苏教版高中数学必修四课时训练1.2.3三角函数的诱导公式(1)(含答案)

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苏教版高中数学高一必修4检测：第1章1.2-1.2.3诱导公式含解析

第1章三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误．答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15.答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( ) A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920.B 级能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ，故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2，tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0. 所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.。

第1章1.2.3三角函数的诱导公式(一) Word版含解析苏教版必修4数学

[学业水平训练]1．sin 330°等于________．解析：sin 330°＝sin(360°－30°)＝－sin 30°＝－12. 答案：－122．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值为________．解析：sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 19π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6 ＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. 答案：123．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________．解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－513. 答案：－5134．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________．解析：由cos(α－π)＝－513，易得cos α＝513，又因为sin(－2π＋α)＝sin α，所以只需求出sin α即可．∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 答案：－12135．在△ABC 中，若cos A ＝32，则sin(π－A )＝________；若sin A ＝12，则cos A ＝________．解析：∵A 是△ABC 中的内角，∴sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝12， cos A ＝±1－sin 2A ＝±32. 答案：12 ±326．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________．解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， ∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－231－sin 2α＝255. 答案：2557．求下列三角函数式的值：(1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．解：(1)sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×(－32)＝－34. (2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin 1 200°·(－33)－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°)＝32－(－22)×(－1)＝3－22. 8．化简下列各式．(1)sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin [α－（2n ＋1）π]sin （α＋2n π）·cos （α－2n π）(n ∈Z )； (2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·tan （－585°）. 解：(1)原式＝sin （π＋α）＋sin （α－π）sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α. (2)原式＝cos （180°＋10°）[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）[－tan （360°＋225°）]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan （180°＋45°）]＝－12－tan 45°＝12. [高考水平训练]1．已知tan(3π－α)＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值为________．解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2，原式可化为：－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝2－12＋1＝13. 答案：132．(2014·抚州质检)若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝2，则f (2 014)＝________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝2，∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＝a sin [π＋(2 013π＋α)]＋b cos [π＋(2 013π＋β)]＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝－2.答案：－23．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解：原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （2×360°＋70°）＝1＋2sin （－70°）cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝（sin 70°－cos 70°）2cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.4．已知tan(x ＋87π)＝a . 求证：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π）＝a ＋3a ＋1. 证明：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π）＝sin [π＋（x ＋87π）]＋3cos （x ＋87π－3π）sin [4π－（x ＋87π）]－cos [2π＋（x ＋87π）] ＝－sin （x ＋87π）＋3cos [（x ＋87π）－π]sin [－（x ＋87π）]－cos （x ＋87π）＝－sin （x ＋87π）－3cos （x ＋87π）－sin （x ＋87π）－cos （x ＋87π）＝tan （x ＋87π）＋3tan （x ＋87π）＋1＝a ＋3a ＋1.。

苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.2.3(2)课时作业(含答案)

1．2.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________.以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________； cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为______．2．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α＝________. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于________． 5．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为________． 6．代数式sin 2(A ＋15°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______. 8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________． 9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________. 二、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．2.3 三角函数的诱导公式(二)知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名符号作业设计1．－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 3．－12解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12. 4．－13 解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．－3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 6．1解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.7．－ 3解析由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 8．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 9.892解析原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169，又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

