2008学年第一学期高二数学期中考试试卷及答案

上海市光明中学2008学年第一学期期中考试高二年级数学试卷考生注意：时间100分钟，总分120分，试卷共4页．一、填空题（每题4分，共48分）1．等差数列{}n a 中，25a =-，646a a =+，则1a = . 2．在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比是23，则项数为 . 3．数列{}n a 满足12323...(1)(2)n a a a na n n n ++++=++,则数列{}n a 的通项公式n a = .4.若{}n a 是公比为q 的等比数列, 前n 项和为n S ,若{}n S 是等差数列,则q = .5. 若点P 分有向线段AB 所成的比为27-，则点A 分有向线段BP 所成的比是 .6．在Rt ABC ∆中，若(2,3)AB =- ，(1,)AC k =，则实数k 的值为 .7．若(1,2)a = ，(1,1)b =，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为 .8．已知点(6,1)A ，(1,3)B ，(3,1)C ，则向量AB在向量BC 方向上的投影为 .9. 在数列{}n a 中, 121,2,a a ==()211()nn n a a n N *+-=+-∈, 则100S = .10．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = .11．若21lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是 .12．（理）若在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤， 且对任意的正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2008a = . （文）若在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤， 且对任意的正整数k ，该数列中恰有k 个k ，则2008a = .准考证号 班级 学号 姓名 装 订 线 内 请 勿 答 题二、选择题（每题4分，共16分）13．下列命题中正确命题的个数为（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３①若lim n n a A →∞=，则22lim ;n n a A →∞= ②若0,lim ,0;n n n a a A A →∞<=<则③若()lim lim lim 0,;n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞=-==,且则④若{}n n a b +极限不存在，则{}n a 、{}n b 极限不存在. 14．设111()1()2331f n n N n *=+++⋅⋅⋅+∈-,则(1)()f n f n +-= ( ) A.132n + B.11331n n ++ C.113132n n +++ D.11133132n n n ++++15．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q =/，且0(1,2,3,,)i b i n >=…， 若11a b =,1111a b =，则（ ）A ．66a b =B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <16．已知向量a e =/ ，||1e = ，满足：对任意t R ∈，恒有||||a t e a e -⋅≥- ，则（ ）A ．a e ⊥B ．()a a e ⊥-C ．()()a e a e +⊥-D ．()e a e ⊥-三、解答题（第17题12分，18题12分，19题12分，20题14分，21题16分） 17．<1>已知lim()1n n n a b →∞-=，lim(2)2n n n a b →∞+=,求lim(2)n n n a b →∞+.<2>.计算:2222464646()()...()575757lim 545454()()...()656565n n n n n →∞-+-++--+-++- .18. 设1e ，2e 是两个单位向量，若1e 与2e 的夹角为60︒，求向量122a e e =+ 与1232b e e =-+的夹角.19．已知数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -，…，1n n a a --，…是首项为1，公比为13的 等比数列．（1）求n a 的表达式．（2）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．某运动员因伤痛需要定时服用某种药片，医生规定每天上、下午8时各服一片，已知此药片每片的含药量为220毫克，该运动员的肾脏每12小时从体内滤出原药量的60%；此药在体内残留量低于130毫克时将失去药效，影响训练、比赛；此药在体内残留量超过386毫克时对人体有副作用.<1>设第1n +次服药前体内药物残留量为n a ，问：该运动员遵照医嘱于第一天上午8时开始服药，若第二天晚上8时要参加比赛，为不影响比赛，是否要在规定时间外再加服一次药？<2>若该运动员根据医生规定长期服用此药，问是否会有副作用？说明你的理由.21．由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，若对于任意*n N ∈，都有n n b a =，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“自反数列”.（1）若函数1()1px f x x +=+确定数列{}n a 的自反数列为{}n b ，求n a ; （2）（理）若正数数列{}n c 的前n 项之和12n n n nS c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求n S 表达式，并证明你的结论；（文）在（1）条件下，记12111nn x x x +++…为正数数列{}n x 的调和平均数，若211n n d a =-+，n S 为数列{}n d 的前n 项和，n H 为数列{}n S 的调和平均数，求limnn H n→∞；（3）（理）在（1）和（2）的条件下，12d =，当2n ≥时，设21n n nd a S -=，n D 是数列 {}n d 的前n 项之和，且()log 12n a D a >-恒成立，求a 的取值范围.（文）已知正数数列{}n c 的前n 项之和12n n n n T c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求n T 表达式.装 订 线 内 请 勿 答 题光明中学2008学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷答案考生注意：时间100分钟，总分120分，试卷共4页．1．