2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析
2021届全国二卷文科数学全真模拟卷(一)含答案解析卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 已知集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A.[0,1)B.[−1,2]C.[−2,1)D.(−1,0]2. 复数z 满足(1+i)z =2i ，则复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在矩形ABCD 中，|AB →|=4，|AD →|=2，则|BA →+BD →+BC →|=( )A.12B.6C.4√5D.2√54. 国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20∼30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ）A.②③B.①③C.②D.①②5. 已知定义域为I 的偶函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且∃x 0∈I ，f(x 0)<0，则下列函数中符合上述条件的是（ ）A.f(x)＝x 2+|x|B.f(x)＝2x −2−xC.f(x)＝log 2|x|D.f(x)=x −436. 平面α，β和直线m ，给出条件：①m ⊂α；②m ⊥α；③m // α；④α // β；⑤α⊥β．为使m // β，应选择下面四个选项中的条件（ ）A.①⑤B.①④C.②⑤D.③⑤7. 函数f(x)=sin 2x +√3cos 2x 的最小正周期为（ ）A.π4B.π2C.πD.2π8. 已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，点P 为这两条曲线的一个交点，若e|PF 2→|＝|PF 1→|，则e 的值为（ ）A.√22B.12C.√33D.不能确定9. 曲线f(x)=e x +x 在(1,f(1))的切线方程为( )A.(1+e)x −y =0B.ex −y +1=0C.(1+e)x +y −2(1+e)=0D.x −(1+e)y =010. 设△ABC 的内角A ，B ，C ，满足2sin 2A sin 2B +sin A sin B =12sin 2A sin 2B ，则cos C =( ) A.−√32 B.−12 C.√32 D. 1211. 在平面直角坐标xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y =−2x 上，且圆M 与直线x +y −1=0相切于点P(2，−1).(1)求圆M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为√6，求直线l 的方程.12. 已知函数f(x)={a −x ,x <−1(1−2a)x +3a,x ≥−1 ，对任意的x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，总有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,14]B.(0,12)C.[14,12)D.(12,1)卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 已知实数x，y满足约束条件{y−x≤0,x+y−1≤0,y+1≥0,则z=3x+y的最大值为________．14. 如果两组数a1，a2，…a n和b1，b2，…b n的平均数分别是a和b，那么一组数a1+3b1，a2+3b2，…，a n+3b n的平均数是________．15. 在△ABC中，若b=2√3，B=30∘，则a+csin A+sin C的值为________．16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.三、解答题（本题共计 7 小题，共计80分，）17.(12分) 已知公比大于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且a6, S4，−a2成等差数列．(1)求a n；(2)设b n=2n+1a n，求数列{b n}的前n项和T n．18. （12分）如图，四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，PA⊥平面ABCD，E 为棱PB上一点，PD // 平面ACE，过E作PC的垂线，垂足为F．(I)求证：PC⊥平面AEF；(II)求三棱锥P−AEF的体积．19.(12分) 新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心，某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒．增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠病毒及防控知识的了解程度．该市推出了相关知识问卷，随机抽取了年龄在15∼75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21.其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1.(1)求图中a,b的值；(2)现采用分层抽样在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识？,其中n=a+b+c+d,附：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.(12分) 已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率等于12，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线y 2＝16x 的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线x ＝2与椭圆C 的两个交点记为P 、Q ，其中点P 在第一象限，点A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．当A 、B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.(12分) 设定义在R 上的函数f(x)＝a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4，(a 0, a 1, a 2, a 3, a 4∈R)，当x ＝−1时，f(x)取极大值23，且函数y ＝f(x)的图象关于原点对称．（1）求y ＝f(x)的表达式；（2）试在函数y ＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[−√2, √2]上；（3）设x n =2n −12n ，y =√2(1−3m )3m (m, n ∈N +)，求证：|f(x n )−f(y m )|<43．22.(10分) 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，C 的直角坐标分别为(2,2√3)，(2,0)，若直线l 经过点O ，A ，圆C 以点C 为圆心且经过极点O ．(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)若点B 为圆C 上的一动点，求△AOB 面积的最大值．23.(10分) 已知函数f(x)=|x +a|+|x −2|．（1）当a =0时，解不等式f(x)≤3；（2）若关于x 的不等式f(x)≥|x −3|在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．文科数学（一）参考答案与试题解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【解答】解：∵ A ={x|−1<x <1},B ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2},∴ A ∩B =[0,1).故选A .2.【解答】解：由题意得z =2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，所以复数z 在复平面内对应的点在第一象限.故选A .3.【解答】解：由已知矩形ABCD 中，|AB →|=4，|AD →|=2，则|BA →+BD →+BC →|=|BD →+BD →|=2|BD →|=2√AB 2+BC 2=2√20=4√5；故选C ．4.【解答】：①建国以来直至2000年为“成年型”人口，错误；②从2010年至2020年为“老龄型”人口，正确，③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口，正确，5.【解答】根据题意，依次分析选项：对于A ，f(x)＝x 2+|x|，有f(−x)＝(−x)2+|−x|＝x 2+|x|＝f(x)，函数为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2+x ，此时f(x)≥0恒成立，不符合题意；对于B ，f(x)＝2x −2−x ，f(−x)＝2−x −2x ＝−(2x −2−x )＝−f(x)，函数为奇函数，不符合题意； 对于C ，f(x)＝log 2|x|，有f(−x)＝log 2|−x|＝log 2|x|＝f(x)，函数为偶函数，当x >0时，f(x)＝log 2x ，当0<x <1时，f(x)<0，符合题意；对于D ，f(x)=x −43=√x 43(0, +∞)上，f(x)>0恒成立，不符合题意； 6.【解答】解：∵ m ⊂α，α // β，∴ m // β．故①④⇒m // β．