数学每日一题 (1)

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼金榜题名定有我。

A 班级 ___________ 姓名___________
1. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足 (2)()f x f x +=-，求(6)f 的值
2. （1）已知{}
023|2=+-=x x x P ，{}02|=-=ax x Q ，P Q ⊆，求a 的值.
3、已知函数()42x x f x a b =-+，当1x =时，()f x 有最小值1-； （1）求,a b 的值； （2）求()f x 的最大值;
狠抓基础是成功的基础 持之以恒是胜利的保证
B 班级 ___________ 姓名___________ 1. 已知(31)4,1(),1
x
a x a x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，求a 的取值范围
2． 已知{}|211A x x =≤≤ ，{}521|+≤≤+=m x m x B ，A B ⊆,求m 的取值范围.
3． 已知112
2
3x x -+=, 求下列各式的值. （1）1x x -+; （2）
332
2
222
3
x x x x -
-++++
4.已知函数2
2
()321,()f x x x g x ax =-+=，对任意的正实数x ，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围
解：（1）由已知得{}2,1=P . ………1分 当0=a 时，此时φ=Q ，符合要求 ………3分 当0≠a 时，由
12=a 得2=a ；由22
=a
得1=a ，………6分 所以a 的取值分别为0、1、2 ………7分
（2）当521+>+m m 时φ=B ，符合要求，此时4-<m ………9分
当521+≤+m m 时由题意得12
2511m m +≥⎧⎨
+≤⎩
解得13m ≤≤，………13分
所以m 的取值范围是(,4)[1,3]-∞-⋃ ………14分
21．（本题满分14分）定义在R 上的函数y ＝f (x )，对任意的a ，b ∈R ，满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，当x
＞0时，有f (x )＞1，其中f (1)＝2.
（1） 求证：f (0)＝1；
（2） 求f (－1)的值并判断该函数的奇偶性； （3） 求不等式f (x ＋1)＜4的解集.
21．（本题满分14分）
（1）因为对任意的a ，b ∈R ，满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，
所以令b ＝0，则f (a )＝f (a )·f (0)， 当a ＞0时，有f (a )＞1，所以f (0)＝1. ………3分
（2）因为对任意的a ，b ∈R ，满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，
所以令a ＝1，b ＝－1，则f (0)＝f (1)·f (－1)， 因为f (0)＝1，f (1)＝2，解得f (－1)＝12
.
………6分
因为f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，
所以原函数既不是奇函数，也不是偶函数. ………8分
（3）设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1＜x 2. 对于f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 1＋x 2－x 1)＝f (x 1)－f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 1)[1－f (x 2－x 1)]因为x 1＜x 2， 所以x 2－x 1＞0，因为x ＞0时，都有f (x )＞1， 所以1－f (x 2－x 1)＜0，
当x 1＞0时，f (x 1)＞1＞0，当x 1≤0时，f (1)＝f (x 1)f (1－x 1)，f (1)＝2＞0， 又1－x 1＞0，所以f (1－x 1)＞0，
因此f (x 1)＞0.
综上所述，对任意的x 1∈R 时，都有f (x 1)＞0， 因此f (x 1)[1－f (x 2－x 1)]＜0，即f (x 1)＜f (x 2).
故原函数y ＝f (x )在R 上是单调递增函数. ………12分
因为对任意的a ，b ∈R ，满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， 令a ＝b ＝1，则f (2)＝f (1)·f (1)＝4，所以对于不等式f (x ＋1)＜4有f (x ＋1)＜f (2)，
因为函数y ＝f (x )在R 上是单调递增函数， 所以x ＋1＜2，
解得原不等式的解集为{x ｜x ＜1}，即(－∞，1). ………14分。