苏教版数学高一必修4试题 1.2.3三角函数的诱导公式

1．2.3 三角函数的诱导公式设0°≤α≤90°，对于任意一个0°到360°的角β，以下四种情形中有且仅有一种成立．β＝⎩⎪⎨⎪⎧ α，当β∈[0°，90°]，180°－α，当β∈[90°，180°]，180°＋α，当β∈[180°，270°]，360°－α，当β∈[270°，360°].思考：180°－α，180°＋α，360°－α的三角函数值与α的三角函数值有怎样的关系呢？基础巩固1．sin ⎝⎛⎭⎫－17π6的值为________．答案：－122．设cos(π＋α)＝32⎝⎛⎭⎫π＜α＜32π，那么sin(2π－α)的值是________．答案：123．设cos(－80°)＝k ，则tan 100°＝________.答案：－1－k 2k4．sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋2sin 43π＋3sin 23π＝________. 答案：05．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值为______．答案：146．sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______.答案：07．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝______.解析：sin 21°＋sin 289°＝1，sin 22°＋sin 288°＝1，…sin 244°＋sin 246°＝1，∴原式＝44＋sin 245°＝892. 答案：8928．已知三角形中的两个内角α、β满足sin 2α＝sin 2β，那么这个三角形的形状是________．解析：由sin 2α＝sin 2β得2α＝2β或2α＋2β＝π，即α＝β或α＋β＝π2. 答案：等腰三角形或直角三角形9．△ABC 中，cos(2A ＋B ＋C)＝________.解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(2A ＋B ＋C)＝cos(π＋A)＝－cos A.答案：－cos A10．在△ABC 中，下列四个关系式中：[]①sin(A ＋B)＝sin C ；②cos(A ＋B)＝cos C ；③sinA ＋B 2＝sinC 2； ④cos A ＋B 2＝sin C 2. 其中正确的是________(填序号)．答案：①④能力升级11．sin(nπ＋θ)·cos(nπ＋θ)·tan(nπ＋θ)(n ∈Z)＝______.解析：n 为奇数时，原式＝(－sin θ)·(－cos θ)·tan θ＝sin 2θ；n 为偶数时，原式＝sin θ·cos θ·tan θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ12．设φ(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－x ＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π2＋tan(19π－x)，则φ⎝⎛⎭⎫π3＝________.解析：∵φ(x)＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，∴φ⎝⎛⎭⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3. 答案：1－ 313．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°，求sin （－α）＋sin （－90°－α）cos （540°－α）＋cos （－270°－α）的值．解析：由sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°得sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin （－α）＋sin （－90°－α）cos （540°－α）＋cos （－270°－α）＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.14．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3k －13π－α，其中k ∈Z.解析：方法一当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝⎛⎭⎫kπ＋π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫kπ－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫2nπ＋π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫2nπ－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α. 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π＋π3＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π3－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α. 方法二原式＝cos ⎝⎛⎭⎫kπ＋π3＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫kπ－π3－α ＝2cos ⎝⎛⎭⎫kπ＋π3＋α. 当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝2cos ⎝⎛⎭⎫2nπ＋π3＋α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α. 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝2cos ⎝⎛⎭⎫2nπ＋π＋π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＋α＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α.15．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.证明：∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋π2(k ∈Z)． ∴α＝2kπ＋π2－β(k ∈Z)． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.∴tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．16．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ＜0，f x －1＋1，x≥0，g(x)＝⎩⎨⎧ cos πx ，x ＜12，g x －1－1，x ≥12. 求证：g ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫13＋g ⎝⎛⎭⎫56＋f ⎝⎛⎭⎫34＝1.证明：g ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫13＋g ⎝⎛⎭⎫56＋f ⎝⎛⎭⎫34＝cos π4＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13－1＋1＋⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫56－1－1＋ ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫34－1＋1 ＝22＋sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫－π6－1＋sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋1 ＝22－32＋1＋32－1－22＋1＝1.17．已知sin α＝55，求sin(3π＋α)cos(4π－α)tan(5π＋α)的值．解析：∵sin α＝55，∴sin(3π＋α)cos(4π－α)·tan(5π－α)＝－sin αcos α(－tan α) ＝sin αcos αsin αcos α＝sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552＝15.18．已知关于x 的方程(1＋tan 2θ)x 2－4tan 2θx ＋4tan 2θ－1＝0的两根相等，且θ为锐角，求θ的值．解析：∵方程两根相等，∴Δ＝(－4tan 2θ)2－4(1＋tan 2θ)(4tan 2θ－1)＝0，即tan 2θ＝13，tan θ＝±33.[] 又θ为锐角，则tan θ＝33，θ＝π6.19．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解析：∵cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－1213. 故sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin ＋cos ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－513－1213＝－1713.20．求sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π4sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π4…si n ⎝⎛⎭⎫2 014π＋π4的值．。

