2.5等比数列的前n项和公式(1)

1 1 a1 an q ( 1 ) a a 2 解： 2 q 2 , n 5 , a 1 3 512 1 (3)将a1 ,a , S 341 代入 S 可得 n n n 1 q 2 2 2 n q 1 即q 1 a 1 q n 1 1 说明： 在利用公式，一定要注 意 q的取值，应把它 .1 代入a n１ a q , s 得： ( 512 ) q 1 n .解得： q 2 S na 2n 1 q 当 q341 1时，数列为常数列 2 ， 2 ， 2 ， ，所以 n 1 1 q 4 作为第一要素来考虑。 1 4 a5 a1q 2 8 n n 2n 1 a1 (1 ２. 在五个变量 q ) 2 [ 1 ( 1 ) ] ( 2) n 1 n a , q , n , a , S 中，只知三可求二， 1 n n 因为 a a q , 所以 512 1 n时， 1 当q 1 S n5 1q 1( 1) 1 (1) 1 并且要根据具体题意， 选择适当的公式。 1 10 2 解得： n 1 31 s5 2 25 1 1 2 2 2
1、若等比数列{a n }的前n项和S n 4 n a，求a的值。
提示： S n Aq n - A( A 0) 系数和常数互为相反数
a 1
1、若等比数列{a n }的前n项和S n 3 n 1 2a，求a的值。
1 1 1 n 化简到：S n 3 2a 2a 0 a 3 3 6
3
63
2
63
二、启发引导，探索发现
于是发明者要求的麦粒总数就是 去求以1为首项,2为公比的等比数列的 前64项的和. 即求：
62 63
64
S64 1 2 4 8 2 2 .
两边同乘公比２，得 2S 将上面两式列在一起，进行比较
2 4 8 16 2 2 .
合作探究 形成规律
a1 n a1 a1 a1 q n Sn q Sn 1-q 1-q 1-q
令A
a1 0 则：S n Aq n - A 1-q
这个形式和等 比数列等价吗？
等比数列前n项和的性质一：
n 数列{a n }是等比数列 S n Aq - A( A 0) 类似结论： 相反 数列{a n }是等比数列 数 S n Aan B( AB 0, A 1)
解： 由题意可知，从今年起，每年的销售量成等比数列 a1 5000 , q (1 10%) 1.1, S n 30000
由公式得： 30000
整理得 1.1n 1.6
5000 (11.1n ) 11.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6,
用计算器算得n
lg1.1 lg1.6
63 64
① S64 1 2 4 8 2 , 63 64 2S64 2 4 8 2 2 .②
63
② － ①，得： S
64
2 1
64
说明： 2 1超过了1.84 10 ,假定千粒麦 子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了 7000亿吨，目前世界小麦年度总产量约为 6亿吨，所以国王不能满足发明者的要求.Βιβλιοθήκη an•am = ap•aq
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
一、创设情境 ，引出问题
2
3
63 2 2 2 2 2 1
4
分析：由于 每个格子里 的麦粒数都 是前一个格 子里的麦粒 数的2倍,且 共有64个格 子，各个格 子里的麦粒 数依次是: 2
这一格的 麦粒可以 堆成好几 座山!!!
1,2,2 ,2 , ,2 ,
n
②
n S -q S =a a q ①-②得: n n 1 1
n a a q ⑴当q≠1时 Sn= 1 1 a1 1 q 1 q 1 q
(1-q)Sn=a1-a1qn
⑵当q=1时
Sn=na1
三、总结升华，得出结论
等比数列的前n项和公式 a1 (1 q n ) (q 1) n-1 a = a q Sn 1 q n 1 na (q 1) 1
新等比数列首项为S k，公比为q k 。
怎么 证明？
2、等比数列{a n }的前n项和为S n，若S m 10，S 2 m 30， 求S 3m的值。
解： S m，S 2 m - S m，S 3m - S 2 m 成等比数列
( S 2 m - S m ) 2 S m ( S 3m - S 2 m ) 即： (30 - 10) 2 10 ( S 3m - 30)
且新等比数列首项为S k，公比为q k 。
③ 如果a n 为公比为q的等比数列，对m、p N 有：
S m p S m q m S p
④
若等比数列a n 共有2n项，则：
S偶 S奇
q
1 1 解:(1)因为 a1 = , q = 2 2
所以当n=8时有等比数列的前n项
8 1 1 1 2 2 255 Sn 和知： 1 256 1 2
例1、求下列等比数列前8项的和
1 (2)a1 27, a9 ,q 0 243
1 1 ( 2) 27 q 8 由a1 27, a9 , 可得 : 243 243 1 又由q 0, 可得： q 3 8
64
19
思考:已知等比数列{an}其公比为q,怎 样求其前n项和 Sn=a1+a2+…+an ?
分析：由等比数列的通项公式可知，任一项 皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为： Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1 ①
如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式
qSn=
a1q+a1q2+a1q3 + …+a1qn—1 +a1qn
我们知道，等差数列有这样的性质：
如果a n 为等差数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等差数列。
新的等差数列首项为S k，公差为k 2 d。
那么，在等比数列重，也有类似的性质吗？
等比数列前n项和的性质二：
如果a n 为等比数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等比数列。
1 1 1 (1) , , , 2 4 8
于是当 n 8时
Sn
1 271 3 1 1 ( ) 3
1640 81
a n 中，求满足下列条件的量 : 例2、在等比数列
(1)a1 a3 2, 求sn
(3)a1 1,a n 512 ,s n 314 .求q和n
错位相减法
(3).体现的数学思想：
分类讨论的思想.（q 1或q 1） 方程的思想.（知三求二）
复习等比数列的前n项和公式
na1 S n a1 a1 q n 1-q
q 1 ， q 1。 或
na1 S n a1 a n q 1-q
q 1 ， q 1。
1(1 x n ) 1 x

