高中物理-17 磁场旋转圆问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破

“动态圆”模型带电粒子在磁场中做圆周运动轨迹的圆心位置变化的问题称为动态圆问题．常用的有两种模型．1．确定的入射点O 和速度大小v ，不确定速度方向(旋转圆模型)在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B 的匀强磁场中，在O 点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆圆心O 1、O 2、O 3 、O 4 、O 5(取五个圆)的轨迹分布在以粒子源O 为圆心，R ＝mv qB为半径的一个圆周上(如图虚线所示)．(2)带电粒子在磁场中能经过的区域是以粒子源O 为圆心，2R 为半径的大圆(如图实线所示)．(3)各动态圆相交于O 点．一、单边界磁场1、如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R ＝mvBq.哪个图是正确的( )答案：A 解析 由于带电粒子从O 点以相同速率射入纸面内的各个方向，射入磁场的带电粒子在磁场内做匀速圆周运动，其运动半径是相等的．沿ON 方向(临界方向)射入的粒子，恰能在磁场中做完整的圆周运动，则过O 点垂直MN 方向的右侧恰为一临界半圆；若将速度方向沿ON 方向逆时针偏转，则在过O 点垂直MN 方向的左侧，其运动轨迹上各个点到O 点的最远距离，恰好是以O 为圆心，以2R 为半径的14圆弧．A 正确． 2．（多选）(2012·江苏·9)如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界．一质量为m 、电荷量为q 的粒子在纸面内从O 点射入磁场．若粒子速度为v 0，粒子重力不计，最远能落在边界上的A 点．下列说法正确的有( )A ．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v 0B ．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v 0C ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v 0－qBd 2mD ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v 0＋qBd 2m答案：BC 解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，qv 0B ＝mv 20r ，所以r ＝mv 0qB ，当带电粒子从不同方向由O 点以速度v 0进入匀强磁场时，其轨迹是半径为r 的圆，轨迹与边界的交点位置最远是离O 点2r 的距离，即OA ＝2r ，落在A 点的粒子从O 点垂直入射，其他粒子则均落在A 点左侧，若落在A 点右侧则必须有更大的速度，选项B 正确．若粒子速度虽然比v 0大，但进入磁场时与磁场边界夹角过大或过小，粒子仍有可能落在A 点左侧，选项A 、D 错误．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，设粒子运动轨迹的半径为r ′，则r ′≥2r －d 2，代入r ＝mv 0qB ，r ′＝mv qB ，解得v ≥v 0－qBd 2m，选项C 正确． 3.(多选)如图所示，一粒子发射源P 位于足够大绝缘板AB 的上方d 处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v 、电荷量为q 、质量为m的带正电的粒子。

空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d ，则( )A ．粒子能打在板上的区域长度是2dB ．粒子能打在板上的区域长度是(3＋1)dC ．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为7πd 6vD ．同一时刻发射出的粒子打到板上的最大时间差为πqd 6mv答案：BC 解析：以磁场方向垂直纸面向外为例，打在极板上粒子轨迹的临界状态如图1所示，根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度l ＝d ＋2d 2－d2＝(1＋3)d ，故A 错误，B 正确；在磁场中打到板上的粒子运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图2所示，由几何关系知，最长时间t 1＝34T ，最短时间t 2＝16T ，又有粒子在磁场中运动的周期T ＝2πr v ＝2πd v ；根据题意t 1－t 2＝Δt ，联立解得Δt ＝712T ＝7πd 6v，故C 正确，D 错误。