故选B ．7.【解答】解：∵ f(x)=sin 2x +√3cos 2x =2sin (2x +π3)，∴ 最小正周期T =2π2=π．故选C ．8.【解答】作PT 垂直椭圆准线l 于T ，则由椭圆第二定义：|PF 1|:|PT|＝e又PF 1→PF 2→=e ，故|PT|＝|PF 2|，由抛物线定义知l 为抛物线准线故F 1到l 的距离等于F 1到F 2的距离，即(−c)−(−a 2c )＝c −(−c)，整理得：a =√3c ， e =c a =√33， 9.【解答】解：由题意得y′=e x +1，k =f ′(1)=1+e∵ f(1)=1+e∴ 所求的切线方程为y −(1+e)=(1+e)(x −1)，即(1+e)x −y =0，故选A ．10.【解答】解：因为cos C =−cos (A +B)=−(cos A cos B −sin A sin B)，所以，2sin 2A sin 2B +sin A sin B=2sin A cos A ×sin B cos B ，因为A ，B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0,所以2sin A sin B +1=2cos A cos B ，2(cos A cos B −sin A sin B)=1，所以：cos (A +B)=12，cos C =−12. 故选B .11.【解答】解：(1)过点(2,−1)且与直线x +y −1=0垂直的直线方程为x −y −3=0，由{y =−2x ，x −y −3=0,解得{x =1，y =−2.所以圆心M 的坐标为(1，−2)，所以圆心M 的半径为r =√(2−1)2+[(−1+2)2]=√2，所以圆M 的方程为(x −1)2+(y +2)2=2.(2)因为直线l 被圆M 截得的弦长为√6，所以圆心M 到直线l 的距离为 d =(√62)=√22， 若直线l 的斜率不存在，则l 为x =0，此时，圆心M 到l 的距离 为1，则弦长为2，不符合题意. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx ，即kx −y =0，由d =√k 2+(−1)2=√22， 整理得k 2+8k +7=0，解得k =−1或−7，所以直线l 的方程为x +y =0或7x +y =0.12.【解答】∵ 对任意的x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，总有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，∴ 函数f(x)={a −x ,x <−1(1−2a)x +3a,x ≥−1在定义域R 上是增函数， ∴ {0<a <11−2a >0a 1≤−1+2a +3a， 解得，0<a ≤14， 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【解答】解：可行域如图所示，作出直线y =−3x +z ，可知z 要取最大值，即直线经过点C ．解方程组{x +y −1=0,y +1=0,得C(2, −1)， 所以z min =3×2+(−1)=5．故答案为：5.14.【解答】数据a 1，a 2，…a n 和b 1，b 2，…b n 的平均数分别是a 和b ，则a 1+a 2+...+a n ＝na ，b 1+b 2+...+b n ＝nb ；∴ (a 1+3b 1)+(a 2+3b 2)+...+(a n +3b n )＝(a 1+a 2+...+a n )+3(b 1+b 2+...+b n )＝na +3nb＝n(a +3b)，∴ 数据a 1+3b 1，a 2+3b 2，…，a n +3b n 的平均数是a +3b ．15.【解答】解：由正弦定理得：asin A =bsin B=Csin C=2R，∴a=2R sin A，c=2R sin C，∴a+csin A+sin C =2R sin A+2R sin Csin A+sin C=2R=bsin B=2√3sin30∘=4√3故答案为：4√3；16.【解答】解：从图中可得该正多面体有9×2+8=26个面；由题意可设该正多面体棱长为x，因为其每个顶点都在正方体的表面上，所以有2x√2+x=1，解得x=√2−1；故答案为：26，√2−1.三、解答题（本题共计 7 小题，共计80分）17.【解答】解：(1)已知a1=2, 2S4=a6−a2, 2×2(1−q4)1−q=2×q5−2×q⇒q=2，则a n=2n．(2)b n=2n+12n，T n=32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，2T n=3+52+722+⋯+2n−12n−2+2n+12n+1，两式相减，T n=3+22+222+⋯+22n−2+22n−1−2n+12n=3+1(1−12n−1)1−12−2n+12n=5−2n+52n.18.【解答】(1)证明：连结BD ，交AC 于O ，连结OE ， ∵ 底面四边形ABCD 是正方形，∴ O 是BD 中点．∵ PD // 平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE =OE ， ∴ PD // OE ，∴ BE BP =BO BD =12，∴ E 是PB 的中点． ∵ PA =AB ，∴ AE ⊥PB ．∵ PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面PAB ，∵ AE ⊂平面PAB ，∴ AE ⊥BC ，又PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，PB ∩BC =B ， ∴ AE ⊥平面PBC ，∵ PC ⊂平面PBC ，∴ AE ⊥PC ，又EF ⊥PC ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，AE ∩EF =E ， ∴ PC ⊥平面AEF ．(2)∵ PA =AB =1，底面ABCD 是正方形，∴ PB =√2，AC =√2，PC =√3，∴ PE =√22，AE =√22． ∵ Rt △PEF ≅Rt △PCB ，∴ PE PC =PF PB =EF BC ，∴ PF =√33，EF =√66． ∴ S △AEF =12×AE ×EF =√312． ∴ 三棱锥P −AEF 的体积V =13S △AEF ×PF =13×√312×√33=136． 19.【解答】(1)由题意得{(b +0.03)×10=1940,(a +0.02)×10=2140,解得{a =0.0325,b =0.0175. (2)由题意得在[25,35)中抽取6人，记为A,B,C,D,E,F ，在[45,55)中抽取2人，记为1，2,则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下:AB,AC,AD,AE,AF,A1,A2BC,BD,BE,BF,B1,B2,CD,CE,CF,C1,C2,DEDF,D1,D2,EF,E1,E2,F1,F2,12记2人中至少有1个是“中老人”的概率是P ，则P =1328.(3)2×2列联表如下：K 2=200(40×35−55×70)295×105×110×90≈12.157>10.828 所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加全面了解防控的相关知识.20.【解答】抛物线焦点为(4, 0)，所以a ＝4，e =c a =12，∴ c ＝2，又a 2＝b 2+c 2，所以b 2＝12．所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1．由题意，当∠APQ ＝∠BPQ 时，知AP 与BP 斜率存在且斜率之和为0．设直线PA 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为−k ，记A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 直线x ＝2与椭圆C 的两个交点P(2, 3)、Q(2, −3)，设PA 的方程为y −3＝k(x −2)，联立{y −3=k(x −2)x 216+y 212=1 ， 消y 得(3+4k 2)x 2+8(3k −2k 2)x +16k 2−48k −12＝0，由已知知△>0恒成立，所以2+x 1=8k(2k−3)3+4k 2， 同理可得2+x 2=8k(2k+3)3+4k 2． 所以x 1+x 2=16k 2−123+4k 2，x 1−x 2=−48k 3+4k 2，所以k AB =y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4k x 1−x 2=12． 所以AB 的斜率为定值12．21.【解答】∵ 函数y ＝f(x)的图象关于原点对称，∴ 函数y ＝f(x)是奇函数， 即f(−x)＝−f(x)恒成立，∴ a 0＝a 2＝a 4＝0，f(x)=a 1x 3+a 3x由题意得{f ′(−1)=3a 1+a 3=0f(−1)=−a 1−a 3=23，∴ {a 1=13a 3=−1 ，∴ f(x)=13x 3−x 经验证f(x)满足题意∴ f(x)=13x 3−x ⋯f ′(x)＝x 2−1，设所求两点为（x 1, f(x 1)），（x 2, f(x 2)），其中(x 1,x 2∈[−√2,√2])，得f ′(x 1)⋅f ′(x 2)=(x 12−1)(x 22−1)=−1因为x 12−1,x 22−1∈[−1,1]，所以{x 12−1=−1x 22−1=1 或{x 12−1=1x 22−1=−1 即x 1，x 2为0,±√2或±√2,0从而所求两点的坐标分别为(0,0),(√2,−√23)或者(0,0),(−√2,√23)； 证明：易知x n ∈[12,1)，当x ∈[12,1)时f ′(x)<0，即f(x)在[12,1)上递减，得f(x n )∈(f(1),f(12)]，即f(x n )∈(−23,−1124]． 