高一数苏教必修四讲义：第1章 1.2 1.2.3 第一课时诱导公式(一～四) Word含答案

1．2.3 三角函数的诱导公式第一课时诱导公式(一～四)预习课本P18～20，思考并完成下列问题1．对于任意角α，2kπ＋α(k∈Z)与α的三角函数之间有什么关系？2．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？3. 对于任意角α，π－α，π＋α，－α与α的三角函数之间有什么关系？[新知初探]诱导公式角的终边间关系公式公式一终边相同sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z) cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z) tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)公式二终边关于x轴对称sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_αtan(－α)＝－tan_α公式三终边关于y 轴对称sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_α tan(π－α)＝－tan_α 公式四终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α tan(π＋α)＝tan_α上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[小试身手]1．已知cos(π＋θ)＝36，则cos θ＝________. ★答案★：－362．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________. ★答案★：－43．化简：cos (α－π)tan (α－2π)tan (2π－α)sin (π＋α)＝________.★答案★：－tan α4．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________.解析：因为sin(π＋α)＝35，所以sin α＝－35，又α是第四象限角，所以cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，所以cos(α－2π)＝cos α＝45.★答案★：45给角求值问题[典例] 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.给角求值问题的解题策略(1)利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解． (2)如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数． (3)准确记忆特殊角的三角函数值． [活学活用] 求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2) 3sin(－690°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝⎛⎭⎫－37π4. 解：(1)原式＝sin π4cos ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6tan ⎝⎛⎭⎫5π＋π4 ＝22cos 7π6tan π4 ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6 ＝22⎝⎛⎭⎫－cos π6＝－22×32＝－64. (2)原式＝3sin [30°＋(－2)×360°]tan ⎝⎛⎭⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝⎛⎭⎫－tan 37π4 ＝3sin 30°tan π6－cos 45°tan ⎝⎛⎭⎫9π＋π4 ＝3×12×33－22×1＝12－22＝1－22. 化简求值问题[典例] 化简下列各式：(1)cos (π＋α)·sin (α＋2π)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). [解] (1)原式＝(－cos α)·sin α－sin (α＋π)·cos (π＋α)＝(－cos α)·sin α(－cos α)·sin α＝1.(2)原式＝cos 190°·(－sin 210°)cos 350°·(－tan 585°)＝－cos (180°＋10°)·sin (180°＋30°)－cos (360°－10°)·tan (360°＋225°)＝cos 10°·sin 30°cos 10°·tan 225°＝sin 30°tan 45°＝12.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．化简下列各式：(1)cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)； (2)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z)．解：(1)原式＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝tan 2αtan α＝tan α.(2)当k ＝2n (n ∈Z)时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝(－sin α)·(－cos α)(－sin α)·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.给值(或式)求值问题[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值． [解] 由题意，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6的值； (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭332＝23.2．[变条件]若将本例中条件“cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33”改为“sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33，α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6”，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值．解：因为α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6，则α－π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－13＝63. 3．[变条件，变设问]若tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值．解：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．层级一学业水平达标1．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. ★答案★： 3 2．sin 600°＝________.解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. ★答案★：－323．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是________．解析：由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.★答案★：－124．化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·tan (π＋α)sin (π＋α)＝cos αtan α－sin α＝sin α－sin α＝－1.★答案★：－15．已知cos(π＋α)＝－12，3π2＜α＜2π，则sin(2π－α)＝________.解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，又3π2＜α＜2π，所以sin α＝－32，所以sin(2π－α)＝－sin α＝32. ★答案★：326．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z)，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________.解析：因为tan(5π＋α)＝m ，所以tan α＝m . 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.★答案★：m ＋1m －17．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．解析：原式＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. ★答案★：28．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.★答案★：12139．计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 10．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值．(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)； (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．解：由tan(π＋α)＝－12得tan α＝－12.(1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79. (2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋π＋α) ＝sin(α－π)·cos(π＋α) ＝－sin α·(－cos α) ＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25.层级二应试能力达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫7π6－θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫7π6－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－33. ★答案★：－332．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．解析：因为|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，所以|sin α|＝－sin α，所以sin α≤0，所以2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z. ★答案★：[2k π－π，2k π](k ∈Z) 3．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7＝_______.解析：因为sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7＝sin 2π7，所以sin 2π7＝m ，且2π7∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2π7＝1－m 2.★答案★：1－m 24．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)＝________.解析：∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.★答案★：－55．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝________. 解析：由题意，sin α－(－cos α)＝m ，即sin α＋cos α＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝(－sin α)·(－cos α)＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.★答案★：m 2－126．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6； ⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是________(填序号)．解析：①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. ★答案★：②③⑤7．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：因为cos(105°－α) ＝cos [180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin [180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)，因为α为第三象限角，cos(75°＋α)＝13>0，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223，所以cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13.8．若函数f (x )＝2cos 3x －sin 2(x ＋π)－2cos (－x －π)＋12＋2cos 2(x ＋7π)＋cos (－x )，(1)求证：y ＝f (x )是偶函数；(2)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值．解：(1)证明：∵f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x＝2cos 3x －(1－cos 2x )＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x＝2cos 3x ＋cos 2x ＋2cos x 2＋2cos 2x ＋cos x＝cos x (2cos 2x ＋cos x ＋2)2cos 2x ＋cos x ＋2＝cos x ，即f (x )＝cos x ，x ∈R.则f (－x )＝cos(－x )＝cos x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数． (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12.。

