高考一轮课时训练(理)5.4三角函数的性质 (通用版)
高三数学一轮复习课时作业2：三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x －π6)C ．y ＝2sin(x 2＋π3)D ．y ＝2sin(2x －π3)2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( )A ．{x |x ≠π4}B ．{x |x ≠－π4}C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z}D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z}3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．『－1，1』B ．『－54，－1』C ．『－54，1』D ．『－1，54』4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为( )A.5π12B.11π6C.11π12D ．以上都不对5．(2013·青岛质检)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a6．(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间『－2π，0』上是增函数B ．f (x )在区间『－3π，－π』上是增函数C ．f (x )在区间『3π，5π』上是减函数D ．f (x )在区间『4π，6π』上是减函数 二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈『0，π2』，则f (x )的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间『－π4，π4』上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ， (1)求f (π4)的值；(2)若x ∈『0，π2』，求f (x )的最大值及相应的x 值．11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8，(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π12时，f (x )取得最大值3.(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．解析及答案一、选择题1．『解析』 根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2，代入检验知选B.『答案』 B2．『解析』 y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，故选D.『答案』 D3．『解析』 f (x )＝(sin x ＋12)2－54， ∵sin x ∈『－1，1』， ∴－54≤f (x )≤1，∴f (x )的值域为『－54，1』．『答案』 C4．『解析』 函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝－k 2π－π12(k ∈Z)，故当k ＝－1时，φ的最小值为5π12.『答案』 A5．『解析』 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3)＝f (0)，又f (x )在『0，π6』上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b .『答案』 B6．『解析』 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z)．∵－π＜φ≤π， ∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z.易知f (x )在区间『－2π，0』上是增函数．『答案』 A二、填空题7．『解析』 由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝43π， ∴ω＝2πT ＝32.『答案』 328．『解析』 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)． 因为x ∈『0，π2』，所以2x －π6∈『－π6，56π』，所以sin(2x －π6)∈『－12，1』，所以f (x )∈『－32，3』．『答案』 『－32，3』9．『解析』 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈『－π4，π4』时，2x ∈『－π2，π2』，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．『答案』 ③④三、解答题10．『解析』 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ， ∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， 由x ∈『0，π2』得2x －π4∈『－π4，3π4』，所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.11．『解析』 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 因此y ＝f (x )的单调增区间为『π8＋k π，58π＋k π』，k ∈Z.12．『解析』 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.∵当x ＝π12时，f (x )的最大值为3，∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z)．∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1.(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin 『2(x ＋φ)＋π3』，∵g (x )为奇函数，∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π6(k ∈Z)，∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.。
三角函数,高三一轮复习,精华讲义,知识点,课时训练含答案
1 能源个人辅导中心（数学辅导）内部专用讲义高三一轮复习专用（专题五三角恒等变换和解三角形）1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()coscos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2 .⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．⑶22tan tan 21tan ααα=-．34、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 5．（1）积化和差公式sinα²cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α²sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α²cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α²sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sinα+sin β= 2cos2sin2βαβα-+ sinα-sin β=2sin2cos2βαβα-+cos α+cos β=2c os 2c os 2βαβα-+cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+tanα+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tanα- cot α= -2cot2α1+cosα=2cos 22α1-cosα=2sin 22α1±sinα=(2cos 2sin αα±)26。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质2含解析
三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.函数y＝lgcos x的定义域为( )A. (2k π，＋2kπ)(k∈Z)B. (－＋2k π，＋2kπ)(k∈Z)C. (k π，＋kπ)(k∈Z)D. (－＋k π，＋kπ)(k∈Z)2.将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上的全部点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最终得到函数的图象，则（）A. B. C. D.3.将函数的图象上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A. B.C. D.4.函数y＝cos－2x的单调递增区间是()A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z)5.函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.6.函数在定义域内零点的个数为A. 3B. 4C. 6D. 77.下列函数中最小值为8的是（）A. B. C . D.18.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象的一条对称轴是直线，则ω的最小值为．9.函数的单调减区间为（）A. B.C. D.10.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小．1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】9.【答案】A10.【答案】解：（1），∴函数的最小正周期为．令，得，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为，（2），．，且在上单调递增，，即．3。
课时作业——三角函数的图象和性质(高三一轮复习)
数字 N
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14．已知函数 f(x)＝2cos2ωx－1＋2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线 x＝π3是函数 f(x) 的图象的一条对称轴．
(1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)令 g(x)＝2f2x－π6＋f2x＋π3－m，若 x1，x2 是函数 g(x)在0，π2内的零点，求 cos(x1＋x2)的值．
数字 N
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7．函数 y＝lg(cos x－sin x)的定义域是 －34π＋2kπ，4π＋2kπ(k∈Z)
．
解析 因为 y＝lg(cos x－sin x)，所以 cos x－sin x>0，即 sin x－cos x＝ 2sinx－π4 <0，即－π＋2kπ<x－π4<2kπ，k∈Z，解得－34π＋2kπ<x<π4＋2kπ，k∈Z，故函数的定义 域为－34π＋2kπ，4π＋2kπ，k∈Z.
