7-1+ 二阶矩过程的正交分解
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一阶矩和二阶矩公式
一阶矩和二阶矩公式
一阶矩和二阶矩是概率论中常用的重要概念，它们是统计技术和统计推断中非常重要的工具。
一阶矩即均值，它描述了变量总体的平均水平。
而二阶矩指的是方差，它描述了变量在它的数值之间的差异。
其表示形式分别如下：
一阶矩：μ=E(x)，其中E(x)表示x的期望值。
二阶矩：σ2=D(x)，其中D(x)表示x的方差。
一阶矩和二阶矩的计算方法都很简单。
一阶矩的计算公式为：μ=Σx/n，其中n代表样本容量，x表示样本值，Σx表示样本值的总和。
二阶矩的计算公式为：σ2=Σ(x-μ)2/n，其中x代表样本值，μ表示一阶矩，Σ(x-μ)2表示样本值与均值之差的平方和。
一阶矩和二阶矩可以用来估计一组数据的均值和方差。
因此，它们是统计技术和统计推断中非常重要的工具。
它们被广泛应用于财务分析、风险分析和投资分析中，用于评估各种样本及其变化的情况，为经济决策提供重要的统计信息。
【完整】高一物理力的正交分解法资料PPT
一正般交选 分共解点法力的的基作本用思点想为：原先点分，解水后平合方成向或物体运动的加速度方向为x轴
速度方向为x轴 求为墙了壁 求对合木力块进的行弹正力交大分小解和，墙分壁解与是木方块法间，的合动成摩是擦目因的数。。
为求了墙求 壁合对力木进块行的正弹交力分大解小，和分墙解壁是与方木法块，间合的成动是摩目擦的因。数。
高一物理力的正交 分解法
F123
F1234 F12
F2 F3
F1
先求出任意两个力的合力，
再求出这个合力跟第三个力的
合力，直到把所有的力都合成
F4
进去，最后得到的结果就是这
些力的合力
1.定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解， 叫做力的正交分解法。
目的：是化复杂的矢量运算为普通代数运算，它是处 理力的合成与分解的复杂问题的一种简便方法
原则：使尽量多的力在坐标轴上。 （(gm=1g0-Fms/isn2 ，) ，）
为原了则求 ：合使力尽进量行多正的交力分在解坐，标分轴解上是。方法，合成是目的。
（ 例21）：木 如块 图与 所地 示面 ，之 质间 量的为动m的摩木擦块因在数力F作用下在水平面上做匀速运动。
②正交分解各力 木(块m与g+地Fs面in间的) 动摩擦因数为 ，则物体受到的摩擦力为（ ）
y
Ff
FN F2
θ
F
O
F1 x
G
练习2：已知物体沿斜面匀速下滑，斜面与地
面间的夹角为θ，求物体与斜面间的动摩擦因
数。
y
FN Ff
tan
G1 O
x
θ G2
θ G
思考：物体重为G，斜面倾角为θ，沿斜面向上的力F
作用于物体，使物体能匀速上滑，问F应为多大？
速度方向为x轴 求为墙了壁 求对合木力块进的行弹正力交大分小解和，墙分壁解与是木方块法间，的合动成摩是擦目因的数。。
为求了墙求 壁合对力木进块行的正弹交力分大解小，和分墙解壁是与方木法块，间合的成动是摩目擦的因。数。
高一物理力的正交 分解法
F123
F1234 F12
F2 F3
F1
先求出任意两个力的合力，
再求出这个合力跟第三个力的
合力，直到把所有的力都合成
F4
进去，最后得到的结果就是这
些力的合力
1.定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解， 叫做力的正交分解法。
目的：是化复杂的矢量运算为普通代数运算，它是处 理力的合成与分解的复杂问题的一种简便方法
原则：使尽量多的力在坐标轴上。 （(gm=1g0-Fms/isn2 ，) ，）
为原了则求 ：合使力尽进量行多正的交力分在解坐，标分轴解上是。方法，合成是目的。
（ 例21）：木 如块 图与 所地 示面 ，之 质间 量的为动m的摩木擦块因在数力F作用下在水平面上做匀速运动。
②正交分解各力 木(块m与g+地Fs面in间的) 动摩擦因数为 ，则物体受到的摩擦力为（ ）
y
Ff
FN F2
θ
F
O
F1 x
G
练习2：已知物体沿斜面匀速下滑，斜面与地
面间的夹角为θ，求物体与斜面间的动摩擦因
数。
y
FN Ff
tan
G1 O
x
θ G2
θ G
思考：物体重为G，斜面倾角为θ，沿斜面向上的力F
