空间立体几何练习题3(学生)
立体几何练习题及答案
立体几何练习题及答案在学习立体几何的过程中，练习题对于巩固知识、提高应用能力起着至关重要的作用。
本文将为大家提供一些立体几何的练习题，并给出详细的答案解析，以帮助读者更好地理解和掌握立体几何的知识。
一、球的表面积和体积1. 某个球的半径为3cm，求其表面积和体积。
解析：球的表面积公式为S = 4πr²，体积公式为V = (4/3)πr³。
将半径r代入公式进行计算即可。
表面积：S = 4π(3)² = 4π(9) ≈ 113.04cm²体积：V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27)≈ 113.04cm³因此，该球的表面积约为113.04cm²，体积约为113.04cm³。
二、立方体的表面积和体积2. 一个立方体的边长为5cm，求其表面积和体积。
解析：立方体的表面积公式为S = 6a²，体积公式为V = a³。
将边长a代入公式进行计算即可。
表面积：S = 6(5)² = 6(25) = 150cm²体积：V = (5)³ = 5(5)(5) = 125cm³因此，该立方体的表面积为150cm²，体积为125cm³。
三、圆柱的表面积和体积3. 一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm，求其表面积和体积。
解析：圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，体积公式为V = πr²h。
将底面半径r和高度h代入公式进行计算即可。
表面积：S = 2π(4)² + 2π(4)(10) = 2π(16) + 2π(40) ≈ 321.2cm²体积：V = π(4)²(10) = π(16)(10) ≈ 502.4cm³因此，该圆柱的表面积约为321.2cm²，体积约为502.4cm³。
(完整版)空间几何体练习题含答案
空间几何体练习题1．空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为 ( )A. B. C. D.2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰长为1的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（ ） A. 2 B. 22 C. 28 D. 243．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A. 12πB. 45πC. 57πD. 81π4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是 ( )A. 2π＋1B. 2π＋3C. 32π＋1D. 32π＋35．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A. 283π- B. 83π- C. 82π- D. 23π6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A. 163B. 8C. 203D. 127．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 16+2πB. 16+πC. 8+πD. 8+2π8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4B. 6C. 8D. 169．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( )A. 163π B.43πC.323π D. 4π10．如图是三棱锥D ABC-的三视图，则该三棱锥的外接球体积为( )A. 92πB.33πC. 62πD.23π11．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A. 圆锥B. 圆柱C. 四面体D. 三棱锥12．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）．A. 2，22B. 2，4C. 23，2D. 4，313．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.322++ B.5322++ C.332++ D.7322++14．一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为( )A. 27πB. 18πC. 19πD. 54π15．将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为( )A. 4πB. 22πC. 2πD. 2π16．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )A. 2倍B. 22倍C. 2倍D. 32倍17．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．18．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)cm. 19．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6cm,4cm，则该棱柱的侧面积为________2 20．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．21．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_______.22．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是________．23．已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，则该三棱锥的表面积为________．-的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________.24．已知三棱锥A BCD25．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球的表面积为__________．26．已知高与底面直径之比为2:1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为________.cm）．27．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是_____（单位：3参考答案1．A2．A3．C4．A5．A6．C7．D8．C9．B10．A11．B12．B13．D14．A15．C16．B17．（1）64；（2）36π.18．()()4.87.8kg π+19．7220．2π321．5π22．5423．24．3π25．4π26π+27．12。
专题1 空间向量与立体几何练习(三)
专题1空间向量与立体几何练习（三）1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.2．如图四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.3．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =- .(1)若12c b = ，求cos ,a c <> 的值；(2)若()()3ka b a b +-∥ ，求实数k 的值.4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ==．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．5．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,b c =- ，且a b += (1)求c 的值；(2)若ka b + 与2a b - 互相垂直，求实数k 的值．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AD AB AA ===，,E F 分别是1111,A D A B 的中点，CG GE = ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．(1)写出1,,,C D F G 四点的坐标；(2)求1cos ,CF D G <> ．7．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求：(1)EF ·BA ；(2)EF ·BD ；(3)AB ·CD .8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简向量表达式：(1)AB CD BC DA +++ ；(2)1111AA B C D D ++ ；(3)1111AA B C D D CB +++ .9．