C．3
D．4
数字 N
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解析 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋ 3cos 2x＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋ 3cos 2x＝1＋ sin 2x＋ 3cos 2x＝1＋2sin2x＋3π.T＝22π＝π，①正确；当 2x＋3π＝π2＋2kπ，k∈Z 时， f(x)max＝3，②正确；令π2＋2kπ≤2x＋π3≤32π＋2kπ，k∈Z，解得1π2＋kπ≤x≤71π2＋kπ，k ∈Z，因此 f(x)的单调递减区间为1π2＋kπ，172π＋kπ(k∈Z)，③正确；令 2x＋3π＝kπ，k ∈Z，解得 x＝－6π＋k2π，k∈Z，此时 f(x)＝1，④错误．
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数字 N
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11．已知函数 f(x)＝asin ωxcos ωx(a＞0，ω＞0)．从下列四个条件中选择两个作 为已知，使函数 f(x)存在且唯一确定．
高考数学一轮复习三角函数的图象及性质学案理
高考数学一轮复习三角函数的图象及性质学案理知识梳理： (阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质2、周期函数：对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。
3、三角函数的图象的画法：（1）、利用三角函数线的几何画法；（2）、利用变换法（3）、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。
探究一：三角函数的定义域问题 例1：（1）、求函数 的定义域；（2）、求函数 的定义域；（3）、求函数的定义域。
探究二：三角函数的最值问题例2：(2014天津)（本小题满分13分）已知函数()2co s sin s 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+⎪⎝⎭，x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（Ⅰ）解：由已知，有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +== 所以，()f x 的最小正周期T==（Ⅱ）解：因为()f x 在区间 ()上是减函数，在区间()上是增函数.所以，函数()f x 在闭区间上,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为14，最小值为12-.例3：（2014新课标2 理科）.函数()()()sin 22sin co s f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三：三角函数的图象与性质 例4：设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求；(2): 求函数的单调区增区间例5：函数在区间[]上的最大值为1，求探究四：三角函数的值域例6：+)例7：sinx+cosx+sinxcosx+1 ，x]例8：1、三角函数的奇偶怀的判定与代数函数的奇偶性的判断方法步骤一致：（1）先看定义域是否关于原点对称，（2）在满足（1）后，再看的关系。
近年高考数学一轮总复习第四章三角函数题组训练25三角函数的性质理(2021年整理)
2019版高考数学一轮总复习第四章三角函数题组训练25 三角函数的性质理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮总复习第四章三角函数题组训练25 三角函数的性质理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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题组训练25 三角函数的性质1．（2018·重庆南开中学月考）函数f(x）＝（1＋错误!tanx)cosx的最小正周期为（)A．2πB。
错误!C．π D.错误!答案A解析f（x）＝(1＋错误!tanx）cosx＝错误!·cosx＝2cos(x－错误!）,则T ＝2π。
2．函数f(x）＝（1＋cos2x）sin2x是（)A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为错误!的奇函数D．周期为错误!的偶函数答案D解析f(x)＝（1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝错误!sin22x＝错误!，则T＝错误!＝错误!且为偶函数．3．(2018·江西六校联考）下列函数中，最小正周期是π且在区间（错误!，π)上是增函数的是( ）A．y＝sin2x B．y＝sinxC．y＝tan错误!D．y＝cos2x答案D解析y＝sin2x在区间（错误!，π)上的单调性是先减后增；y＝sinx的最小正周期是T＝错误!＝2π;y＝tan错误!的最小正周期是T＝错误!＝2π；y＝cos2x满足条件．故选D。
4．函数y＝2sin(错误!－2x）(x∈[0，π］)的增区间是( ）A．[0,错误!］B．［错误!，错误!]C．[错误!,错误!］D．［错误!，π］答案C解析∵y＝2sin(错误!－2x）＝－2sin(2x－错误!)，由错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z，解得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z,即函数的增区间为［错误!＋k π，错误!＋k π］，k ∈Z ,∴当k ＝0时，增区间为［错误!，错误!]．5．已知函数f （x)＝2sin （x ＋θ＋错误!）(θ∈［－错误!，错误!]）是偶函数,则θ的值为（ ） A ．0 B.错误! C 。
2020版高考数学一轮复习课时作业23《 三角函数的性质》(含解析)
课时作业23 三角函数的性质一、选择题1.已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a的值是( B )A.2B.3C.3＋2D.2－ 3解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.2.y ＝|cos x |的一个单调增区间是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B.[0，π]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π 解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图).故选D.3.下列函数中，周期为π的奇函数为( A ) A.y ＝sin x cos x B.y ＝sin 2x C.y ＝tan2xD.y ＝sin2x ＋cos2x解析：y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan2x 的周期为π2；y ＝sin2x ＋cos2x为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A.4.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( A ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数.故选A.5.(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( A )A.[π3，π] B.[π3，2π3] C.[0，2π3]D.[2π3，π]解析：因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos(x ＋2π3).由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是[π3，π]，故选A.6.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象关于直线x ＝π6对称，则ω的最小值是( D )A.6B.23C.94D.32解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π2个单位长度，可得到函数f (x )＝sin ωx －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2的图象.因为所得图象关于直线x ＝π6对称，所以ω·π6－ωπ2＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝－32－3k ，k ∈Z .因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值32，故选D.7.(2019·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间[π6，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则实数ω的值为( C )A.74B.32C.2D.54解析：因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝sin ω(x －π12)，又函数g (x )在区间[π6，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，所以g (π3)＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以⎩⎨⎧ω＝8k ＋2(k ∈Z )，0<ω≤6，所以ω＝2，故选C.