1 x n 1 x
当 x 1 时，S n na1 n
( x 1) ( x 1)
六.归纳
(1).内容总结：
总结
①等比数列的前n项和公式及其推导. ②在已知 a1、an、n、q、sn 五个中的三 个会能灵活运用公式求其他俩个. (2).方法总结：
a1 a1q a1 - a1q 或当q≠1时 S n 1 q 1 q a1 - an q
n n 1
q
即S n =
注：1.以上推导公式的方法我们称之为“错位相减 法”2. . 当公比q不确定时应分q=1和q≠1两种情况讨论.
1- q
(q ≠ 1)
四、知识训练，深化目标 1 1 1 例1.求等比数列 , , , 的前8项和. 2 4 8
解得：S 3m 70
等比数列前n项和的性质三：
如果an 为公比为 q的等比数列 ，对任意m、p N 有：
S m p S m q S p
m
2、等比数列{a n }的前n项和为S n，若S10 20， S 20 80，则S 30
解：
10
260
。
s20 s10 q 3 s10
§ 2.5 等比数列的前n项和
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
(2) 通项公式:
an+1 an =q (定值) an=a1•q n-1 (a 0, q 0).
1
a, G, b 成等比数列 (3)
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am•qn-m
m+n=p+q

0.2 0.041
5
答：从今年起，大约 5年可使总销售量达到 30000 台。
五、课堂演练 ，巩固提高
1、求等比数列 1, x, x 2 , x 3 ,的前n项和sn ?
解：由已知条件得， a1 1, q x
当 x 1 时，S n
1 x n 1 x 所以S n n
提示：
q
S偶 S奇
170 2 85
S n S 偶 S 奇 170 85 255
由等比数列前n项和公式得：
1 2n 255 1-2
n8
等比数列前n项和的性质： ① 数列{ a n }是等比数列 S n Aq n - A( A 0)
② a n 为等比数列 S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等比数列。