安徽省“皖南八校”2022届高三第二次联考(12月)文科数学试题 扫描版含答案
安徽省皖南八校2024届高三数学上学期第二次大联考试题含解析
考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值 极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。
安徽省江淮名校高三第二次联考数学(文)试题(扫描版,含
文科数学参考答案二、填空题(每题5分，共25分）11. 21,20140x x x ∀>-+-≤ 12. 13. 14. 15. ①⑤16.解：（1）由及，有 ……………………1分 有 解得 ………………………4分7(1)(3)310n a n n =+--=-+27(310)317222n n S n n n +-+==-+ …………………………6分（2）由题意有，又由（1）有 ………8分112(12)(32)(32)n n a a a -=++++++1121332()n n a a a -=+++++++ …12分17.(1)()2cos (sin cos cos sin )sin f x x x A x A A =-+ ……………………1分sin 2cos cos 2sin x A x A =- 在处取得最大值。
522,12A k k Z ππ∴⨯-=∈,即 , …………………………4分sin(2)12x A ∴-<-≤,即的值域为⎛⎤ ⎥ ⎝⎦。
…………………………6分 （2）由正弦定理得sin sin sin b cB C A a++=…………………………9分2222cos a b c bc A =+-得 …………………………11分1sin 2ABC S bc A ∆== …………………………12分 18.（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为，所以在区间上是增函数， 故，解得． …………………………4分 （2）由已知可得，所以可化为，化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+2122112，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是 …………………………12分19.解:⑴在Rt△BOE中, ,在Rt△AOF中,在Rt△OEF 中, ,当点F 在点D 时,角最小, ……2分 当点E 在点C 时,角最大, ,所以50(sin cos 1),sin cos l αααα++=………4分定义域为 ……………………………6分⑵设]3,6[,cos sin ππααα∈+=t ,所以 ……………………8分250(1)1001)]112t l t t +==∈-- ……………………………10分所以当时, ,总费用最低为元 ……12分20.解:(1)由题意0,()xa f x e a '>=-, ……………………………1分 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>.∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增 …………………………4分 即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值,其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- ……………………………6分 (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n ()0f x ≥. 由(1),设()l n 1.g a a aa =--,所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. ……………………………9分 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减, ∴ ()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a = ……………………………13分 21.(Ⅰ) 当时,；当时, , ,相减得……………………………2分又, 所以是首项为,公比为的等比数列,所以 ……………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b所以23411232222n n n T +=++++ 34121212222n n n n ++-++++两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以 (或写成,均可给至8分) ………8分 （Ⅲ）=()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭…………11分 所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数恒成立,则， 所以存在最小正整数,使不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数恒成立 ……14分。
安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题含解析
2023届“皖南八校”高三第二次大联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黒水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,0,1,2,3,(2)1,A B xx x =-=-∈R ∣，则A B ⋂=（ ）A.{}1,2B.{}0,1,2,3C.{}1,2,3D.{}2 若复数z 满足i i z z -=（i 为虚数单位），则z =（ ） A.12-B.12C.1i 2- D.1i 2 3.已知单位向量,a b 满足3a b +=，则a 在b 上的投影向量为（ ） A.a B.12a C.12b D.b 4.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>以正方形ABCD 的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，则双曲线E 的离心率为（ ）1 1- C.2 D.25.在三棱锥P ABC -中，,12,16,45PA AB PA AB PC PBC ∠⊥====，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） A.40003π B.400π C.169π D.1693π 6.已知圆C 的方程为22680x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是（ ） A.35-B.45-C.65-D.125- 7.为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二､周五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立､随机的从中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有ξ名不同的工人被抽中，下列结论不正确的是（ ）A.该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为14B.()()36P P ξξ=<=C.该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为34D.()()45P P ξξ===8.已知()2cos f x x x =--，若7881e ,ln ,98a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（ ）A.c b a <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于直线2x π=对称B.函数()f x 的图象关于点()0,0对称C.函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πD.