2017年全国2卷高考文科数学试题及答案解析

WORD 整理版分享2016 年普通高等学校招生全统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24 题，共 150 分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（ 1）已知集合A 1,2,3 ， B x x 29 ，则 A B（ A）2, 1,0,1,2,3（B）1,0 ,1,2（C）1,2,3（D）1,2（ 2）设复数z满足z i 3 i ，则 z（ A） 1 2i（ B）1 2i（C）3 2i（ D）3 2i（ 3）函数y Asin( x) 的部分图像如图所示，则（ A）y2sin(2x)（B）y 2 sin(2 x)63y 2（ C）y2sin(2x)（D）y 2 sin(2x)63（ 4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为32（A）12（B）（C）8（D）43-πOπx 63-2（ 5）设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y k(k0)与C交于点 P， PF x 轴，则 k x（A）1（B）1（C）3（D）2 22（6）圆x 2y22x8y13 0 的圆心到直线ax y10的距离为，则 a1（A）3（ B）33（D）2（C）4（ 7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表2 3面积为（A） 20π4（B） 24π44（C） 28π（D） 32π（ 8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为开始（A）7（B）5（C）3（D）3输入 x,n 108810（ 9）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的 x 2 ，n 2 ,依次输入的a为2，2，5，则输出的s k 0, s 0（A）7（B）12（ C）17（D）34（ 10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y 10lg x的定义域和值域相同的是输入 a（ A）（ 11）函数y x（ B）y lg x（ C）y 2x（ D）y1s s x ax k k 1f x)cos 2x（x）的最大值为否2k n（A）4（B）5（C）6（D） 7是（ 12）已知函数f (x) (x R) 满足 f ( x) f (2x) ，若函数 y x 22x 3与输出 smy f (x) 图像的交点为 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),,( x m , y m ) ，则i 1x i结束（A）0（B）m（ C）2m（ D）4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13) ～ (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。

第(22) ～ (24) 题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。

（ 13）已知向量a(m,4)，b(3,2)，且∥，则 m．a bx y10,（ 14）若x, y满足约束条件x y30, 则z x 2 y 的最小值为．x30,（ 15）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b,c ，若cosA4 , cosC 5, a 1，则b．513（ 16）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