已知空间三点()4,0,4A -，()2,2,4B -，()3,2,3C -，设a AB = ，b BC =r u u u r .(1)求a ，b ；(2)求a 与b 的夹角.10．如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a = ，AC b = ，AD c =uuu r r ，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．参考答案：1．(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅= ，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅ ，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AB AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ==||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅==⋅ ，∴异面直线1BD与AC 所成角的余弦值为6.2．(1)证明见解析【分析】（1）由已知可得DE AC ⊥且AC BD ⊥,由线面垂直的判定定理即可得到证明;（2）以D 为原点,DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴,DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面BDE 的一个法向量和平面BEF 的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC⊥因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD⊥又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE（2）DE ⊥ 底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，,DE DA DE DC ∴⊥⊥，四边形ABCD 是正方形，DA DC∴⊥故DA ，DC ，DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为BE 与平面ABCD 所成角为60 ，DE ⊥ 平面ABCD ，且垂足为D ，故60DBE ∠=，所以DE DB=又3,3AD DE AF ==，所以BD DE AF ===所以(3,0,0)A ，(3,3,0)B，F，E ，(0,3,0)C ，所以(0,,(3,0,BF EF =-=- 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z = ，则3030m BF y m EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令z =(4,m = 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，()3,3,0CA =- .所以cos ,13m CA m CA m CA ⨯+-⨯+⋅〈〉===，所以sin ,m CA〈〉=所以二面角F BE D --3．(1)42-(2)13-【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得()11,1,22c b ==- ，()1,4,2a =- ，∴114122cos ,42a c a c a c⨯-+⨯+-⨯⋅<>==- .（2）()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ，()37,2,14a b -=-- ，∵()()3ka b a b +-∥ ，∴存在实数m 使得()3ka b m a b +=- ，∴27k m -=，422k m +=-，2414k m -+=-，联立解得13k =-.4．(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC uuu r ，平方即求得模长.(2)求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ ，所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++ ，1DC c a =- ，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．5．(1)2c =±(2)75k =【分析】（1）求出()0,1,b a c += ，根据向量模长公式列出方程，求出2c =±；（2）分2c =与2c =-两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.【详解】（1）()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++= ，所以a b +== 2c =±；（2）当2c =时，()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+ ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- ，因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，当2c =-时，()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---= ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- 因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，综上：75k =.6．(1)()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，393,,222G ⎛⎫ ⎪⎝⎭21【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标；（2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果.【详解】（1）1226AD AB AA === ，13AB AA ∴==，则()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,3E ，CG GE = ，G ∴为CE 中点，393,,222G ⎛⎫∴ ⎝⎭.（2）由（1）得：3,6,32CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1333,,222D G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1119999424cos ,22CF D G CF D G CF D G -+-⋅∴<>=⋅⨯ .7．(1)1(2)2(3)0【分析】分别将EF ，BD ，CD 转化为AB ，AC ，AD 后根据数量积定义计算即可.【详解】（1）在正四面体ABCD 中，||||2,cos ,60BD BA BD BA ==〈〉=111||||cos ,22cos 601222EF BA BD BA BD BA BD BA ⋅=⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒= （2）211||222EF BD BD BD BD ⋅=⋅== （3）()AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=||||cos ,||||cos ,AB AD AB AD AB AC AB AC ⋅⋅〈〉-⋅〈〉在正四面体ABCD 中，||||||AB AD AC == ，cos ,cos ,AB AD AB AC 〈〉=〈〉故0AB CD ⋅=8．(1)0(2)AD(3)0【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA AC CD DA AD AD +++=+++=++=-= （2）由图知，1111B C A D = 所以1111111111AA B C D D AA A D D D AD D D AD++=++=+= （3）由图知，CB DA =所以由（2）可得11110AA B C D D CB AD DA AD AD +++=+=-= 9．(1)(2)2π3【分析】（1）（2）由空间向量的坐标运算求解，【详解】（1）由题意得所以()2,2,0a AB == ，所以a == 因为()2,2,4B -，()3,2,3C -，所以()1,0,1b BC ==--r u u u r ，所以b ==r （2）由（1）可知1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3.10．()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【详解】∵M 为BC 的中点，∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+- .。