函数()f x 的导函数()f x '的最大值为410.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线的距离为4，过F 的直线与抛物线交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ） A.抛物线C 的准线方程为2y =-B.当3AF FB =，则直线AB 的倾斜角为30C.若16AB =，则点M 到x 轴的距离为8D.418AF BF+11.在底面边长为2､高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 为棱1A A 上一点，且111,4AO A A P Q =､分别为线段1111B D A D ､上的动点，M 为底面ABCD 的中心，N 为线段AQ 的中点，则下列命题正确的是（ ） 与QM 共面B.三棱锥A DMN -的体积为43C.PQ QO +的最小值为2D.当11113D Q D A =时，过,,A Q M三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为8312.已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，对任意,x y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的有（ ）A.()01g =B.函数()21f x -的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.()()111g g +-=D.若()1f =，则20231()n f n ==∑ 三､填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.13.国庆节前夕，某市举办以“红心颂党恩､喜迎二十大”为主题的青少年学生演讲比赛，其中10人比赛的成绩从低到高依次为：85,86,88,88,89,90,92,93,94,98（单位：分），则这10人成绩的第75百分位数是__________.14.在111x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，8xy 的系数为__________.15.已知(),0,,tan ,cos 326ππαβπαβ⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 2αβ-=__________. 16.已知0a <，不等式1e ln 0a x x a x +⋅+对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步棷.17.（10分）已知数列{}n a 的首项112a =，且满足()*123n n n a a n a +=∈+N . （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）若1231111121na a a a ++++<，求满足条件的最大整数n . 18.（12分）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：（1）已知y 与x 具有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆya bx =+； （2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.（i ）若该市E 大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（ii ）若A 大学的毕业生中小明､小红选择自主创业的概率分别为1,2112p p p ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，该市政府对小明､小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p 的取值范围.参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑. 19.（12分）如图，将长方形11OAA O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.（1）在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAA O 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值. 20.（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，2,AB BC CD AD ====.（1）若DB 平分ADC ∠，证明：A C π+=；（2）记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值. 21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ 面积的最大值. 22.（12分）已知函数()3e 1xf x x =-+，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（1）设曲线()y f x =与x 轴正半轴相交于点()0,0P x ，曲线在点P 处的切线为l ，求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；（2）若关于x 的方程()f x m =（m 为正实数）有两个不等实根()1212,x x x x <，求证：21324x x m -<-. 2023届“皖南八校”高三第二次大联考･数学参考答案､解析及评分细则1.C 因为{}{}1,0,1,2,3,13,A B xx x =-=∈R ∣，则{}1,2,3A B ⋂=.故选C. 2.D 设i z a b =+，则()()i 1i i i i i.i i z a bz a b b a z z -=+-=⋅=-=+-=⋅，i b a =+，解得0,1,2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩即1i 2z =.故选D.3.C 因为,a b 是单位向量，所以1,1a b ==，故2222||1,||1a a b b ====，由3a b +=得，2||3a b +=，即2()3a b +=，解得12a b ⋅=.设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影向量为1cos 2b a b b a b b b b θ⋅=⋅=.故选C. 4.A 如图，正方形的顶点,A B 为双曲线的焦点，顶点,C D 在双曲线上，则(),0A c -，(),0B c ，故2,b C c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由正方形ABCD 得AB BC =，所以22b c a =，则2222ac b c a ==-即2220c ac a --=，两边同除2a 得2210e e --=，解得1e =或1e =（舍）.故选A.5.A 因为,12,16PA AB PA AB ⊥==，所以20PB =，在PBC 中，由正弦定理得sin sin PC PBPBC PCB∠∠=20sin PCB ∠=，所以sin 1PCB ∠=，取PB 的中点O ，可知O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，外接球的半径1102R PB ==，所以三棱锥P ABC -外接球的体积为34400033V R ππ==，故选A. 6.D圆C 的方程为22680x y x +-+=，整理得：22(3)1,x y -+=∴圆心为()3,0C ，半径1r =，又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴点C 到直线2y kx =+的距离小于或等于22,2,5120k k +，化简得，解得120,5k k -∴的最小值是125-.