又y m ∈(−√2,−23√2]，函数在x ＝−1处取极大值， 又f(−√2)=√23，f(−1)=23，f(−2√23)=38√281， 得f(y m )∈(√23,23]． ∴ |f(x n )−f(y m )|=f(y m )−f(x n )<23−(−23)=43⋯22.【解答】解：(1)直线l 的斜率k OA =2√3−02−0=√3，即l 的倾斜角为π3， 故直线l 的极坐标方程为θ=π3；圆C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0， 化为极坐标方程得ρ2=4ρcos θ(ρ∈R )，故圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ∈R ) .(2)由题得，点A 的极坐标为(4,π3)，设B (ρ,θ)(−π2<θ≤π2)， 则S △AOB =12|OA|⋅ |OB|⋅sin ∠AOB =|12×4×4cos θ×sin (π3−θ)| =|8cos θ(√32cos θ−12sin θ)| =|4√3cos 2θ−4sin θcos θ|=|4cos(2θ+π6)+2√3|.当cos(2θ+π6)=1，即θ=−π12时，(S△AOB)max=4+2√3 .23.【解答】当a=0时，f(x)=|x|+|x−2|．当x≤0时，由−x+2−x≤3，得−12≤x≤0；当0<x<2时，由x+2−x≤3，得0<x<2；当x≥2时，由x+x−2≤3，得2≤x≤52．综上所述，不等式f(x)≤3的解集为[−12,52 ]．由f(x)≥|x−3|，得|x+a|≥|x−3|−|x−2|，令g(x)=|x−3|−|x−2|={1,x≤25−2x,2<x<3−1,x≥3.作出g(x)的图象如图所示，由题意知g(x)的图象恒在函数y=|x+a|的图象的下方．由图象可知，当y=|x+a|经过点(2, 1)时，解得a=−3或a=−1．当a=−1时，y=|x+a|的图象经过(1, 0)点，显然不成立；当a=−3时，y=|x+a|的图象经过(3, 0)点，成立，所以a≤−3，即实数a的取值范围为(−∞, −3]．。
高考全国卷2文科数学试卷及答案
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学考前须知：1. 本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答复第一卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第一卷一、选择题：本大题共12小题。
每题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的。
〔1〕集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，那么M∩N=〔A〕｛-2，-1，0,1｝〔B〕｛-3，-2，-1，0｝〔C〕{-2，-1，0} 〔D〕{-3，-2，-1 } 〔2〕||=〔A〕2〔B〕2 〔C〕〔D〕1〔3〕设x，y满足约束条件，那么z=2x-3y的最小值是〔A〕〔B〕-6 〔C〕〔D〕-〔4〕△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2，B=，C=，那么△ABC的面积为〔A〕2+2 〔B〕〔C〕2〔D〕-1〔5〕设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，那么C的离心率为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕sin2α=，那么cos2(α+)=〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔7〕执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=〔A〕1〔B〕1+〔C〕1++++〔D〕1++++〔8〕设a=log32,b=log52,c=log23,那么〔A〕a＞c＞b 〔B〕b＞c＞a 〔C〕c＞b＞a 〔D〕c＞a＞b〔9〕一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是〔1，0，1〕，〔1，1，0〕，〔0，1，1〕，〔0，0，0〕，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，那么得到的正视图可为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.假设|AF|=3|BF|，那么L的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 〔B〕y=〔X-1〕或y=-〔x-1〕〔C〕y=〔x-1〕或y=-〔x-1〕〔D〕y=〔x-1〕或y=-〔x-1〕〔11〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx+c ，以下结论中错误的选项是〔A〕〔B〕函数y=f〔x〕的图像是中心对称图形〔C〕假设x0是f〔x〕的极小值点，那么f〔x〕在区间〔-∞，x0〕单调递减〔D〕假设x0是f(x)的极值点，那么f’〔x0〕=0〔12〕假设存在正数x使2x〔x-a〕＜1成立，那么a 的取值范围是〔A〕〔-∞，+∞〕〔B〕(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)〔-1，+∞〕第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。
2021年高三第二次模拟考试数文卷 含答案
2021年高三第二次模拟考试数文卷含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120 分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第II卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第I卷（选择题共60分）一、选择題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A = {x|lg(x-3)≤0},B = {x|x2-5x + 4<0}则AB=( )(A) (1，4) (B) (1，4] (C) (4] (D) (4)2. 已知，若复数为纯虚数，则（）（A）（B）（C）（D）3.己知向: 满足，则=( )(A ) 25 (B ) 5 (C ) 3 (D ) 4 4. 己知，则 t a n 2a =() (A ) (B )－ (C ) ①）－5. 曲线y=sinx+e x +2在x = 0处的切线方程为（） (A) y = x+3 (B) y=x + 2 (C) y = 2x + l (D) y=2x + 36 己知某程序框囝如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）(A) -1(B ) (C) 2 (D) 17.已知函数22cos sin sin 21cos 21)(22+--=x x x x x f ，则（ ） （A ）在时取得最小值，其图像关于点对称 （B ）在时取得最小值，其图像关于点对称 （C ）在单调递减，其图像关于直线对称（D ）在单调递增，其图像关于直线对称8. 某林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质呈，都会对树苗进行检测。
2021年高三下学期模拟(二)测试数学文试题(详解) 含答案
2021年高三下学期模拟（二）测试数学文试题（详解） 含答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A ．B ．C ．D ． 2. 为虚数单位，则复数的虚部为A ．B ．C ．D ．3. 为了了解某学校xx 名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A ． B ． C ． D ．5.A. B. C. D.6． 若对任意正数，均有，则实数的取值范围是 A. B. C. D.7．曲线在点处的切线方程是 A. B.C. D.8．已知命题：“对任意， 都有”；命题：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“”为真命题B. 命题“”为假命题kg ）第3题图C. 命题“”为真命题D. 命题“”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是A ．B ．C ．D ．10. 线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以为焦点．若是圆与双曲线的一个公共点，则 A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．12. 已知递增的等比数列中, 则 .13. 无限循环小数可以化为有理数，如，请你归纳出 （表示成最简分数．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（常数）与曲线相切，则 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，弦和弦相交于点，且，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量 且与的夹角为 （1）求的值及角的大小； （2）若，求的面积．第11题图PDC 第15题图第9题图1 cm1 cm2 cm2 cm17．（本小题满分12分）设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率. (1) 若随机数；(2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果．(注: 符号“”表示“乘号”)18．（本小题满分14分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且． （1）求证：；（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：19．（本小题满分14分）已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 ,（1）求函数的解析式； （2）求函数的零点个数.A 1BCDC 1B 1D 1FE20．（本小题满分14分）如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.(1) 求实数的值，使得；(2）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.21．（本小题满分14分）定义数列： ，且对任意正整数，有 .（1）求数列的通项公式与前项和；（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对 ；若不存在，则加以证明.数学（文科）参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．第20题图2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。