二、填空题8.若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝5π6.解析：因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.9.设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2.解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.10.(2019·内蒙古包头一模)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则φ＝π12.解析：由f (x )的最小正周期大于2π，得T 4>π2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得T 4＝11π8－5π8＝3π4，所以T ＝3π，则2πω＝3π⇒ω＝23，所以f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2⇒sin 5π12＋φ＝1，所以5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2，取k ＝0，得φ＝π12.三、解答题11.(2019·吉林长春调研)已知函数f (x )＝2a ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋a .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a <0，且x ∈[0，π]时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1，所以当2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )时，f (x )是增函数，故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ).(2)因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4， 所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1.又因为a <0，所以2a ≤2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤－a ，所以2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b .而f (x )的值域是[3,4]，所以2a ＋a ＋b ＝3，b ＝4，解得a ＝1－2，b ＝4.12.(2019·北京东城区检测)已知函数f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1).(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2上的最大值与最小值；(2)当f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，2时，求a 的值及函数f (x )的最小正周期.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝23sin x ·cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为π12≤x ≤π2，所以π3≤2x ＋π6≤7π6.所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.(2)因为f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1)，所以f (x )＝3sin2ax ＋cos2ax ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6. 因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝1.所以2a π3＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z ). 所以a ＝3k ＋12(k ∈Z ). 因为0<a ≤1，所以a ＝12. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π.13.(2019·北京汇文中学月考)设函数f (x )＝cos 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( B )A.与b 有关，且与c 有关B.与b 有关，但与c 无关C.与b 无关，且与c 无关D.与b 无关，但与c 有关解析：f (x )＝cos 2x ＋b sin x ＋c ＝cos2x ＋12＋b sin x ＋c ＝12cos2x ＋b sin x ＋c ＋12，若b ＝0，f (x )＝12cos2x ＋c ＋12，此时最小正周期为π，若b ≠0，则显然有f (x ＋2π)＝f (x )，故其最小正周期是2π，而c 不影响周期.综上所述，f (x )的最小正周期与b 有关，但与c 无关，故选B. 14.(2019·西北师大附中二模)已知函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)－cos(2x ＋θ)(－π<θ<0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，记f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上的最大值为n ，且f (x )在[m π，n π](m <n )上单调递增，则实数m 的最小值是2312.解析：由题意知f (x )＝2sin2x ＋θ－π6，又其图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以2×π6＋θ－π6＝k π，k ∈Z .又－π<θ<0，得θ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，在此区间上，f (x )max ＝2，所以n ＝2.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .又f (x )在[m π，2π]上单调递增，所以k ＝2，则m 的最小值为2312.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15.(2019·河北、河南重点中学联考)若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析：因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 16.(2019·河北衡水中学、河南顶级名校联考)若函数f (x )＝2a sin(2x ＋θ)(0<θ<π)，a 是不为零的常数，f (x )在R 上的值域为[－2,2]，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是单调减函数，则a 和θ的值是( B )A.a ＝1，θ＝π3B.a ＝－1，θ＝π3 C.a ＝1，θ＝π6 D.a ＝－1，θ＝π6解析：∵sin(2x ＋θ)∈[－1,1]，且f (x )∈[－2，2]，∴2|a |＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝2sin(2x ＋θ)，其最小正周期T ＝2π2＝π，∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12内单调递减，且π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝π2，为半个周期，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝2sin θ－56π＝2，∴θ－56π＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋43π(k ∈Z ).又0<θ<π，∴a ＝1不符合题意，舍去.当a ＝－1时，f (x )＝－2sin(2x ＋θ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝－2sin θ－56π＝2，∴sin θ－56π＝－1，∴θ－56π＝2k π－π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π3(k ∈Z ).又∵0<θ<π，∴当k ＝0时，θ＝π3，∴a ＝－1，θ＝π3.故选B.。
高三数学一轮复习课时作业18：三角函数的图象与性质