故选D. 7.B 依题意每次抽取工人甲被抽到的概率2536C 1C 2P ==，所以工人甲一周内被选中两次的概率为21124⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；依题意ξ的可能取值为3456､､､，则()()33366333336666C C C 1113,6C C 20C C 20P P ξξ==⋅===⋅=，所以()()36P P ξξ===，故B 错误；对于C ，工人甲一周内至少被选中一次的概率为2131124⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故C 正确；()()32131263363333336666C C C C C C 994,5C C 20C C 20P P ξξ==⋅===⋅=，所以()()45P P ξξ===，故D 正确.故选B.8.B 因为()()()()222cos ,,()cos cos f x x x x f x x x x x f x =--∈-=----=--=R ，所以()f x 为R 上的偶函数.当0x 时，()()2sin ,2cos 0f x x x f x x ''=-+'=-+<，所以()f x '在[)0,∞+上单调递减，所以()()00f x f ''=，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，又因为()f x 为R 上的偶函数.所以()f x 在(),0∞-上单调递增.因为788911e ,ln ln ,9888a f b f f c f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由e 1x x +，得7871e188->-+=，所以781e 8f f -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ln 1x x -，得991ln 1888<-=，所以91ln 88f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有a c b <<.故选B. 9.ABD 函数41sin[(21)]sin 3sin 5sin 7()sin 21357i i x x x xf x x i =-==+++-∑，对于A ，可以验证()()f x f x π+=-，故A 正确；对于B ，同样可以验证()()f x f x =--，故B 正确；对于C ，由诱导公式易知()()()f x f x f x π+=-≠，故C 错误；对于D ，易知()cos cos3cos5cos74f x x x x x =+++'，故D 正确.故选ABD .10.AD 对于A ，易知4p =，从而准线方程为2y =-，故A 正确；对于B ，如图分别过,A B 两点作准线2y =-的垂线，垂足分别为11,A B ，过A 点作1BB 的垂线，垂足为点H . 由于3AF FB =，不妨设AF t =，则3BF t =，由抛物线的定义易知：1AA t =，13,2BB t BH t ==，在直角ABH 中，30BAH ∠=，此时AB 的倾斜角为30，根据抛物线的对称性可知，AB 的倾斜角为30或150，所以B 错误；对于C ， 点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线的定义知，122216AF BF y y +=+++=，有1212y y +=， 所以M 到x 轴距离1262y y +=，C 错误；对于D ，由抛物线定义知11212AF BF p +==，所以()4114242518BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4BF AF AF BF =，即2BF AF =时取得等号，所以D 正确.故选AD.11.ACD 对于A ，如图1，在ACQ 中，因为,M N 为,AC AQ 的中点，所以MN CQ ∥，所以CN 与QM 共面，所以A 正确；对于B ，由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值2，且ADM 的面积为1，所以三棱锥A DMN -的体积为23，所以B 错误；对于C ，如图2，展开平面11A ADD ，使点11A ADD 共面，过O 作11OP B D ⊥，交11B D 与 点P ，交11A D 与点Q ，则此时PQ QO +最小，易求PQ QO +的最小值为2，则C 正确；对于D ，如图3，取11113D H D C =，连接HC ，则11HQ A C ∥，又11AC A C ∥所以HQ AC ∥，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正四棱柱的截面为ACHQ，由3AQ CH ===，则ACHQ是等腰梯形，且1113QH A C ==，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为83，所以D 正确.故选AC D.12.ABD 对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，再令0y =，x =1，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()()100,01g g -==，故A 正确；对于B ，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()()00,01f g ==代入上式，得()(),f y f y -=-∴函数()f x 为奇函数，∴函数()21f x -关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确.对于C ，再令1,1x y ==-代入已知等式，得()()()()()()()()()()()2111111,2111f f g g f f f f f g g ⎡⎤=----=-∴=-+⎣⎦，又()()()()()()()221,1111f f f f f g g ⎡⎤=--=-∴-=-+⎣⎦，即()()()()()()11110,10,1110f g g f g g ⎡⎤-++=≠∴-++=⎣⎦得()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，再分别令1y =-和1y =代入已知等式，得以下两个等式()()()()()()()()()()111,111f x f x g g x f f x f x g g x f +=----=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，从而有()()()12,f x f x f x -=+∴为周期函数，且周期为()()()()()202313,122300,()n f f f f f f n ==∴-==∴==∴=∑.故D 正确.故选AB D. 13.93 1075%7.5⨯=，所以从小到大选取第8个数作为第75百分位数，即93. 14.495-由二项式展开式的定义易知8xy 的系数为()81113C C 495-=-. 