作用于物体，使物体能匀速上滑，问F应为多大？
数值分析7.2矩阵的正交分解与求矩阵全部特征值的QR方法
但 x y ,则存在householder阵
2
2
UU T
H I2 U 2
2
使Hx y，其中U x y。 W
x
x y
y
证：若设W U ，则有 W 1，因此
U
2
I
H 2
2
I 2WW T
(x y) x y 2
( xT
yT
I )
UU T 2 U2
2
Hx
x
2
( x2 y) x y 2
2
k
)
,
H
k
(k 2
)
,
,
H
k
(k n
)
A(k 1)
1(
k
1)
,
(k 2
1)
,
,
(k n
1)
a(2) 11 0
a(2) 1k
Hk
A(k )
Hk
0
a(k) kk
0
0
a(k) nk
a(2) 1n
a(k kn
)
a(k) nn
H
(
k1
k
)
,
H
k
(k 2
)
,
,
H
k
(k n
)
a1(12) 0 0 0
迭代格式
Ak Qk Rk Ak 1 RkQk
(k 1, 2, ).
将A A1化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），
从而求出矩阵A的全部特征值与特征向量。
由A A1 Q1R1 ,即Q11 A R1。 于是A2 R1Q1 Q1 AQ1 ,即A2与A相似。
同理可得，Ak A (k 2, 3, )。 故它们有相同的特征值。
数值分析(07)矩阵的正交分解
令单位阵I (1) R( k 1)( k 1)，I ( 2) R( n k 1)( n k 1) , ( 对x ( 2)构造一个( n k 1)阶的初等阵H k2) , 使
H
(2) k
x
(2)
e
(k ) k 1
( 其中e1k ) (1, 0, , 0)T R n k 1 , 用前面介绍的方法 (2) 构造H k 。
U x y x i ei ( x1 , , xi i , , xn )T ,
有Hx y i ei
1 sign( x i ) 1
xi 0 xi 0
构造初等反射阵 UU T 1 T H I 2WW I 2 I UU T 2 U
解 : 3 sign( x3 ) x
2
4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
数值分析
数值分析
function [H,y]=holder1(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp('M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
1 T 1 2 2 其中 U U ( x1 ... ( xi i )2 xn ) 2 2 1 (2 xi i 2 i 2 ) i ( xi i ) 2
H
(2) k
x
(2)
e
(k ) k 1
( 其中e1k ) (1, 0, , 0)T R n k 1 , 用前面介绍的方法 (2) 构造H k 。
U x y x i ei ( x1 , , xi i , , xn )T ,
有Hx y i ei
1 sign( x i ) 1
xi 0 xi 0
构造初等反射阵 UU T 1 T H I 2WW I 2 I UU T 2 U
解 : 3 sign( x3 ) x
2
4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
数值分析
数值分析
function [H,y]=holder1(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp('M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
1 T 1 2 2 其中 U U ( x1 ... ( xi i )2 xn ) 2 2 1 (2 xi i 2 i 2 ) i ( xi i ) 2
教科版高中物理必修1 牛顿第二定律的正交分解法
• 2.分解加速度而不分解力
• 若物体受几个互相垂直的力作用，运用牛顿定律 求解时，如果分解的力太多，比较繁琐，则可以 在建立直角坐标系时，根据物体的受力情况，使 尽可能多的力位于两坐标轴上而分解加速度a。这 种方法一般是在以某个力的方向为x轴正方向时， 其他力都落在两个坐标轴上标系时 ，确定x轴正方向有两种基本方法。