等差数列a n中，且 a3a4 4 ， a5a7 6 ．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）记 b n a n，求数列b n的前10项和，其中x表示不超过x 的最大整数，如0.90 ， 2.6 2 ．（ 18）（本小题满分12 分）某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数保费012345 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了设该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数概数012345 605030302010（Ⅰ）记 A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P( A)的估计值；（Ⅱ）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．D′（ 19）（本小题满分12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ，点 E, F 分别在 AD,CD 上，AE CF ，EFA E交BD于点H.将△DEF 沿EF折到△D EF D的位置 .H O（Ⅰ）证明：AC H D ；BF C（Ⅱ）若 AB5， OD 2 2 ，求五棱锥 D ABCFE 的体积．5， AC 6， AE4已知函数 f ( x) ( x 1) ln x a ( x1) ．（Ⅰ）当 a 4时，求曲线y f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）若当x (1, ) 时， f (x)0 ，求a的取值范围．（ 21）（本小题满分12 分）x2y2的左顶点，斜率为 k(k0) 的直线交E于 A,M 两点，点 N 在E 已知 A是椭圆 E ：143上， MA NA.（Ⅰ）当AM AN 时，求△ AMN 的面积；（Ⅱ）当 2 AM AN 时，证明：3k 2 .请考生在第（22）～（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（ 22）（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中， E,G 分别在边 DA, DC 上（不与端点重合），且 DE DG,过D点作 DF CE,垂足为F.（Ⅰ）证明：B,C,G, F 四点共圆；（Ⅱ）若 AB 1， E 为 DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.GD CE FA B（ 23）（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的方程为( x 6)2y 225 .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线 l 的参数方程是x t cos,10 ，求 l 的斜率. y t sin（ t 为参数）， l 与 C 交于 A, B 两点， AB,（ 24）（本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲1x 1f (x)2的解集.已知函数 f (x) x， M 为不等式22（Ⅰ）求 M ；（Ⅱ）证明：当 a,b M 时， a b 1 ab .2016 年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案一.选择题（1）D（2） C（3） A（4） A（5） D（6） A（7） C（8） B（9） C（10） D（11） B（12） B 二．填空题(13)6(14)521（ 15）（16）1和 313三、解答题（ 17） ( 本小题满分12 分)( Ⅰ) 设数列a n的公差为d，由题意有2a15d4, a15d 3 ，解得 a1 1,d 2，5所以 a n2n3的通项公式为 a n.5（Ⅱ）由 ( Ⅰ ) 知b n2n 3 ，5当 n=1,2,32n31 ；时， 152, b n当 n=4,52n32 ；时， 23,b n5当 n=6,7,82n33时， 354, b n；2n3当 n=9,10 4 ，时， 45,b n5所以数列n的前 10项和为1 32 2 334224. b（ 18） ( 本小题满分12 分)( Ⅰ ) 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为60500.55 ，200故 P(A) 的估计值为 0.55.（Ⅱ）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由是给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30 300.3 ，200故 P(B) 的估计值为0.3.( Ⅲ ) 由题所求分布列为：保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查 200 名续保人的平均保费为0.85a 0.30 a 0.25 1.25a0.15 1.5a 0.15 1.75a0.30 2a 0.10 1.1925a ，因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925 a.（ 19）（本小题满分 12 分）（ I ）由已知得，AC BD,AD CD .又由 AE CF得AE CF，故 AC / /EF. AD CD由此得 EF HD ,EF HD ，所以AC / /HD ..（II ）由EF //AC得OHAE 1 .DO AD4由 AB 5,AC6得 DO BO AB 2AO 2 4.所以 OH1,D H DH 3.于是OD2OH 2(22)2 129DH2,故OD OH .由（I）知AC HD ，又 AC BD,BD HD H ，所以 AC平面 BHD , 于是ACOD .又由 OD OH,AC OH O ，所以， OD平面 ABC.又由EF DH得EF9 . AC DO2五边形 ABCFE 的面积S 181969 623. 224所以五棱锥 D 'ABCEF 体积V169 2 223 2 .342（ 20）（本小题满分 12 分）（ I ）f (x)的定义域为(0,) .当 a 4 时，f ( x) ( x1)ln x4( x1), f (x)ln x 1(1)2, f (1) 0. 曲线 y f (x) 在 (1, f (1)) 处3 ， fx的切线方程为 2x y20.（ II ）当x (1,) 时， f ( x)0 等价于ln x a( x1)0. x1令 g( x) ln xa( x 1) ，则x 112ax 2 2(1 a) x 10 ，g ( x)( x 1)2x( x 2, g (1)x1)（ i ）当 a2 ， x (1,) 时， x 22(1 a)x 1 x 22x 1 0 ，故 g (x)0, g( x) 在 x (1, )上单调递增，因此 g ( x) 0 ；（ ii ）当 a2 时，令 g ( x) 0 得x 1a 1(a 1)2 1, x 2a 1 (a 1)2 1 ，由 x 21 和 x 1 x2 1 得 x 1 1 ，故当 x(1, x 2 ) 时， g ( x) 0 ， g( x) 在 x(1,x 2 ) 单调递减，因此g(x) 0 .综上， a 的取值范围是,2 .（ 21）（本小题满分 12 分）（Ⅰ）设 M ( x 1 , y 1) ，则由题意知 y 1 0 .由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为，4又 A( 2,0) ，因此直线 AM 的方程为 yx 2 .将 x y 2 代入x 2y 2 1 得 7 y 2 12 y 0 ，43解得 y或12 ，所以 y 112.y7 7因此AMN 的面积 S AMN 2 112 12 144 .27 749（ II ）将直线 AM 的方程 yk (x2)( k 0) 代入x 2y 241 得3(3 4k 2 ) x 2 16k 2 x 16k 212 0 .由 x 1 (2) 16 k 212得 x 1 2(3 4k 2 )，故 | AM | 1 k 2 | x 1 2 | 12 1 k 2 .3 4k 2 3 4k 23 4k 2 由题设，直线AN 的方程为 y1(x 2) ，故同理可得 | AN |12k 1 k 2 .k4 3k 2由2|AM | |AN|得3 24 k，即 4k 3 6k 2 3k 8 0 .4k 23k 2设 f (t ) 4t 36t 23t 8 ，则 k 是 f (t ) 的零点， f '(t) 12t 212t 3 3(2t 1)2 0 ，所以 f (t) 在 (0, ) 单调递增，又 f ( 3) 15 326 0, f (2)6 0 ，因此 f (t) 在 (0,) 有唯一的零点，且零点 k 在 ( 3, 2) 内，所以3 k2 .（ 22）（本小题满分 10 分）（I ）因为 DFEC , 所以 DEF CDF ,则有GDF DEFFCB,DF DE DG ,CFCDCB所以 DGF CBF , 由此可得 DGFCBF ,由此CGFCBF1800 ,所以 B,C,G, F 四点共圆 .（ II ）由 B,C,G, F 四点共圆， CG CB 知FG FB ，连结 GB ，由 G 为 Rt DFC斜边CD的中点，知GF GC, 故Rt BCG Rt BFG ,因此四边形 BCGF 的面积 S 是GCB 面积 S GCB 的 2 倍，即S2SGCB21 1 12 21.2（ 23）（本小题满分 10 分）（ I ）由 xcos , y sin 可得 C 的极坐标方程212 cos11 0.（ II ）在（ I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 (R)由 A, B 所对应的极径分别为1,2 , 将 l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212 cos11 0.于是1212cos,1 211,|AB| |12 |( 12 )241 2144cos 244,由|AB|10 得 cos23, tan15 ，83所以 l 的斜率为15 或 15 .33（ 24）（本小题满分 10 分）（ I ）先去掉绝对值，再分x1，1 x1 x1 ；（ II ）采2 2 和三种情况解不等式，即可得22用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ， b时， a b 1 ab ．2x, x1 ,2 试题解析：（ I ） f ( x) 1,1x 12,22 x, x 1 .2当 x 1 2 得 2x2, 解得 x1；时，由 f ( x)2当1 1 时， f (x)2 ；2x2当 x1时，由 f (x)2 得 2x2, 解得 x 1.2所以 f ( x) 2 的解集 M { x | 1 x 1} .（ II ）由（ I ）知，当 a,bM 时，1 a1, 1 b 1，从而(a b)2 (1 ab)2 a 2 b 2 a 2b 21 (a2 1)(1 b 2 ) 0 ，因此 | a b | |1 ab |.。