等差数列{}n a 中，25a =-，646a a =+，则1a =8-2．在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比是23，则项数为4 3．数列{}n a 满足12323...(1)(2)n a a a na n n n ++++=++,则数列{}n a 的通项公式n a = 3(1)n +4.若{}n a 是公比为q 的等比数列, 前n 项和为n S ,若{}n S 是等差数列,则q = 15. 若点P 分有向线段AB 所成的比为27-，则点A 分有向线段BP 所成的比是 526．在Rt ABC ∆中，若(2,3)AB =- ，(1,)AC k = ，则实数k 的值为253 或7．若(1,2)a = ，(1,1)b =，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为503λλ>-=/ 且8．已知点(6,1)A ，(1,3)B ，(3,1)C ，则向量AB 在向量BC方向上的投影为2-9. 在数列{}n a 中, 121,2,a a ==()211()nn n a a n N *+-=+-∈,则100S = 260010．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m =111．若21lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是 113r r ≥-≤- 或 .12．（理）若在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤， 且对任意的正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2008a =45 （文）若在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤， 且对任意的正整数k ，该数列中恰有k 个k ，则2008a =63准考证号 班级 学号 姓名 装 订 线 内 请 勿 答 题二、选择题（每题4分，共16分）13.下列命题中正确命题的个数为（ B ）①若lim n n a A →∞=，则22lim ;n n a A →∞= ②若0,lim ,0;n n n a a A A →∞<=<则③若()lim lim lim 0,;n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞=-==,且则④若{}n n a b +极限不存在，则{}n a 、{}n b 极限不存在 Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３14.设111()1()2331f n n N n *=+++⋅⋅⋅+∈-,则(1)()f n f n +-=( D ) A.132n + B.11331n n ++ C.113132n n +++ D.11133132n n n ++++15．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q =/，且0(1,2,3,,)i b i n >=…， 若11a b =,1111a b =，则（ B ）A ．66a b =B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <16．已知向量a e =/ ，||1e = ，满足：对任意t R ∈，恒有||||a t e a e -⋅≥-，则（ D ） A ．a e ⊥ B ．()a a e ⊥- C ．()()a e a e +⊥- D ． ()e a e ⊥-三、解答题（第17题 12分，18题12 分，19题12 分，20题14 分，21题16 分） 17．<1>.已知lim()1n n n a b →∞-= ，lim(2)2n n n a b →∞+=,求lim(2)n n n a b →∞+.解：[]lim(2)lim ()(2)lim()lim(2)n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞+=-++=-++123=+=.<2>.计算: 2222464646()()...()575757lim 545454()()...()656565n n n n n →∞-+-++--+-++- 解:22222222464646444666()()...()(...)(...)575757555777lim 545454555444()()...()(...)(...)656565666555n n n n n n n n n →∞-+-++-+++-+++=-+-++-+++-+++4161[1()][1()]557711511()()1()57577lim lim lim 15141115[1()][1()]()()()166556561165n n n n nn n n n n n n n →∞→∞→∞-------====-------- 18．设1e ，2e 是两个单位向量，若1e 与2e 的夹角为60︒，求向量122a e e =+ 与1232b e e =-+的夹角.解：2222121122||(2)4454cos 607a e e e e e e =+=+⋅+=+︒=2222121212||(32)94129412cos 607b e e e e e e =-+=+-⋅=+-︒=又22121212127(2)(32)622a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=-++⋅=-71c o s ,2||||ab a b a b -<>===-⋅ ,120a b ∴<>=︒19．已知数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -，…，1n n a a --，…是首项为1，公比为13的等比数列．（1）求n a 的表达式．（2）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）11a =，当2n ≥时，1113n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭21121321111()()()1333n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……111331112313n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，.