的文章中，我们将详细介绍二元一次方程组的格式说明、解题步骤以及在实际问题中的应用场景分析。
同时，我们也会总结要点回顾，并探讨学习启示、拓展延伸思考以及未来发展趋势的展望。
通过本文的阅读，相信您将对二元一次方程组有更加深入的理解，并能够灵活运用于各种问题的求解中。
2. 二元一次方程组格式说明2.1 标准形式与一般形式对比二元一次方程组可以有不同的表示形式，其中最常见的是标准形式和一般形式。
标准形式的方程组可以写为：```ax + by = cdx + ey = f```其中，a、b、c、d、e、f是已知的实数系数，x和y是未知数。
一般形式的方程组可以写为：```Ax + By + C = 0Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F是已知的实数系数。
标准形式和一般形式之间存在着对应关系。
通过对标准形式适当变换，我们可以得到等价的一般形式方程组，反之亦然。
2.2 系数与未知数的关系解析二元一次方程组中的未知数通常用x和y表示。
在标准形式中，每个未知数都会带上一个系数。
二元一次方程组的说课稿（精选10篇）
二元一次方程组的说课稿（精选10篇）二元一次方程组的说课稿（精选10篇）在教学工作者实际的教学活动中，时常需要用到说课稿，借助说课稿我们可以快速提升自己的教学能力。
说课稿要怎么写呢？下面是小编为大家整理的二元一次方程组的说课稿，希望对大家有所帮助。
二元一次方程组的说课稿篇1一、说教材分析1、教材的地位和作用二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，又是学习其他数学知识的基础。
本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上，继续学习另一种方程及方程组，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
通过类比，让学生从中充分体会二元一次方程组，理解并掌握解二元一次方程组的基本概念，为以后函数等知识的学习打下基础。
2、教学目标知识目标：通过实例了解二元一次方程和它的解，二元一次方程组和它的解。
能力目标：会判断一组未知数的值是否为二元一次方程及方程组的解。
会在实际问题中列二元一次方程组。
情感目标：使学生通过交流、合作、讨论获取成功体验，激发学生学习知识的兴趣，增强学生的自信心。
3、重点、难点重点：二元一次方程和二元一次方程的解，二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念。
难点：在实际生活中二元一次方程组的应用。
二、教法现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。
根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好发激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
二元一次方程组PPT课件
二元一次方程组的特点
1 两个未知数
二元一次方程组有两个未知数，通常用 x 和 y 表示。
2 一次方程
方程组中的方程都是一次方程，即未知数的最高次数为 1。
3 两个方程
二元一次方程组由两个方程组成，即有两个等式。
方程组在实际问题中的应用
1
经济学
方程组用于描述供需关系、成本与利润等经济指标之间的关系。
二元一次方程组PPT课件
这个PPT课件将教你什么是二元一次方程组，如何求解方程组，以及方程组在 实际问题中的应用。还会讨论方程组解的唯一性和存在性。
方程组的定义和概念
定义
二元一次方程组是由两个二元一次方程组成 的集合。
示例
例如：x + 2y = 5 和 2x - 3y = 8 是一个二元一 次方程组。
2
物理学
方程组可以用于描述物理量之间的相互作用、运动规律等。
3
工程学
方程组在工程学中常用于解决结构设计、材料力学等问题。
方程组的解的唯一性和存在性
解的存在性
方程组有解的条件是系数 行列式不为零，即方程组 是相容的。
解的唯一性
如果方程组只有一个解， 则称为唯一解；否则称为 无穷多解。
线性无关
当两个方程没有公共解解解都有各自的优 势和特点，根据实际情况选择 合适的方法。
概念
方程组是数学中一组有关未知数的数与式的 等量关系。
图解法
方程组的解是使得两个方程同时成立的点坐 标的集合，可以通过图解法求得。
方程组求解方法
代入法
将一个方程的解代入到另一 个方程中，以求得未知数的 值。
消元法
通过加减乘除运算，将一个 方程的未知数系数相同或倍 数关系，然后相减相消。
七年级下-二元一次方程组的定义及解法
二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。
注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。
例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。
注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。
例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。
2.未知数的次数为1。
注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。
例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。
'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。
七年级数学下册春季课程第九讲实际问题与二元一次方程组试题试题
第九讲 实际问题与二元一次方程组一、知识梳理：考点1 常见的一些等量关系1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.2.产品配套问题：解这类问题的根本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间是，各局部劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价.速度×时间是=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.6.存贷款问题利息=本金×利率×期数.本息和〔本利和〕＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×121.各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：假设一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，那么这个两位数可以表示为10b+a ．