高中数学必修4平面向量优质课件：向量数乘运算及其几何意义

＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
[类题通法] 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两 条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两 条直线重合．例如，若向量 AB ＝λ AC ，则 AB ， AC 共线， 又 AB 与 AC 有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明 三点共线的重要方法．
[对点训练] 如图所示，已知 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点，延 长 CD 到 M 使 DM＝CD，延长 BE 至 N 使 BE＝EN，求证： M，A，N 三点共线．
证明：∵D 为 MC 的中点，且 D 为 AB 的中点， ∴ AB ＝ AM ＋ AC ，∴ AM ＝ AB － AC ＝ CB . 同理可证明 AN ＝ AC － AB ＝ BC . ∴ AM ＝－ AN . ∴ AM ， AN 共线且有公共点 A，∴M，A，N 三点共线．
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－
1 2 2a；③中，a＝4e1－ e2＝4e1－10e2＝4b；④中，当 e1，e2 5
不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
4．已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma－3b 与 a＋ (2－m)b 共线，则实数 m 的值为________．
共线． (2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 OP ＝x OA ＋y OB ，求x＋y的值．
[解] (1)证明：∵ CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2， ∴ BD ＝ CD － CB ＝e1－4e2. 又 AB ＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴ AB ＝2 BD ，∴ AB ∥ BD .
1 1 1 － a－b＋ a＝ a－b. 4 2 4
[类题通法] 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求， 联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分 解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性 运算的反复应用．
[对点训练]
如图所示，四边形 OADB 是以向量 OA ＝ a， OB ＝b 为邻边的平行四边形．又 BM
【练习反馈】
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是 ( A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 )
C．a与λ2a的方向相同
D．|λa|＝λ|a| 解析：选 C 只有当λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的 方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相 同．
1 1 ＝ BC，CN＝ CD，试用 a，b 表示 OM ， 3 3 ON ， MN .
1 1 1 1 解： BM ＝ BC ＝ BA ＝ ( OA － OB )＝ (a－b)， 3 6 6 6
1 1 1 5 ∴ OM ＝ OB ＋ BM ＝b＋ a－ b＝ a＋ b. 6 6 6 6 1 1 ∵ CN ＝ CD ＝ OD ， 3 6 1 1 2 ∴ ON ＝ OC ＋ CN ＝ OD ＋ OD ＝ OD 2 6 3 2 2 ＝ ( OA ＋ OB )＝ (a＋b)． 3 3
[例1] 化简下列各式：
1 (1)3(6a＋b)－9a＋3b； 1 1 3 1 (2) 3a＋2b－a＋2b－22a＋8b； 2
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解]
(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
1 解：法一：设 BC ＝x，则 BK ＝ x， 2 1 1 1 AB ＝e1－2x， DL＝2e1－4x，又 AD ＝x，由 AD ＋ DL ＝ AL 得
1 1 4 2 x＋ e1－ x＝e2，解方程，得x＝ e2－ e1， 2 4 3 3
[例2]
如图所示，D，E分别是△ABC的边
AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点， 已知 BC ＝a， BD ＝b，试用a，b分别表示 DE ， CE ， MN .
[解]
1 1 由三角形中位线定理，知DE綊 BC，故 DE ＝ 2 2
1 BC ，即 DE ＝ a. 2 1 1 CE ＝ CB ＋ BD ＋ DE ＝－a＋b＋ a＝－ a＋b. 2 2 1 1 MN ＝ MD＋ DB ＋ BN ＝2 ED ＋ DB ＋2 BC ＝
2 1 5 1 1 MN ＝ ON － OM ＝3(a＋b)－6a－6b＝2a－6b.
[例3] (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若 AB ＝2e1 －8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2，求证：A，B，D三点
1 －y＋2x＝e1， x－1y＝e2. ② 2 ①
1 －2×②＋①得 x－2x＝e1－2e2，解得 2
2 2 4 2 x＝ (2e2－e1)，即 BC ＝ (2e2－e1)＝ e2－ e1， 3 3 3 3
2 4 2 同理得y＝ (－2e1＋e2)，即 CD ＝－ e1＋ e2. 3 3 3
4 2 BC 即 ＝ e2－ e1， 3 3 1 4 2 CD CD 由 ＝－ AB ， AB ＝e1－ x，得 ＝－ e1＋ e2. 2 3 3
1 1 法二：设 BC ＝x， CD ＝y，则 BK ＝ x， DL ＝－ y. 2 2 由 AB ＋ BK ＝ AK ， AD ＋ DL ＝ AL 得
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，则 (1)λ(μ a)＝ (2)(λ＋μ)a＝ (λμ)a ； λa＋μ a； .
(3)λ(a＋b)＝ λa＋λb
特别地，(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ， λ(a－b)＝ λa－λb .
解析：因为向量 ma－3b 与 a＋(2－m)b 共线且向量 a，b 是 －3 两个不共线的向量，所以 m＝ ，解得 m＝－1 或 m＝ 2－m 3.
答案：－1 或 3
5.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点
分别为K，L，且 AK ＝e1， AL ＝e2，试用
e1，e2表示 BC ， CD .
∵AB与BD有交点B， ∴A，B，D三点共线．
(2)由于A，B，P三点共线，所以向量 AB ， AP 在同一直
线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使 AP ＝λ AB ，
即 OP － OA ＝λ( OB － OA )，所以 OP ＝(1－λ) OA ＋λ OB ，故x
2 4 2 同理可得 CD ＝ (－2e1＋e2)＝－ e1＋ e2. 3 3 3
3 1 3 3 3 (2)原式＝ 2a＋2b －a－ b＝a＋ b－a－ b＝0. 2 4 4 4 (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
[类题通法] 向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可 以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类 项”“公因式”指的是向量．
3．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有 唯一一个 实数 λ， 使 b＝λ a. 4．向量的线性运算 向量的 加 、 减 、 数乘 运算统称为向量的线性运算． 对 于任意向量 a，b，以及任意实数 λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a± μ2b)
λμ2b . ＝ λμ1a±
【常考题型】
向量数乘运算及其几何意义
【知识梳理】
1．向量数乘运算 一般地，规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算 叫做向量的数乘，记作 λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ |λ||a| ；
当λ＞0时，与a方向 (2)λa(a≠0)的方向 当λ＜0时，与a方向
相同 ， 相反 .
[对点训练] 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； 1 . 2 2 a ＋ 8 b － 4 4 a － 2 b (2) 6
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b； 1 1 (2)原式＝ (4a＋16b－16a＋8b)＝ (－12a＋24b)＝－2a＋4b. 6 6
法三：如图所示，BC与AL的延长线相交于点E. 则△DLA≌△CLE，
3 从 ， 2
由 KE ＝ AE － AK ，
2 3 4 2 得 BC ＝2e2－e1，即 BC ＝ (2e2－e1)＝ e2－ e1. 2 3 3 3
11 2． 22a＋8b－4a－2b等于 3
(
)
A．2a－b C．b－a
解析：选 B
B．2b－a D．a－b
1 1 原式＝ (2a＋8b)－ (4a－2b) 6 3
1 4 4 2 ＝ a＋ b－ a＋ b＝－a＋2b＝2b－a. 3 3 3 3
3．下列向量中 a，b 共线的有________(填序号)． ①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； 2 1 ③a＝4e1－ e2，b＝e1－ e2； 5 10 ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.