当1n =时，也适合31123n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭31123n n a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，*n N ∈（2）()()31321(21)211212323n n n n n b n a n n -⎛⎫⎡⎤=-⋅=--=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()12233135211352123333n n n n S b b b n ⎡-⎤⎛⎫=+++=++++--++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (2313521)3333n n n T -=++++… ①则 234111352321333333n nn n n T +--=+++++… ② ①-②得：23121111212333333n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ (12)111111331211112121133333313n n n n n n -+-+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭--⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⋅-=+-- ⎪⎝⎭-113n n n T +∴=-，又2135(21)n n ++++-=… 231123n n n S n +⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭20.某运动员因伤痛需要定时服用某种药片，医生规定每天上、下午8时各服一片，已知此药片每片的含药量为220毫克，该运动员的肾脏每12小时从体内滤出原药量的60%；此药在体内残留量低于130毫克时将失去药效，影响训练、比赛；此药在体内残留量超过386毫克时对人体有副作用.()1设第1n +次服药前体内药物的残留量为n a ，讨论以下问题：该运动员遵照医嘱于第一天上午8时开始服药，若第二天晚上8时要参加比赛，为不影响比赛，他是否要在规定时间外再加服一次药？()2若该运动员根据医生规定长期服用此药，问是否会产生副作用？说明你的理由.解：()1()()21222010.62200.4,2200.40.4a a =⨯-=⨯=⨯+，()2332200.40.40.4137.28130a =⨯++=>，故该运动员不必在规定时间外再加服一次药；()2设第n 次服药体内药物的残留量n b ，则()()2123220,22010.4,22010.40.4,b b b ==+=++ ，()()2122010.422010.40.40.410.4n n n b --=++++=-因为()110010.43863n n b =-<对任意*n N ∈成立， 所以该运动员根据规定长期服用此药不会产生副作用.21．由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，若对于任意*n N ∈，都有n n b a =，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“自反数列”.（1）若函数1()1px f x x +=+确定数列{}n a 的自反数列为{}n b ，求n a . （2）（理）已知正数数列{}n c 的前n 项之和12n n n nS c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，写出n S 表达式，并证明你的结论；（文）在（1）条件下，记12111nn x x x +++…为正数数列{}n x 的调和平均数，若211n n d a =-+，n S 为数列{}n d 的前n 项和，n H 为数列{}n S 的调和平均数，求limnn H n→∞；（3）（理）在（1）和（2）的条件下，12d =，当2n ≥时，设21n n nd a S -= ，n D 是数列{}n d 的前n 项之和，且()log 12n a D a >-恒成立，求a 的取值范围 （文）已知正数数列{}n c 的前n 项之和12n n n n T c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求n T 表达式 解：（理）（1）由题意得：111()()1x px fx f x x p x --+===-+，所以1p =- 所以11n n a n -+=+ （2）因为正数数列{}n c 的前n 项之和12n n nnS c c ⎛⎫=+⎪⎝⎭ 所以111112c c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 解之得：11c =，11S =当2n ≥时，1n n n c S S -=- 所以112n n n n n n S S S S S --=-+-, 11n n n n nS S S S --+=-，即221n n S S n --=所以，22121n n S S n ---=-，22232n n S S n ---=-，…，22212S S -= 累加得：221234n S S n -=++++ (2)(1)12342n n n S n +=+++++=…, n S =（3）在（1）和（2）的条件下，12d =， 当2n ≥时，设212112(1)1n n n d a S n n n n -⎛⎫===- ⎪--⎝⎭由n D 是{}n d 的前n 项之和，12n n D d d d =+++… 11111111211223341n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 122n ⎛⎫=-⎪⎝⎭因为log (12)n a D a >-恒成立，即log (12)a a -恒小于n D 的最小值， 显然n D 的最小值是在1n =时取得，即min ()2n D =，所以log (12)2a a -<，120a ->，所以0a <<. （文）（1）由题意得：111()()1x px fx f x x p x --+===-+，所以1p =- 所以11n n a n -+=+, （2）11n n a n -+=+，211n n d n a =-=+ n S 为数列{}n d 的前n 项和，(1)2n n n S +=又n H 为数列{}n S 的调和平均数 所以12111122221223(1)n nnnn H S S S n n +===++++++⨯⨯+…… 11limlim 22n n n H n n n →∞→∞+== .（3）因为正数数列{}n c 的前n 项之和12n n nn T c c ⎛⎫=+⎪⎝⎭所以111112c c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解之得：11c =，11T = 当2n ≥时，1n n n c T T -=- 所以112n n n n n n T T T T T --=-+-，11n n n n nT T T T --+=-，即221n n T T n --=所以，22121n n T T n ---=-，22232n n T T n ---=-，…，22212T T -= 累加得：221234n T T n -=++++…,2(1)12342n n n T n +=+++++=…所以n T =11 试卷共4页第页。