• 1.分解力而不分解加速度
• 通常以加速度a的方向为x轴正方向建立直角坐标 系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分 别求解x轴和y轴上的合力Fx和Fy。根据力的独立 作用原理，各个方向上的力分别产生各自的加速 度，则有Fx=ma；Fy=0。
牛顿第二定律的正交分解法
正交分解法是运用牛顿运动定律解题的最基本方法，物体 在受到三个或三个以上的不在同一直线上的力作用时，一 般都用正交分解法。
• 正交分解法是指把一个矢量分解在两个相 互垂直的坐标轴上的方法。
• 正交分解法是一种常用的矢量计算方法， 其实质是将复杂的矢量运算转化为简单的 代数运算，从而能简捷、方便地解答问题 。
一次二阶矩法(2)概要
F(x*)
x*
f (x)dx
x* h( y)dy ( x * y )
y
取标准正态分布() 的 逆 1() ，得
x* y 1(F (x*)) y
y x * y 1(F(x*))
(5)
-----根据已知非正态分布函数可求其当量正态分 布的均值。
y x * y 1(F(x*))
JC法的基本概念就是在应用前面所述方法(验算点法)时，将非 正态的随机变量先行“当量正态化”。
JC法是由Rackwitz-Fiessler、Hasofer-Lind等人先后提出来 的，因为国际安全度联合委员会(JCSS)推荐采用这个方法而得 名。
4.3.1随机变量的当量正态化
当量正态变量 ：设x是服从某分布的连续型随 机变量，其概率密度为f(x)，分布函数为F(x)。 若存在服从正态分布的随机变量，其概率密度 为連續密度函数h(y),分布函数H（y）使得在某 一点x*处有
(5)
目的：用非正态分布的密 度函数和分布函数求当 量正态变量统计参数
F (x) exp[ e (xu) ]
y x * y 1(F(x*))
(5)
y
[ 1 ( F ( x*))] f (x*)
(6)
随机变量的当量正态化举例
当量正态化实例1 ——极值I型分布 某可变荷载产生的压力SQ服从极值I型分布， 平均值为84.0kN，标准差25.2kN，试对SQ 进行当量正态处理（在S*Q=84.0处）。
未知数有
和
x
* i
，也是n+1个。尽管如此，联立求解还是
有困难，通常用迭代法求解。
设计验算点法求可靠指标（5）
计算步骤
（1）选取设计验算点坐标的初值，一般取
正交分解法(精选例题)
资源分配
02
在资源分配问题中，正交分解法用于优化资源配置，以实现经
济效率和社会福利的最大化。
产业组织
03
在产业组织理论中，正交分解法用于研究市场结构、企业行为
和绩效之间的关系，以制定有效的产业政策和竞争策略。
THANKS
感谢观看
控制系统
在航空航天和自动化领域，正交分解法用于设计 控制系统，以实现精确的轨迹跟踪和稳定的系统 性能。
信号处理
在通信和雷达系统中，正交分解法用于信号处理， 特别是在多径干扰抑制和信号分离方面。
在经济学中的应用
金融市场
01
在金融市场中，正交分解法用于分析股票价格、利率和汇率等
金融变量的动态变化，以预测市场趋势和制定投资策略。
电磁学
在电磁学中，正交分解法用于分 析电场和磁场，特别是在求解电 磁波的传播和散射问题时。
光学
在光学中，正交分解法用于研究 光的传播、干涉和衍射现象，特 别是在处理光波的偏振和干涉问 题时。
在工程学中的应用
1 2 3
结构分析
在土木工程和机械工程中，正交分解法用于分析 结构的静力和动力响应，特别是在处理多自由度 系统和复杂结构时。
正交分解法(精选例题)
• 正交分解法简介 • 正交分解法例题解析 • 正交分解法在数学中的重要性 • 正交分解法的扩展与进阶 • 正交分解法的实际应用
01
正交分解法简介
定义与性质
定义
正交分解法是一种将一个向量分解为 若干个正交向量的方法，即利用正交 基底来表示任意向量。
性质
正交分解法具有唯一性，即一个向量 只有一种正交分解方式。此外，正交 分解法还具有正交性，即分解后的正 交向量两两正交。
(完整)1力的正交分解法及其应用
解析 F1=mgcotθ
F2
mg
s in
.