2021年高三上学期第二次模拟数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期第二次模拟数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1} D．{0}2．已知向量=（﹣1，2），=（﹣1，1），=（﹣3，1），则•（+）=（）A．（6，3）B．（﹣6，3） C．﹣3 D．93．已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）A．B．C．D．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．“m=3”是“函数f（x）=x m为实数集R上的奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=（）A．35 B．30 C．25 D．157．已知函数f（x）=x2sinx+xcosx，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．8．设函数f（x）=x2﹣12x+b，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增B．函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减C．若b=﹣6，则函数f（x）的图象在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y=10D．若b=0，则函数f（x）的图象与直线y=10只有一个公共点9．△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若，则x+y 等于（）A． B． C．1 D．10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．已知i为虚数单位，则=．12．已知点A（1，﹣2）若向量与=（2，3）同向，||=，则点B的坐标为．13．若，内角A，B的对边分别为a，b，则三角形ABC的形状为．14．将正整数1，2，3，…，n，…，排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行，第j列的数可用（i，j）表示，则xx可表示为．第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列…第1行 1 2 3第2行9 8 7 6 5 4第3行10 11 12 13 14 15 16 17 ……15．下列说法不正确的是．（1）命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题是真命题（2）命题“”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”（3）a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减（4）若，向量与向量的夹角为120°，则在向量上的投影为1．三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S=（a2+b2﹣c2）（1）求角C的大小；（2）f（x）=4sinxcos（x+）+1，当x=A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx﹣lna（a为常数，e=2.718…），且函数y=f（x）在x=0处的切线和y=g（x）在x=a处的切线互相平行．（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x（a＜0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围．xx学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1} D．{0}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（﹣1，2），=（﹣1，1），=（﹣3，1），则•（+）=（）A．（6，3） B．（﹣6，3）C．﹣3 D．9【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】进行向量加法和数量积的坐标运算即可．【解答】解：．故选：D．【点评】考查向量的加法和数量积的坐标运算，弄清数量积是一个数而不是向量．3．已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（）A． B． C． D．【考点】二倍角的正切．【专题】计算题．【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．【解答】解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx 和tanx时注意利用x的范围判定其符合．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x ﹣）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．“m=3”是“函数f（x）=x m为实数集R上的奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当m=3时，函数f（x）=x3为奇函数，满足条件．当m=1时，函数f（x）=x为奇函数，但m=3不成立，故“m=3”是“函数f（x）=x m为实数集R上的奇函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义进行判断是解决本题的关键．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=（）A．35 B．30 C．25 D．15【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，代值计算可得．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=S3+S9﹣S6，即2（15﹣5）=5+S9﹣15，解得S9=30，故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和公式，利用“片段和”成等差数列是解决问题的关键，属基础题．7．已知函数f（x）=x2sinx+xcosx，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，C，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于中档题．8．设函数f（x）=x2﹣12x+b，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增B．函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减C．若b=﹣6，则函数f（x）的图象在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y=10D．若b=0，则函数f（x）的图象与直线y=10只有一个公共点【考点】二次函数的性质．【专题】导数的概念及应用．【分析】利用二次函数的性质，求函数在某一点的切线方程的方法，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣12x+b的对称轴为x=6，故函数f（x）在（﹣∞，6）上单调递减，故A不正确，B正确．若b=﹣6，由于点（﹣2，f（﹣2））即点（﹣2，22），f′（﹣2）=﹣16，故函数f（x）的图象在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y﹣22=﹣16（x+2），故C不正确．若b=0，则函数f（x）=x2﹣12x=（x﹣6）2﹣36的图象与直线y=10有两个公共点，故D不正确，故选：B．在函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递【点评】本题主要考查二次函数的性质，求函数在某一点的切线方程的方法，属于基础题．9．△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若，则x+y 等于（）A． B． C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用三点共线，将用基底表示，利用平面向量基本定理，即可求得x，y的值，从而可得结论．