因为()cos 2cos 2sin 236236πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 2cos cos2sin 3636ππππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222sin cos 2tan 333sin 22sin cos 3333sin cos tan 1333πππαααπππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22222222cos sin 1tan 1333cos 2cos sin ;3333cos sin tan 1333πππαααπππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=+-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()cos 0,6πββπ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，所以0,62ππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 6πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1cos 233αβ-=-= 16.e - 由题意得1e ln 0a x x a x +⋅+化简得1ln 111e ln e ln a a x x a a a a a x x x x x x -==易知函数e x y x =是单调递增的函数，所以1ln a x x 对1x >恒成立，此时maxln x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令()ln x f x x =-，则()21ln (ln )x f x x -='，当()0,e x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，当()e,x ∞∈+时，()()0,f x f x '<单调递减，当e x =时，()max ()e e f x f ==-，即a 的最小值为e -.17.（1）证明：由123n n n a a a +=+，可得123132n n n na a a a ++==+， 11311331n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又11130a +=≠， 故数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知111333n n n a -+=⨯=，故131n na =-. ()123123313111133313131311322n n n n n n a a a a +-++++=-+-+-++-=-=---. 令()()1*33,22n f n n n +=--∈N ()()()2113333113102222n n n f n f n n n +++⎛⎫+-=--+---=-> ⎪⎝⎭易知()f n 随n 的增大而增大. (4)116121,(5)358121f f =<=>，故满足()121f n <的最大整数n 为4.18.解：（1）由题意得34560.10.20.40.54.5,0.344x y ++++++====.444214221114 6.14 4.50.3ˆ6.1,86,0.1486814i i i i i ii i i i x y xy x y x b xx ====--⨯⨯=====--∑∑∑∑. 所以ˆˆ0.30.14 4.50.33ay bx =-=-⨯=-故得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.140.33yx =-. （2）（i ）将7x =代入ˆ0.140.33yx =-，得ˆ0.1470.330.65y =⨯-=， 所以估计该市政府需要给E 大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为0.6510001650(⨯⨯=万元）. （ii ）设小明､小红两人中选择自主创业的人数为X ，则X 的所有可能值为0,1,2.()()()20122242P X p p p p ==--=-+，()()()()2112122451P X p p p p p p ==--+-=-+-，()()22212P X p p p p ==-=-.()()()()222024245112231E X p p p p p p p ∴=⨯-++-+-⨯+-⨯=-. 114311.4,1,225p p p -<<∴<，故p 的取值范围为14,25⎛⎤ ⎥⎝⎦. 19.解：（1）存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线，1BC AB ⊥.连接1,,BC AC B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥.因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥.11,,BC AC B C BC AC B C C ⊥⊥⋂=，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥.（2）以O 为原点，1,OA OO 分别为,y z 轴，垂直于,y z 轴直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示. ()()()110,1,2,0,0,2,0,1,0A O B -，因为11A B 的长为6π，所以()111111,2,0,1,262AO B B O B π∠⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，111,22O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11O B B 的法向量(),,m x y z =，20,10,22y z x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩令3x =-，解得y z ==，所以m ⎛=- ⎝⎭. 因为x 轴垂直平面11A O B ，所以设平面11A O B 的法向量()1,0,0n =.所以cos ,m n ==.所以平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值为17. 20.（1）证明：DB 平分,ADC ADB CDB ∠∠∠∴=，则cos cos ADB CDB ∠∠=，由余弦定理得22222222AD BD AB CD BD BC AD BD CD BD+-+-=⋅⋅， 22444BD BD +-=， 解得)241BD =；22212441cos 2AD AB BD A AD AB +-+-===⋅， )2224441cos 28CD BC BD C CD BC +-+-===⋅， cos cos A C ∴=-，又()()0,,0,,A C A C πππ∈∈∴+=.（2）解：2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅222cos BC CD BC CD C =+-⋅，1688cos A C ∴-=-，整理可得cos 1C A =-；222222221211sin sin 12sin 4sin 1212cos 44cos 1622S S AD AB A BC CD C A C A C ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212cos 1)24cos 1224cos 14A A A A A ⎛--=-++=--+ ⎝⎭， ()0,,A π∈∴当cos A =时，2212S S +取得最大值，最大值为14. 21.解：（1）依题可得22222311,4,c ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设()()1122:,,,,PQ y kx m P x y Q x y =+， 由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()222148440k x mkx m +++-=， 所以()222121222844,,Δ164101414mk m x x x x k m k k --+===+->++，即2241k m +>， 而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ⋅=--， 化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++ 化简得2260k mk m +-=，所以2m k =-或3m k =，所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-.所以直线PQ 的方程为()3y k x =+，易知0k ≠，设定点()1212153,0,22APQ ABP ABQ B SS S AB y y k x x -=-=-=-52=52k= == 因为Δ0>，且3m k =， 所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以4593APQ S ==， 当且仅当97t =，即2114k =时取等号，即APQ 面积的最大值为53. 