若磁场方向垂直纸面向里，可得出同样的结论。

4.如图所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度T B 2100.1-⨯=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14⨯=的带正电的粒子，粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围． 解析：带电粒子在磁场中运动时有Rv m Bqv 2=，则cm m Bq mv R 101.0106.1100.1100.1106.1182425==⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---． 如图４所示，当带电粒子打到y 轴上方的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点既为粒子能打到y 轴上方的最高点．因cm R Op 10==，cm R AP 202==，则cm OP AP OA 31022=-=． 当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得cm R OB 10==．综上，带电粒子能打到y 轴上的范围为：cm y cm 31010≤≤-． 5．如图所示，xOy 平面内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.1 T ，在原点O 有一粒子源，它可以在xOy 平面内向各个方向发射出质量m ＝6.4×10－27 kg 、电荷量q ＝3.2×10－19 C 、速度v ＝1.0×106 m /s 的带正电的粒子．一感光薄板平行于x 轴放置，其中点O ′的坐标为(0，a)，且满足a ＞0.(不考虑粒子的重力以及粒子之间的相互作用，结果保留三位有效数字)．图４ cm x /cm y /p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯•B A ⨯⨯⨯⨯o •⨯⨯⨯⨯• o cm x /cm y /p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯•(1)若薄板足够长，且a ＝0.2 m ，求感光板下表面被粒子击中的长度；(2)若薄板长l ＝0.32 m ，为使感光板下表面全部被粒子击中，求a 的最大值．答案：(1)0.546 m (2)0.320 m解析：(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．有qvB ＝m v 2r解得r ＝0.2 m如图1，沿y 轴正向发射的粒子击中薄板的D 点(最左端)，有x 1＝r ＝0.2 m而击中薄板的最右端的粒子恰好运动了半个圆周，由几何关系x 2＝35m 所以，感光板下表面被粒子击中的长度L ＝x 1＋x 2＝0.546 m .(2)如图2，若粒子恰能击中薄板的最左端点，由几何关系OF ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝0.12 m 解得a 1＝OF ＋r ＝0.320 m如图3，若粒子恰能击中薄板的最右端E 点，由几何关系a 2＝2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝22125 m ＞0.320 m 综上可得，为使感光板下表面全部被粒子击中，a 的最大值：a m ＝0.320 m .纸面，在纸面内的长度L ＝9.1 cm ，中点O 与S 间的距离d ＝4.55 cm ，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0×10－4 T ，电子质量m ＝9.1×10－31 kg ，电荷量e ＝－1.6×10－19 C ，不计电子重力，电子源发射速度v ＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l ，则( )A ．θ＝90°时，l ＝9.1 cmB ．θ＝60°时，l ＝9.1 cmC ．θ＝45°时，l ＝4.55 cmD ．θ＝30°时，l ＝4.55 cm答案:AD 解析 电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：evB ＝mv 2R ，R ＝mv Be＝4.55×10－2 m ＝4.55 cm ＝L2，θ＝90°时，击中板的范围如图甲，l ＝2R ＝9.1 cm ，选项A 正确；θ＝60°时，击中板的范围如图乙所示，l ＜2R ＝9.1 cm ，选项B 错误；θ＝30°，如图丙所示，l ＝R ＝4.55 cm ，当θ＝45°时，击中板的范围如图丁所示，l ＞R (R ＝4.55 cm)，故选项D 正确，选项C 错误．7、图中，虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外．O 是MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为+q 、质量为m 、速率为v 的粒子．粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P 点相遇，P 到O 的距离为L ，不计重力及粒子间的相互作用．（1）求所考查的粒子在磁场中的轨道半径． （2）求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔． 解析：（1）设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R ，由牛顿第二定律，有 qvB=mv 2/R 得 R=mv/qB （2）如图所示，以OP 为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P 点相遇的两个粒子的轨道。

圆心和直径分别为 O 1、O 2和OO 1Q 1,OO 2Q 2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。

由几何关系可知 ∠PO 1Q 1=∠PO 2Q 2θ ②从0点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q 1P Q 1P ＝P θ ③粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ 2=2 PQ 2=R θ ④粒子1运动的时间 t 1=(1/2T)+(R θ/v) ⑤其中T 为圆周运动的周期。

粒子2运动的时间为t 2=(1/2T)-(R θ/v) ⑥两粒子射入的时间问隔 △t=t 1-t 2=2R θ/V ①因 Rcos(θ/2) =1/2L 得 θ =2arccos (L/2R) ③由①、①、③三式得 △t=4marccos(lqB/2mv)/qB8.（多选）如图所示，S 处有一粒子源，可向纸面内任意方向不断地均匀发射质量为kg m 27104.6-⨯=,带电量C q 19102.3-⨯+=,速度s m v /100.16⨯=的带电粒子，有一垂直纸面的感光板，其在纸面内的长度为0.4m,中点O 与S 连线垂直板，OS 距离为0.2m ，板下表面和上表面被粒子击中会把粒子吸收，整个平面充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为B =0.1T ,不考虑粒子间的相互作用，则OP M NA ．粒子打板前均逆时针做匀速圆周运动B ．所有粒子都可以打到板上C ．所有打中板的粒子中运动时间最长的粒子时间为qBm 23 D ．稳定后某时刻，击中上、下板面粒子之比为1:1【参考答案】.AD二、双边界磁场1.(多选)如图所示，竖直平行边界MN 、P Q 间距离为a ，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场(含边界P Q)，磁感应强度为B ，MN 上O 处的粒子源能沿不同方向释放比荷为q m的带负电粒子，速度大小相等、方向均垂直于磁场。