【解答】解：∵B、G、F三点共线∴=∵C、G、E三点共线∴=∴∴∴∴∵∴故选B．【点评】本题考查三点共线，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，正确表示向量是关键．10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】压轴题；新定义．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11．已知i为虚数单位，则=﹣1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：∵ ===﹣1+2i，故答案为﹣1+2i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．12．已知点A（1，﹣2）若向量与=（2，3）同向，||=，则点B的坐标为（3，1）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出．【解答】解：设B（x，y），=（x﹣1，y+2）．∵向量与=（2，3）同向，∴3（x﹣1）﹣2（y+2）=0，∵||=，∴=．化为（x﹣1）2+（y+2）2=13，联立，解得，．当时，向量与=（2，3）反向，∴B（3，1）．故答案为：（3，1）．【点评】本题考查了向量共线定理、模的计算公式，属于基础题．13．若，内角A，B的对边分别为a，b，则三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．【解答】解：∵在△ABC中，acos（π﹣A）+bsin（+B）=0，∴acosA=bcosB，∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰或直角三角形，故答案为：等腰三角形或直角三角形【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．14．将正整数1，2，3，…，n，…，排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行，第j列的数可用（i，j）表示，则xx可表示为（37，17）．第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列…第1行 1 2 3第2行9 8 7 6 5 4第3行10 11 12 13 14 15 16 17 ……【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列可得第36行的第1个数为xx，第37行共111个数，第一个为xx，可得xx为第37行的第17个数，可得答案．【解答】解：∵第一行有a1=3个数，第二行有a2=6个数，∴每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，∴第n行有a n=3+3（n﹣1）=3n个数，由求和公式可得前n行共个数，经验证可得第36行的第1个数为=xx，按表中的规律可得第37行共3×37=111个数，第一个为xx，∴xx为第37行的第17个数，故答案为：（37，17）【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，从表中得出规律是解决问题的关键，属中档题．15．下列说法不正确的是（1）（4）．（1）命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题是真命题（2）命题“”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”（3）a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减（4）若，向量与向量的夹角为120°，则在向量上的投影为1．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）根据否命题的定义进行判断即可．（2）根据含有量词的命题的否定进行判断．（3）根据幂函数的定义和性质进行判断即可．（4）根据向量的投影的定义进行判断即可．【解答】解：（1）命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的逆命题是若x+y＞0，则x＞0且y ＞0，当x=3，y=﹣1时，满足x+y＞0，但x＞0且y＞0不成立，即命题的逆命题为假命题，则命题的否命题是假命题，故（1）错误．（2）命题“”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，故（2）正确，（3）a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确，故（3）正确，（4）若，向量与向量的夹角为120°，则在向量上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣1，故（4）错误，故答案为：（1）（4）【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知向量，函数．（Ⅰ）若，求cos2θ的值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（I）化简f（x），根据求出sinθ，代入二倍角公式；（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，结合正弦函数的图象与性质得出．【解答】解：（Ⅰ），∴f（）=2sin（θ+π）=﹣2sinθ=，∴sinθ=﹣．∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=．（Ⅱ）由，则，∴当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值﹣，当2x﹣=时，f（x）取得最大值2．∴f（x）的值域为．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和求值，利用三角函数公式对f（x）化简是关键．17．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S=（a2+b2﹣c2）（1）求角C的大小；（2）f（x）=4sinxcos（x+）+1，当x=A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）利用三角形的面积公式表示出S，代入已知等式后利用余弦定理化简，求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出f（x）取得最大值时A与b的值，再利用锐角三角函数定义求出a与c的值，即可确定出S．【解答】解：（1）∵S=absinC，∴4S=2absinC=（a2+b2﹣c2），即sinC=•=cosC，∴tanC=，则C=；（2）f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当2x+=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）max=2，∵A为三角形内角，∴A=，b=2，∴B=π﹣A﹣C=，a=bsinA=1，c=bsinC=，则S=acsinB=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（2）化简b n=2，然后根据等比数列的前n项和公式即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，d=0（舍去）．∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1．（2）∵b n=2a n=2n+1，∴b1=4，．∴{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴T n==2n+2﹣4．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，以及等比数列前n项和的计算，要求熟练掌握相应的公式．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=5，S9=54，∴，d=1，a1=2．∴a n=2+n﹣1=n+1，S n=．（2）b n==，数列{b n}的前n项和=++++…++++=﹣﹣=﹣﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx﹣lna（a为常数，e=2.718…），且函数y=f（x）在x=0处的切线和y=g（x）在x=a处的切线互相平行．（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，从而求出切线的斜率，求出a的值即可；（Ⅱ）分离出，令，求出函数的单调性，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=e x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数y=f（x）在x=0处的切线的斜率，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以函数y=g（x）在x=a处的切线的斜率，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，由，得a=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）可化为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为x＞0，所以，，故h'（x）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以h（x）在（0，+∞）上是减函数，因此h（x）＜h（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，实数m的取值范围是（﹣∞，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考察了切线方程问题，考察导数的应用，考察函数的单调性问题，是一道中档题．