新人教版空间几何体测试题及答案
第一章《空间几何体》单元测试题(时间:60分钟，满分:100分)班别 座号 姓名 成绩 一、选择题(本大题共10小题， 每小题5分，共50分) 1、 图(1)是由哪个平面图形旋转得到的( )A B C D2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为( )A.1:2:3B.1:3:5C.1:2:4 D1:3:9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A. 3B. 23C. 33D. 434、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1:V 2=A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:15、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:96、有一个几何体的三视图及其尺寸，则该几何体的表面积及体积为:A.24πcm 2，12πcm 3B.15πcm 2，12πcm3C.24πcm 2，36πcm 3D.以上都不正确7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm 2，则此球的体积为 ( ) A.334cm π B.386cm π C. 361cm π D. 366cm π 8、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是( )A. 3πB. 4πC. 2πD. π10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，则该几何体的表面积为(A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32A B 1 C 正视图侧视图府视图题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 _______________.答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为12.一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是______.13、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.14、一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_________.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)15.将圆心角为1200，面积为3 的扇形， 16. (如图)在底半径为2母线长为4的作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积. 圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积*16、如图，在四边形ABCD中，，，，，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.参考答案:1.A ；2.B ；3.A ；4.D ；5.C ；6.A ；7.C ；8.B ；9.C ；10.C.11.15；12.910Q；13.8；14.2:1 15.解:l=3,R=1；S=4π；V=322π.16.R=1,h=3,S=2π+2π3.17.S=60π+4π2;V=52π-38π=3148π.。
大题 立体几何(精选30题)(学生版)
大题立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．(1)证明：MN⎳平面A1CP；(2)求点P到直线MN的距离．2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD= 60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求三棱锥M-ABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC,AB= AC=BC=AA1=2，A1B=6．(1)设D为AC中点，证明：AC⊥平面A1DB；(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，EC⊥ED，且EC=ED= 2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AE⊥CD.(1)证明：平面ABE⊥平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱A1B1(包含端点)上的动点．(1)求点P到平面ABC1的距离；(2)若AP⊥平面α，求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围．6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAD=90°，CD= 2AB，△PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC．(1)证明：PM=2BM；(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角P-AC-B的余弦值．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2，∠ACB=120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF=2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：CF⊥平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC=60°，MN为直线CD，AB的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为α，若tanα>217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF 上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1 ，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN⎳平面PBC；(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．(1)求证：AD⊥PC；(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM⎳平面BDQ，求PQQC的值．15(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1= 2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P⎳平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024·广东深圳·二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB= AC，A1B=A1C．(1)证明：AA1⊥平面ABC；(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．17(2024·河北保定·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA =BC =23，CD =2AB =4.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足PE =2ED ，求二面角P -EF -B 的正弦值.18(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，PO =6,AC =4.