。2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷

2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）计算：=．2．（4分）设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T=．3．（4分）已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．4．（4分）若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为．5．（4分）二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是（用数字作答）．6．（4分）已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a=．7．（5分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为．8．（5分）已知函数y=2sin（ωｘ+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f （x0）=4，则ω的最小值为．9．（5分）若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．10．（5分）从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有个．11．（5分）已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足?=2?=3，则?=．12．（5分）已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a 的取值范围为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“ａ＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（5分）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）15．（5分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞016．（5分）已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λｘ，μｙ）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2}B．{（λ，μ）|λ+μ=2}C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．18．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．19．（14分）经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．20．（16分）如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y ≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2，3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）计算：=．【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．2．（4分）设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T={3，4，5} ．【分析】求出集合S，T的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．【解答】解：S={x|≤0，x∈R}={x|3≤x＜6}，则S∩T={3，4，5}，故答案为：{3，4，5}【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3．（4分）已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），∴5z=5+5i，可得z=1+i|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为4．【分析】求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点（0，2）重合，抛物线的开口向上，焦点坐标（0，2），可得p=4，则该抛物线的焦点到准线的距离为：p=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5．（4分）二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6．（4分）已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a=0．【分析】a＞0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在R上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．【解答】解：a＞0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，0），上单调递增，因此不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，因此不存在反函数．综上可得：a=0．故答案为：0．【点评】本题考查了反函数的定义及其判定、二次函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23} ．【分析】解：由已知条件得（2x）2﹣2?2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），进一步求出x的答案．【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，∴2x+1=4x﹣3，∴（2x）2﹣2?2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），∴x=log23．∴方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23}．故答案为：{log23}．【点评】本题考查对数方程的解法，注意等价转化思想的合理运用，是基础题．8．（5分）已知函数y=2sin（ωｘ+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f （x0）=4，则ω的最小值为．【分析】化简等式可得sin（ωｘ0+2ω+φ）﹣sin（ωｘ0+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω＝（k1﹣k2）π﹣，k1、k2∈Z，结合ω＞0求得ω的最小值．【解答】解：存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，即2sin[ω（x0+2）+φ]﹣2sin（ωｘ0+φ）=4成立，∴sin（ωｘ0+2ω+φ）﹣sin（ωｘ0+φ）=2，∴ωｘ0+2ω+φ=2k1π+①，ωｘ0+φ=2k2π+②，k1、k2∈Z；由①②解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1、k2∈Z；又ω＞0，∴ω的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质以及特殊角的三角函数值应用问题，属于中档题．9．（5分）若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，进而AO=2，AB=，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，∵正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，∴PO⊥平面ABCD，且PO=2，∴侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，∴AO=2，∴AB=，∴该正四棱锥的体积：V===．故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．10．（5分）从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有36个．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，即1是重复数字；②后三位数字中不包含1；分别求出其情况数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，则只需在2、3、4中任取两个，与1进行排列即可，有C32×A33=18种情况；②后三位数字中不包含1，则需要在2、3、4中取出2个，一个作为重复数字，另一个不重复，有A32×A33=18种不同情况；故这样的四位数有18+18=36种；故答案为：36．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意条件中“有且只有两个数位上的数字相同”这一条件，需要对后三位数字是否包含1进行分类讨论．11．（5分）已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足?=2?=3，则?=﹣．【分析】用三角形各边向量表示出，，再计算?．【解答】解：设，，则==，=+=，∴=+λ=4﹣2λ，=μ?=2μ，∵，，∴λ＝，μ＝，∴=（+）?（+）=﹣+++=﹣4+。