21．设函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x（a＜0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】（1）求导f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=ax（x+）e x，从而分类讨论以确定函数的单调性；（2）当a=﹣1时，m=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），再令h（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），从而求导可得．【解答】解：（1）∵f（x）=（ax2+x﹣1）e x，∴f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=（ax2+（2a+1）x）e x=ax（x+）e x，当a=时，f′（x）≤0恒成立，故函数f（x）在R上单调递减；当a＜时，x＜﹣时，f′（x）＜0；﹣＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；当＜a＜0时，x＜0时，f′（x）＜0；0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；当x＞﹣时，f′（x）＜0；故函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减；（2）当a=﹣1时，f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2+m），故m=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），令h（x）=（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x3+x2），则h′（x）=﹣（x2+x）e x﹣（x2+x）=﹣x（x+1）（e x+1），故当x＜﹣1时，h′（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0；h（﹣1）=﹣﹣，h（0）=﹣1，故﹣﹣＜m＜﹣1．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．Q35112 8928 褨35728 8B90 讐j24119 5E37 帷J22780 58FC 壼=r;E •t。
2021年高三二模文科数学试题及答案
天水一中XX级XX-XX学年度第二学期5月第二次模拟考试试题2021年高三二模文科数学试题及答案本试卷分第I卷和第II卷两部分，考试时间120分钟，共150分.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ={xl—2vxvl},尸= {xl—2<x<2},则"UP= ( )A.c.2.双曲线的焦距为A. 10B.3.已知向量的值为()A. B. 2 C. D.4.函数图象的对称轴方程可以为A. B.5.若，则“”是”方程表示双曲线”的 A.必要不充分条件C.充要条件.6.已知函数A. B. C.B.D. ()C. 2D. 5( )C. D.()B..充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件. ( )7.函数的图像可能是8 .函数在定义域内零点的个数为A. 09 .在正四面体A —BCD 中，棱长为4, M 是BC 的中点, 点P 在线段AM 上运动（P 不与A 、M 重合），过 点P 作直线LL 平面ABC, I 与平面BCD 交于点Q, 给出下列命题： ①BCJL 平面AMD ②Q 点一定在直线DM 上 ③ 其中正确的是A.①②B.①③C.②③10 .已知直线，定点F （0, 1）, P 是直线上的动点，若经过点F 、P 的圆与/相切，则这个圆11 .若椭圆的左右焦点分别为八、F2,线段FF Z 被抛物线的焦点分成5： 3的两段，则此椭圆的离心率为 A.B.C.D.12 .已知定义在R 上的函数y=f （x ）满足下列三个条件：①对任意的x £R 都有②对于任意的，都有③的图象关于y 轴对称，则下列结论中，正确的是 （）A. B.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13 .某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取 200名同学的成绩，成绩全部在50分至100 分之间，将成绩按下方式分成5组；第一组, 成绩大于等于50分且小于60分；第二组， 成绩大于等于60分且小于70分；……第五 组，成绩大于等于90分且小于等于100分。
2021-2022年高三第二次模拟考试文科数学含解析
2021-2022年高三第二次模拟考试文科数学含解析高三数学（文科） xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数（A）（B）（C）（D）【答案】 A，选A.2．已知向量，．若与共线，则实数（A）（B）（C）（D）【答案】A因为与共线，所以，解得，选A.3．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（A）①（B）②（C）③（D）④【答案】D①为偶函数.；②非奇非偶.③为偶函数.④为奇函数，选D.4．若双曲线的离心率是，则实数（A）（B）（C）（D）【答案】B双曲线的方程为，即，所以.又，所以，解得，选B.5．如图所示的程序框图表示求算式“” 之值，则判断框内可以填入（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】 C第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出.所以条件应满足，即当，满足，所以选C.6．对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是 （A ），∥ （B ）∥， （C ），，（D ），，【答案】C对于A ，”m ⊥n ，n ∥α”，如正方体中AB ⊥BC ，BC ∥平面A ′B ′C ′D ′，但AB 与平面A ′B ′C ′D ′不垂直，故推不出m ⊥α，故A 不正确；对于B ，“m ∥β，β⊥α”，如正方体中A ′C ′∥面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但A ′C ′与平面BCC ′B ′不垂直．推不出m ⊥α，故不正确；对于C ，根据m ⊥β，n ⊥β，得m ∥n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，可知该命题正确； 对于D ，“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD ′⊥AB ，AB ⊥面BCC ′B ′，面ABCD ⊥面BCC ′B ′，但AD ′与面BCC ′B ′不垂直，故推不出m ⊥α，故不正确．故选C ．7．已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】B由得，即.令，分别作出函数的图象，如图，由图象可知要使两个函数的交点有2个，则有，即实数的取值范围是，选B.8．已知集合的非空子集具有性质：当时，必有．则具有性质的集合的个数是（A）（B）（C）（D）【答案】B有条件可知有1，必有5；有2必有4；3可单独在一起.满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个.选B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线，．若∥，则实数______．【答案】因为直线∥，所以，解得.10．右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和， 则______． （填入：“”，“”，或“”） 【答案】由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以.11．在△中，，，，则______；△的面积是______． 【答案】，由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即，所以，解得或，舍去.所以△的面积是11sin 32232S AB BC π=⋅⋅=⨯⨯=. 12．设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是______．【答案】直线与圆有公共点，即 圆心到直线的距离小于或等于半径，所以，即.当时，，此时，有1组.当时，，此时，有1组.当时，，此时，有3组.所以共有5组.所有满足，的组合有组.所以满足条件的概率为.13．已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 或要使函数在上单调递增，则，解得.所以.因为不等式的解集是，所以判别式，解得，即.因为且为真命题，所以同为真，即且，解得.所以实数的取值范围是.14．在直角坐标系中，已知两定点，．动点满足则点构成的区域的面积是______；点构成的区域的面积是______． 【答案】 ，由得，做出对应的平面区域（阴影部分）为平行四边形.所以平行四边形的面积为.设，则，解得22s t x s t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由，得.