22.证明：（1）由题意可得：00003e 10,e 31x x x x -+==+，()()00003e ,3e 33123x x f x f x x x =-=-=--=-''，可得曲线在点P 处的切线为()()00:23l y x x x =--.令()()()()()000233e 1,0x g x x x x x g x =----+=， ()()00000233e 13e ,3e 10x x x g x x x g x x =--+=--+=-+-'='，可得函数()g x 在()0,x ∞-上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()()00,g x g x ∴=∴曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方.（2）由（1）可得()3e 0xf x =-='， 解得()ln3,ln33ln3313ln32,03ln32x f m ==-+=-∴<<-，曲线在点P 处的切线为()()00:23l y x x x =--，00e 31x x =+，由零点的存在性定理知()01,2x ∈，同理可得曲线()y f x =在点()0,0处的切线为2y x =，y m =与()()002,23y x y x x x ==--的交点的横坐标分别为34,x x 则3400,223m m x x x x ==+-， 214300232m m x x x x x x ∴-<-=+--. 下面证明：00322324m m m x x +-<--. ()()()()00000000321238222423423432x x m m m x x m x x x x -+----=--⋅=-⋅---， ()0001,2,20,321x x x ∈∴->->，且01283430x m m -+>+>，0020423m m x x ∴--->- 0210332,223244m m m x x x m x ∴+-<-∴-<--.。
安徽省皖南八校2021届高三第二次(12月)联考数学(文科)试题
本题主要考查了几何概型，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质，估算三个数的大致范围，即可比较大小.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的增减性，属于中档题.
5．C
【分析】
由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c.
【详解】
A． B． C． D．
9．已知曲线 ，则过点 ，且与曲线 相切的直线方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
10．已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则
A． B． C． D．
11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为 ，且长为 的棱与长为 的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）
（Ⅰ）在侧棱 上找一点 ，使 平面 ，并证明你的结论；
（Ⅱ）若 ， ，求四棱锥 的体积.
19．如图，已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，过原点 的直线与椭圆 相交于 、 两点，且 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ， ，过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 、 两点，证明： .
20．已知函数 .
（Ⅱ）若函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值.
参考答案
1．B
【分析】
化简集合A,根据交集求解.
【详解】
因为 ,
所以 .
故选B.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集，属于中档题.
2．C
【解析】
【分析】
计算 ，根据实部，虚部确定复数 对应的点所在的象限.
【详解】
2020年12月安徽省皖南八校联盟2021届高三上学期第二次联考数学(文)试题及答案解析
绝密★启用前安徽省皖南八校联盟2021届高三毕业班上学期第二次联考质量检测数学(文)试题2020年12月考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．． 3．做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选題目的题号涂黑．一、选择题：本题共12小题；每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合21|4A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,集合{|B y y ==,则A B ⋃=（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．若复数z 满足(13)z i i =+,则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．2C ．iD ．2i3．已知132312,log ,log 23a b c ===,则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a c b >>4．若等差数列{}n a 各项都是正数,12321a a a ++=,且34545a a a ++=,则1a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．25．执行如下图所示的程序框图,若输出的120S =,则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k >6．如图所示,在边长为2的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为45,则阴影区域的面积为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．57．《海岛算经》第3题：今有南望方邑,不知大小．立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之．令东表与邑东南隅及东北隅参相直．当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半．又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相参合．问邑方及邑去表各几何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步．译文如下：现在要测量南边的一个长方形城市ABCD ,不知道大小．在东西两个方向上树立两个标杆E 和F ,EF 相距6丈,标杆和人眼一样高,用绳索连接．令东边的标杆E 和城市的东南角C 和东北角B 平齐．面向标杆E 退5步到达G 处,从G 处向城市西北角A 看,视线交绳索EF 于距离东端的标杆E 2丈2尺6.5寸的H 处．从G 处再退到距离标杆E 13步2尺的I 处,再向城市西北角A 望。
2022届高三下学期第二次联考文科数学试题含答案
10.已知双曲线 的右焦点为F，以F为圆心，过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，则 （）
A.2B.3C. D.
11.如图，在长方体 中， ，M、N分别是 、 的中点.则直线 与 是（）
A.相互垂直的相交直线
B.相互垂直的异面直线
C.相互不垂直 异面直线
D.夹角为60° 异面直线
所以 区间 内有唯一零点.