高中数学苏教版必修四练习：第1章 1.2.3 课时训练5 三角函数诱导公式(一至四)

1.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数诱导公式(一至四)课时训练5三角函数诱导公式(一至四)基础夯实1.已知sin(π+α)=且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值为()B.-C.D.-+α)=-sinα=,sinα=-,cos(α-2π)=cosα=.2.导学号51820090(2016·安徽滁州凤阳中学期中)若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是()A.-B.4D.±4tan600°=,又因为tan600°=tan(3×180°+60°)=tan60°=,所以,所以a=-4.3.已知cos,则cos=()B.-C.D.-θ=π,∴-θ=π-.∴cos=cos=-cos=-.4.tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°)=()式=tan10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin(-720°+114°)=tan10°-tan10°+sin66°-sin114°=sin66°-sin(180°-66°)=sin66°-sin66°=0.π-α)=log8 ,且α∈,则tan(2π-α)=.π-α)=sinα=log8=-,∴sinα=-.而α∈,∴cosα=.∴tanα==-.∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=.)=cos 17x,则f的值为.=cos=cos=cos=-cos=-.导学号51820091已知sin(3π+θ)=,求的值.sin(3π+θ)=,∴sinθ=-.∴=====32.能力提升f(x)=,且f(m)=2,试求f(-m)的值.f(x)=,又f(-x)=,所以f(x)=f(-x).从而f(-m)=f(m)=2.导学号51820092化简:sin+cos(k∈Z).=sin+cos.①当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),原式=sin+cos=sin+cos=sin+cos=sin-cos.因为+α与-α互余,所以原式=sin-sin=0.②当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),原式=sin+cos=-sin+cos=0.。

苏教数学必修四课时分层作业三角函数的诱导公式一～四含解析

课时分层作业(五) 三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．sin 600°＋tan 240°的值是( )A ．－12B .12C .12D .32D [sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.]2．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)＝( )A ．－34B .34C ．－43D .43A [因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－34.]3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(π－α)＝－34，则sin α＝( ) A .12 B .23 C .34 D .35D [由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧ sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35.]4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝( ) A .12 B ．－12 C .32D ．－32 C [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.] 5．tan 300°＋sin 450°＝( )A ．－1－ 3B ．1－ 3C ．－1＋ 3D ．1＋ 3B [tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－3.]二、填空题 6.1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝________.sin 2－cos 2 [1－2sin (π＋2)cos (π－2) ＝1－2sin 2cos 2＝|sin 2－cos 2|，又∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，∴原式＝sin 2－cos 2.]7．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z )．若f (2 009)＝5，则f (2 010)等于________．－5 [∵f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5， ∴a sin α＋b cos β＝－5.∴f (2 010)＝a sin α＋b cos β＝－5.]8．若cos 100°＝k ，则tan 80°的值为________．－1－k 2k [cos 80°＝－cos 100°＝－k ，且k ＜0.于是sin 80°＝1－cos 280°＝1－k2，从而tan 80°＝－1－k2 k.]三、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．[解]原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos2α＝－5 3，∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.10．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值．[解] 由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2＋22.[等级过关练]1．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为( )A .35B ．－35C .310 D ．－310C [∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.]2．已知f (x )＝⎩⎨⎧ sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为() A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3A [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2 ＝－12－2＝－52.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝－2.] 3．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________. sin 2α [原式＝(－sin α)·(－cos α)·tan α＝sin 2α.]4．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α＝________.－34[cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－15，① ∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425<0，又∵sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75，②由①②得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－34.]5．已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π＜α＜7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．[解] 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1，可得k 2＝163.因为3π＜α＜7π2，所以tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，又tan α＋1tan α＝－－3k3＝k，所以k＞0，故k＝433，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝34，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32.因为cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－3＋1 2，所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋1 2.。

高中数学苏教版必修四练习：第1章 1.2.3 课时训练6 三角函数诱导公式(五、六)