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且OM =2，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19(2024·湖南岳阳·三模)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为4的菱形，∠DAB =60°，PA =PC ，PB =PD =210，M 是线段PC 上的点，且PC =4MC ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20(2024·湖南·二模)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，∠ABC =60°,BD 1⊥平面A 1C 1D .(1)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积；(2)设点D 1关于平面A 1C 1D 的对称点为E ，点E 和点C 1关于平面α对称(E 和α未在图中标出)，求平面A 1C 1D 与平面α所成锐二面角的大小.21(2024·山东济南·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PF⊥AD；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024·山东潍坊·二模)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E为CD 的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC 的距离．23(2024·福建·模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,AB⊥BC,AB=3,BC=6，已知二面角P-AB-C的大小为θ，∠PAB=θ.(1)求点P到平面ABC的距离；(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，求：(Ⅰ)二面角P-AB-C的余弦值；(Ⅱ)直线PC与平面PAB所成角.24(2024·浙江杭州·二模)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°, BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．(1)证明：∠ABQ=90°；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．25(2024·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA∥QD，BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.(1)证明：平面PCD⊥平面PAC；(2)若PQ=22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024·浙江绍兴·二模)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，BC⊥AP.(1)证明：平面ACP⊥平面ABC；(2)若PA=2，PB=4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.27(2024·河北沧州·一模)如图，在正三棱锥A -BCD 中，BC =CD =BD =4，点P 满足AP =λAC ，λ∈(0,1)，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且AD ⎳α，BC ⎳α.(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST 总是矩形；(2)若AC =4，求四棱锥C -PQST 体积的最大值.28(2024·湖北·二模)如图1．在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =4，AE =λAD ，AF =λAB (0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到棱锥P -BCDEP ．如图2所示，设二面角P -EF -B 的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P -BCD 和四棱锥P -BDEF 的体积之比为95(2)当θ为何值时，∀λ∈0,1 ，平面PEF 与平面PFB 的夹角φ的余弦值为5529(2024·湖北·模拟预测)空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，AB =1，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ ⎳α，PQ ⊥n 且PQ ⊥m ，(i )求直线m ，n 与平面α的夹角之和；(ii )设PQ =d 0<d <1 ，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数f d ．30(2024·浙江绍兴·模拟预测)如图所示，四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为一个菱形，且∠BAD =120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O ，O 1. AB =2A 1B 1=2，BB 1=DD 1=392，AA 1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：OO 1⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕OO 1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC 1的夹角正弦值为64343，此时求θ的值(θ<90°)；(3)求旋转后AA 1与BB 1的夹角余弦值.。
空间几何小学数学立体形练习题
空间几何小学数学立体形练习题一、立体形的基本概念在初中数学学习过程中，我们学习了许多的几何知识，其中最基本的便是立体形的概念。
立体形是指具有三个维度的图形，如立方体、三棱锥等。
二、常见的立体形1. 立方体立方体是指六个面都是正方形的立体形。
它具有六个面、十二条边和八个顶点。
2. 正方体正方体也是六个面都是正方形的立体形，它和立方体的不同在于其八个顶点距离中心的距离相等。
3. 三棱锥三棱锥是指底面为三角形的立体形。
其共有四个面、六条棱和四个顶点。
4. 四棱锥四棱锥是指底面为四边形的立体形，其共有五个面、八条棱和五个顶点。
5. 圆锥圆锥是指底面为圆形的立体形，其共有两个面、一个底圆、一个尖点和一条侧棱。
三、立体形练习题1. 底面边长为2cm的正方体的体积是多少？解：正方体的体积公式为V=a³，其中a为正方体的边长，将a=2cm代入公式，得体积V=8cm³。
2. 一个三棱锥的底面是一个边长为3cm的等边三角形，高为4cm，它的体积是多少？解：三棱锥的体积公式为V=（1/3）×底面积×高，其中底面积为（√3/4）×底边长²。
将已知数据代入公式，得V=（1/3）×（√3/4）×3²×4=4√3cm³。
3. 一个棱长为6cm的四棱锥的底面为边长分别为4cm和3cm的直角梯形，高为5cm，它的体积是多少？解：首先，根据勾股定理可得梯形的斜边长为5cm，底面积为（4+3）×5/2=17.5cm²。
根据四棱锥的体积公式可得，V=（1/3）×底面积×高+（1/3）×底边面积×高，其中底边面积为（4+3）/2×6=21cm²。
将已知数据代入公式，得V=（1/3）×17.5×5+（1/3）×21×5=28.33cm³。
立体几何练习题及答案
立体几何练习题及答案立体几何练习题及答案立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何形体。
在我们的日常生活中，立体几何无处不在，比如建筑物、雕塑、家具等。
掌握立体几何的基本概念和解题方法，不仅可以提高我们的空间想象能力，还能帮助我们解决实际问题。
下面，我将给大家提供一些立体几何的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 题目：一个正方体的体积是64立方单位，求它的边长。
解答：设正方体的边长为a，则根据正方体的性质可知，它的体积等于边长的立方，即a³=64。
两边开立方根，得到a=4。
所以，这个正方体的边长是4个单位。
2. 题目：一个圆柱的底面半径为3cm，高为8cm，求它的体积和表面积。
