【典型题】高中必修二数学下期末模拟试卷附答案

【典型题】高中必修二数学下期末模拟试卷附答案

一、选择题

1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )

A ．

203

B ．

72

C ．

165

D ．

158

2．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43

B ．10

C ．10

D ．8

3．设集合{}1,2,4A =，{}

2

40B x x x m =-+=．若{}1A B ?=，则B =

( ) A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

4．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，

()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3

2

BQ CP ?=-，则λ=（ ）

A ．

12

B ．

12

± C ．

110

± D ．

322

2

± 5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱

111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体

积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为

A ．21+

B ．31+ C

．

223

2

+ D ．

33

2

+ 6．设正项等差数列的前n 项和为，若

，则

的最小值为

A ．1

B ．

C ．

D ．

7．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线

:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于

4

5

，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,

]2

B ．3(0,]4

C ．3[

,1)2

D ．3[,1)4

8．已知0,0a b >>，并且111

,,2a b

成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2

B ．4

C ．5

D ．9

9．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,

x y x y x y y +≤??-≤?

?

-+≤??≥? 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6

B ．19

C ．21

D ．45

10．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于

点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上

C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B

D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上

11．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ?为正三角形，平面ECD ⊥平面

,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）

A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线

B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线

C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线

D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线

12．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则

A C +=

A ．90?

B ．120?

C ．135?

D ．150?

二、填空题

13．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-

(2,3),(3,2),(,)2

A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．若21cos 3

4πα??-

= ?

?

?

，则sin 26πα?

?+= ???________． 16．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ?=，记数列2n a ??

????

的前n 项和为n T ，则使不等式1

2019

113

n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 17．△ABC 的内角A B C ，

，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．

18．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ??

???

上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______． 19．设12a =，121n n a a +=

+，2

1

n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．

20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且3

2

AP PB =，则点P 的坐标为________

三、解答题

21．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；

（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围，

22．已知函数()sin()(

0,0)3

f x A x A π

ωω=+

>>的部分图象如图所示.

（1）求A 和ω的值；

（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；

（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值. 23．

随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份

2010

2011

2012

2013

2014

时间代号t

1

2

3

4

5

储蓄存款y （千亿元）

5

6

7

8

10

（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程

^

^^

t y b a =+

（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.

附：回归方程^

^

^

t y b a =+中

1

1

2

22

1

1

()(),

{()

.

n n

i

i

i i

i i n

n

i i

i i x x y y x y nxy

b x x x

nx a y bx ====---==

--=-∑∑∑∑

24．已知平面向量a ，b 满足1a b ==. （1）1a b -=，求a 与b 的夹角；

（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，求a 与b 的夹角θ.

25．如图，在等腰直角OPQ ?中，0

90POQ ∠=，22OP =M 在线段PQ 上.

(Ⅰ) 若5OM =，求PM 的长；

（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ?的面积最小？并求出面积的最小值.

26．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头

50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7

频数

1

3

2 4

9 26 5

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1

[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6

频数

1

5

13

10 16 5

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133

1,2,,2222

M a b n =+

====;又由23≤成立，则循环，即2838

2,,,33323

M a b n =+

====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =

+====;又由43≤不成立，则出循环，输出15

8M =． 考点：算法的循环结构

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求2

2a b -的最小值即可得出结果.

【详解】

因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2

||cos ,b a b =-

<>

，而1cos ,0a b -≤<><，

所以||2b ≥，

因为2

2

2

2

2

2

2(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-?+=-<>+

22=1644(2)4||484||b b -??-+=+

所以2

2484464a b -≥+?=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】

本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.

3．C

解析：C 【解析】

∵ 集合{}1

24A ，，=，{}

2

|40B x x x m =-+=，{}1A B ?= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =

∴{}{}

{}2

2

|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】

∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，

∴()()

BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ?=+?+=?-?-?+?

()()22

11AB AC AB AC AB AC λλλλ=?---+-?

()()232441212222

λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1

2λ=.

故选：A. 5．C

解析：C 【解析】

分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的

2

3

，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．

详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的

23

，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=

??=?222111

()444

AC BC AB ≤+==，当且仅当

2

2

AC BC ==

时，取等号． ∴122222(1)12S =???+++?322

+=

． 故选C ．

点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基

本性质得出

，再将代数式和

相乘，展开

后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】

由等差数列的前项和公式可得

，所以，

，

由等差数列的基本性质可得

，

， 所以，，当且仅当

，即当

时，等号成立，

因此，的最小值为，故选：D.