做出对应的平面区域（阴影部分）如图为平行四边形OMFE.则平行四边形的面积为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，，． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设．证明：为等差数列，并求的前项和．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记． （Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体的体积； （Ⅱ）证明：∥平面； （Ⅲ）证明：平面平面．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数的一个排列，函数对于，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，，称为的满意指数．排列为排列的生成列． （Ⅰ）当时，写出排列的生成列；（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．北京市西城区xx高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．B；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．；14．，．注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，依题意．………………1分因为，，两式相除得，………………3分解得，舍去．………………4分所以．………………6分所以数列的通项公式为．………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．………………9分因为1211 222n n n nb b+++-=-=，所以数列是首项为，公差为的等差数列．………………11分所以21(1)324nn n n nS nb d-+=+=．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 ，． ………………2分因为 ，，所以 sin 3==α． ………………3分所以 211cos()cos 3226x π-=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 ，． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 ，整理得 ． ………………11分 因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点，所以 △的面积为 ．………………1分 因为平面， ………………2分 所以四面体的体积为………………3分． ………………4分 （Ⅱ）证明：取中点，连结，． ………………5分由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，． ………6分 又因为∥，， 所以∥，．所以四边形为平行四边形，所以∥． ………………8分 因为 平面，平面，所以 直线∥平面． ………………9分 （Ⅲ）证明：因为 平面，所以 ．因为面为正方形，所以．所以平面．………………11分因为平面，所以．因为，为中点，所以．所以平面．………………12分因为∥，所以平面．………………13分因为平面，所以平面平面.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：的定义域为，且．………………2分当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．………………4分（Ⅱ）解：方程的判别式，………………5分令，得，或．………………6分和的情况如下：故的单调增区间为，；单调减区间为．………………9分①当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．………………10分②当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．………………12分③当时，，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是．………………13分综上，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，因为，，所以 点的坐标为． ………………2分由点在椭圆上，所以 ， ………………4分解得 ． ……………6分 （Ⅱ）解：设，则 ，且．① ………………7分因为 是线段的中点，所以 ． ………………8分 因为 ， 所以 ．② ………………9分由 ①，② 消去，整理得 ． ………………11分 所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………13分 当且仅当 时，上式等号成立． 所以 的取值范围是． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，排列的生成列为． ………………3分 （Ⅱ）证明：设的生成列是；的生成列是与．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，． 显然 ，，，，下面证明：．………………5分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而． 因为 与是个不同数的两个不同排列，且， 所以 ， 从而 ．所以排列和的生成列也不同． ………………8分精品文档实用文档 （Ⅲ）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为． ………………10分所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．………………13分 26001 6591 斑Y x30828 786C 硬737610 92EA 鋪38949 9825頥35655 8B47 譇24299 5EEB 廫p734931 8873 衳^26363 66FB 曻。
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国II卷)(含答案)
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={}3,x x x Z <∈，B={}1,x x x Z >∈，则A B =A. ∅B. {}3,2,2,3--C. {}2,0,2-D. {}2,2-2.41i =-（）A.-4B.4C.-4iD.4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.154.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A. 2a b +B. 2a b +C. 2a b -D. 2a b -6.记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a -3a =12, 6a -4a =24，则nnS a =A ．2n -1B ． 2-2t n -C. 2-n-12D ．t-n 2-17.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k 为：A. 2B. 3C. 4D. 58. 若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 459．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：2222x 1y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．3210.设函数331()f x x x =-，则()f xA.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11.已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则O到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．212.若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021高考全国2卷数学文科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学第I 卷一、选择题：本大题共 12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 (1)集合 A { 2,0,2}，B {x|x 2 x 2 0}，那么 A B=(A)( B ) 2( C ) 0 (D)2考点：交集及其运算.分析： 先解出集合B ,再求两集合的交集即可得出正确选项.解答： 解：A={- 2, 0, 2}, B={x|x2 - x - 2=0}={ - 1, 2},二 A A B={2}. 应选：B点评： 此题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键.(A ) 1 2i (B )1 2i (C ) 1-2i (D) 1-2i考点： 复数代数形式的乘除运算. 分析： 分子分母同乘以分母的共轭复数 1+i 化简即可.解答： 解：化简可得====- 1+2i 应选：B点评： 此题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属根底题.