【小问2】
函数 的定义域是R，依题意， ， 成立，
当 时， 成立， ，
当 时， ，令 ， ， ，即函数 在 上单调递增，
又当 时， 恒成立，于是得 ，
当 时， ，令 ， ， ，当 时， ，当 时， ，
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， ，于是得 ，
综上得： ，
（一）必考题：共60分
17.已知数列 的前n项积 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前n项为 ，求 的最小值.
18.在如图所示的圆锥中， 、 是该圆锥的两条不同母线，M、N分别它们的中点，圆锥的高为h，底面半径为r， ，且圆锥的体积为 .
（1）求证：直线 平行于圆锥的底面；
（2）求圆锥的表面积.
12.已知 ， ， 则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）
13.从编号为01到40的40个个体中，应用系统抽样的方法抽取5个个体，抽到的编号之和为100，则抽到的最小编号为__________________.
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
2022合肥二模数学--文科(答案)
合肥市2022年高三第二次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1-15.1478 16.2三、解答题：17.(本小题满分12分) (1)由题意得，()()10160.10.9988160.3iitty y r --=≈≈∑. 相关系数0.9988r ≈，说明y 与t 的线性相关性很高，所以，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. ………………………5分 (2)由 5.5t =，()1021=82.5i i t t =-∑，160.1ˆ 1.9482.5b=≈得，ˆˆ15.5 1.94 5.5 4.83ay b t =-⋅=-⨯=， 所以 1.94 4.83y t =+. 当12t =时， 1.9412 4.8328.11y =⨯+=.据此可以预测，2022年我国私人汽车拥有量将达到28.11千万辆. ………………………12分18.(本小题满分12分) 解：(1)若选①：∵sin 6a C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是b c ，2的等差中项，∴2sin 26a C b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即cos sin 20a C C b c+--=.由正弦定理得sin cos sin sin 2sin 0A C A C BC --=， 即()sin cos sin sin 2sin A C A C A CC -+-sin cos sin sin cos cos sin 2sin 0A C A C A C A C C =---=，sin cos sin 2sin 0A C A C C --=，注意到sin 0C ≠cos 20A A --=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∵()0A π∈，，∴5666A πππ-<-<，∴62A ππ-=，即23A π=.………………………5分若选②：由题设及正弦定理得sin cossin sin 2B CB A B +=. ∵0A π<<，sin 0B ≠，∴cos sin 2B CA +=①. ∵ABC π++=，∴cos sin 22B C A+=，∴①可化为sin 2sin cos 222A A A =.∵022A π<<，sin 02A≠，∴1cos 22A =，23A π=，∴23A π=.…………………………5分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B C C ADCDCB(2)∵AE 是ABC ∆的角平分线，∴3BAE CAE π∠=∠=.∵ABC BAE CAE S S S ∆∆∆=+，即111sin sin sin 222bc BAC c AE BAE b AE CAE ∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即1211sinsin sin 232323bc c AE b AE πππ=⋅⋅+⋅⋅，∴326c c =+，6c =，∴121sin3623222ABC S bc π∆==⨯⨯⨯=. ……………………………………12分 19.(本小题满分12分) (1)证明:∵3PMB π∠=，PM BM =，∴PMB ∆为等边三角形，∴PB PM PC BM BC =====2CM =. 取CM 的中点O ，连结BO PO ，PO CM ⊥.又∵2CBM CPM π∠=∠=，∴112BO PO CM ===，∴222BO PO PB +=，∴PO BO ⊥.∵CM BO ⊂，平面AMCD ，CM BO O = ，∴PO ⊥平面AMCD .又∵PO ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面AMCD .………………………5分 (2)由(1)知，PO ⊥平面AMCD ，且1PO =. 连结DO DM ，，则DM CM ⊥，且2DM =，∴DO ==，PD ==.∵12PM AB =，∴2BPA π∠=.∵PA ==，∴12PAD S ∆==. 设点M 到平面PAD 的距离为d ，则P MAD M PAD V V --=，即11113232d ⋅=⋅⋅，解得d =，∴点M 到平面PAD . ………………………12分 20.(本小题满分12分)解：(1)()2cos f x x a x '=-.设()2cos g x a x x =-，则()2sin g x a x '=+.∵函数()g x 是区间0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的增函数， ∴()s 02in x a x g '=+≥在区间0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立. 若0x =，则()20g x '=≥恒成立，此时a R ∈；若0,2x π⎛∈⎤⎥⎝⎦，此时0sin 1x <≤，∴()s 02in x a x g '=+≥恒成立，即2sin a x ≥-恒成立.∴2a ≥-. 