【点睛】

本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

7．A

解析：A 【解析】

试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原

点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，

2a =，设(0,)M b ，则45b d =

，所以

44

55

b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又

22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <

≤

．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．

【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

8．D

解析：D 【解析】 ∵

111

,,2a b

成等差数列， ()111141445529a b a a b a b a b a b b a b ??∴+=∴+=++=+++?= ???

，， 当且仅当a =2b 即3

3,2

a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

9．C

解析：C 【解析】

分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.

详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：5

1x y x y +=??

-+=?

，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可

知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=?+?=.本题选择C 选项.

点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.

10．A

解析：A 【解析】

如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF ?平面ABC ，HG ?平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

11．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】

如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，

平面CDE ⊥平面ABCD ．

,EO CD EO ⊥?平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，

MFB ∴?与EON ?均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,1

2EO ON EN ===，

35

,,722

MF BF BM =

=∴=．BM EN ∴≠，故选B ． 【点睛】

本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

由已知三边，利用余弦定理可得1

cos 2

B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A

C +的值． 【详解】 在ABC ?中，

5a =，7b =，8c =，

∴由余弦定理可得：2222564491

cos 22582

a c

b B a

c +-+-===??，

b c <，故B 为锐角，可得60B =?，

18060120A C ∴+=?-?=?，故选B ． 【点睛】

本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．

二、填空题

13．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为

解析：1

4

【解析】

概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为21

11

122=14

OAB

S S ???=

正方形

14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：

1

2

【解析】

试题分析：依题意有AB AC k k =，即

53

152

2

m --=

+，解得12m =. 考点：三点共线．

15．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：

78

【解析】 【分析】

根据诱导公式,将三角函数式21

cos 3

4πα??-= ??

?化简可得1sin 64

πα??-= ???,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα?

?

+ ??

?

即可得解. 【详解】 因为21cos 3

4

πα??-

= ??

? 化简可得1cos 624ππα

?

?--= ???,即1cos 264ππα????--= ????

???

由诱导公式化简得1sin 64πα?

?-= ??

?

而sin 26πα??

+

??

?

cos 22

6π

πα??=-- ???

cos 2cos 233ππαα???

?=-=- ? ?????

cos 26πα?

?=- ??

?

由余弦的二倍角公式可知cos 26πα?

?- ???

212sin 6πα?

?=-- ??

?

2

17

1248

??=-?= ???

故答案为: 78

【点睛】

本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.

16．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2?a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通

解析：6 【解析】 【分析】

设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2?a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{

2

n

a }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|

1

3

T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】

数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2?a 4=81=a 1a 5， 即15158281a a a a +=??

?=?解得15181

a a =??=?，则公比3q =，∴1

3n n a -=，

则212222133

3n n T -=

++++ 11132311313

n n -

??=?

=- ???

-， ∴12019

113n T ->，即1

201913

n ?>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6.

故答案为6. 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可

解析：

3

. 【解析】 【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得

1

sin 2

A =

，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A

为锐角，从而求得cos 2A =，进一步求得3

bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】

因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，

结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1

sin 2

A =

，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+

-，可得2cos 8bc A =， 所以

A 为锐角，且cos A =

，从而求得bc =

， 所以ABC ?的面积为111

sin 22323S bc A ==??=

，故答案是3

. 【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：

（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟练掌握运用两种

形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

18．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析

解析：①③ 【解析】 【分析】

利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ??∈ ???

时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ?? ???

上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π??

=

???

以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】

对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，

且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当

2

x π

π<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数

()y f x =在,2ππ??

???

上单调递减，命题②错误；

对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又

22f π??

= ???

，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；

对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又

()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.

因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】

本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.

19．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则

解析：2n+1

【解析】

由条件得11111

22

22

222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++=

===---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11

422n n n b -+=?=．

20．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意

解析：(8,-15)， 163,55??

- ???

【解析】 【分析】

设点(),P x y ,得出向量33

,22

AP BP AP BP =

=-,代入坐标运算即得P 的坐标，得到关于,x y 的方程，从而可得结果.