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力
4、别写出x、y方向的方程
5、根据方程求解
练习2质量为m的物体在与水平方向成θ角的恒力F作 用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。物体与天 花板间动摩擦因数为μ。请写出物体受摩擦力大小的 表达式。
F mg sin cos
练习3如图所示，用绳AO和BO吊起一个重100N的物体， 两绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为30o和40o，求绳 AO和BO对物体的拉力的大小。
解：小环受重力mg、大圆环的支持力N、 A
弹簧的拉力F三个力。如图。
ห้องสมุดไป่ตู้
Fy
其中弹力F=k(2rcosθ-L)
φ
运用正交分解法列方程
O1
由Fx=0得：Nsin2φ-Fsinφ=0
由Fy=0得：Fcosφ-mg-Ncos2φ=0
解得
cos
kL
2kr mg
x
O2 2φ
mg N
另解: 力F、N、mg构成首尾相连的三角形,与三角形
2 sin600 3 3 sin300 4 sin600
3 3 3 / 2 2 2 3 3 / 2( N )
大小F Fx2 Fy2 ( 3 / 2)2 (1/ 2)2 1N
方向tan Fy 3 / 2 3
Fx 1/ 2
600
F =1N
y
3/2
Fy=
N
o φ
x
Fx = -1/2 N
六、正交分解法应用二
求解平衡问题
五步求解平衡问题：1、受力分析，画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、沿坐标轴正交分解各力。 4、因为物体平衡时合力为零，即F合 Fx2 Fy2 0
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即若令
ˆ (t ) X (nT ) sin[c (t nT )] X c (t nT )
则
2 ˆ E | X (t ) X (t ) | 0
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卢
定理： 实平稳过程谱分解定理：设 {X（t）， －∞<t<+∞}是均方连续的实平稳过程，均值EX （t）=0，谱函数为F（w），则
X (t )
coswtdz w sinwtdz w
1 2 0
其中
1 T sin wt z1 w 1.i.m X (t )dt T T t 1 T 1 cos wt z2 w 1.i.m X (t )dt T T t
S X () 0 并且在 | | c 时，S X ( ) 当 | | 时，
c
满足Dirichlet条件，即在 | | 内只有有限个
c
第一类间断点或极值点。则 T c
时，便有
sin[c (t nT )] X (t ) X (nT ) c (t nT )
（1）E[ Z f ] 0 （2）若区间(f1 ,f1 f1 )和(f2 ,f2 f2 )不相重叠，则 E{[Z(f1 f1 )-Z(f1 )][Z(f2 f2 )-Z(f2 ) ]} 0 （3）E{[Z(f2 )-Z(f1 )]2 } F ( f 2 ) F ( f1 ), F ()为X (t )功率谱函数
二阶矩过程的正交分解
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卢
Fourier正交分解
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Karhunen-Loè ver正交分解
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随机振动的叠加
例 设
{Zn ,n 0, 1, 2, }
n (t ) dZ ( fn )ei t ,
n
n 2 fn
n1 (t )
各滤波器的频带互不重 叠，输出互不相关，X(t) 可表示为
(t )
n Biblioteka dZ ( f )en
int
eit dZ ( f )
解放军电子技术学院 采样定理
卢
实平稳过程的谱分解
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n (t ) hn (t ) ( )d
(t )通过一个窄带滤波器，滤波器的
hn1 (t )
n1 (t )
通频带宽f非常小，以至于可以认为 仅允许一个单一的频率分量fn通过。
n具有如下形式
(t )
hn (t ) hn1 (t )
n (t )
2 n n ,m
…
是复随机序列且
n
E[Z n ] 0, E[ Z n Z m ]
,
n
2 n
则对于任意的实数t和实数列{n }，
X (t )
n
Ze
n
jnt
为平稳过程，
具有互不相关随机振幅不同频率的随 机振动的叠加为平稳过程。
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n 0 k 1 解放军电子技术学院
b
a
f (t )dZ (t ) lim f (uk )[Z (tk ) Z (tk 1 )]
卢
且有如下性质：
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采样定理
定理：设 F () 是x(t)的傅立叶变换，如果满足
x
当 | | 时，F () 0, 并且在| | c 时， Fx ()
c
x
满足Dirichlet条件，即在 | | 内只有有限个
c
第一类间断点或极值点。则 T c
时，便有
sin[c (t nT )] x(t ) x(nT ) c (t nT )
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卢
定理：设平稳过程 X (t )t R 的普密度函数满足
卢
平稳过程的谱分解
定理：若 (t )为均方连续，零均值的平稳过程，则
(t ) eit dZ ( f ) l.i.m ei t dZ ( f n ),
n
2 f
n=-
其中：dZ ( f n ) Z ( f n df ) Z ( f n )； Z ( f )为频域上的零均值的正交增量的复随机过程。 1 T eiwt 1 其中 Z f 1.i.m X (t )dt Z(f)满足 2 T it