8.方案问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案．要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案．考点2 实际问题与二元一次方程组列方程组解应用题，是把“未知〞转换成“〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联络起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组〔分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组〕；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：〔1〕解实际应用问题必须写“答〞，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；〔2〕“设〞、“答〞两步，都要写清单位名称；〔3〕一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.二、课堂精讲：〔一〕和差倍分问题例1．甲乙丙三个工厂一共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的27，乙厂出甲丙两厂和的12，丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？【随堂演练一】根据如图提供的信息，求一个热水瓶的价格．〔二〕配套问题例2．某服装厂消费一批某种款式的秋装，每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或者衣袖5只. 现方案用132米这种布料消费这批秋装〔不考虑布料的损耗〕，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【随堂演练二】m3m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才某家具厂消费一种方桌，设计时13能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可消费多少张方桌？〔提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿〕.〔三〕工程问题例3．一批机器零件一共840个，假如甲先做4天，乙参加合做，那么再做8天才能完成；假如乙先做4天，甲参加合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?【随堂演练三】古运河是的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，一共用时20天．求A、B两工程队分别整治河道多少米．〔四〕利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水一共500箱，矿泉水的本钱价和销售价如表所示：〔1〕该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？〔2〕全部售完500箱矿泉水，该商场一共获得利润多少元？【随堂演练四】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品一共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，一共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗?〔五〕行程问题例5. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．(1)假如两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；假如两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；(2)假如慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【随堂演练五】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；假设第一列火车比第二列火车先出发9h，那么第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？〔六〕存贷款问题例6.蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，一共13万元，徐先生每年须付利息6075元，甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，那么甲，乙两种贷款分别是多少元？〔七〕数字问题例7.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，假如把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．【随堂演练六】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，假如把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是多少？〔八〕方案选择问题例8.某种饮料有大箱和小箱两种包装，3大箱、2小箱一共92瓶；5大箱、3小箱一共150瓶．求：①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？②假设一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全一样，请问购置哪种包装的饮料更合算？【随堂演练七】某高校一共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.〔1〕求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；〔2〕假设7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.三．小结：和差倍分问题；产品配套问题；工程问题；利润问题；行程问题；存贷款问题；数字问题；方案问题列方程组解应用题，是把“未知〞转换成“〞的重要方法，它的关键是把量和未知量联络起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组〔分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组〕；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．