(3)函数f x 在x x °处导数存在，假设 p: f (x °) 0;q : x x °是f x 的极值点，贝U ()(A) p 是q 的充分必要条件(B) p 是q 的充分条件，但不是 q 的必要条件(C) p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件(D)p 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.解答： 函数f (x ) =x3的导数为f (x ) =3x2，由f '( x0) =0,得x0=0，但此时函数f (x )单调递增， 无极值，充分性不成立.根据极值的定义和性质，假设x=x0是f (x )的极值点，那么f '( x0) =0成立，即必要性成立，故 p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件，(2)1 3i 1 i ()(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 (表示1cm,图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为3cm,高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到, 那么切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为()(B)(C) 10(D)27应选：C点评：此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决此题的关键, 比较根底.(4)设向量a, b 满足|a+b|= 10 , |a-b|= , 6，那么a • b=()(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5考点：平面向量数量积的运算.分析：将等式进行平方，相加即可得到结论.解答：J和|=伍，I；-畅=后,•••分别平方得，孑+站亦J訐晰+芒=6,两式相减得4?®?b=10- 6=4,即方？b=1, 应选：A 点评：此题主要考查向量的根本运算，利用平方进行相加是解决此题的关键，比较根底.(5)等差数列a n的公差为2,假设a2, a4, a*成等比数列，那么a n的前n项5 = ()(A) n n 1 (B) n n 1 (C) n n 1(D) n n 12 2考点：等差数列的性质.分析：由题意可得a42= (a4 - 4) (a4+8)，解得a4可得a1,代入求和公式可得.解答：由题意可得a42=a2?a8,即a42= (a4 - 4) (a4+8)，解得a4=8,•a1=a4 - 3X 2=2,•Sn=na1+d, =2n+x 2=n (n +1),应选：A点评：此题考查等差数列的性质和求和公式，属根底题.考点：由三视图求面积、体积•菁优网版权所有分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可.解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2, —个是底面半径为2,高为4, 组合体体积是：32 n? 2+22 n? 4=34 n.底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32 nX 6=54 n切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为：=.应选：C.点评：此题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.(7)正三棱柱ABC A’BG的底面边长为2,侧棱长为.3 , D为BC中点，那么三棱锥A BQ。
2021年高三第二次模拟考试 文科数学 含解析
2021年高三第二次模拟考试文科数学含解析本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ﹁q是假命题【答案】A【解析】若﹁p∨q是假命题，则，都为为假命题，所以为真命题，为为假命题，所以p∧q是假命题，选A.2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】A,为非奇非偶函数.BC,在定义域上不单调。
选D.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上A. 所有点向右平移个单位长度B.所有点向下平移个单位长度C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）【答案】B【解析】因为，所以只需把函数的图象上所有点向下平移个单位长度，所以选B.4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为//，所以，解得。
所以，即。
所以，选D.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上【答案】C【解析】开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为x=5＞4，退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数的图象上,所以选C.6.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A. B. C. D.【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），,D（1，2），因为M、N是区域内的两个不同的点，所以运动点M、N，可得当M、N 分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是|,选 B.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为336俯视图侧（左）视图正（主视图）A． B. C. D.【答案】A【解析】视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。
2021年高考全国II卷文科数学试题(含解析)
2021年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （ ）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （ ）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （ ）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 （ ）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是 （ ）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （ ）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n nS a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为 （ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ）【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==；当圆心坐标为(5,5)时，其到直线230x y --=5=，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =．10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x =-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ． 判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 （ ）B.32C.1D.2【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==从而O到平面ABC 的距离1h ==，故选C ． 12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233x y x y x x y y xy x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xy x y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos 2x = ． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos ()2A π++（1）求A ；（2）b c -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c -，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为3b c a -=，由正弦定理得1sin sin 32B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12． （2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA 平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MN MH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞； （2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=， 令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥； 因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。