综合上述得，a 的取值范围是[)2-+∞，. …………………………5分 (2)当2a =时，()()22sin 10f x x x x π=--∈，，，则()22cos f x x x '=-.∴()f x '在区间()0 π，上单调递增.∵06622f ππ⎛⎛⎫-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭'=，20022f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=， ∴存在0 62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()00f x '=. 当()00x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0x x π∈，时，()0f x '>，()f x 单调递增.注意到()001f =-<，()201f ππ=->， ∴函数()f x 在区间()0 π，上有且仅有一个零点. …………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .由椭圆的几何性质可知，当点M 位于椭圆短轴端点时，FAM ∆的面积取得最大值，此时()12FAM S a c b ∆=+，即()1=2a c b+，∴()a c b +=由离心率12c a =得2a c =.∴b =，解得12c a b ===，，，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………………5分(2)设()11M x y ，，()22N x y ，.由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880.k x kx ++-=∵点(0，1)在此椭圆C 的内部，∴0∆>，121222884343k x x x x k k +=-=-++，， ∴()212122286224343k y y k x x k k +=++=-+=++， ∴点P 的坐标为2243 4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-.将直线OP 的方程代入椭圆C 的方程得，22943D y k =+，2221643D k x k =+. 设点Q 43k y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由2OP OQ OD ⋅= 得22222443169343434343k kk y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭.化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，即3y =，∴点Q 在直线3y =上. 当直线l 的斜率0k =时，此时()01P ，，(0D . 由2OP OQ OD ⋅= 得()03Q ，，也满足条件. 综上所述，点Q 在直线3y =上. ………………………12分22.(本小题满分10分)解：(1)由11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)得2x y +=，∴直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=. 由2cos 2a ρθ=得2cos 2a ρθ=，∴()2222222cos sin cos sin a a ρθθρθρθ-=-=，， ∴22x y a -=，∴曲线C 的直角坐标方程为22x y a -=.……………………………5分(2)直线l 的极坐标方程为cos +sin 2ρθρθ=，将=4πθ代入直线l的极坐标方程得ρ=，∴点M 的极坐标为4π⎫⎪⎭，. 将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程2cos 2aρθ=得12ρρ==∴12AB ρρ=-=.∵AM BM ⊥，且O 为线段AB 的中点，∴12OM AB ===，∴1a =.………………………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)依题意得，()34 221221341.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=--<<-⎨⎪+≥-⎩，，，，， 当且仅当1x =-时，()f x 取得最小值1，即()f x 的最小值1m =.………………………5分(2)由(1)知，abc ==，∴()2224a b c ab c ≥+++(当且仅当a b =时等号成立).∴22422ab c ab ab c +=++6≥===， 当且仅当22ab c =，即1a b c ===，时等号成立，∴()22a b c ++的最小值为6. …………………………10分。
安徽省皖江名校联盟2022届高三上学期12月联考文科数学试题 Word版含解析
10.【答案】C【解析】∵ ，∵ ，∴ ，∵ ， ， ，∴ 舍去，∴ ，∴ ，故选C.
11.【答案】D【解析】依题意， 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ，则 ，令 ，则 ， 在 上单调递增， 故选D.
18.【解析】（1） ，
函数的单调递增区间 ，
所以单调递增区间为 .--------------------6分
（2） 取 到极大值时 ，所以
，
设 ，则
.----------------------12分
19.【解析】由 ，由正弦定理得：, ，化简即为 ，再由余弦定理可得 ，
由于 ，所以 .------------------------6分
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
考生留意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
(13)已知定义域为[a -2，2（a+l）]的奇函数f(x)=x3+(b-2)x2+x，则f(a)+f(b）=____
令 ， ，在区间 上 ，在区间 ， ---------------------------------10分
综上所述，实数 的取值范围为 .-------------------------12分
12.【答案】C【解析】 在区间 上单调递减， ，所以
，在 上的 ，所以 ，
.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题中的横线上。）
13.【答案】10【解析】定义域为 的奇函数，满足 ，由于 为奇函数，满足 ，所以 ，