§4.3 三角函数的图象与性质1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B.3．函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析 函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D.4．(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－2答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈『－1,1』，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0 答案 B解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2017·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴 D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z 答案 D解析 函数f (x )的周期为2π，A 错；f (x )的值域为『0，＋∞)，B 错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，C 错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，D 正确． 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为__________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 解析 因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以令2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 8．(2018·福州质检)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最小值为____________． 答案 1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________．答案 6π5解析 由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53， 从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 10．(2018·珠海模拟)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22， 所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12. (2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈『0，π』时，函数f (x )的值域是『5,8』，求a ，b 的值．解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1.依题意知a ≠0， ①当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5；②当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.13．(2018·太原模拟)若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π答案 D解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D. 14．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是________．答案 『2,3) 解析 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， ∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12<1，∴2≤a <3.15．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3答案 C解析 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.16．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， －5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈『－2a ，a 』， ∴f (x )∈『b,3a ＋b 』，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
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第四节 三角函数的性质
一、选择题
1．(2008年广东卷)已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π
2的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π
2的偶函数
2．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6
B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6
C.⎣⎡⎦⎤－π3，0
D.⎣⎡⎦⎤－π
6，0 3．当x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π
2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的值域是( ) A ．[－1, 1] B.⎣⎡⎦⎤－1
2，1 C ．[－2, 2] D ．[－1, 2] 4．已知－π6≤x <π
3，cos x ＝m －1m ＋1
，则m 的取值范围是( )
A ．m ＜－1
B ．3<m ≤7＋43
C ．m ＞3
D ．3<m <7＋43或m ＜－1 5．(2009年全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫
4π3，0中心对称，那么||φ的最小值为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π
2 二、填空题
6．(2008年广东卷)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________． 7．下面有5个命题：
①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪
α＝k π
2，k ∈Z .③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有3个公共点．④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6得到y ＝3sin 2x 的图象．⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
2在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是______．(号) 8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π
3的递减区间是________；函数y ＝lg cos x 的递减区间是________． 三、解答题
9．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
10．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a ·cos x ＋58a －3
2在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．
参考答案
1．解析：f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝1
2sin 22x ＝1－cos 4x 4.
答案：D
2．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎫x －π3，因x －π
3∈ ⎣⎡ －43
π，
⎤－π3
故x －π
3∈ ⎣⎡ －12 π，
⎦⎤－π3，则x ∈ ⎣⎡⎦⎤－16π，0. 答案：D 3．D 4.B
5．解析：∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称．∴2·4π3＋φ＝k π＋π2∴φ＝k π－13π
6(k ∈Z )，
由此易得|φ|min ＝π
6.故选A.
答案：A
6．解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ，此时可得函数的最小正周期T ＝2π
2＝π.
答案：π
7．解析：①y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，正确；②错误；③y ＝sin x ，y ＝x 在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．
答案：①④
8.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) ⎣⎡⎭⎫2k π，2k π＋π
2(k ∈Z ) 9．解析：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6， 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2； 单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π
6，π. 10．解析：y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －3
2
＝－⎝⎛⎭⎫cos x －a 22＋a 2
4＋58a －1
2. 当0≤x ≤π
2
时，0≤cos x ≤1.
若a
2>1时，即a >2，则当cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝20
13<2(舍去)，
若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a
2时，
y max ＝a 24＋58a －12＝1⇒a ＝3
2
或a ＝－4<0(舍去)．
若a
2<0，即a <0，则当cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1⇒a ＝12
5>0(舍去)．
综合上述知，存在a ＝3
2符合题设．。