第2课时三角函数诱导公式(五、六)课时训练6三角函数诱导公式(五、六)基础夯实1.化简:sin(π+α)cos+sincos(π+α)=()A.0B.1C.-1D.★答案★C解析原式=sinαcos-cosαcosα=-sin2α-cos2α=-1.2.导学号51820093=()B.-2C.+2D.-2★答案★B解析原式====-2.3.若f(sin x)=3-cos,则f(cos x)=()A.3+cos xB.3+sin xD.3-sin x★答案★A解析f(sin x)=3-(-sin x)=3+sin x,从而f(cos x)=3+cos x.4.计算:sin 480°·cos(-390°)+sin 750°·cos 420°-tan(-675°)=()B.1C.-1D.2★答案★A解析原式=sin60°·cos30°+sin30°·cos60°-tan45°=0.导学号51820094若sin(5π+α)=lg,则tan=.★答案★±2解析由条件,得sinα=,从而cosα=±,∴tan=±2.+θ)=,且θ为第二象限角,则θ的值为.★答案★2kπ+,k∈Z解析由条件,得4sin2θ=1,∴sin2θ=.又θ为第二象限角,∴sinθ=,则θ=2kπ+,k∈Z.cos(75°+x)=,其中x为第三象限角,求cos(105°-x)-cos(x-15°)的值.解由条件,得cos(105°-x)=cos(180°-75°-x)=-cos(75°+x)=-,cos(x-15°)=cos(-90°+75°+x)=sin(75°+x).又x为第三象限角,cos(75°+x)>0,所以x+75°为第四象限角.所以sin(75°+x)=-.于是原式=-=1.能力提升:.解原式====-sinθ.9.导学号51820095若.(1)求tan(x+π)的值;.解(1)∵=,∴10(sin x-cos x)=3sin x+4cos x,即sin x=2cos x,∴tan x=2.∴tan(x+π)=tan x=2.(2)∵sin2x+cos2x=1,∴原式====-.。

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1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________，
tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝________.
(3)公式三：sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝________， tan(π－α)＝________.
(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______， tan(π＋α)＝________.
一、填空题
1．sin 585°的值为________．
2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π
6－θ)＝________.
3．若n 为整数，则代数式n π＋α
n π＋α的化简结果是________．
4．三角函数式
α＋
2α＋α＋
3
－α－
的化简结果是______.
5．若cos(π＋α)＝－12，3
2π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.
6．tan(5π＋α)＝2，则
α－＋－α
－α－
＋α
的值为________．
7．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝________.(用k 表示) 8．代数式
1＋2sin 290°cos 430°
sin 250°＋cos 790°
的化简结果是______．
9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝____.
10．若sin(π－α)＝log 8 1
4，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________．二、解答题
11．若cos(α－π)＝－2
3，求
α－＋－α－α－－α－
－π－α
α－
的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
能力提升
13．化简：k＋＋θk＋－θ]
kπ－θkπ＋θ
(其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
知识梳理
1．原点 x 轴 y 轴 2．(1)sin α cos α tan α (2)－sin α cos α －tan α (3)sin α －cos α －tan α (4)－sin α －cos α tan α 作业设计 1．－
22 2.－3
3
3.tan α 4．tan α
解析原式＝
－cos α·sin 2α
tan α·cos 3α＋＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α
＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin α
cos α＝tan α. 5．－
3
2
解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝1
2，
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α ＝－3
2
(α为第四象限角)． 6．3
解析原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋1
2－1＝3.
7．－1－k 2
k
解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2
.∴tan 80°＝1－k 2k
.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2
k .
8．－1 解析原式＝
1＋
＋
＋
＋
＋
＋
＝
1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°
cos 70°－sin 70°
＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 9．3
解析 f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，
f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3. 10．－
5
3
解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝23
2log 2
＝－23
，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α ＝－
1－49＝－53
. 11．解原式＝－
－α－＋α
－α－cos α－－cos α
α
＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α ＝
sin α－cos α
－cos α－cos α
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2
3
，
∴cos α＝2
3.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝2
3，
sin α＝1－cos 2α＝
53
， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－5
2.
当α为第四象限角时，cos α＝2
3，
sin α＝－1－cos 2α＝－
53
， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝5
2.
综上，原式＝±5
2
.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π
2 (k ∈Z )，
∴α＝2k π＋π
2
－β (k ∈Z )．
tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝
⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．
13．解当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝n ＋＋θn ＋－θ]
si
n π－θ
n π＋θ
＝
＋θ－θ
－sin θ·cos θ
＝－sin θ－cos θ
－sin θ·cos θ
＝－1.
当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝
n ＋
＋θn ＋－θ]
n ＋
－θ
n ＋
＋θ]
＝n ＋
＋θn ＋－θ]
－θ＋θ
＝
sin θ·cos θ
sin θ－cos θ
＝－1.
∴原式的值为－1.
14．解由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±2
2，
又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或3
4
π.
当A ＝34π时，cos B ＝－3
2<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。