解答：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r是底面半径，h是高。
代入已知条件，可得V=π×3²×8=72π。
所以，这个圆柱的体积是72π立方厘米。
圆柱的表面积公式为A=2πrh+2πr²。
代入已知条件，可得A=2π×3×8+2π×3²=48π+18π=66π。
所以，这个圆柱的表面积是66π平方厘米。
3. 题目：一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。
解答：球的体积公式为V=4/3πr³，其中r是半径。
代入已知条件，可得V=4/3π×5³=500/3π。
所以，这个球的体积是500/3π立方厘米。
球的表面积公式为A=4πr²。
代入已知条件，可得A=4π×5²=100π。
所以，这个球的表面积是100π平方厘米。
4. 题目：一个圆锥的底面半径为6cm，高为10cm，求它的体积和表面积。
解答：圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高。
代入已知条件，可得V=1/3π×6²×10=120π。
所以，这个圆锥的体积是120π立方厘米。
空间几何体练习题
空间几何体练习题空间几何体练习题在数学学科中，空间几何体是一个重要的概念。
它不仅在日常生活中有着广泛的应用，还是解决实际问题时的重要工具。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握空间几何体的性质和特点。
一、平行四边形的性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它有许多独特的性质，可以通过练习题来加深理解。
1. 练习题一：已知平行四边形ABCD的边长分别为AB = 5cm，BC = 8cm，AC= 7cm，求对角线BD的长度。
解答：根据平行四边形的性质，对角线BD将平行四边形分成两个全等的三角形。
设对角线BD的长度为x，则根据余弦定理可得：x² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos∠B∠B为平行四边形的内角，根据平行四边形的性质，∠B = ∠D。
代入已知条件，可得：x² = 25 + 64 - 80 × cos∠B由于∠B + ∠D = 180°，所以cos∠B = -cos∠D。
代入已知条件，可得：x² = 89 + 80 × cos∠D由于∠D为平行四边形的内角，所以∠D = 180° - ∠B。
代入已知条件，可得：x² = 89 + 80 × cos(180° - ∠B)x² = 89 - 80 × cos∠B由于cos(180° - ∠B) = -cos∠B，所以：x² = 89 - 80 × cos∠Bx² = 89 - 80 × (-cos∠D)x² = 89 + 80 × cos∠D综上所述，对角线BD的长度为√(89 + 80 × cos∠D) cm。
2. 练习题二：已知平行四边形ABCD的对角线AC的长度为10cm，对角线BD的长度为12cm，求平行四边形ABCD的面积。
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1、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ） A ．①②
Ｂ．②④
Ｃ．①②③
Ｄ．②③④
2、三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形．
3、圆台的正视图、侧视图都是 ，俯视图是 ．
4、给出下列命题：
① 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； ② 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ③ 如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④ 如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1
Ｃ．2 Ｄ．3
5、利用斜二测画法得到： ① 三角形的直观图是三角形； ② 平行四边形的直观图是平行四边形； ③ 正方形的直观图是正方形； ④ 菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（ ） Ａ．①② Ｂ．① Ｃ．③④ Ｄ．①②③④
① ② ③ ④
6、如图1所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图2中的（ ）
7、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ） Ａ．圆柱 Ｂ．三棱柱 Ｃ．圆锥 Ｄ．球体
8、下列说法中正确的是（ ）
Ａ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 Ｂ．梯形的直观图可能是平行四边形 Ｃ．矩形的直观图可能是梯形 Ｄ．正方形的直观图可能是平行四边形
9、如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）
Ａ．3
Ｃ．6
Ｄ．
10、下面的说法正确吗？
（１） 水平放置的正方形的直观图可能是梯形； （２） 两条相交直线的直观图可能平行；
（３） 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直．
x
'
Ａ
Ｂ
ＣＤ
图2
图1
11、如图中斜二测直观图所示的平面图形是（ ） Ａ．直角梯形
Ｂ．等腰梯形
Ｃ．不可能是梯形
Ｄ．平行四边形
12、下图中直观图所表示的平面图形是（ ） Ａ．正三角形
Ｂ．锐角三角形
Ｃ．钝角三角形
Ｄ．直角三角形
13、如图，设正三棱锥P ABC -的侧棱长为l ，30APB ∠=þ，
E ，
F 分别是BP ，CP 上的点，求AEF △周长的最小值．
14、如图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题： （１） 这个几何体是什么体？
（２） 如果面A 在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？ （３） 如果面F 在前面，从左面看是面B ，那么哪一面会在上面？ （４） 从右边看是面C ，面D 在后面，那么哪一面会在上面？
15、三视图均相同的几何体有（ ） Ａ．球 Ｂ．正方体
Ｃ．正四面体
Ｄ．以上都对
16、 已知正ABC △的边长为a ，那么ABC △的平面直观图AB C △'''的面积为（ ）
2
2
2
2
17、图示是一个几何体的直观图，画出它的三视图．
18、图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图．
19、画出图中3个图形的指定三视图（之一）．
20、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ）． Ａ．圆柱 Ｂ．三棱柱 Ｃ．圆锥 Ｄ．球体
21、在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ ）． Ａ．平行且相等 Ｂ．平行不相等 Ｃ．相等不平行 Ｄ．既不平行也不相等
画左视图
画主视图
画俯视图
主视图
俯视图
左视图
23、如图１所示，空心圆柱体的正视图是（）
24、如图，E，F分别是正方体
1
AC
的面
11
ADD A和面
11
BCC B的中心，则四边形
1
BFD E在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是．
（把所有可能图形的序号都填上）
25、 如图所示，是水平放置的三角形的直观图，D 是ABC △的边BC 的中点，那么三条线段
AB AD AC ，，长的大小关系是（ ）
Ａ．AC AD AB >> Ｂ．AB AD AC >> Ｃ．AD AB AC >> Ｄ．AD AC AB >>
26、 已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如右图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱
27、水平放置的ABC △有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正A B C △´´´，则ABC △为（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．以上都有可能
28、一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x '轴，底角为45o
，两腰和上底长均为１的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ．。