四、课后稳固练习一、选择题1．有一些苹果箱，假设每只装苹果25 kg，那么剩余40 kg无处装；假设每只装30 kg，那么还有20个空箱，这些苹果箱有( )A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，假设每条长椅坐5人，那么少10条长椅，假设每条长椅坐6人，那么又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( )A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，一共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，一共花了400元，王斌家方案去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？〔〕A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4. 两个水池一共储水40吨，假如甲池注进水4吨，乙池注进水8吨，甲池水的吨数就与乙池水的吨数相等．甲、乙水池原来各储水的吨数是〔〕A．甲池21吨，乙池19吨 B．甲池22吨，乙池18吨C. 甲池23吨，乙池17吨D．甲池24吨，乙池16吨5.某校七年级(2)班40名同学为地震灾区捐款，一共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，假设设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( )A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩6.甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是〔〕7.一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，假设颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的选项是〔〕A．1()()9x yx y y x-=⎧⎨+++=⎩，B．110()9x yx y y x=+⎧⎨+=++⎩，C．110109x yx y y x=+⎧⎨+=+-⎩，D．110109x yx y y x=+⎧⎨+=++⎩，8．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是〔〕A．23(2),2x yx y+=+⎧⎨=⎩B．23(2),2x yx y-=-⎧⎨=⎩C．22(2),3x yx y+=+⎧⎨=⎩D．23(2),3x yx y-=-⎧⎨=⎩9. 为了参加国际铁人三项〔游泳、自行车、长跑〕系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑工程进展专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段一共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．那么方程组正确的选项是〔〕A. B.C. D.二、填空题10．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．11．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题一共得70分，那么他做对了______道题.12．“六一〞儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天一共售出门票3000张，一共收入15600元，那么这一天售出了成人票________张，儿童票__________ 张．13. 小龙和小刚两人玩“打弹珠〞游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子〞．小刚却说：“只要把你珠子的13给我，我就有10颗〞，那么小刚的弹珠颗数是颗．14. 学生问教师：“您今年多大了〞教师幽默地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了〞．那么教师如今的年龄是岁．三、解答题15．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．16．小华从家里到的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，那么他从家里到需10min，从到家里需15min．问：从小华家到的平路和下坡路各有多远？17. 某同学在A、B两家超发现他看中的随身听的单价一样，书包单价也一样．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元．(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超A所有商品打八折销售，超B全场购满100元返购物券30元(销售缺乏100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，假如他只在一家超购置看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购置吗?假设两家都可以选择，在哪一家购置更钱?。
(完整版)二元一次方程组教案
（2）
思考，检验，回答问题
强化训练
拓展思维
1.判别下列哪些为二元一次方程组
（1）
（2）
（3）
思考，回答问题
布置作业
延伸学习
1.下列哪组x，y的值是方程组 的解？
（1） （2）
（3） （4）
2.课后习题1，2，3
七、教学评价设计
本节课首先由一生活中实例引入，让学生们回顾已学过的一元一次方程的知识，用一元一次方程求解问题，然后引入新知，使学生通过与一元一次方程对比认识二元一次方程，进而学习二元一次方程组。这样不仅复习了一元一次方程的知识，而且让学生们通过对比更加深了对新知的认识。课上布置的习题让学生们对新知识边学边运用，有助于学生加深对新知的了解，从而进一步掌握新知，避免了学生课下不理解性的死记硬背的麻烦。
（1）什么叫方程？
含有未知数的等式。
如：2（x+2）=5，2(x+1)+y=8
（2）什么叫一元一次方程？
在方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程方程叫一元一次方程。
如：5x+1=6,2x=4
(3)一元一次方程的特点：
a．该方程为整式方程