【详解】 设点(),P x y ,

因为点P 在直线,且3

||||2

AP PB =

, 33

,22

AP BP AP BP ∴=

=-, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=-+或, 3

(2,3)(4,3)2

x y x y ∴--=--+，

即243122639x x y y -=-??-=+?或24312

2639x x y y -=-+??

-=--?

, 解得815x y =??=-?或165

35x y ?

=???

?=-??

; 即点P 的坐标是(8,-15)，163,55??

- ???

. 【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.

三、解答题

21．（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,0

2,0

x x x f x x x x ?-≥=?+

【解析】 【分析】

（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值， 同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；

（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；

（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】

（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ； 则f （0）＝0， f （1）＝1﹣2＝﹣1，

又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1， 则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，

则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 又由函数f （x ）为偶函数， 则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， 则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，

∴()222,0

2,0

x x x f x x x x ?-≥=?+

（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解， 则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点， 而y ＝f （x ）的图象如图：

分析可得﹣1＜m ＜0； 故m 的取值范围是（﹣1，0）． 【点睛】

本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题． 22．（1）2A =，2ω=;（2）[0,]12

π

和7[

,]12π

π;（3）173

π. 【解析】

【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得224

312

4T

A π

π

π

ω

==-

=

，，进而求出2ω=；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式2222

3

2

k x k π

π

π

ππ-≤+

≤+

求

出单调增区间51212

x k ππ

ππ-

≤≤+，（k Z ∈），然后求出函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π??????和7,12ππ??

????

.（3）先求出函数()2sin 213f x x π??=+=- ???中的512x k ππ=+或34

x k π

π=+（k Z ∈），进而借助周期性求出b a -的最大值为217533

T ππ+

=。 解：（1）2A =，

2,243124T πππωω

=-==. （2）由（1）知()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?，令222232k x k πππππ-≤+≤+，（k Z ∈） 得51212

k x k ππ

ππ-

≤≤+，（k Z ∈） 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]

0,π的单调增区间为0,12π?

?????和7,12π

π??

?

???

. （3）由()2sin 213f x x π??

=+

=- ??

?得512x k ππ=+或34

x k π

π=+（k Z ∈）. 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -的最大值为217533

T ππ+

=. 23．（Ⅰ） 1.2.6?3y

t =+，（Ⅱ）10.8千亿元. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出,x y ，2

1

1

,.n

n

nt i

ny i i i i l t

nt l t y nty ===

-=-∑∑的值，然后代

入?ny

nt

l b l =求得?b ，再代入??a y bt =-求出?a 值，从而就可得到回归方程 1.2.6?3y t =+， （Ⅱ）将6t =代入回归方程 1.2.6?3y

t =+可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．

试题解析： （1）列表计算如下

这里11136

5,3,7.2.55

n i i i i n t t y y n n =====

====∑∑ 又2

2

1

1

555310,120537.212.n

n

nt i

ny i i i i l t

nt l t y nty ===

-=-?==-=-??=∑∑

从而12 1.2,7.2 1.23 3.610

???ny nt l b a y bt l =

===-=-?=. 故所求回归方程为 1.2.6?3y

t =+. （2）将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为

1.26 3.610.8(?).y

=?+=千亿元 考点：线性回归方程. 24．（1）3

π

（2）θπ= 【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得

22cos 12cos 0x x θθ+?--≥恒成立，利用判别式求解即可.

【详解】

（1）∵1a b ==，

2

1211a b a b ∴-=-?+=，

即12

a b ?=

， ∴1cos 2

a b θ=， ∴3

π

θ=

.

（2）不等式a xb a b +≥+两边平方可得:22cos 12cos 0x x θθ+?--≥恒成立， ∴0?≤，即()2

4cos

412cos 0θθ++≤，

故()2

cos 10θ+≤， 只能cos 1θ=-， 而0θπ≤≤， 所以θπ=. 【点睛】

本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.

25．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=?时， OMN ?的面积的最小值为

8-【解析】 【分析】 【详解】

解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°

, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理, 得

sin OM OPM ∠=sin OM

OPM

∠,

所以OM=

()

sin 45sin 45+OP α

。

。, 同理ON=

()

sin 45sin 45+OP α

。

。. 故S △OMN =

1

2

OM·ON·sin ∠MON