导数的定义及可导条件教案

导数一、导数的相关概念 1、导数的定义： xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000/例1、用导数的定义求下列函数的导数 （1）1)(=x f （2）x x f x2)(2+=2、单侧导数（左、右导数）： （1）、左导数：x x f x x f f x x ∆-∆+=-→∆-)()(0lim )(000/（2）、右导数：xx f x x f f x x ∆-∆+=+→∆+)()(0lim )(000/例2、求函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=)1(14)1(2)(2x x x x x f x 在点1=x 处的左导数和右导数。

3、函数)(x f y =在点xx 0=处可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即)()(0/0/x x f f +-=例3、已知函数x x f =)(，试判定)(x f 在0=x 是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。

4、导数的几何意义：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=- 例3、求函数1)(2+=xx f 在点3=x 处的切线方程。

注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值，它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值，通常记作x x ＇y=或)(0'x f 。

例5、求函数xx f 1)(=的导数及其在1=x 处的导数值。

5、可导与连续的关系如果函数)(x f y =在点x x 0=处可导，那么函数)(x f y =在点x处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。

例4、已知函数⎩⎨⎧-≥==)0(0(x ＜x x x x y ），试判断)(x f y =在0=x 处的连续性和可导性。

6、求函数)(x f y =导数的一般方法：（1）、求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆；（2）、求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； （3）、取极限，得导数/y ＝=)(x f ‘xy x ∆∆→∆0lim 。

例5、求xy 2=的导数及其在点1=x 处的导数值。

例6、 已知123+-=x x y ，求y ＇，2=x ＇y 。

二、几种常见函数的导数1、0'=C (C 为常数) 例如：求下列函数的导数：（1）0=y ；（2）)(R a a y ∈=2、1)'(-=n n nx x ()Q n ∈ 例如：求下列函数的导数：（1）xy 2=；（2）xy 3-=；（3）x y =3、x x cos )'(sin =4、x x sin )'(cos -=5、xx 1)'(ln =6、ax x a ln 1)'(log =例如：求下列函数的导数：（1）x y log 3=7、e exx =)('8、a x a ax ln )('=例如：求下列函数的导数：（1）3x y =；（2）)21(xy = 三、函数的和、差、积、商的导数1、法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即'')'(v u v u ±=±2、法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即'')'(uv v u uv +=3、法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭例7、求下列函数的导数 （1）x y x sin 3+= （2）324+--=x y x x（3）453223-+-=x y x x（4）)23)(32(2-+=x y x（5）x x y xcos 32+=（6）9cos 2sin 510--=x x x y x（7）xy xsin 2=（8）x xy cos 1∙=（9）x y cot = （10）=y xx-+31 （11）=y xx sin 12-四、复合函数的导数1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数。

由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量。

2、复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x )。

例8、试说明下列函数是怎样复合而成 ⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π；⑷)13sin(ln -=x y ．例9、写出由下列函数复合而成的函数⑴u y cos =，21x u +=；⑵u y ln =，x u ln =． 例10、求下列函数的导数（1）=y xx x cos 423-（2）)132ln(2++=x x y （3）21lg x y -=（4）⎪⎭⎫⎝⎛-+=x y x1ln 2（5）()[]x y ln ln ln = （6）x y ln = （7）x ay 21log+=（8）5)12(+=x y （9）xx f 2sin )(=（10）)32(sin2π+=x y（11）32c bx ax y ++= （12）y=51xx- （13）2sin 1=y x（14）x xy 221)32(+-=（15）()52215113-+=+x y xx（16）()xy x x 3sin 2232+-= （17）()x x y nln =（18）x y e x3cos 2=（19）axy 5=（20）e xy sin =；（21）()21ln x y +=（22）()e xy 22=；（23）1ln22+=e e xxy（24）10sin 2xy =；（25）3ln 2+=x e x y ．（26）exx y 3sin 2-=（27）xy ex3sin 2-=（28）x x y sin =（29）()x x y 2cos 1lg 32-= （30）xxy 2=（31）)100)(100()3)(2)(1(>----=x x x x x y（32）)4)(3(2)(1(++++=x x x x y例11、利用导数证明2132132-∙=++++n n n n n n n n C C C C ，其中Nn *∈．同步练习1、数()x f y =在x x 0=处可导是它在x x 0=处连续的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、在曲线122-=x y 的图象上取一点)1,1(及邻近一点()y x ∆+∆+1,1，则xy∆∆等于（ ） A.)(242x x ∆+∆ B.x ∆+24 C )(42x x ∆+∆ D.x ∆+43、已知命题:p 函数)(x f y =的导函数是常数函数；命题:q 函数)(x f y =是一次函数，则命题p 是命题q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4、设函数)(x f 在x 0处可导，则()hh x f h x x --+→∆000)(lim 等于（ ）A.)(0‘x fB.0C. )(20‘x f D. )(20‘x f -5、设()()x x x f +=1，则)0(‘f 等于（ ）A.0B.1C.1-D.不存在6、若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___。

7、曲线x y 3=在点)8,2(P 处的切线方程是___________。

8、曲线x x x f 3)(2+=在点)10,2(A 处的切线斜率=k __________。

9、两曲线12+=x y 与x y 23-=在交点处的两切线的夹角为___________。

10、设)(x f 在点x 处可导，b a ,为常数，则=∆∆--∆+→∆xx b x f x a x f x )()(lim____。

11、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+≤++=)0()0(1)(2x ＞b ax x x x f x，试确定b a ,的值，使)(x f 在0=x 处可导。

12、设)()2)(1()()2)(1()(n x x x n x x x x f +⋯++-⋯--=，求)1(f ＇。

13、利用导数的定义求函数)0(≠=x x y 的导数。