b．该方程有且只含有一个未知数
c．该方程中未知数的最高次数是1
讨论交流
回答问题
思考、演算，回答问题
6提出问题，启发学生思考：通过以上例题，你发现了什么？
二元一次方程组的解是不唯一的。
思考、讨论回答问题
课堂练习巩固新知
1.判别下列哪些为二元一次方程
（1）2（1-2x）-3y=0
（2）5x+2y
（3）4x-3y=z
（4）x+ +-5=8
二元一次方程组-图课件
解二元一次方程组时，可以通过消元 法、代入法等方法得到不同的解。
二元一次方程组的拓展
多元一次方程组
除了二元外，还可以扩展 到更多未知数的多元一次 方程组。
分式方程组
将一次方程组的未知数次 数降低，可以得到分式方 程组。
高次方程组
将一次方程组的未知数次 数提高，可以得到高次方 程组。
二元一次方程组与其他数学知识的结合
二元一次方程组可以表示为平面上的两条直线， 这两条直线的交点就是解。解的几何意义是两条 直线的交点坐标，即两条直线的公共点。
02
二元一次方程组的图解法
直线交点法
总结词
通过作图找到两条直线的交点，该交点即为方程组的解 。
详细描述
首先，将二元一次方程组中的两个方程分别表示为两条 直线的方程。然后，在坐标系上画出这两条直线。最后 ，找到这两条直线的交点，该交点的坐标即为方程组的 解。
02 代数问题
在代数中，二元一次方程组是基本的问题类型之 一，需要掌握其解法。
03 概率统计问题
在概率统计中，经常需要计算两个事件同时发生 的概率或两个变量的相关性。
科学中的二元一次方程组问题
01
02
03
物理问题
在物理学中，经常需要解 决与速度、力和加速度相 关的二元一次方程组问题 。
化学问题
在化学中，二元一次方程 组可以用来描述化学反应 中两种物质的反应速率和 反应条件。
进阶习题2
解方程组$begin{cases}x + 2y = 6 2x + y = 4end{cases}$
进阶习题3
解方程组$begin{cases}5x - y = 11 x + 2y = 7end{cases}$
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第九讲：二元一次方程组
一、字母系数的一次方程（组）：
1、一元一次方程b ax =的解由b 、a 的值来确定： （1）当0≠a 时，方程有唯一的解a
b
x =
； （2）当0==b a 时，方程有无数多个解，且解为任意数； （3）当0b 0≠=且a 时，方程无解。
以上结论，反过来也成立。
2、对于方程组⎩⎨⎧=+=+222
1
11c y b x a c y b x a 。
（1a 和2a 中至少有一个不为零，1b 和2b 中至少
有一个不为零，1a 和1b 不同时为零，2a 和2b 也不同时为零）。
①当
2
1
21b b a a ≠时，方程组有唯一解。
②当
2
1
2121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
③当212121c c
b b a a ==时，方程组有无数多组解。
3、最简单的绝对值方程是：a x =。
（1）当0<a 时，方程无解； （2）当0=a 时，方程的解为0=x ；
（3）当0>a 时，方程有两解a x =和a x -=。
例1、0)23(2=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则
x = 。
例2、k 、b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=2)13(x k y b
kx y
（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解？
例3、解方程组
①⎩⎨⎧=+=+191817161514y x y x ②⎩⎨⎧=+=+673317831733y x y x ③45
13453
x y
x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ④⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+543c a c b b a
练习：
1、已知关于x 的一次方程07)83(=++x b a 无解，则ab 是 数。
2、若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054=+-k x 有两个解，则k n m ,,的大小关系是 。
3、当a 时，方程组21
33ax y x y +=⎧⎨+=⎩
有唯一的解。
4、若方程组⎩⎨⎧-=-=+b y x y ax 322
2有无穷多个解，则b ax =+13的解是 。
5、方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13
.8b a ，则方程组⎩⎨⎧=-++=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(2y x y x 的
解是多少？
6：已知10
=
+
+y
x
x①，12
=
-
+y
x
y②，求y
x+的值。
7、某水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？8、已知三个数c
b
a、
、满足
3
1
=
+b
a
ab
,
4
1
=
+c
b
bc
,
5
1
=
+c
a
ac
,则
ca
bc
ab
abc
+
+
的值是多少？
9、已知，平面直角坐标系内，点A（a，0），B（b，2），C（0，2），且b
a、是
方程组
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
11
2
13
2
b
a
b
a
的解，求：
（1）b
a、的值．
（2）过点E（6，0）作PE∥y轴，点Q（6，m）是直线PE上一动点，连QA、QB，试用含有m的式子表示△ABQ的面积．
（3）在（2）的条件下．当△ABQ的面积是梯形OABC面积一半时，求Q点坐标．
分析：由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。
解：设张强第一次购买香蕉x 千克，第二次购买香蕉y 千克，由题意0<x<25，
（1）当0<x ≤20，y ≤40时，由题意可得：⎩⎨⎧=+=+2645650y x y x ，解得⎩⎨⎧==3614
y x
（2）当0<x ≤20，y>40时，由题意可得：⎩⎨⎧=+=+2644650y x y x ，解得⎩⎨⎧==1832
y x (不合
题意，舍去)
（3）当20<x<25时，则25<y<30，由题意可得：⎩⎨⎧=+=+2645550
y x y x ，方程组无解
由（1）（2）（3）可知，张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克。