不确定度分析和误差原理

误差作用独立性，一个误差结果对其他误差因素无 关，它们构成总误差的独立部分。
可用于已知系统误差的分析计算。
建立不确定度合成法则基本依据，精度分析基础。
传递系数的计算
微分法求传递系数 几何发求传递系数（可通过几何运算和解析
几何计算转化为微分法） 按传动关系确定传递系数（已知一个方向的
传递系数或总的传递系数，求其中一个） 用于y=f(x)测量y求x的传递系数的情况 计算说明定义法和线性叠加法则的误差大小 差别。
E(x1+x2)=E(x1)+E(x2) E(C*x)=C*E(x)
E(x1*x2)=E(x1)*E(x2) 相互独立，协方差为0
D(C)=0 D(C* δ)=C2*D(δ) D (δ 1+ δ 2)=D(δ 1)+D(δ 2)
+D(δ 1, δ 2)
系统误差检验方法 ◄ ◄ ◄
通过实验对比（高精度和等精度） 通过理论分析判断（模型简化） 对测量数据的直接判断（线性和周期） 用统计方法进行判断
此时只有随机误 D(t)
1
差，无系统误差。
nE{[ ln f (x, )]2}
lim P(| t | ) 0
x
区间估计
对于未知数θ，除了要求它的点估计t外，还常常 需要以一定的可靠程度估计出包含真值的某个区 间，以及包含真值的概率。
参数θ若有P{t1< θ<t2}=1-a为置信概率。(t1,t2)为 在置信度P上的置信区间，说明θ有P的概率落在 (t1,t2)范围内。置信区间的上下限常取为对称的。
y f (x1, x2...xn )
f
(
X
1
,
X
2
...X
n
)
(
f x1
)0
(
x1
X
1
)
...
(
f xn
)0
(
xn
Xn)
f
(
X
1
,
X
2
...X
n
)
(
f x1
)0
x1
(
f x2
)0
x2
...
(
f xn
)0
xn
误差传递
y f (x1, x2...xn ) f (X1, X 2...X n )
区间估计有明确的可靠性含义。 置信度的大小应根据具体问题给出，一般取90%
或95%。
正态分 布概率 密度
正态分 布概率 图
随机误差特征
对称性 有界性 抵偿性 σ对f(x)的影响 平均分布 反正弦分布 截尾正态分布 三角分布
三种分布的标准差以及各置信区间 相应的概率
分布 标准差σ P(σ) P(2σ) P(3σ)
绝对误差 真值
绝uuu对uuu误uuu差uu很uuu小ur
绝对误差 测量值
引用误差
示值误差 最大示值
引用误差的规定是 用于仪器精度的评 定。
绝对误差与测量值 相差小时用绝对误 差，相差大时用相 对误差。
误差的普遍意义和关系
测量误差是不可避 免的，只要误差在 一定范围内就认为 是正常的。
减小误差影响，提 高测量精度。
数据处理
误差及不确定度分析
马元明
目录
误差原理与分析计算 ► ► ► 误差原理 误差传递 平均值原理 异常数据剔除
不确定度原理与分析计算► ► ► 不确定度原理 不确定度的合成 不确定度合成例题
回归分析 ► ► ► 直线回归 其他回归
量热误差分析 ► ► ►
误差原理与分析计算
误差原理 ► ► ► 误差传递 ► ► ► 平均值原理 ► ► ► 异常数据剔除 ► ► ►
数据数目少时可靠性差 只能对系统误差存在判断，不能给出数值
误差传递
y f (x1, x2...xn )
y yY
xi xi X i
y y Y f (x1, x2...xn ) f ( X1, X 2...X n )
y y Y f ( X1 x1, X 2 x2...X n xn ) f ( X1, X 2...X n )
对测量结果作出可 靠性评定，即给出 精确度的估计。
相对误 差
绝对误 差
定— 与被测 结果的实
真值
量相同 际误差值
误差分类
系统误差：其值固定不变或按某种确定规 律变化的误差。可重复表现，但规律性并 不一定确知。
随机误差：有正有负，不可预知。具有随 机变量的一切特征，可用统计方法做出估 计，不能“修正”消除。
估计量的评价
无偏性
有效性
设t为未知数参数 分散性用
θ的估计量，若 E[(t- θ)2]衡量。
一致性
估计量t依概 率收敛于θ，
E(t)= θ,则t为θ的 E[(t- θ)2]=D(t)表明 则称t为θ的一
无偏估计量。
无偏估计以方差 致估计量。
表明估计量t的 波动中心为θ，
较小为好，即较 为有效。
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
传递系数Әf/ Әxi按测量值计算。
优点：线性传递，计算简单。
缺点：当展开式高次项不可忽略时，应该按 照定义式计算。
误差传递
当以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为
y
1 y
n i 1
f xi
xi
xi
测量结果总误差等于各原始误差乘以传递系数的代 数和——线性叠加法则。
正态分布 Δ(or Δ Δ
仪器)/3
三角分布 Δ (or Δ
Δ仪器)/(6)(1/2)
均匀分布 Δ (or Δ
Δ仪器)/(3)(1/2)
0.683 0.758 0.577
0.955 0.966
1
0.997 1 1
随机误差特征
期望值E(x) 误差的分布中心
方差D(x) 随机波动大小
E(C)=C
绝对误差
测量绝对误差=测量值—真值 示值误差=仪器示值—真值
x x$
真值是指被测量的客观真实值，一般都是未知的。 仅特殊场合已知和最高基准可看作真值。
数据处理统计中将平行测量的期望值作为统计量 的拟定真值，可证明当测量次数无限大时，子样 的统计量是总体的统计量的无偏估计。
相对误差
相对误差
粗大误差：超出正常范围的随机大误差。 在数据中应该去除。
统计量和估计量
设总体以随机变量ξ表示，容量为n的子样以随 机变量(ξ1 ξ2 …ξn)表示。现作子样的实值函数 T=T(ξ1 ξ2… ξn)，则 T(ξ1 ξ2… ξn)也为一随机变量，称T的统计量。
为了估计总体ξ某一参数θ，由子样(ξ1 ξ2 …ξn) 建立不带未知数的某一统计量T(ξ1 ξ2… ξn)，当获 得子样的某一具体观测值(l1 l2… ln)时，算出统计量 的值T(l1 l2… ln)=t，可作为θ估计值，则称T(ξ1 ξ2… ξn)为θ的估计值。